9 黎曼的手稿

随着数学界对黎曼猜想兴趣的日益增加，这个猜想的难度也日益显露了出来。当越来越多的数学家在高不可测的黎曼猜想面前遭受挫折之后，其中的一些人开始流露出对黎曼1859年论文的一些不满之意。我们在上文提到，黎曼的论文既没有对它所涉及的许多命题给予证明，又没有给出哪怕一个黎曼ζ函数非平凡零点的数值。尽管黎曼在数学界享有崇高的声誉，尽管此前几十年里人们通过对他论文的研究一再证实了他的卓越见解。但在攀登主峰的尝试屡屡遭受挫折，计算零点的努力又举步维艰的情况下，对黎曼的怀疑声音终于还是无可避免地出现了。

于是在承认黎曼的论文为“最杰出及富有成果的论文”之后，我们在第1章中提到过的德国数学家兰道开始表示：“黎曼的公式远不是数论中最重要的东西，他不过是创造了一些在改进之后有可能证明许多其他结果的工具”；于是在为证明黎曼猜想度过了一段“苦日子”之后，上文提到过的英国数学家利特尔伍德开始表示：“假如我们能够坚定地相信这个猜想是错误的，日子会过得更舒适些”；于是就连用黎曼猜想跟上帝耍过计谋的英国数学家哈代也开始认为黎曼有关零点的猜测只不过是个猜测，仅此而已。“仅此而已”的意思就是没别的了——即没有任何计算及证明方面的依据。换句话说，数学家们开始认为黎曼论文中写下来的一切大致也就是他在这一论题上所做过的一切，他那猜想的依据只是直觉，而非证据。

那么黎曼猜想究竟是只凭借直觉呢，还是有着其他的依据？黎曼在那篇言简意赅的论文中写下来的东西究竟是不是他在这方面的全部研究呢？黎曼的论文本身当然不可能为这些问题提供答案。那么答案要到哪里去寻找呢？只能到他的手稿中去寻找。

我们曾经提到过，在黎曼那个时代，许多数学家公开发表的东西往往只是他们所做研究的很小一部分。在这种情况下，他们的手稿及信件就成了科学界极为珍贵的财富。这种珍贵绝不是因为如今人们所习以为常的那种名人用品的庸俗商业价值，而是在于其巨大的学术价值。因为通过它们，人们不仅可以透视那些伟大先辈们的“beautiful mind”（美丽心灵），更可以发掘他们未曾公开过的研究成果，堪称是开挖一座座大大小小的宝藏。

不幸的是，黎曼手稿的很大一部分却在他去世之后被他可恶的管家付之一炬了，只有一小部分被他妻子埃莉斯（Elise）抢救了出来。埃莉斯把那些劫后余生的数学手稿大部分交给了丈夫的生前挚友戴德金（Richard Dedekind，1831—1916）。这是我们在后文中将会提到的一位著名的德国数学家。但是在将手稿交给戴德金之后隔了几年，埃莉斯又后悔了，因为她觉得那些数学手稿中还夹带着一些私人及家庭方面的信息，于是她向戴德金索回了一部分手稿。在这部分手稿中，有许多几乎通篇都是数学，只在其中夹带了极少量的私人信息——比如一位朋友的姓名等，也不幸遭到了索回。这其中对我们来说最关键的乃是一本小册子，那是黎曼1860年春天在巴黎时的记录。那正是他发表有关黎曼猜想的论文之后的几个月。那几个月巴黎的天气十分糟糕，很多时候黎曼都待在住所里研究数学。许多人猜测，在那段时间里黎曼所思考的很可能与他几个月前所研究的黎曼ζ函数及其零点有关联，而那本被埃莉斯索回的小册子中很可能就记录了与黎曼猜想有关的一些想法。可惜那本数学家们非常渴望获得的小册子从此再也没有出现过，直到今天，它的去向依然是一个谜。有人说它曾被德国数学及数学史学家哈根（Erich Bessel-Hagen，1898—1946）获得过，但哈根死于“二战”刚结束后的混乱年月中，他的遗物始终没有被人找到。

那些有幸躲过了管家的火把、又没有被埃莉斯索回的手稿，戴德金将它们留在了哥廷根大学的图书馆里，这就是如今数学家和数学史学家们可以看到的黎曼的全部手稿（Nachlass）。

哥廷根大学图书馆

自黎曼的手稿存放在哥廷根大学图书馆以来，陆续有一些数学家及数学史学家前去研究。但只要想一想黎曼正式发表的有关黎曼猜想的论文尚且如此艰深，就不难想象研读他那些天马行空、诸般论题混杂、满篇公式却几乎没有半点文字说明的手稿该是一件多么困难的事情。许多人满怀希望而来，却又两手空空、黯然失望而去。

黎曼的手稿就像一本高明的密码本，牢牢守护着这位伟大数学家的思维奥秘。

但是到了1932年，终于有一位数学家从那些天书般的手稿中获得了重大的发现！这一发现一举粉碎了那些认为黎曼的论文只有直觉而无证据的猜测，并对黎曼ζ函数非平凡零点的计算方法产生了脱胎换骨般的影响，让在第138个零点附近停滞多年的欧拉-麦克劳林方法相形见绌。这一发现也将它的发现者的名字与伟大的黎曼联系在了一起，从此不朽。

这位破解天书的发现者叫做西格尔（Carl Ludwig Siegel，1896—1981），他是黎曼的同胞——一位德国数学家。