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在第4章中我们看到，素数的分布与黎曼ζ函数之间存在着深刻关联。这一关联的核心就是J（x）的积分表达式。由于黎曼ζ函数具有极为复杂的性质，这一积分同样也是极为复杂的。为了对这一积分做进一步的研究，黎曼引进了一个辅助函数ξ（s）
：
引进这样一个辅助函数有什么好处呢？首先，由式（5-1）定义的辅助函数可以被证明是整函数（entire function），即在复平面上所有s≠∞的点上都解析的函数。这样的函数在性质上要比黎曼ζ函数简单得多，处理起来也容易得多。事实上，在所有非平庸的复变函数中，整函数是解析区域最为宽广的（解析区域比它更大，即包括s=∞的函数只有一种，那就是常数函数）。这是引进ξ（s）的好处之一。
其次，利用这一辅助函数，我们在第2章中提到过的黎曼ζ函数所满足的代数关系式ζ（s）=2Γ（1-s）（2π） s-1 sin（πs/2）ζ（1-s）可以表述为一个对于s与1-s对称的简单形式：
这是引进ξ（s）的好处之二。
此外，从ξ（s）的定义中不难看到，ξ（s）的零点必定是ζ（s）的零点。
另一方面，ζ（s）的零点除了平凡零点s=-2n（n为自然数）由于恰好是Γ（s/2+1）的极点，因而不是ξ（s）的零点外，其余全都是ξ（s）的零点，因此ξ（s）的零点与黎曼ζ函数的非平凡零点相重合。换句话说，ξ（s）将黎曼ζ函数的非平凡零点从全体零点中分离了出来。这是引进ξ（s）的好处之三。
在进一步介绍黎曼的论文之前，让我们先提一下黎曼ζ函数的一个简单性质，即ζ（s）在Re（s）＞1的区域内没有零点（证明参阅附录A）。没有零点当然就更没有非平凡零点，而后者跟ξ（s）的零点是重合的，因此上述性质表明ξ（s）在Re（s）＞1的区域内也没有零点；又由于ξ（s）=ξ（1-s），因此ξ（s）在Re（s）＜0的区域内也没有零点。这表明ξ（s）的所有零点——从而也就是黎曼ζ函数的所有非平凡零点——都位于0≤Re（s）≤1的区域内。由此我们得到了一个有关黎曼ζ函数零点分布的重要结果，那就是：黎曼ζ函数的所有非平凡零点都位于复平面上0≤Re（s）≤1的区域内。这一结果虽然离黎曼猜想要求的所有非平凡零点都位于复平面上Re（s）=1/2的直线上还相距甚远，但起码也算是万里长征的第一步。
好了，现在回到黎曼的论文中来。引进了ξ（s）之后，黎曼便用ξ（s）的零点对lnξ（s）进行了分解：
其中ρ为ξ（s）的零点。（也就是黎曼ζ函数的非平凡零点——这些家伙终于出场了！）分解式中的求和对所有的ρ进行，并且是以先将ρ与1-ρ配对的方式进行的（由于ξ（s）=ξ（1-s），因此零点总是以ρ与1-ρ成对的方式出现的）。这一点很重要，因为上述级数是条件收敛的，但是在将ρ与1-ρ配对之后则是绝对收敛的。这一分解式也可以写成等价的连乘积关系式：
这样的连乘积关系式对于有限多项式来说是显而易见的（只要满足ξ（0）≠0这一条件即可），但对于无穷乘积来说却绝非一目了然，它有赖于ξ（s）是整函数这一事实。其完整证明直到34年后的1893年才由阿达马在对整函数的无穷乘积表达式进行系统研究时给出。阿达马对这一关系式的证明是黎曼的论文发表之后这一领域内第一个重要进展。
很明显，上述级数分解式的收敛与否与ξ（s）的零点分布有着密切的关系。为此黎曼研究了ξ（s）的零点分布，并由此而提出了三个重要命题：
命题一 在0＜Im（s）＜T的区域内，ξ（s）的零点数目约为（T/2π）ln（T/2π）-（T/2π）。
命题二 在0＜Im（s）＜T的区域内，ξ（s）的位于Re（s）=1/2的直线上的零点数目也约为（T/2π）ln（T/2π）-（T/2π）。
命题三 ξ（s）的所有零点都位于Re（s）=1/2的直线上。
在这三个命题之中，第一个命题是证明级数分解式的收敛性所需要用到的（不过黎曼建立在这一命题基础上的说明——如我们在注释中所评述的——因过于简略而不足以构成证明）。对于这个命题黎曼的证明是指出在0＜Im（s）＜T的区域内ξ（s）的零点数目可以由dξ（s）/2πiξ（s）沿矩形区域｛0＜Re（s）＜1，0＜Im（s）＜T｝的边界作围道积分得到。在黎曼看来，这点小小的积分算不上什么，因此他直接写下了结果（即命题一）。黎曼并且给出了该结果的相对误差为1/T。但黎曼显然大大高估了他的读者的水平，因为直到46年后的1905年，他所写下的这一结果才由德国数学家曼戈尔特（Hansvon Mangoldt，1854—1925）所证明（这一结果因此而被称为了黎曼-曼戈尔特公式，它除了补全黎曼论文中的一个小小证明外，也确立了黎曼ζ函数的非平凡零点有无穷多个）。
不过黎曼留给读者们的这点智力挫折与他那第二个命题相比却又是小巫见大巫了。将黎曼的第二个命题与前一个命题相比较可以看出，这第二个命题实际上是表明ξ（s）的几乎所有零点——从而也就是黎曼ζ函数的几乎所有非平凡零点——都位于Re（s）=1/2的直线上。这是一个令人吃惊的命题，因为它比迄今为止——也就是黎曼的论文发表一个半世纪以来——人们在研究黎曼猜想上取得的所有结果都要强得多！而且黎曼在叙述这一命题时所用的语气是完全确定的，这似乎表明，当他写下这一命题时，他认为自己对此已经有了证明。可惜的是，他完全没有提及证明的细节，因此他究竟是怎么证明这一命题的？他的证明究竟是正确的还是错误的？我们就全都无从知晓了。除了1859年的论文外，黎曼还曾在一封信件中提到过这一命题，他说这一命题可以从对ξ函数的一种新的表达式中得到，但他还没有将之简化到可以发表的程度。这就是后人从黎曼留下的片言只语中得到的有关这一命题的全部信息。
黎曼的这三个命题就像是三座渐次升高的山峰，一座比一座巍峨，攀登起来一座比一座困难。他的第一个命题让数学界等待了46年；他的第二个命题已经让数学界等待了超过一个半世纪；而他的第三个命题读者想必都看出来了，正是大名鼎鼎的黎曼猜想！它要让大家等待多久呢？没有人知道。但据说著名的德国数学家希尔伯特（David Hilbert，1862—1943）有一次曾被人问到如果他能在500年后重返人间，他最想问的问题是什么？希尔伯特回答说他最想问的就是：是否已经有人解决了黎曼猜想？
正所谓“山雨欲来风满楼”，一直游刃有余、惯常在谈笑间让定理灰飞烟灭的黎曼到了表述这第三个命题——也就是黎曼猜想——的时候，也终于一改举重若轻的风格，用起了像“非常可能”这样的不确定语气。黎曼并且写道：“我们当然希望对此能有一个严格的证明，但是在经过了一些快速而徒劳的尝试之后，我已经把对这种证明的寻找放在了一边，因为它对于我所研究的直接目标不是必需的。”黎曼把证明放在了一边，整个数学界的心弦却被提了起来，直到今天还提得紧紧的。黎曼猜想的成立与否对于黎曼的“直接目标”——证明lnξ（s）的级数分解式的收敛性——的确不是必需的（因为那只要上述第一个命题就足够了），但对于今天的数学界来说却是至关重要的。粗略的统计表明，在当今的数学文献中已经有超过一千条数学命题或“定理”以黎曼猜想（或其推广形式）的成立作为前提。黎曼猜想的命运与提出这些命题或“定理”的所有数学家们的“直接目标”息息相关，并通过那些命题或“定理”而与数学的许多分支有着千丝万缕的联系。另一方面，黎曼对于黎曼猜想的表述方式也从一个侧面表明黎曼对于自己写下的命题是属于猜测性的还是肯定性的是加以区分的。因此他对于那些没有注明是猜测性的命题——包括迄今无人能够证明的上述第二个命题——应该是有所证明的（尽管由于他省略了证明，我们无从知道那些证明是否正确）。
现在让我们回到对J（x）的计算上来。利用ξ（s）的定义及其分解式，可以将lnζ（s）表示为
对lnζ（s）作这样的分解，目的是为了计算J（x）。但是将这一分解式直接代入J（x）的积分表达式所得到的各个单项积分却并不都收敛，因此黎曼在代入之前先对J（x）作了一次分部积分，由此得到（感兴趣的读者可自行证明）
将lnζ（s）的分解式代入上式，各单项便可分别积出，其结果如表5-1所列。
表5-1 lnζ（s）分解式中的项及其对应的积分结果
在上述结果中，对级数
的积分最为复杂，其结果
是对级数逐项积分的结果。这一结果
是条件收敛的，不仅要如lnξ（s）的级数表达式中一样将ρ与1-ρ进行配对，而且还必须依照Im（ρ）从小到大的顺序求和。黎曼在给出这一结果时承认逐项积分的有效性有赖于对ξ函数的“更严格”的讨论，但他表示这是容易证明的。这一“容易证明”的结果在36年后的1895年被曼戈尔特所证明。另外值得指出的一点是，在黎曼对这一级数的各个单项进行积分时隐含了一个要求，那就是对所有的零点ρ，0＜Re（ρ）＜1，
这比我们在前面提到过的0≤Re（ρ）≤1要强。这一加强看似细微（只不过是将等号排除掉而已），其实却——如我们在后文中将会看到的——是数论中一个非同小可的结果。黎曼在文章中不仅没有对这一结果加以证明，连暗示性的说明也没有，应该被视为他论文的一个漏洞。这一漏洞在曼戈尔特的证明中也同样存在。
不过这一漏洞只是论证方法上的漏洞，是可以弥补的，论证的结果本身并不依赖于0＜Re（ρ）＜1这样的条件。
由上面这些结果黎曼得到了J（x）的显形式：
这一结果，连同第4章给出的π（x）与J（x）的关系式：
便是黎曼所得到的素数分布的完整表达式，也是他1859年论文的主要结果。黎曼的这一结果给出的是素数分布的精确表达式，它的第一项（由J（x）及π（x）的第一项共同给出）正是当时尚未得到证明的素数定理所预言的结果Li（x）。
细心的读者可能会问：黎曼既然已经给出了素数分布的精确表达式，却没能直接证明远比该结果粗糙的素数定理，这是为什么呢？这其中的奥秘就在于黎曼ζ函数的非平凡零点，在于J（x）的表达式中那些与零点有关的项，即
。在J（x）的表达式中，所有其他的项都十分简单，也比较光滑，因此素数分布的细致规律——那些细致的疏密涨落——主要就蕴涵在了这个与黎曼ζ函数的非平凡零点有关的级数之中。如上所述，这个级数是条件收敛的，也就是说它的收敛有赖于参与求和的各项——即来自不同零点的贡献——之间的相互抵消。这些来自不同零点的贡献就像一首盘旋起伏的舞曲，引导着素数的细致分布。而这首舞曲的奔放程度——也就是这些贡献相互抵消的方式和程度——则决定了素数的实际分布与素数定理给出的渐近分布之间的接近程度。所有这一切都定量地取决于黎曼ζ函数非平凡零点的分布。黎曼给出的素数分布的精确表达式之所以没能立即使得对素数定理的直接证明成为可能，原因正是因为当时人们对黎曼ζ函数非平凡零点的分布还知道得太少（事实上当时人们所知道的也就是我们在上面已经提到过的0≤Re（ρ）≤1），无法有效地估计那些来自零点的贡献，从而也就无法有效地估计素数定理与素数实际分布——即黎曼给出的精确表达式——之间的偏差。
那么黎曼ζ函数非平凡零点的分布对素数定理与素数实际分布之间的偏差究竟有什么样的影响呢？在这个问题上数学家们已经取得了一系列结果。素数定理的证明本身就是其中一个，我们将在后文中提及。在素数定理被证明之后，1901年，瑞典数学家科赫（von Koch，1870—1924）进一步证明了（请注意，这正是我们前面提到过的以黎曼猜想的成立为前提的数学命题的一个例子），假如黎曼猜想成立，那么素数定理与素数实际分布之间的绝对偏差为O（x
1/2
lnx）。
另一方面，Li（x
ρ
）的模随x的增加以x
Re（ρ）
/lnx的方式增加，因此任何一对非平凡零点ρ与1-ρ所给出的渐近贡献Li（x
ρ
）+Li（x
1-ρ
）起码是Li（x
1/2
）～x
1/2
/lnx。这一结果暗示素数定理与素数实际分布之间的偏差不可能小于Li（x
1/2
）。事实上，英国数学家利特尔伍德（John Littlewood，1885—1977）曾经证明，素数定理与素数实际分布之间的偏差起码有Li（x
1/2
）lnlnlnx。这与科赫的结果已经非常接近（其主项都是x
1/2
）。因此黎曼猜想的成立意味着素数的分布相对有序；而反过来，假如黎曼猜想不成立，假如黎曼ζ函数的某一对非平凡零点ρ与1-ρ偏离了临界线（即Re（ρ）＞1/2或Re（1-ρ）＞1/2），那么它们所对应的渐近贡献Li（x
ρ
）+Li（x
1-ρ
）的主项就会大于x
1/2
，从而素数定理与素数实际分布之间的偏差就会变大。
因此，对黎曼猜想的研究使数学家们看到了貌似随机的素数分布背后奇异的规律和秩序。这种规律和秩序就体现在黎曼ζ函数非平凡零点的分布之中，它让数学家们目驰神移。