3 素数的分布

一个复数域上的函数——黎曼ζ函数——的非平凡零点平凡零点（在无歧义的情况下我们有时将简称其为零点）的分布怎么会与看似风马牛不相及的自然数（在本书中自然数指正整数）中的素数分布产生关联呢？这还得从所谓的欧拉乘积公式谈起。

我们知道，早在古希腊时期，欧几里得（Euclid）就用精彩的反证法证明了素数有无穷多个。随着数论研究的深入，人们很自然地对素数在自然数集上的分布产生了越来越浓厚的兴趣。1737年，著名瑞士数学家欧拉（Leonhard Euler，1707—1783）在俄国圣彼得堡科学院（St.Petersburg Academy）发表了一个极为重要的公式，为数学家们研究素数分布的规律奠定了基础。这个公式就是欧拉乘积公式，即

这个公式左边的求和对所有的自然数进行，右边的连乘积则对所有的素数进行。可以证明（参阅附录A），这个公式对所有Re（s）＞1的复数s都成立。读者们想必认出来了，这个公式的左边正是我们在上文中介绍过的黎曼ζ函数在Re（s）＞1时的级数表达式，而它的右边则是一个纯粹有关素数（且包含所有素数）的表达式，这样的形式正是黎曼ζ函数与素数分布之间存在关联的征兆。那么这个公式究竟蕴涵着有关素数分布的什么样的信息呢？黎曼ζ函数的零点又是如何出现在这种关联之中的呢？这就是本章及未来几章所要介绍的内容。

瑞士数学家欧拉（1707—1783）

欧拉本人率先对这个公式所蕴含的信息进行了研究。他注意到在s=1的时候，公式的左边是一个发散级数（这是一个著名的发散级数，称为调和级数），这个级数以对数方式发散。这些对于欧拉来说都是不陌生的。为了处理公式右边的连乘积，他对公式两边同时取了对数，于是连乘积就变成了求和，由此他得到

由于式中右端括号中除第一项外所有其他各项的求和都收敛，而且那些求和的结果累加在一起仍然收敛（有兴趣的读者不妨自己证明一下）。因此右边只有第一项的求和是发散的。由此欧拉得到了这样一个有趣的渐近表达式：

或者，更确切地说，

这个结果—— 以lnln（N）的方式发散——是继欧几里得证明素数有无穷多个以来有关素数的又一个重要的研究结果。它同时也是对素数有无穷多个这一命题的一种崭新的证明（因为假如素数只有有限多个，则求和就只有有限多项，不可能发散）。但欧拉的这一新证明所包含的内容要远远多于欧几里得的证明，因为它表明素数不仅有无穷多个，而且其分布要比许多同样也包含无穷多个元素的序列——比如｛n ² ｝序列——密集得多（因为后者的倒数之和收敛）。不仅如此，如果我们进一步注意到式（3-3）的右端可以改写为一个积分表达式：

而通过引进一个素数分布的密度函数ρ（x）——它给出在x附近单位区间内发现素数的几率，式（3-3）左端也可以改写为一个积分表达式：

将这两个积分表达式进行比较，不难猜测到素数的分布密度为ρ（x）～1/lnx，从而在x以内的素数个数——通常用π（x）表示——为

其中是对数积分函数（logarithmic integral function）。这个结果有些读者可能也认出来了，它正是著名的素数定理（prime number theorem）——当然这种粗略的推理并不构成对素数定理的证明。因此欧拉发现的这个结果可以说是一扇通向素数定理的暗门。可惜欧拉本人并没有沿着这样的思路走，从而错过了这扇暗门，数学家们提出素数定理的时间也因此而延后了几十年。

德国数学家高斯（1777—1855）

提出素数定理的荣誉最终落到了另外两位数学家的肩上：他们是德国数学家高斯（Friedrich Gauss，1777—1855）和法国数学家勒让德（Adrien-Marie Legendre，1752—1833）。

高斯对素数分布的研究始于1792到1793年间，那时他才十五岁。在那期间，每当“无所事事”的时候，这位早熟的天才数学家就会挑上几个长度为1000的自然数区间，计算这些区间中的素数个数，并进行比较。在做过了大量的计算和比较之后，高斯发现素数分布的密度可以近似地用对数函数的倒数来描述，即ρ（x）～1/lnx，这正是上面提到的素数定理的主要内容。但是高斯并没有发表这一结果。高斯是一位追求完美的数学家，他很少发表自己认为还不够完美的结果，而他的数学思想与灵感犹如浩瀚奔腾的江水，汹涌激荡，常常让他还没来得及将一个研究结果完美化就又展开了新课题的研究。因此高斯一生所做的数学研究远远多过他正式发表的。但另一方面，高斯常常会通过其他的方式——比如书信——透露自己的某些未发表的研究成果，他的这一做法给一些与他同时代的数学家带来了不小的尴尬。其中“受灾”较重的一位便是勒让德。这位法国数学家在1806年率先发表了线性拟合中的最小平方法，不料高斯在1809年出版的一部著作中提到自己曾在1794年（即比勒让德早了12年）就发现了同样的方法，使勒让德极为不快。

有道是：不是冤家不聚首。在素数定理的提出上，可怜的勒让德又一次不幸地与数学巨匠高斯撞到了一起。勒让德在1798年发表了自己关于素数分布的研究，这是数学史上有关素数定理最早的文献。由于高斯没有发表自己的研究结果，勒让德便理所当然地成为素数定理的提出者。勒让德的这个优先权一共维持了51年。但是到了1849年，高斯在给德国天文学家恩克（Johann Encke，1791—1865）的一封信中提到了自己在1792—1793年间对素数分布的研究，从而把尘封了半个世纪的优先权从勒让德的口袋中勾了出来，挂到了自己那已经鼓鼓囊囊的腰包之上。

幸运的是，高斯给恩克写信的时候勒让德已经去世16年了，他用最无奈的方式避免了再次遭受残酷打击。

无论高斯还是勒让德，他们对于素数分布规律的研究都是以猜测的形式提出的（勒让德的研究带有一定的推理成分，但离证明仍相距甚远）。因此确切地说，素数定理在那时还只是一个猜想，即素数猜想，我们所说的提出素数定理指的也只是提出素数猜想。素数定理的数学证明直到一个世纪之后的1896年，才由法国数学家阿达马（Jacques Hadamard，1865—1963）与比利时数学家普森（Charlesde la Vallée-Poussin，1866—1962）彼此独立地给出。他们的证明与黎曼猜想有着很深的渊源，其中阿达马的证明所出现的时机和场合还有着很大的戏剧性，这些我们将在后文中加以叙述。

素数定理是简洁而优美的，但它对于素数分布的描述仍然是比较粗略的，它给出的只是素数分布的一个渐近形式——小于N的素数个数在N趋于无穷时的分布形式。从有关素数分布与素数定理的图3-1中我们也可以看到，π（x）与Li（x）之间是有偏差的，而且这种偏差的绝对值随着x的增加似有持续增加的趋势（所幸的是，这种偏差的增加与π（x）及Li（x）本身的增加相比仍是微不足道的——否则素数定理也就不成立了）。

那么有没有一个公式可以比素数定理更精确地描述素数的分布呢？这便是黎曼在1859年想要回答的问题。那一年是高斯去世后的第五年，32岁的黎曼继德国数学家狄利克雷（Johann Dirichlet，1805—1859）之后成为高斯在哥廷根大学的继任者。同年的8月11日，他被选为柏林科学院（Berlin Academy）的通信院士（corresponding member）。作为对这一崇高荣誉的回报，黎曼向柏林科学院提交了一篇论文——一篇只有短短八页的论文，标题是：论小于给定数值的素数个数。正是这篇论文将欧拉乘积公式所蕴含的信息破译得淋漓尽致，也正是这篇论文将黎曼ζ函数的零点分布与素数的分布联系在了一起。

图3-1 素数分布与素数定理

这篇论文注定要把人们对素数分布的研究推向壮丽的巅峰，并为后世的数学家们留下一个魅力无穷的伟大谜团。