6 错钓的大鱼

在黎曼的论文发表之后的最初二三十年时间里，他所开辟的这一领域显得十分冷清，没有出现任何重大进展。如果把黎曼论文的全部内涵比作山峰的话，那么在最初这二三十年时间里，数学家们还只在从山脚往半山腰攀登的路上，只顾着星夜兼程、埋头赶路。那高耸入云的山巅还笼罩在一片浓浓的雾霭之中，正所谓高处不胜寒。但到了1885年，在这场沉闷的登山之旅中却爆出了一段惊人的插曲：有人忽然声称自己已经登顶归来！

这个人叫做斯蒂尔切斯（Thomas Stieltjes，1856—1894），是一位荷兰数学家。1885年，这位当时年方29岁的年轻数学家在巴黎科学院发表了一份简报，声称自己证明了以下结果：

这里的μ（n）是我们在第4章末尾提到过的默比乌斯函数，由它的求和所给出的函数M（N）被称为梅尔滕斯函数（Mertens function）。这个命题看上去倒是“面善”得很：默比乌斯函数μ（n）不过是一个整数函数，其定义虽有些琐碎，却也并不复杂，而梅尔滕斯函数M（N）不过是对μ（n）的求和，证明它按照O（N ^1/2 ）增长似乎不像是一件太困难的事情。但这个其貌不扬的命题事实上却是一个比黎曼猜想更强的结果！换句话说，证明了上述命题就等于证明了黎曼猜想（但反过来则不然，否证了上述命题并不等于否证了黎曼猜想）。因此斯蒂尔切斯的简报意味着声称自己证明了黎曼猜想。

虽然当时黎曼猜想还远没有像今天这么热门，消息传得也远没有像今天这么飞快，但有人证明了黎曼猜想仍是一个非同小可的消息。别的不说，证明了黎曼猜想就意味着证明了素数定理，而后者自高斯等人提出以来折磨数学家们已近一个世纪之久，却仍未得到证明。与在巴黎科学院发表简报几乎同时，斯蒂尔切斯给当时法国数学界的一位重量级人物埃尔米特（Charles Hermite，1822—1901）发去了一封信件，重复了这一声明。但无论在简报还是在信件中斯蒂尔切斯都没有给出证明，他说自己的证明太复杂，需要简化。

换作是在今天，一位年轻数学家开出这样一张空头支票，是很难引起数学界的任何反响的。但是19世纪的情况有所不同，因为当时学术界常有科学家做出成果却不公布（或只公布一个结果）的事，高斯和黎曼都是此道中人。因此像斯蒂尔切斯那样声称自己证明了黎曼猜想，却不给出具体证明，在当时并不算离奇。学术界对之的反应多少有点像现代西方法庭所奉行的无罪推定原则，即在出现相反证据之前倾向于相信声明成立。

但相信归相信，数学当然是离不开证明的，而一个证明要想得到最终的承认，就必须公布细节、接受检验。因此大家就期待着斯蒂尔切斯发表具体的证明，其中期待得最诚心实意的当属接到斯蒂尔切斯来信的埃尔米特。埃尔米特自1882年起就与斯蒂尔切斯保持着通信关系，直至12年后斯蒂尔切斯过早地去世为止。在这期间两人共交换过432封信件。埃尔米特是当时复变函数论的大家之一，他与斯蒂尔切斯的关系堪称数学史上一个比较奇特的现象。斯蒂尔切斯刚与埃尔米特通信时还只是莱顿天文台（Leiden Observatory）的一名助理，而且就连这个助理的职位还是靠了他父亲（斯蒂尔切斯的父亲是荷兰著名的工程师兼国会成员）的关照才获得的。在此之前他在大学里曾三度考试失败。好不容易“拉关系、走后门”进了天文台，斯蒂尔切斯却“身在曹营心在汉”，手上干着天文观测的活，心里惦记的却是数学，并且给埃尔米特写了信。照说当时一无学位、二无名声的斯蒂尔切斯要引起像埃尔米特那样的数学元老的重视是不容易，甚至不太可能的。但埃尔米特是一位虔诚的天主教徒，他恰巧对数学怀有一种奇特的信仰，他相信数学存在是一种超自然的东西，寻常的数学家只是偶尔才有机会了解数学的奥秘。那么，什么样的人能比“寻常的数学家”更有机会了解数学的奥秘呢？埃尔米特凭着自己的神秘主义眼光找到了一位，那就是默默无闻的观星之人斯蒂尔切斯。埃尔米特认为斯蒂尔切斯具有上帝所赐予的窥视数学奥秘的眼光，他对之充满了信任。在他与斯蒂尔切斯的通信中甚至出现过“你总是对的，我总是错的”那样极端的赞许。在这种奇特信仰与19世纪数学氛围的共同影响下，埃尔米特对斯蒂尔切斯的声明深信不疑。

但无论埃尔米特如何催促，斯蒂尔切斯始终没有公布他的完整证明。一转眼5年过去了，埃尔米特对斯蒂尔切斯依然“痴心不改”，他决定向对方“诱之以利”。在埃尔米特的提议下，法国科学院将1890年数学大奖的主题设为“确定小于给定数值的素数个数”。这个主题读者们想必有似曾相识的感觉，是的，它跟我们前面刚刚介绍过的黎曼那篇论文的题目十分相似。事实上，该次大奖的目的就是征集对黎曼那篇论文中提及过却未予证明的某些命题的证明（这一点明确写入了征稿要求之中）。至于那命题本身，则既可以是黎曼猜想，也可以是其他命题，只要其证明有助于“确定小于给定数值的素数个数”即可。在如此灵活的要求下，不仅证明黎曼猜想可以获奖，就是证明比黎曼猜想弱得多的结果——比如素数定理——也可以获奖。在埃尔米特看来，这个数学大奖将毫无悬念地落到斯蒂尔切斯的腰包里，因为即便斯蒂尔切斯对黎曼猜想的证明仍然“太复杂，需要简化”，他依然能通过发表部分结果或较弱的结果而领取大奖。

荷兰数学家斯蒂尔切斯（1856—1894）

可惜直至大奖截止日期终了，斯蒂尔切斯依然毫无动静。

但埃尔米特也并未完全失望，因为他的学生阿达马提交了一篇论文，领走了大奖——肥水总算没有流入外人田。阿达马获奖论文的主要内容正是我们在第5章中提到过的对黎曼论文中辅助函数ξ（s）的连乘积表达式的证明。这一证明虽然不仅不能证明黎曼猜想，甚至离素数定理的证明也还有一段距离，却仍是一个足可获得大奖的进展。几年之后，阿达马再接再厉，终于一举证明了素数定理。埃尔米特放出去的这根长线虽未能如愿钓到斯蒂尔切斯和黎曼猜想，却错钓上了阿达马和素数定理，斩获亦是颇为丰厚（素数定理的证明在当时其实比黎曼猜想的证明更令数学界期待）。

那么斯蒂尔切斯呢？没听过这个名字的读者可能会觉得他是一个浮夸无为的家伙，事实却不然。斯蒂尔切斯在分析与数论的许多方面都做出过重要贡献。他在连分数方面的研究为他赢得了“连分数分析之父”的美誉；挂着他名字的黎曼-斯蒂尔切斯积分（Riemann-Stieltjes integral）更是将他与黎曼的大名联系在了一起（不过两人之间并无实际联系——黎曼去世时斯蒂尔切斯才10岁）。但他那份哈代明信片式的有关黎曼猜想的声明却终究没能为他赢得永久的悬念。现在数学家们普遍认为斯蒂尔切斯所宣称的关于M（N）=O（N ^1/2 ）的证明即便有也是错误的。不仅如此，就连命题M（N）=O（N ^1/2 ）本身的成立也已受到了越来越多的怀疑。