第2章 导数

【147】（2009·北京·11· ）

设 f （ x ）是偶函数，若曲线 y = f （ x ）在点（1， f （1））处的切线的斜率为1，则该曲线在（-1， f （-1））处的切线的斜率为__________。

【148】（2010·山东·10· ）

观察（ x ² ） ' =2 x ，（ x ⁴ ） ' =4 x ² ，（cos x ） ' =-sin x ，由归纳推理可得：若定义在R上的函数 f （ x ）满足 f （- x ）= f （ x ），记 g （ x ）为 f （ x ）的导函数，则 g （- x ）=（ ）。

A. f （ x ）
B. - f （ x ）
C. g （ x ）
D. - g （ x ）

【149】（2007·福建·11· ）

已知对任意实数 x ，有 f （- x ）=- f （ x ）， g （- x ）= g （ x ），且 x >0时， f' （ x ）>0， g' （ x ）>0，则 x <<span >0时，（ ）。

A. f' （ x ）>0， g' （ x ）>0
B. f' （ x ）>0， g' （ x ）<<span >0
C. f' （ x ）<<span >0， g' （ x ）>0
D. f' （ x ）<<span >0， g' （ x ）<<span >0

【150】（2007·江西·11· ）

设函数 f （ x ）是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线 y = f （ x ）在 x =5处的切线的斜率为（ ）。

A.
B. 0
C.
D. 5

【151】（2009·安徽·9· ）

设函数 ，其中 ，则导数 f '（1）的取值范围是（ ）。

A. [-2，2]
B.
C.
D.

【152】（2010·辽宁·12· ）

已知点 P 在曲线 上， α 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角，则 α 的取值范围是（ ）。

A.
B.
C.
D.

【153】（2011·安徽·10· ）

函数 f （ x ）= ax ^m （1- x ） ⁿ 在区间[0，1]上的图像如图所示，则 m ， n 的值可能是（ ）。

A. m =1， n =1
B. m =1， n =2
C. m =2， n =1
D. m =3， n =1

【154】（2010·江西·12· ）

如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记 t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为 S （ t ）（ S （0）=0），则导函数 y = S' （ t ）的图像大致为（ ）。

【155】（2014·江西·10· ）

在同一直角坐标系中，函数 与 y = a ² x ³ -2 ax ² + x + a （ a ∈R）的图像不可能的是（ ）。

【156】（2012·重庆·8· ）

设函数 f （ x ）在R上可导，其导函数为 f' （ x ），且函数 y =（1- x ） f' （ x ）的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）。

A. 函数 f （ x ）有极大值 f （2）和极小值 f （1）
B. 函数 f （ x ）有极大值 f （-2）和极小值 f （1）
C. 函数 f （ x ）有极大值 f （2）和极小值 f （-2）
D. 函数 f （ x ）有极大值 f （-2）和极小值 f （2）

【157】（2011·浙江·10· ）

设函数 f （ x ）= ax ² + bx + c （ a ， b ， c ∈R）。若 x =-1为函数 f （ x ）e ^x 的一个极值点，则下列图像不可能为 y = f （ x ）图像的是（ ）。

【158】（2012·湖南·9· ）

设定义在R上的函数 f （ x ）是最小正周期为2π的偶函数， f' （ x ）是 f （ x ）的导函数。当 x ∈[0，π]时，0<<i>f（ x ）<<span >1；当 x ∈（0，π）且 时， ，则函数 y = f （ x ）-sin x 在[-2π，2π]上的零点个数为（ ）。

A. 2
B. 4
C. 5
D. 8

【159】（2006·江西·5· ）

对于R上可导的任意函数 f （ x ），若满足（ x -1） f' （ x ）≥0，则必有（ ）。

A. f （0）+ f （2）<<span >2 f （1）
B. f （0）+ f （2）≤2 f （1）
C. f （0）+ f （2）≥2 f （1）
D. f （0）+ f （2）>2 f （1）

【160】（2008·全国二·22.1· ）

设函数 ，求 f （ x ）的单调区间。

【161】（2013·湖南·21.1· ）

已知函数 ，求 f （ x ）的单调区间。

【162】（2014·湖南·9· ）

若0<<i>x ₁ <<i>x ₂ <<span >1，则（ ）。

A.
B.
C.
D.

【163】（2007·江西·12· ）

设 p ： f （ x ）=e ^x +ln x +2 x ² + mx +1在（0，+∞）内单调递增， q ： m ≥-5，则 p 是 q 的（ ）。

A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件

【164】（2004·全国二·21· ）

若函数 在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）上为增函数，试求实数 a 的取值范围。

【165】（2014·课程标准一·12· ）

已知函数 f （ x ）= ax ³ -3 x ² +1，若 f （ x ）存在唯一的零点 x ₀ ，且 x ₀ >0，则 a 的取值范围是（ ）。

A. （2，+∞）
B. （1，+∞）
C. （-∞，-2）
D. （-∞，-1）

【166】（2013·湖北·10· ）

已知 a 为常数，函数 f （ x ）= x （ln x - ax ）有两个极值点 x ₁ ， x ₂ （ x ₁ <<i>x ₂ ），则（ ）。

A.
B.
C.
D.

【167】（2012·全国·10· ）

已知函数 y = x ³ -3 x + c 的图像与 x 轴恰有两个公共点，则 c =（ ）。

A. -2或2
B. -9或3
C. -1或1
D. -3或1

【168】（2006·福建·21.2· ）

已知函数 f （ x ）=- x ² +8 x ， g （ x ）=6ln x + m 。是否存在实数 m ，使得 y = f （ x ）的图像与 y = g （ x ）的图像有且只有三个不同的交点？若存在，求出 m 的取值范围；若不存在，说明理由。

【169】（2015·安徽·15· ）

设 x ³ + ax + b =0，其中 a ， b 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是__________（写出所有正确条件的编号）。

① a =-3， b =-3；
② a =-3， b =2；
③ a =-3， b >2；
④ a =0， b =2；
⑤ a =1， b =2。

【170】（2013·安徽·10· ）

已知函数 f （ x ）= x ³ + ax ² + bx + c 有两个极值点 x ₁ ， x ₂ 。若 f （ x ₁ ）= x ₁ <<i>x ₂ ，则关于 x 的方程3（ f （ x ）） ² +2 af （ x ）+ b =0的不同实根个数为（ ）。

A. 3
B. 4
C. 5
D. 6

【171】（2013·福建·12· ）

设函数 f （ x ）的定义域为R， x ₀ （ x ₀ ≠0）是 f （ x ）的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）。

A. ∀ x ∈R， f （ x ）≤ f （ x ₀ ）
B. - x ₀ 是 f （- x ）的极小值点
C. - x ₀ 是- f （ x ）的极小值点
D. - x ₀ 是- f （- x ）的极小值点

【172】（2007·辽宁·12· ）

已知 f （ x ）与 g （ x ）是定义在R上的连续函数，如果 f （ x ）与 g （ x ）仅当 x =0时的函数值为0，且 f （ x ）≥ g （ x ），那么下列情形 不可能 出现的是（ ）。

A. 0是 f （ x ）的极大值，也是 g （ x ）的极大值
B. 0是 f （ x ）的极小值，也是 g （ x ）的极小值
C. 0是 f （ x ）的极大值，但不是 g （ x ）的极值
D. 0是 f （ x ）的极小值，但不是 g （ x ）的极值

【173】（2014·课程标准二·12· ）

设函数 若存在 f （ x ）的极值点 x ₀ 满足 ，则 m 的取值范围是（ ）。

A. （-∞，-6）∪（6，+∞）
B. （-∞，-4）∪（4，+∞）
C. （-∞，-2）∪（2，+∞）
D. （-∞，-1）∪（4，+∞）

【174】（2008·天津·21.2· ）

设函数 f （ x ）= x ⁴ + ax ³ +2 x ² + b （ x ∈R），其中 a ， b ∈R。若函数 f （ x ）仅在 x =0处有极值，求 a 的取值范围。

【175】（2013·课程标准二·10· ）

已知函数 f （ x ）= x ³ + ax ² + bx + c ，下列结论中错误的是（ ）。

A. ∃ x ₀ ∈R， f （ x ₀ ）=0
B. 函数 y = f （ x ）的图像是中心对称图形
C. 若 x ₀ 是 f （ x ）的极小值点，则 f （ x ）在区间（-∞， x ₀ ）单调递减
D. 若 x ₀ 是 f （ x ）的极值点，则 f' （ x ₀ ）=0

【176】（2012·福建·12· ）

已知 f （ x ）= x ³ -6 x ² +9 x - abc ， a <<i>b<<i>c，且 f （ a ）= f （ b ）= f （ c ）=0。现给出如下结论：

① f （0） f （1）>0；
② f （0） f （1）<<span >0；
③ f （0） f （3）>0；
④ f （0） f （3）<<span >0。

其中正确结论的序号是（ ）。

A. ①③
B. ①④
C. ②③
D. ②④

【177】（2015·安徽·10· ）

函数 f （ x ）= ax ³ + bx ² + cx + d 的图像如图所示，则下列结论成立的是（ ）。

A. a >0， b <<span >0， c >0， d >0
B. a >0， b <<span >0， c <<span >0， d >0
C. a <<span >0， b <<span >0， c >0， d >0
D. a >0， b >0， c >0， d <<span >0

【178】（2009·重庆·10· ）

把函数 f （ x ）= x ³ -3 x 的图像 C ₁ 向右平移 u 个单位长度，再向下平移 v 个单位长度后得到图像 C ₂ 。若对任意的 u >0，曲线 C ₁ 与 C ₂ 至多只有一个交点，则 v 的最小值为（ ）。

A. 2
B. 4
C. 6
D. 8

【179】（2013·全国·9· ）

若函数 在 上是增函数，则 a 的取值范围是（ ）。

A. [-1，0]
B. [-1，+∞）
C. [0，3]
D. [3，+∞）

【180】（2013·课程标准一·11· ）

已知函数 若| f （ x ）|≥ ax ，则 a 的取值范围是（ ）。

A. （-∞，0]
B. （-∞，1]
C. [-2，1]
D. [-2，0]

【181】（2005·江西·7· ）

已知函数 y = xf' （ x ）的图像如图所示（其中 f' （ x ）是函数 f （ x ）的导函数），下面四个图像中 y = f （ x ）的图像大致是（ ）。

【182】（2008·江苏·14· ）

设函数 f （ x ）= ax ³ -3 x +1对于任意 x ∈[-1，1]总有 f （ x ）≥0成立，则实数 a 的值为__________。

【183】（2014·辽宁·11· ）

当 x ∈[-2，1]时，不等式 ax ³ - x ² +4 x +3≥0恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ）。

A. [-5，-3]
B.
C. [-6，-2]
D. [-4，-3]

【184】（2015·课程标准一·12· ）

设函数 f （ x ）=e ^x （2 x -1）- ax + a ，其中 a <<span >1，若存在唯一的整数 x ₀ ，使得 f （ x ₀ ）<<span >0，则 a 的取值范围是（ ）。

A.
B.
C.
D.

【185】（2013·浙江·16· ）

设 a ， b ∈R，若 x ≥0时恒有0≤ x ⁴ - x ³ + ax + b ≤（ x ² -1） ² ，则 ab =__________。

【186】（2011·辽宁·11· ）

函数 f （ x ）的定义域为R， f （-1）=2，对任意 x ∈R， f' （ x ）>2，则 f （ x ）>2 x +4的解集为（ ）。

A. （-1，1）
B. （-1，+∞）
C. （-∞，-1）
D. （-∞，+∞）

【187】（2004·湖南12· ）

设 f （ x ）， g （ x ）分别是定义在R上的奇函数和偶函数。当 x <<span >0时， f' （ x ） g （ x ）+ f （ x ） g' （ x ）>0，且 g （-3）=0，则不等式 f （ x ） g （ x ）<<span >0的解集是（ ）。

A. （-3，0）∪（3，+∞）
B. （-3，0）∪（0，3）
C. （-∞，-3）∪（3，+∞）
D. （-∞，-3）∪（0，3）

【188】（2015·课程标准二·12· ）

设函数 f' （ x ）是奇函数 f （ x ）（ x ∈R）的导函数， f （-1）=0，当 x >0时， xf' （ x ）- f （ x ）<<span >0，则使得 f （ x ）>0成立的 x 的取值范围是（ ）。

A. （-∞，-1）∪（0，1）
B. （-1，0）∪（1，+∞）
C. （-∞，-1）∪（-1，0）
D. （0，1）∪（1，+∞）

【189】（2007·陕西·11· ）

f （ x ）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足 xf' （ x ）+ f （ x ）≤0，对任意正数 a ， b ，若 a <<i>b，则必有（ ）。

A. af （ a ）≤ f （ b ）
B. bf （ b ）≤ f （ a ）
C. af （ b ）≤ bf （ a ）
D. bf （ a ）≤ af （ b ）

【190】（2009天津10· ）

设函数 f （ x ）在R上的导函数为 f' （ x ），且2 f （ x ）+ xf' （ x ）> x ² ，下面的不等式在R上恒成立的是（ ）。

A. f （ x ）>0
B. f （ x ）<<span >0
C. f （ x ）> x
D. f （ x ）<<i>x

【191】（2015·福建·10· ）

若定义在R上的函数 f （ x ）满足 f （0）=-1，其导函数 f' （ x ）满足 f' （ x ）> k >1，则下列结论中一定错误的是（ ）。

A.
B.
C.
D.

【192】（2013·辽宁·12· ）

设函数 f （ x ）满足 ，则 x >0时， f （ x ）（ ）。

A. 有极大值，无极小值
B. 有极小值，无极大值
C. 既有极大值又有极小值
D. 既无极大值也无极小值

【193】（2009·上海·11· ）

当0≤ x ≤1时，不等式 成立，则实数 k 的取值范围是__________。

【194】（2005·湖北·9· ）

若 ，则2 x 与3sin x 的大小关系：（ ）。

A. 2 x >3sin x
B. 2 x <<span >3sin x
C. 2 x =3sin x
D. 与 x 的取值有关

【195】（2007·江西·5· ）

若 ，则下列命题中正确的是（ ）。

A.
B.
C.
D.

【196】（2015·福建·12· ）

“对任意 是“ k <<span >1”的（ ）。

A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件

【197】（2012·浙江·10· ）

设 a >0， b >0，e是自然对数的底数，则（ ）。

A. 若e ^a +2 a =e ^b +3 b ，则 a > b
B. 若e ^a +2 a =e ^b +3 b ，则 a <<i>b
C. 若e ^a -2 a =e ^b -3 b ，则 a > b
D. 若e ^a -2 a =e ^b -3 b ，则 a <<i>b

【198】（2012·辽宁·12· ）

若 x ∈[0，+∞），则下列不等式恒成立的是（ ）。

A. e ^x ≤1+ x + x ²
B.
C.
D.

【199】（2014·陕西·10· ）

如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接（相切）。已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为（ ）。

A.
B.
C.
D.

【200】（2011·湖南·8· ）

设直线 x = t 与函数 f （ x ）= x ² ， g （ x ）=ln x 的图像分别交于点 M ， N ，则当| MN |达到最小时 t 的值为（ ）。

A. 1
B.
C.
D.

【201】（2011·江苏·12· ）

在平面直角坐标系 xOy 中，已知 P 是函数 f （ x ）=e ^x （ x >0）的图像上的动点，该图像在 P 处的切线 l 交 y 轴于点 M ，过点 P 作 l 的垂线交 y 轴于点 N ，设线段 MN 的中点的纵坐标为 t ，则 t 的最大值是__________。

【202】（2005·湖北·11· ）

在函数 y = x ³ -8 x 的图像上，其切线的倾斜角小于 的点中，坐标为整数的点的个数是（ ）。

A. 3
B. 2
C. 1
D. 0

【203】（2013·北京·18.1· ）

已知函数 f （ x ）= x ² + x sin x +cos x 。若曲线 y = f （ x ）在点（ a ， f （ a ））处与直线 y = b 相切，求 a 与 b 的值。

【204】（2009·陕西·12· ）

设曲线 y = x ^{n +1} （ n ∈N ⁺ ）在点（1，1）处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 x _n ，则 x ₁ x ₂ … x _n 等于（ ）。

A.
B.
C.
D. 1

【205】（2006·江苏·15· ）

对正整数 n ，设曲线 y = x ⁿ （1- x ）在 x =2处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 a _n ，则数列 的前 n 项和的公式是__________。

【206】（2008·重庆·19.1· ）

设函数 f （ x ）= x ³ + ax ² -9 x -1（ a <<span >0）。若曲线 y = f （ x ）的斜率最小的切线与直线12 x + y =6平行，求： a 的值。

【207】（2015·全国课标二·16· ）

已知曲线 y = x +ln x 在点（1，1）处的切线与曲线 y = ax ² +（ a +2） x +1相切，则 a =__________。

【208】（2009·江西·12· ）

若存在过点（1，0）的直线与曲线 y = x ³ 和 y = 都相切，则 a 等于（ ）。

A.
B.
C.
D.

【209】（2009·湖北·14· ）

已知函数 则 的值为__________。

【210】（2009·安徽·9· ）

已知函数 f （ x ）在R上满足 f （1+ x ）=2 f （1- x ）- x ² +3 x +1，则曲线 y = f （ x ）在点（1， f （1））处的切线方程是（ ）。

A. x - y -2=0
B. x - y =0
C. 3 x + y -2=0
D. 3 x - y -2=0

【211】（2014·安徽·15· ）

若直线 l 与曲线 C 满足下列两个条件：

（1）直线 l 在点 P （ x ₀ ， y ₀ ）处与曲线 C 相切，

（2）曲线 C 在点 P 附近位于直线 l 的两侧，则称直线 l 在点 P 处“切过”曲线 C 。

下列命题正确的是__________（写出所有正确命题的编号）。

①直线 l ： y =0在点 P （0，0）处“切过”曲线 C ： y = x ³ ；

②直线 l ： x =-1在点 P （-1，0）处“切过”曲线 C ： y =（ x +1） ² ；

③直线 l ： y = x 在点 P （0，0）处“切过”曲线 C ： y =sin x ；

④直线 l ： y = x 在点 P （0，0）处“切过”曲线 C ： y =tan x ；

⑤直线 l ： y = x -1在点 P （1，0）处“切过”曲线 C ： y =ln x 。

【212】（2011·课程标准·21· ）

已知函数 ，曲线 y = f （ x ）在点（1， f （1））处的切线方程为 x +2 y -3=0。

（1）求 a ， b 的值；

（2）证明：当 x >0，且 x ≠1时，

【213】（2011·江西·20· ）

设

（1）如果 g （ x ）= f' （ x ）-2 x -3在 x =-2处取得最小值-5，求 f （ x ）的解析式；

（2）如果 m + n <<span >10（ m ， n ∈N ⁺ ）， f （ x ）的单调递减区间的长度是正整数，试求 m 和 n 的值。（注：区间（ a ， b ）的长度为 b - a 。）

【214】（1985·全国·18· ）

已知曲线 y = x ³ -6 x ² +11 x -6。在它对应于 x ∈[0，2]的弧段上求一点 P ，使得曲线在该点的切线在 y 轴上的截距为最小，并求出这个最小值。

【215】（2013·福建·22· ）

已知函数 （ a ∈R，e为自然对数的底数）。

（1）若曲线 y = f （ x ）在点（1， f （1））处的切线平行于 x 轴，求 a 的值；

（2）求函数 f （ x ）的极值；

（3）当 a =1时，若直线 l ： y = kx -1与曲线 y = f （ x ）没有公共点，求 k 的最大值。

【216】（2013·广东·21· ）

设函数 f （ x ）= x ³ - kx ² + x （ k ∈R）。

（1）当 k =1时，求函数 f （ x ）的单调区间；

（2）当 k <<span >0时，求函数 f （ x ）在[ k ，- k ]上的最小值 m 和最大值 M 。

【217】（2014·全国·21· ）

函数 f （ x ）= ax ³ +3 x ² +3 x （ a ≠0）。

（1）讨论函数 f （ x ）的单调性；

（2）若函数 f （ x ）在区间（1，2）内是增函数，求 a 的取值范围。

【218】（2014·江西·18· ）

已知函数 ，其中 a <<span >0。

（1）当 a =-4时，求 f （ x ）的单调递增区间；

（2）若 f （ x ）在区间[1，4]上的最小值为8，求 a 的值。

【219】（2014·福建·20.1、2· ）

已知函数 f （ x ）=e ^x - ax （ a 为常数）的图像与 y 轴交于点 A ，曲线 y = f （ x ）在点 A 处的切线斜率为-1。

（1）求 a 的值及函数 f （ x ）的极值；

（2）证明：当 x >0时， x ² <<span >e ^x 。

【220】（2014·山东·20· ）

设函数 （ k 为常数，e=2.71828…是自然对数的底数）。

（1）当 k ≤0时，求函数 f （ x ）的单调区间；

（2）若函数 f （ x ）在（0，2）内存在两个极值点，求 k 的取值范围。

【221】（2014·山东·20· ）

设函数 ，其中 a 为常数。

（1）若 a =0，求曲线 y = f （ x ）在点（1， f （1））处的切线方程；

（2）讨论函数 f （ x ）的单调性。

【222】（2013·广东·21· ）

设函数 f （ x ）=（ x -1）e ^x - kx ² （其中 k ∈R）。

（1）当 k =1时，求函数 f （ x ）的单调区间；

（2）当 时，求函数 f （ x ）在[0， k ]上的最大值 M 。

【223】（2013·江苏·20· ）

设函数 f （ x ）=ln x - ax ， g （ x ）=e ^x - ax ，其中 a 为实数。

（1）若 f （ x ）在（1，+∞）上是单调减函数，且 g （ x ）在（1，+∞）上有最小值，求 a 的取值范围；

（2）若 g （ x ）在（-1，+∞）上是单调增函数，试求 f （ x ）的零点个数，并证明你的结论。

【224】（2013·天津·20· ）

已知函数 f （ x ）= x ² ln x 。

（1）求函数 f （ x ）的单调区间；

（2）证明：对任意的 t >0，存在唯一的 s ，使 t = f （ s ）；

（3）设（2）中所确定的 s 关于 t 的函数为 s = g （ t ），证明：当 t >e ² 时，有

【225】（2010·全国新课标·21· ）

设函数 f （ x ）=e ^x -1- x - ax ² 。

（1）若 a =0，求 f （ x ）的单调区间；

（2）若当 x ≥0时， f （ x ）≥0，求 a 的取值范围。

【226】（2007·全国一·20· ）

设函数 f （ x ）=e ^x -e ^{- x} 。

（1）证明： f （ x ）的导数 f' （ x ）≥2；

（2）若对所有 x ≥0都有 f （ x ）≥ ax ，求 a 的取值范围。

【227】（2006·全国二·20· ）

设函数 f （ x ）=（ x +1）ln（ x +1）。若对所有的 x ≥0，都有 f （ x ）≥ ax 成立，求实数 a 的取值范围。

【228】（2005·全国二·22· ）

已知 a ≥0，函数 f （ x ）=（ x ² -2 ax ）e ^x 。

（1）当 x 为何值时， f （ x ）取得最小值？证明你的结论。

（2）设 f （ x ）在[-1，1]上是单调函数，求 a 的取值范围。

【229】（2005·全国三·22· ）

已知函数

（1）求 f （ x ）的单调区间和值域；

（2）设 a ≥1，函数 g （ x ）= x ³ -3 a ² x -2 a ， x ∈[0，1]。若对于任意 x ₁ ∈[0，1]，总存在 x ₀ ∈[0，1]，使得 g （ x ₀ ）= f （ x ₁ ）成立，求 a 的取值范围。

【230】（2015·新课标全国二·21· ）

设函数 f （ x ）=e ^mx + x ² - mx 。

（1）证明： f （ x ）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增；

（2）若对于任意 x ₁ ， x ₂ ∈[-1，1]，都有| f （ x ₁ ）- f （ x ₂ ）|≤e-1，求 m 的取值范围。

【231】（2014·新课标全国一·21· ）

设函数 ，曲线 y = f （ x ）在点（1， f （1））处的切线方程为 y =e（ x -1）+2。

（1）求 a ， b ；

（2）证明： f （ x ）>1。

【232】（2013·新课标全国一·21· ）

设函数 f （ x ）= x ² + ax + b ， g （ x ）=e ^x （ cx + d ）。若曲线 y = f （ x ）和曲线 y = g （ x ）都过点 P （0，2），且在点 P 处有相同的切线 y =4 x +2。

（1）求 a ， b ， c ， d 的值；

（2）若 x ≥-2时， f （ x ）≤ kg （ x ），求 k 的取值范围。

【233】（2013·新课标全国二·21· ）

已知函数 f （ x ）=e ^x -ln（ x + m ）。

（1）设 x =0是 f （ x ）的极值点，求 m ，并讨论 f （ x ）的单调性；

（2）当 m ≤2时，证明 f （ x ）>0。

【234】（2011·新课标全国·21· ）

已知函数 ，曲线 y = f （ x ）在点（1， f （1））处的切线方程为 x +2 y -3=0。

（1）求 a ， b 的值；

（2）如果当 x >0，且 x ≠1时， ，求 k 的取值范围。

【235】（2010·全国一·20· ）

已知函数 f （ x ）=（ x +1）ln x - x +1。

（1）若 xf' （ x ）≤ x ² + ax +1，求 a 的取值范围；

（2）证明：（ x -1） f （ x ）≥0。

【236】（2009·全国卷一·22· ）

设函数 f （ x ）= x ³ +3 bx ² +3 cx 有两个极值点 x ₁ ， x ₂ ，且 x ₁ ∈[-1，0]， x ₂ ∈[1，2]。

（1）求 b ， c 满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点（ b ， c ）的区域；

（2）证明：

【237】（2009·全国二·22· ）

设函数 f （ x ）= x ² + a ln（1+ x ）有两个极值点 x ₁ ， x ₂ ，且 x ₁ <<i>x ₂ 。

（1）求 a 的取值范围，并讨论 f （ x ）的单调性；

（2）证明：

【238】（2007·全国二·22· ）

已知函数 f （ x ）= x ³ - x 。

（1）求曲线 y = f （ x ）在点 M （ t ， f （ t ））处的切线方程；

（2）设 a >0，如果过点（ a ， b ）可作曲线 y = f （ x ）的三条切线，证明：- a <<i>b<<i>f（ a ）。

【239】（2014·新课标全国二·21· ）

已知函数 f （ x ）=e ^x -e ^{- x} -2 x 。

（1）讨论 f （ x ）的单调性；

（2）设 g （ x ）= f （2 x ）-4 bf （ x ），当 x >0时， g （ x ）>0，求 b 的最大值；

（3）已知 ，估计ln2的近似值（精确到0.001）。

【240】（2014·湖北·22· ）

π为圆周率，e=2.71828……为自然对数的底数。

（1）求函数 的单调区间；

（2）求e ³ ，3 ^e ，e ^π ，π ^e ，3 ^π ，π ³ 这6个数中的最大数与最小数；

（3）将e ³ ，3 ^e ，e ^π ，π ^e ，3 ^π ，π ³ 这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论。

【241】（2013·全国·22· ）

已知函数

（1）若 x ≥0时 f （ x ）≤0，求 λ 的最小值；

（2）设数列{ a _n }的通项 ，证明：

【242】（2012·新课标全国·21· ）

已知函数 f （ x ）满足 f （ x ）= f' （1）e ^{x -1} - f （0） x +

（1）求 f （ x ）的解析式及单调区间；

（2）若 ，求（ a +1） b 的最大值。

【243】（2010·全国卷二·22· ）

设函数 f （ x ）=1-e ^{- x} 。

（1）证明：当 x >-1时，

（2）设当 x ≥0时， ，求 a 的取值范围。

【244】（2004·全国二·22· ）

已知函数 f （ x ）=ln（1+ x ）- x ， g （ x ）= x ln x 。

（1）求函数 f （ x ）的最大值；

（2）设0<<i>a<<i>b，证明0<<i>g（ a ）+ g （ b ）-

【245】（2015·新课标全国一·21· ）

已知函数

（1）当 a 为何值时， x 轴为曲线 y = f （ x ）的切线；

（2）用min{ m ， n }表示 m ， n 中的最小值，设函数 h （ x ）=min{ f （ x ）， g （ x ）}（ x >0），讨论 h （ x ）零点的个数。