注释

§1.2

[1.1] 不幸的是，关于毕达哥拉斯本人、他的生平、其追随者或他们的作品的所有知识几乎都不尽可信，人们只能确定上述种种在历史上确实存在过以及毕达哥拉斯确曾提出过音乐和声中的简单比值这些事实。参见Burkert（1972）。但是，仍然有大量重要结论被普遍认为应归功于毕达哥拉斯。因此，我仅仅使用“毕达哥拉斯学派”作为一个标记，并无意于追求历史描述的准确性。

[1.2] 这是指纯的“全音阶”，它包含一组频率（与振动单元的长度成反比）24：27：30：36：40：45：48，由这组频率可以衍生出大量悦耳的和弦。通常将现代钢琴上的白键调谐到（作为在维持毕达哥拉斯纯和弦以及便于转调的要求之间的一个折衷）与这组毕达哥拉斯比值相近，按照平均律音阶，相对频率为1：α 2 ：α 4 ：α 5 ：α 7 ：α 9 ：α 11 ：α 12 ，其中α= =1.05946…。（注意：α 5 表示α的5次方，即α×α×α×α×α． 表示2的12次方根，即它的12次方等于2，因此α 12 =2。参见注释1.3和§5.2。）

§1.3

[1.3] 由注释1.2知，一个数的 n 次方即是将该数自乘 n 次。因此，5的3次方是125，记为5 3 =125。3的4次方等于81，记为3 4 =81，依此类推。

[1.4] 事实上，当怀尔斯于1993年6月在剑桥首次宣布其证明时，情况就已经很明朗了，不过当他在接下来的时间里对其证明进行修补时，数学界开始谣传Noam Elkies已经找到了费马定理的一个反例。1988年，Elkies曾找到过欧拉猜想——方程 x 4 + y 4 + z 4 = w 4 没有正的解——的一个反例，从而证否了该猜想。因此，说他证伪了费马定理也并非难以置信。遗憾的是，挑起这一谣传的电子邮件发自4月1日，最后被确认为是Henri Darmon的一个恶作剧。见Singh（1997），293页。

[1.5] 用术语说，即Π 1 －句式，见§16.6。

[1.6] 我意识到，在某种意义上，我自己正在卷入这一断言所招致的麻烦当中。此处的要点并不是持这种极端观点的数学家是否占极小的一部分（当然，我也未曾就此问题在数学家当中做过可信的问卷调查），而是要强调的确有人非常严肃地对待这种极端观点。请读者自行判断。

[1.7] 某些读者可能会注意到哥德尔和科恩的观点，他们指出选择公理与集合论（策梅罗－弗兰克公理体系）的更为基本的标准公理无关。必须澄清的是，哥德尔和科恩的讨论本身并没有指出选择公理不能以别的方式得以解决。这种观点是有先例的，例如Paul Cohen在其著作（Cohen 1966，第14章，§13）最末一节中就表达的这一立场，只不过在那里他关注的是连续统假设而不是选择公理。见§16.5。

§1.4

[1.8] 有意思的是，一个相信数学完全源于心智的彻底的反柏拉图主义者也必然会相信没有任何一个正确的数学论断不能被逻辑推理所把握。例如，假设费马大定理（原则上）不能被逻辑地推演出来，那么这位反柏拉图主义者也会认为判断该命题的真或伪是无意义的，因为这种判断的有效性必须来自证明或证否的心智活动。

[1.9] 见Penrose（1997b）。

[1.10] 我本人关于可以容纳智能的物理世界的一系列观点，在Penrose（1989，1994，1996，1997）等书中有相应的表述。 fVmecYylzzn9Wxt2PeEuoWNXZLR0xn5GQQaY6evM3rtgsMqmBkF1QfCqDT7lqcuv