第四节
关系推理

一、关系命题

关系命题是断定事物对象之间的关系的命题。例如：

（1）张三和李四是同学。

（2）有些人认识那位司机。

（3）甲和乙是同学。

关系命题在结构上由关系者项、关系项和量项组成。关系者项是表示关系命题中事物对象的概念，如上例（1）中的“张三”和“李四”；关系项是表示关系命题中事物对象之间的关系的概念，如上例（2）中的“认识”；量项是表示关系命题中主项的数量范围的概念，如上例（2）中的“有些”。关系项有二元关系项、三元关系项等，因此，关系命题也可以有二元关系命题、三元关系命题等。这里，我们主要讨论二元关系命题。二元关系有许多性质，我们需要掌握的主要是对称性和传递性。

二、关系的对称性

关系的对称性是指当事物对象a与b具有某种关系R时，b与a是否也具有这种关系R。

1. 如果b与a一定有关系R，则关系R就是对称的。例如，“是同学”、“是朋友”、“等于”、“相邻”、“在……附近”、“离……不远”、“相对立”、“相矛盾”等关系都是对称的。

2. 如果b与a一定没有关系R，则关系R就是反对称的。例如，“大于”、“小于”、“多于”、“早于”、“侵略”、“战胜”、“在……之上”、“是……父亲”等关系都是反对称的。

3. 如果b与a不一定有关系R，则关系R就是非对称的。例如，“喜欢”、“爱”、“认识”、“理解”、“信任”、“帮助”、“赞成”等关系都是非对称的。

三、关系的传递性

关系的传递性是指当事物对象a与b具有某种关系R，并且b与c也具有这种关系R时，a与c是否也有这种关系R。

1. 如果a与c一定有这种关系R，则关系R就是传递的。例如，“大于”、“小于”、“等于”、“早于”、“平行”、“真包含”、“在……以南”等关系都是传递的。

2. 如果a与c一定没有这种关系R，则关系R就是反传递的。例如，“比……年长两岁”、“是……父亲”等关系都是反传递的。

3. 如果a与c不一定有这种关系R，则关系R就是非传递的。例如，“认识”、“喜欢”、“战胜”、“侵略”、“相邻”、“离……不远”、“帮助”、“爱”等关系都是非传递的。

四、关系推理

1. 根据关系是对称的，可以进行对称关系推理。例如，

甲与乙是同学

乙与甲是同学

2. 根据关系是反对称的，可以进行反对称关系推理。例如，

甲是乙的父亲

乙不是甲的父亲

3. 根据关系是传递的，可以进行传递关系推理。例如，

甲比乙的年龄大

乙比丙的年龄大

甲比丙的年龄大

4. 根据关系是反传递的，可以进行反传递关系推理。例如，

甲是乙的父亲

乙是丙的父亲

甲不是丙的父亲

案例1.4.1

甲和乙任何一人都比丙、丁高。

如果上述为真，再加上以下哪项，可得出“戊比丁高”的结论？

A. 戊比甲矮

B. 乙比甲高

C. 乙比甲矮

D. 戊比丙高

E. 戊比乙高

解析 正确选项是E。由题干可以知道，甲比丙高、甲比丁高、乙比丙高、乙比丁高，如果要推出“戊比丁高”的结论，需要增加“戊比甲高”或“戊比乙高”作为前提。显然，选项E“戊比乙高”正好可以与题干中的“乙比丁高”进行传递关系推理，从而得出结论“戊比丁高”。

案例1.4.2

某学术会议正举行分组会议。某一组有八个人出席。分组会议主席问大家原来各自认识与否。结果是全组中仅有一个人认识小组中的三个人，有三个人认识小组中的两个人，有四个人认识小组中的一个人。

若以上统计属实，则最能得出以下哪项结论？

A. 会议主席认识小组中的人最多

B. 此类学术会议是第一次举行，大家都是生面孔

C. 有些成员所说的认识可能仅是电视上或报告会上见过而已

D. 虽然会议成员原来的熟人不多，但原来认识的都是至交

E. 通过这次会议，小组成员都相互认识了，以后见面就能直呼其名了

解析 正确选项是C。“认识”是一种非对称性关系，当甲认识乙时，乙却不一定认识甲。题干中表明的认识关系总共有：1×3+3×2+4×1=13。为单数，所以，至少有一种认识关系仅仅是单方面的。

案例1.4.3

在某大学的某届校友会中，有10个会员是湖南籍的。毕业数年后这10个同学欢聚一堂，发现他们之间没有人给3个以上的同乡会员写过信，给3个同乡会员写过信的人只有1人，仅给2个同乡会员写过信的有3人，仅给1个同乡会员写过信的有6人，有一个会员收到了4个同乡会员的来信。

如果上述断定为真，以下各项关于这10个会员之间通信的断定中，哪项一定为真？

Ⅰ. 每人都给其他同乡会员写过信

Ⅱ. 每人都收到其他同乡会员的来信

Ⅲ. 至少有一个会员没给所收到的每封来信回信

A. 仅仅Ⅰ

B. 仅仅Ⅱ

C. 仅仅Ⅲ

D. 仅仅Ⅰ和Ⅲ

E. Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ

解析 正确选项是D。“写信”是一种非对称性关系，你给别人写信，别人却不一定给你写信。根据题干可知，有1人给3个同乡会员写过信，有3人分别给2个同乡会员写过信，有6人各自给1个同乡会员写过信。这样，共有10人给同乡会员写过信，他们总共写了3+6+6=15封信。所以，选项Ⅰ一定为真。选项Ⅲ也一定是真的，因为10个同乡会员总共写了15封信，为单数，所以，至少有一个会员没给所收到的每封来信回信。Ⅱ不一定真，因为假如有1人收到4封信，又有2人各收到3封信时，则其他7人就只能收到5封信，这样，未必每人都能收到来信。

案例1.4.4

某大学举办围棋比赛。在进行第一轮淘汰赛后，进入第二轮的6位棋手实力相当，不过，还是可以分出高下。在已经进行的两轮比赛中，棋手甲战胜了棋手乙，棋手乙战胜了棋手丙。明天，棋手甲和丙将进行比赛。

请根据题干，从逻辑上预测比赛结果。

A. 棋手甲肯定会赢

B. 棋手丙肯定会赢

C. 两人将战成平局

D. 棋手甲很可能赢，但也有可能输

解析 正确选项是D。注意，“战胜”是一种非传递性关系。 7W0uwkRmAvqe4nFkfyLLTr1mZ549nVzskpXzO6MetFtETjYeKUEhyEO5fIMsqbh4