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一个商人不慎将一个重 40 磅的砝码跌落在地面上碎成 4 块，恰巧每块都是整数磅，后来他又意外发现，可以用这 4 块碎片做成可以称 1 到40 磅的任意整数磅的重物的新砝码。请你猜一猜，这 4 块碎片的重量各是多少？
这就是著名的德·梅齐里亚克的砝码问题。这位法国数学家采用“迂回进击”的战术，使问题得到解决。
他是这样演绎的：
首先说明一个结论：如果有一系列砝码，把它们适当地分放在天平的两个托盘上，能称出 1到n的所有整数磅重物（这时这些砝码重量的和也一定为n磅）。另设有一块砝码，它的重量为m磅（m＝2n＋1），那么原来所有的砝码再加砝码m所组成的砝码组便能称出从 1 到 3n＋1 的所有整数磅的重物。
因为，原砝码组可称出重量 1 到n的所有整数磅重物。而原砝码组与重量为m磅的砝码可以秤n＋1 到 2n＋1 磅的所有整数磅重物。
由此可判定这 4 块砝码的重量：
第一块砝码取m 1 ＝ 1 （磅）
第二块砝码取m 2 ＝ 2×1＋1 ＝ 3 （磅）
第三块砝码取m 3 ＝ 2 （1＋3）＋1 ＝ 9 （磅）
第四块砝码取m 4 ＝2 （1＋3＋9）＋1＝27 （磅）
用这 4 块砝码可秤从 1 到（1＋3＋9＋27）＝ 40磅间的任何一个整数磅重物。