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57岁那年，李善兰被推荐到北京同文馆任天文算学总教习。同文馆是当时中国最高的学馆，天文算学总教习相当于现在的大学数学系系主任。
有一天，两个年青人张国涛与吴林衡自重庆来，受重庆一所学馆的委托，希望能在北京买一些数学方面的书籍带回去。连续半个月，他们找遍了北京大大小小的书店，眼看盘缠所剩无几，却还没有找到所需要的书。
“难道就这样回重庆吗？如果我们空手而归，老师该有多失望啊。”张国涛心有不甘地说。
吴林衡说：“可是找了这么久，还没找到那些书。我们盘缠不多了，不回去又能怎样？”
两人心事重重地睡下了。翻来覆去，都睡不着。
突然，张国涛叫起来：“我想到办法了。”
“你快点说，有什么办法？”
“我听说数学大师李善兰就住在北京同文馆，我们去找他帮忙吧，听说他不仅藏书很多，还乐于教学生。我们正好可以拿不懂的问题去请教他。”
“是个好主意。可是，我们和李大师从未谋面，他会帮助我们吗？”
“我们去试试吧，听说李大师人品高洁，也许他会帮助我们。”
一大早，两个年青人就找到了同文馆。没想到，李善兰非常热情地招待他们。听说了他要找的书目后，马上进入书房，找到了那几本书并送给他们。
两位年青人鼓起勇气，向李善兰请教数学题。李善兰不厌其烦，耐心地为他们讲解，并鼓励他们要“反复钻研，持之以恒”。不知不觉，从中午讲到黄昏。李善兰留两位年青人吃过晚饭后，又拿出几本数学译著，说：“你们年青人喜爱数学，有钻研精神，我看到了国家的希望所在，几本西方数学书籍，我已经译成中文了，你们带回去看吧。你们留下地址，以后有数学书翻译出来，我给你们寄过去。”
李善兰一直将他们送到了火车站。临上车前，他塞给两位年青人一叠钞票。年青人连连推辞，李善兰说：“钱不多，是我的一点心意。你们回重庆，这路上还得花销，收下吧，这是我对后辈的一种鼓励。”
李善兰热爱自己的教学事业，一直到病逝，都没有离开过同文馆的教学岗位。晚年时，虽然体力不济，需人搀扶，却仍然顽强地站在讲台上，风雨无阻为学生传授知识。
1882年的秋天，患上了风湿病的李善兰，身体已经非常虚弱，他在学生的搀扶下走上讲台，当在黑板上画出一幅图形时，他一只手撑在黑板上，一只手艰难作画，未画完，便跌倒在讲台上。学生纷纷涌上讲台，将敬爱的老师扶起来。李善兰示意学生回到座位，拿起尺子，又重新画图。
一节课上完，学生围过来，说：“老师，您歇歇吧，下节课让我们自学。”
李善兰喘着气，说：“我怎么能因为自己的原因而耽误你们宝贵的时间呢，你们别担心，我还撑得住。”李善兰接过学生递过来的水，喝了一口，深吸一口气，振作精神，重新站上讲台。当老师举起尺子时，熊方伯主动走上讲台，接过老师手中的尺子，将图形画在了黑板上。
第二天上课时，李善兰手里拿着一卷画纸，步履艰难地走了进来。一进教室，就将画纸挂在黑板旁。原来，他为了不影响学生的学习，事先将要讲的图形全部画好。学生们深受感动。
几天后，李善兰的身体更加虚弱，卧床不起。熊方伯和几个同学去看望老师，寒冷刺骨的冬天，老师靠在床上，一边擦汗一边艰难地书写《级数勾股》。学生们劝他说：“老师，您休息吧，别写了。”
李善兰摇摇头：“孩子们，我的时间不多了，我得趁有生之年，将我已经想好的内容写出来，不然，知识被我这老头子带到地底下去，多可惜啊。”
学生们听他这么说，泪如雨下。
李善兰笑着安慰他们：“孩子们，别难过啊。生死是自然规律，老师把想干的事尽量干完，就能无牵无挂地找阎王报到去了。”
1882年12月9日，李善兰因误饮药酒离开了人世。他一生无儿无女，却给我们留下了丰富的科学财富。他为近代科学在中国的传播和发展奉献终生，为造就中国近代第一代科学人才做出了杰出的贡献，被称为“中国第一位高等数学教授”。