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因此，数学存在不但有别于物理存在，也不同于人类心智所能够感知到的那种存在。但它与后二者之间存在着某种深刻而神秘的联系。图1.3用球体示意性地画出了这三种存在形式——物理的、心智的和柏拉图数学的——它们分属三个独立的“世界”。图中还一并画出了三个世界之间的神秘联系。有必要说明，图中所示的只是我个人的看法或偏见。
我们注意到，图中第一种神秘联系——柏拉图数学世界和物理世界之间的关系——只是数学世界的很小一部分与现实的物理世界相关联。这不难理解，现实生活中纯数学家的绝大多数研究本来就与物理学或其他学科没有太多联系（参见§34.9），尽管其研究成果经常会有意想不到的应用。第二种神秘联系体现在心智活动与一定的物理结构（明确地说，指健康、清醒的头脑）之间的关联，显然，并非大多数物理结构都能产生智能活动。一只猫的脑部活动或许真具有智能的品质，但没人会认为石块也应如此。最后是第三种神秘联系，我认为它是自明的，即绝对数学真理只对应于部分的心智活动！（通常我们更多的是对恼怒、愉悦、焦虑、兴奋等各种日常情绪的体验。）这三个事实体现为每个世界与相邻世界的关联均以小基底为出发点，三个世界按顺时针方向依次排列。我对于这三重关系的观点可以表述为后一个世界仅仅对应着前一世界的某个部分。
根据图1.3，整个物理世界的运转受到数学定律的支配。我将在后面的章节给出支持这一论点的强有力（但不完备）的证据。据此，物理世界中的任何事物，即使是在细节上，也都受到数学原理的支配——它们可能是我们将在以后各章要学到的各种方程，也许是某些未知的、截然不同于今日所称“方程”的数学观念。如果这是正确的，那么甚至我们人类的一举一动最终都完全受数学控制。此处“控制”并不排除某些服从几率原理的随机行为。
相信很多人都会对这类观点感到不安，我自己也是如此。然而，我仍倾向于接受这样一种普遍关系，因为不如此我们就难以在受数学支配的物理行为与不受数学支配的物理行为之间清楚地划界。在我看来，这种不安一定程度上是源于我们对“数学支配”一词所抱的狭隘观念。本书的目的之一就是要探讨并向读者展示，正确的数学观念会带给我们怎样的丰富性、力量及美感。
图1.3 柏拉图的数学世界，物理世界和心智世界及其神秘联系
从图1.2所示的曼德布罗特集这个例子出发，我们可以一瞥这一构造所涉及的可能范围及其内在的美。但是，即使这样的结构也只是整个数学的冰山一角，因为它所展示的性态严格取决于计算。而在这之外还有难以计数的丰富的数学结构！我由衷地相信自己及朋友们的种种行为最终都受这些数学原理的主宰。你可能会好奇我怎么会有这种念头，答案很简单：我愿意带着这种想法生活。我宁可在柏拉图神话般数学世界中的那些原则的支配下采取行动，也不愿在诸如追求享乐、贪婪、侵略性暴力等最原始的动机的驱使下为所欲为。即使很多人会争辩说，如果从严格的科学意义上看，这些动机也有着一定价值。
不难想象，很多读者仍难以认同宇宙中的一切运动都完全由数学定律掌控。同样地，很多人对图1.3所示的另两层神秘联系——也是我的一孔之见——会表示反对。例如，他们会认为，图中所示的一切心智活动均根源于物质性的观点实际上是作者的一种僵化的科学教条。这的确是我个人的观点，但也应当承认，我们至今也还没有说得过去的科学证据来表明存在着没有物理基础的“心智”活动。另一种异议来自宗教，他们坚信存在非物质的心智活动，而且会列举出某些他们认为极为有利的证据，尽管这些证据与常规科学的发现完全相左。
图1.3还展示了我的另外一个观点，即柏拉图数学世界完全在人类心智所及的范围之内。这意味着，至少在原则上不存在任何不能通过逻辑推理获知的数学真理。当然，的确存在大量数学命题（简单的如算术加减运算）其复杂程度使得不可能由人脑来完成全部必要的逻辑推演，但这并不背离图1.3试图传达的含义，因为它们具有潜在的可认知性。值得引起我们注意的倒是可能还存在另一类根本无法通过逻辑推演来证明的数学命题，它们是真正与图1.3的意图相背离的数学存在。（在§16.6我会用更多的篇幅来阐述这个问题，我们将讨论它与哥德尔那个广为人知的不完备定理的关系。） [8]
图1.4 重新画出的图1.3的三个“世界”。这里容许背离作者提出的三者间的相互关系。
作为对那些不认可我上述观点的读者的让步，我重新画出三个世界之间的关系，见图1.4。在这幅图中，所有三种与我上述观点相左的可能情形都是容许的。相应地，超出数学控制的物理运动有了容身之地，不依附于任何物质结构的心智活动也成为可能，最后，该图容许存在其真实性原则上为人类推理能力和洞察力所无法企及的数学命题。
这幅扩展后的图像甚至比我所偏爱的图1.3具有更多潜在的神秘性。依我看，图1.3所表达的科学观点已经足够神秘，甚至在转换到更为包容的概念框架图1.4后，这些神秘之处依旧存在。为什么数学定律在被用于物理世界时会有如此非凡的精度，这仍是一个巨大的谜。（我们将在§19.8，§26.7和§27.13中浏览基本物理理论中某些具有极高精度的例子。）而且，不仅仅是精度，理论自身的精妙复杂之处及其表现出的数学美也是极为深奥的谜。此外，经过适当组织的物质——此处特指人（或动物）的大脑——如何能魔法般地获得意识，这无疑也是一个重大的谜团。最后，我们如何感知数学真理这件事本身也显得神秘莫测，这绝不仅仅是因为我们的大脑被训练成能够进行可靠的“计算”，其中一定存在着某种深刻得多的原因！想想吧，即便是我们当中知识最为贫乏的人也能很好地理解“零”、“一”、“二”、“三”、“四”等词语的确切含义。 [9]
关于第三重奥秘的某些话题将在下一章展开（更详细的参见§§16.5，6），在那里我们将有机会讨论什么是数学证明。不过，本书的主旨是上述三重谜团中的第一个，即数学和真实物理世界之间的非凡关系。假使没有对数学概念的一定程度的掌握，人们绝不可能恰当理解现代科学那异乎寻常的有效性。毫无疑问，这会使那些因为要学习如此多的数学知识才能获得这种理解的读者深感沮丧。但是，我可以肯定地说，情况并不完全像他们担心的那样糟糕。我建议这些读者不妨一试。无论你此前持何种观点，我希望本书都能让你感到原来数学也可以这么有趣！
本书不会关注图1.3及1.4所示的第二种神秘联系，即心智活动——尤其是意识——的产生与某种适当的物理结构的关系（在§34.7中略有提及）。探索物理世界和相关数学定律就够我们忙的了。况且，关于心智活动的种种话题尚存在激烈的争论，卷入其中只会削弱本书的主题。不过，有一点值得在此处指出：如果不对其物质基础作更深入的了解，我们不太可能深刻地理解人类心智的本质。这当然纯属个人观点，但我坚信当务之急就是尽快实现对这个物质基础的突破性认识，这一点我们将在以后的章节里予以阐述。如果没有这些突破，那么对心智过程能取得实质性理解的任何期待都是过于乐观了。 [10]