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素数定理自高斯与勒让德以经验公式的形式提出（详见第3章）以来，许多数学家对此做过研究。其中一个比较重要的结果是由俄国数学家切比雪夫（Pafnuty Chebyshev，1821—1894）做出的。早在1850年，切比雪夫就证明了对于足够大的x，素数分布π（x）与素数定理给出的分布Li（x）之间的相对误差不会超过11%。
注：比这更早一些，切比雪夫还证明了：如果
存在，它必定等于1。切比雪夫的研究对于黎曼的研究及后来人们对素数定理的证明都有影响。
但在黎曼1859年的研究以前，数学家们对素数分布的研究主要局限在实分析手段上。从这个意义上讲，即使撇开具体的结果不论，黎曼建立在复变函数之上的研究仅就其方法而言，也是对素数分布研究的重大突破。这一方法上的突破为素数定理的最终证明铺平了道路。
在第5章的末尾我们曾经提到，黎曼对素数分布的研究之所以没能直接导致素数定理的证明，是因为人们对黎曼ζ函数非平凡零点的分布还知道得太少。那么，为了证明素数定理，我们起码要知道多少有关黎曼ζ函数非平凡零点分布的信息呢？这一问题的答案到了1895年随着曼戈尔特对黎曼论文的深入研究而变得明朗起来。曼戈尔特的研究我们在第5章中已经提到过，正是他证明了黎曼关于J（x）的公式。但曼戈尔特那项研究的价值比仅仅证明黎曼关于J（x）的公式要深远得多。
曼戈尔特在研究中使用了一个比黎曼的J（x）更简单有效的辅助函数Ψ（x），它的定义为
其中Λ（n）被称为曼戈尔特函数（von Mangoldt function），它对于n=p k （p为素数，k为自然数）取值为ln（p）；对于其他n取值为0。应用Ψ（x），曼戈尔特证明了一个本质上与黎曼关于J（x）的公式相等价的公式：
其中有关ρ的求和与黎曼的J（x）中的求和一样，也是先将ρ与1-ρ配对，再依Im（ρ）从小到大的顺序进行。
很明显，曼戈尔特的Ψ（x）表达式比黎曼的J（x）简单多了。时至今日，Ψ（x）在解析数论的研究中差不多已完全取代了黎曼的J（x）。引进Ψ（x）的另一个重大好处是早在几年前，上文提到的切比雪夫就已经证明了素数定理π（x）～Li（x）等价于Ψ（x）～x。为了纪念切比雪夫的贡献，曼戈尔特函数也被称为第二切比雪夫函数（second Chebyshevfunction）。
将这一点与曼戈尔特有关Ψ（x）的那个本质上与黎曼关于J（x）的公式相等价的公式联系在一起，不难看到素数定理成立的条件是
。这一条件启示我们考虑x
ρ
-1在x→∞时趋于零的情形。而要让x
ρ
-1在x→∞时趋于零，Re（ρ）必须小于1。换句话说黎曼ζ函数在直线Re（s）=1上必须没有非平凡零点。这就是我们为证明素数定理而必须知道的有关黎曼ζ函数非平凡零点分布的信息。
由于黎曼ζ函数的非平凡零点是以ρ与1-ρ成对的方式出现的，因此这一信息等价于0＜Re（s）＜1。
读者们大概还记得，在第5章中我们曾经提到过（证明参阅附录A），黎曼ζ函数的所有非平凡零点都位于0≤Re（s）≤1的区域内。因此为了证明素数定理，我们所需知道的有关黎曼ζ函数非平凡零点分布的信息要比我们已知的（也是当时数学家们已知的）略多一些（但仍大大少于黎曼猜想所要求的）。这样，在经过了切比雪夫、黎曼、阿达马和曼戈尔特等人的卓越努力之后，我们离素数定理的证明终于只剩下了最后一小步：即把已知的零点分布规律中那个小小的等号去掉。
这一小步虽也绝非轻而易举，却已难不住在黎曼峰上攀登了三十几个年头，为素数定理完整证明的到来等待了一个世纪的数学家们。曼戈尔特的结果发表后的第二年（即1896年），阿达马与普森就几乎同时独立地给出了对这最后一小步的证明，从而完成了自高斯以来数学界的一个重大心愿。那时斯蒂尔切斯已经去世两年了。
经过素数定理的证明，人们对于黎曼ζ函数非平凡零点分布的了解又推进了一步，那就是证明了黎曼ζ函数的所有非平凡零点都位于复平面上0＜Re（s）＜1的区域内。在黎曼猜想的研究中数学家们把这个区域称为临界带（critical strip）。
素数定理的证明——尤其是以一种与黎曼的论文如此密切相关的方式所实现的证明——让数学界把更多的注意力放到了黎曼猜想上来。四年后（即1900年）的一个夏日，两百多位当时最杰出的数学家会聚到了巴黎，一位38岁的德国数学家走上了讲台，作了一次永载数学史册的伟大演讲。演讲的题目叫做《数学问题》，演讲者的名字叫做希尔伯特（David Hilbert，1862—1943），他恰好来自高斯与黎曼的学术故乡——群星璀璨的哥廷根大学。他是哥廷根数学精神的伟大继承者，一位与高斯及黎曼齐名的数学巨匠。希尔伯特在演讲稿中列出了23个对后世产生深远影响的数学问题，黎曼猜想被列为其中第八个问题的一部分，从此成为整个数学界瞩目的难题之一。
20世纪的数学大幕在希尔伯特的演讲声中徐徐拉开，黎曼猜想也迎来了一段新的百年征程。