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探索的动机
科学的范围广阔，各种各样的人都能容纳。至于他们来到科学这片领域的动机，则各有不同。很多人是因为从科学中得到了智力的发展，感受到难以言喻的快乐，因而爱好科学。对他们而言，快乐的源泉就在科学研究的过程之中。他们生机勃发的雄心和奋发努力的斗志都能在这里找到，并获得满足。当然也有些动机不这么纯粹的人，他们完全是为了满足功利心才选择了科学研究。为了功名利禄，他们宁愿将自己的脑力成果献祭给科学。如果上帝派来一位天使，带走上述这两类人，科学领域瞬间就会荒芜许多。可是，不管是在古代还是在现代，总有些人是不会离开的。在留下的人中，有一位就是普朗克，我们因此爱戴并尊敬他。
当然我很明白，刚才假设被带走的那些人中，有很多卓绝而杰出的人才，他们为建设科学殿堂起到了巨大作用，为科学的发展付出了卓绝的努力，所以，天使在执行此项任务的时候，也会非常为难。反向而言，我敢说：若是科学界只存在刚才被带走的那两类人，那么，就像蔓草和藤萝永远无法构成森林，科学的殿堂也永远无法搭建起来。怎么这么说呢？因为他们对职业并无特定选择，在人类活动的范围之内，他们会去干任何有机会干的工作，到底最后是成了工程师、商人、官员，抑或是科学家，无关乎他们本身的选择，而是由环境决定的。
那些被天使留下来的人，是我们接下来要谈论的。一般而言，他们性格乖僻，喜欢孤独，平日里总是沉默寡言，另外，他们还各有特质。而那些被带走的人，则缺乏独特的个性。到底是科学的什么东西吸引了他们呢？此非一句两语所能道断。叔本华就曾说，很多人之所以对艺术和科学心怀向往，是因为他们觉得日常生活沉闷而粗俗，使之感到绝望、厌恶，他们想要摆脱反复无常的欲望，因而想要从日常生活中逃离。一个人若有修养，对自己的生活就总也不会满足，想要解脱，希望抵达由思维和客观构建的世界中。这就好像城里人希望能生活在幽静的山中一样，因为城市生活的拥挤喧嚣让他们身心俱疲，他们要想享受到纯净、清新的空气，要想在宁静安闲中沉醉，要想放任思维的流淌，就只能到高山幽谷中寻觅。
这确实是一种较为消极的动机，可是还有一种动机是积极向上的。人们总是觉得现实世界太过复杂，想要找到一种最为简单、恰当而容易理解的方法对世界重新进行描述。所以，这些人就努力将已有的经验世界代之以自己所满意的那种有序图景。画家、诗人、哲学家和自然科学家都属于这类人。他们各自在自己心里描画了一幅未来世界的图景，并以此作为其感情的支点，对世界图景展开描绘，借此追寻那已然失去的稳定与安宁。
那么，理论物理学家构造了什么样的世界图景呢？各自的位置是怎样的呢？这就要求他们必须尽可能标准、精确地进行描述，换而言之，能胜任此项工作的唯有数学语言。另外，物理学家在描绘时必须限定于已有世界的最简单的东西，而不能对主题稍有偏离。为了完成对复杂事件的描述，理论物理学家必须做到逻辑缜密、论述精确。当然，这不能超出人类的一般智力能力。因为必须做到高度的明晰、纯粹而准确，所以对于完整性就要有所牺牲。人们要是觉得害怕和畏缩，从而将那些变幻莫测的复杂事物抛弃掉，那么吸引我们去探索自然界奥秘的还剩下什么呢？而宇宙理论，难道只有这种对极渺小事物的研究吗？
我觉得，这么看是完全可以的。因为，理论物理学既然要建构出基础的普遍定律，那么，对一切自然现象就都应该能适用。利用这些规律，运用简单而单纯的演绎方法，就可以轻易地对各种自然过程（包括生命奥秘）加以描述。换而言之，人类的能力和智慧完全可以通过此过程而获得这些结果。所以，世界体系的完整性若是没有出现在物理学家研究的范围之内，也并不能由此认为他们犯下了什么原则性错误。
物理学家既然将自己的最高使命定位于推导出普遍的基本定律，那么，也就有可能用单纯演绎法建立起整个世界体系了。要想找到一条逻辑性很强的、固定的道路来得出这些定律，可能性实在太小。一个物理学家只要有经验，并能深入地理解这些经验，就一定能够凭借直觉获得这些定律。我们要用假定的方法来应付不确定性的存在：我们可以先假设，很多已经成立的理论物理体系本来就存在着，然后我们再对这些体系进行验证。从这些年来物理学的发展中我们可以得知，在某个时期，一切能够想象到的定律中，总存在着一个是最合适的。一个人只要在这方面有所见识，都会明白，现实世界是唯一决定理论体系能否成立的依据，当然不一定有逻辑关系存在于理论原理和现实之间，可我们必须承认上面这个观点。莱布尼茨所说的“先定和谐原理”就是这个。对于这个事实，认识论学者和物理学家各有看法，后者觉得前者对这种事实的重视不够。针对这一事实，马赫与普朗克在几年前还进行了一场大论战。
为了找到这种“先定和谐”，人们就有了强大的耐心和毅力，普朗克就是如此。他孜孜不倦地研究着这门科学的最基础性的问题，却一点也不看重那些很容易解决，并让人身心愉悦的目标。有的同行并非如此理解，他们觉得普朗克本身的意志力和修养决定了他的这种行事风格，我认为他们没有理解普朗克。我觉得，为了自己的事业，一个人能够这样地付出，一定是不自觉的，就如同那些热恋中的人或虔诚的教徒一般。他们不需要深思熟虑，不需要做什么特别的计划，每天都充满热情地投入其中，这是一种伟大的激情。普朗克先生现在就在这儿坐着，我对他的这些看法他都听在耳中，我猜想他在暗暗发笑，觉得我正提着第欧根尼的灯笼在胡闹，如同一个孩子一般。事实上，我们根本无需强调对于他的爱戴和敬仰，一切都摆在那里。让我们共同祝福他，愿他在科学的道路上能步入新的天地，愿他能解决当前物理学中的更多问题。当然，这些问题中有很多就是他自己提出来的，并且他已经为此付出了艰苦的努力。祝愿他，可以完整地统一电动力学、力学和量子论，以找出一种更为实用而简易的理论。
以太理论和相对论
物理学家已经将一个有实际重量的物质观念建立了起来，可是他们为什么还要建立“以太”这样一个概念呢？这是出于波动论和超距作用的需要。下面我们就来讨论一下这两个问题。
超距作用是物理界的局外人很难理解的。因为在我们的日常经验中，两个物体之间的互相作用基本都是通过直接接触产生的，诸如挤压、拉动、碰撞，或者加热、燃烧等等，此外物体间就没有别的作用了。事实并非如此，超距作用力的典型例子就是重力，从日常的经验中就可以证实这一点。可是重力似乎无论在何时何地都是一种不变量，跟其他事件毫无关系，它太常见，因而我们习焉不察，所以这种超距作用力我们也就很难认知。直到万有引力被牛顿所发现，他还揭示出万有引力定律，用物质间的超距作用力来解释这种引力，这时，这种力的作用才被人们注意到。虽然很多自然现象都能通过牛顿的这个发现及其理论加以解释，物理学也因此产生划时代的进步，可同时代人还是对他有所质疑，因为当时已经证明的理论与之格格不入，大家早已形成这样的共识：力的产生必须通过接触，超距作用力没有媒介，因而不可能产生。
牛顿的观点逐渐被求知欲旺盛的人们所接受，可是超距作用力和自然力概念不一致性的问题，应该如何解决呢？首先，我们能够假设，接触力同样是超距作用力的一种，只不过它产生于极微小的距离中，并且能够被觉察到。牛顿的继任者们因为太过痴迷于牛顿，毫无疑问地全盘接受他的学说和理论，因而大都是沿着这条思路探索的。其次，假设牛顿的超距作用力无需任何传播媒介，是一种虚构的力，问题同样可以解决。其实问题要复杂得多，实际上无论是由于这种媒介的运动，还是由于它的弹性变形的作用结果，这种力还是需要媒质传递的。所以，人们只好想象空间中充满了一种叫做“以太”的物质，以此对这个力的过程进行统一解释。以太假说并未推动物理学和引力理论的任何发展，反倒让人们开始迷信于牛顿，认为他的引力定律是能涵盖一切的。所以，物理学家的思想开始被虚构的以太所俘获，以太对物理学产生了重要的影响，即便仅仅是在开始阶段产生了潜在的影响。
人们在19世纪上半叶注意到，实际物质的弹性波性质与光的性质有着很多的相似性，这个事实似乎更有力地证实了以太假说。这种充满宇宙空间、具有弹性的惰性媒质的震动过程，完全可以利用光的性质进行解释。光具有偏振性，所以以太也应该具有偏振性，而且因为流体不可能产生横波，所以以太还必须是一种固体。于是，“光以太理论”就这样产生了。这种理论认为，光以太的各部分之间除了因传递而发生的微小变形之外，基本都是固定不变的。
也有人用“静态光以太理论”称呼这种理论。此外，那个被当作狭义相对论基础的斐索实验，也强有力地支持这一理论。人们从此实验中获得了这样的结论：在物体的运动中，并没有光以太的直接参与。同样有力地支持着以太理论的，还有光行差现象。
向前发展的道路被麦克斯韦和洛伦兹给电学理论指引出来，以太观念于是出现了一个最意料不到的转变。麦克斯韦认为，从根本上说，以太依旧是一种有着纯粹机械性质的实体，虽然以太的机械性质的复杂性远远高于固体的性质。很遗憾，麦克斯韦和他的继任者都未能将以太机械模型做出来，所以，一种更令人信服的力学解释就未能在麦克斯韦的电磁场定律中出现。这样的观念渐渐地为人们所接受——和力学基本概念一样，磁场强度、电场强度等都是物理学的基本概念，而对它们的力学解释也就不再强求了。然后，人们渐渐放弃了纯粹机械的自然观。出乎所有人的意料，另一种可怕的二元论却诞生于这个变化。人们为了寻求解决之道，又反向而行，即让力学的基本概念统一于电学的基本概念。那时所进行的高速阴极射线方面的实验，以及B射线的发现，也在一定程度上影响了牛顿的经典力学方程。
H.赫兹认为，和速度、动能、机械压力的载体一样，电磁场的载体也是物质。他认为，这种场存在于真空，也就是自由的以太之中，因此，电磁场的载体就是以太，以太跟有重力的物质没有区别。……
就在这种情况下，H.A.洛伦兹发表了他的见解。通过巧妙地简化基础理论，他使经验和理论得以完美地结合在一起，彼此的关系极为和谐。虽然他将物质的电磁性质和以太的力学性质取消了，电学上的重大突破却出现了，在麦克斯韦之后，这是电学发展史上最为重要的发展。
实际上，原子论者对物体内部的猜测是错误的，电磁场的基体是一个充满了以太的空间，而非他们想象中的物质。洛伦兹认为，物质的基本粒子之所以能产生一系列的电磁效应，是因为自身带有电荷，而且它们仅能做些简单的机械运动。由此，洛伦兹巧妙地运用麦克斯韦真空方程，将一切电磁现象合理而成功地揭示了出来。
如此一来，也许就有人打趣说，洛伦兹提出了以太力学物质，可是对于这一物质唯一的定性描述，就是它在力学上的不动性。还有一点需要补充的是，就是因为以太最后的力学性质——不动性被狭义相对论取消了，人们才用全新的眼光看待以太的概念。可是，为了能正确地理解这句话的含义，要及时地对之进行解释说明。
虽然麦克斯韦一洛伦兹的电磁场理论为狭义相对论的运动学和时空理论提供了一个相关的初步形态，并且狭义相对论的一切要求它都能符合，然而换个角度来说，它的另一面却因狭义相对论而得到发展。比如说，假定有这样一个坐标系R，若对于R而言，洛伦兹以太处于静止状态，那么，第一个对此坐标起作用的就必定是麦克斯韦一洛伦兹方程。可是，根据狭义相对论，若有任意一个新坐标系R1，它只要跟坐标系R处在相对匀速直线运动状态之下，这些方程就同样满足这个新的坐标系。于是，让人不安的情况就出现了：既然就物理角度而言R与R1是等效的，那么我为什么会在狭义相对论中使用这个以太对R是静止的假设条件，以突显坐标系R呢？理论家无法容忍的在于：理论结构呈现不对称状态，而此不对称又对称于一个毫无经验的体系所呈现的不对称性。可是，我觉得，在对于R以太处于静止状态，而对于R1以太处于运动状态这个假设条件之下，在物理上R和R1完全等效。从逻辑上来说，就算这个结论并非绝对错误，也是没法接受的。
在此情况之下，人们最容易接受的观点，就是以太压根儿就是完全不存在的。人们会觉得电磁场就像是重物质的原子，是独立存在的实质，而并非一种媒介，也不是任何别的东西，不会在任何载体上附着。有了洛伦兹的理论，这种解释看上去是那么自然。并且，根据狭义相对论，在重物质丧失了自身特性，以一种特殊形式显现其能量的时候，能量分配的特殊形式就展现为物质和辐射，所以，电磁辐射和重物质一样，也具有冲量和能量。
可是，以太之不存在，是经过极为精准的实验而得出的结论，无需通过狭义相对论来论证。我们也可以假设以太是存在的，只要抛弃它有固定的运动模式这一观点。换而言之，就是从以太的身上删除洛伦兹所认定的力学特征。我们将发现，这种观点已经得到广义相对论的证实。为了能更形象清楚地想象这种观点，我想用对比的方法加以说明，虽然这个对比也许不怎么恰当。
想象一下水面上的波纹。通过这个过程，可以分别阐释两种不同的事物。首先，水和空气的波纹界面是怎样的我们能够看到，同时，它们随时变化的情况我们也能够跟踪记录。当然，借助别的介质也行，比如借助一些微小的漂浮物，将水分子在不同时间所处的位置记录下来。如果没法借助这些微小的漂浮物对水分子的运动变化进行测量，如果过程中能够观察到的只有液体空间位置的变化，哪怕在这种情况下我们不能建立“水是由无数运动分子构成的”这样一个假设，我们还是能够将水称作媒介。
电磁场的情况跟上面说的差不多。假设电磁场是由无数根力线组成的，要是对这种力线加以某种实在的物质解释，那么我们就能够跟踪记录下每条力线在不同时间的变化，这样，就能用动力学的过程来看待通过力线的某种运动。可是，这样会产生矛盾，这一点我们每个人都清楚。
因此，简单来说，我们要明白，并非任意的运动理论对于一切物理客体都适用。换而言之，我们能够假设，对于有些有着延展性的物理客体，我们没办法将之视为由粒子组成的物质，即某种能够长时间跟踪并观察其粒子变化的物质，因而它们跟任何运动理论都格格不入。明可夫斯基对此解释道：在四维空间里面，并非所有具有广延性的实体都拥有世界线。事实上，以太假说和狭义相对论两者本身并不相互矛盾，只是根据狭义相对论，对于“以太的组成物就是那些能够随时追踪的粒子”这个假设，我们无法得出。所以，我们只要不将一种运动状态强加给以太就行了。
实际上，从狭义相对论的角度而言，以太假说一点用处都没有。因为出现在电磁场方程中的只有线场的强度和电荷密度。看起来，似乎电磁过程在真空中的进程只由那个内在的定律决定，而不受其他物理量的影响。当电磁场以一种实在的、确定的、独立的形式出现的时候，若以太再次作为一种各向均匀、同性的介质出现，那么将以太存在的状态认定是电磁场就是必须的，而这样不符合物理学的简洁之美。
可是，以太假说也能从中获得另一个有力支持。我们要是否认以太的存在，就意味着必须承认没有任何物理性质存在于空虚空间。力学的基本客观事实显然和这种观点矛盾。决定一个在空虚空间中自由漂浮的物质体系的力学行为要素，除了相对速度和相对距离，还有其自身的运动状态，也就是它的转动状态。就物理的角度而言，这种转动状态必须被理解成其自身的特征之一。牛顿就是为了将此转动从形式上看成一种具体的存在，所以才将空间看作是客观存在的。他认为，相对于绝对空间的转动一定是客观存在的事物，因为绝对空间就是客观存在的事物。同样，牛顿也能用“以太”来命名自己的绝对空间。只不过，问题的本质在于，是为了将这种转动和加速度都视为一种客观存在，因此才将可视以及不可视的东西都看成是某种客观事物。
此类尝试马赫就曾做过。为了对有某种无法察觉的客观事物存在必要性的假设加以避免，他以力学为基础，将绝对空间加速度的替代值定为世界上所有运动事物的平均加速度。然而，一定的惯性阻力存在于所有远距离物体的相对加速度中，因此，超远距离的直接作用的存在就是必须要作出的假设前提。可是，现代物理学家是不会作出这样的假设的，因为以太能够作为惯性作用的媒介，所以这种情况就使得我们不得不再次回到以太上。可是，比之于牛顿、菲涅尔、洛伦兹等在这个问题上提出的相关理论、概念，马赫在此问题上的思维模式和以太概念与之有着本质的区别。除了马赫所说的以太概念，惯性物体的状态同样影响着惯性物体的行为。
马赫观点的充分扩展在隶属于广义相对论的以太理论中得到了实现。按照这个理论，时空点若是分开的，它附近的时空连续区内的度规应该各有差别，且该区域之外的其他实际物质也跟此两者有着密不可分的关系。如果有一定的关系存在于量杆和时钟之间，且它们在同一个空间内存在，也就是时间上有所变异，即通常我们所谓的“空虚空间”，它在物理关系上既不存在各向同性，它不均匀，所以，我们就要用一个函数（引力势gμV）来描述空虚空间的状态，于是，对于物理上空虚的说法就必须要改变。这样，以太就具备了确定的内容，它不同于光的机械波动说。在广义相对论里面，以太本身没有力学和运动学上的一切性质，它首先是作为一种媒质存在的，然而它却深刻地影响了电磁学和力学。
这种新型广义相对论的以太理论在原则上与洛伦兹以太理论的矛盾之处在于：对每一点广义相对论以太状态起决定性作用的，是它与物质的关系，以及它与周边相邻各点以太状态的关系。可以通过一些定律，用微分方程的形式来表示这种关系。可是，若是不存在电磁场，洛伦兹以太中的各点以太都有着相同的状态，而且它自身以外的一切东西都无法影响到它。假若我们把决定以太状态的所有原因全都抛开，用常数来代替描述广义相对论以太的各个函数，那么，我们就能将广义相对论以太理论在这种想象中转化成洛伦兹以太理论。因此，有人说广义相对论以太理论就是洛伦兹以太理论和相对论的相加，这种说法是有一定道理的。
迄今为止，我们清楚，这种新型以太必然会在未来物理学的世界图像中产生自己的影响。只是到底是怎样的影响，我们还没弄明白。我们认识到，它能够在空间—时间连续区里面确定度规关系。比如说，关于固体的引力场以及可能出现的各种排列方式都能够确定。我们了解到，带电的基本粒子构成了物质。然而，在这种基本的粒子结构当中它的角色到底是怎样的，是否成为其重要组成部分，我们还不清楚；是否只有在位于重物质附近的时候，它的结构才会和洛伦兹以太的结构不同，我们也不了解。此外，我们同样无法了解到，关于宇宙范围的空间几何是不是十分相似于欧几里得的几何。
然而，我们可以从相对论中的引力方程得知，即便有一个极小物质的正的平均密度存在于宇宙中，宇宙数量级空间的性状和欧几里得几何也必然因此而有所偏离。一般来说，宇宙在这种情况下的状态肯定是封闭的，并且其大小也有一定的限制。而就是那个物质平均密度的具体数值，决定了宇宙大小。
我们如果从以太假说的观点进入，对电磁场和引力场进行考察，那么，这里就存在着一个我们必须特别注意的原则性差异。一切空间和一切空间的一切部分，都存在着引力势。这是因为，是这些引力势造成了空间的度规，对于没有轨度的空间，我们没法想象。引力场和空间的存在直接连接在一起，是密不可分的。反之，某部分空间中不存在电磁场的样子，我们则能够想象。因此我们能够看出，电磁场和引力场恰好相反，好像只是间接地联系着以太。这是由于，决定电磁场的性质和形式的根本因素，并非引力以太。就现有的理论程度而言，电磁场的基础好像跟引力场完全不同，而是一种全新的形式，自然界似乎将一种和以太场完全不同的场赐予了它，比如标示的某种场同样会合适。
既然就我们目前的观点而言，构成物质的基本粒子在本质上是电磁场的聚变而不是别的物质。那么，我们就必须承认，在当下的世界图像中客观存在着电磁场和引力场，即使此二者在因果关系上相互联系，然而各自却有着完全独立的概念。也许，人们能直接称呼它们为——物质和空间。
若是合并电磁场和引力场，使之构成一个完整的实体，就绝对是物理学的极大进步。那时，麦克斯韦和法拉第所开创的理论物理学新路途，将会结出丰硕的果实。那时，以太和物质的这种对立关系将慢慢被消除。在广义相对论的帮助下，物理学会达到跟几何学、运动学、引力理论相类似的程度，从而形成一个极为完备的思想体系。数学家H.维尔在此方向上的研究令人瞩目，可是我觉得，他的理论未必能经受得住现实的检验。并且，我们必须考虑到场论会因为量子论解释的事实而产生一定的界限，而以后人们都无法跨越这种界限，这一点关涉到那就要到来的理论物理学的未来。
这样一个总结于是便呼之欲出：依据广义相对论，空间具备了物理性质。所以，在某种意义上，以太确实存在。从广义相对论的角度而言，我们无法想象一个不存在以太的空间。在此空间中，光线不能传播，量杆和时钟都无法存在，而物理意义上的空间和时间的区别就更不用说了。然而，不能将那些重媒质的特性强加到这样的以太身上，也不要觉得是那些可以随时跟踪的粒子构成了以太，以太超出于运动概念之外。
关于相对论
能到这么一个伟大的地方来发表演讲，我觉得非常高兴。此时我非常荣幸能够身处这样一个伟大国家的首都，要知道，这个国家产生了很多理论物理学的基本观念。此时此刻，我想到了牛顿以及他所发现的运动定律和引力理论；我还想到了将物理学和电磁场融合到了一起的麦克斯韦与法拉第。我们甚至可以说，相对论仅仅是完成了麦克斯韦和洛伦兹的伟大计划。因为他们不但努力用物理学包容引力，更努力地将世间的一切现象包容到物理学中来。
我想，有这么一个关于相对论的误区是大家需要注意的：我们所做的实验和观察到的事实构成了一切物理学的理论来源，因而相对论概念也并非来自几个人的空想或者思辨。我们只是继承了传统的研究方法，而并不是凭空创造。站在观察的基础之上，我们才给出了有关运动、时间和空间的最基本概念，这些概念绝非随意捏造，所以也就不能放弃。
电动力学和光学已经证实了光速在真空中不变这条定律，而迈克尔孙也已经用一种极为精妙的实验证明了狭义相对性原理：一切惯性系的等效性。融合这两点，首先要做的便是破除“绝对时间”的观念，每一惯性系都有着各自特殊的、不同的时间。顺着这种观念往下思考、探索，我们就会发现，坐标和时间这两者与直接经验有着怎样的关系，而人们从未认真地钻研过这种关系。观察到的事实和基本概念之间的关系是怎样的？相对论的一个主要特点，便是竭尽全力地对这种关系进行探索。有一个物理上的基本原则是在此过程中必须遵循的，即一个基本概念是否正确，决定于人们能否正确理解产生它的那些物理现象和实验。根据狭义相对论，若是用静止的时钟和物体对时间和空间坐标进行度量，那它们就是绝对的而非相对的。而度量的标准若是根据其所选择的惯性系的运动状态，它们就是相对的。
时间与空间构成了一个四维连续区（明可夫斯基），若是依据狭义相对论，此四维连续区就具有绝对性。可若依照以前的那些理论而不从狭义相对论的角度来看，这种绝对性又分为时间的绝对性和空间的绝对性，其绝对性不是统一的。因为在这种思想中，时间和坐标是作为度量的结果而存在的，于是，物体形状和时钟运行受到运动（相对于坐标系）影响的结论就出现了，能量和惯性质量之间相对存在的结论也就出现了。
以前的力学知识无法解释，为什么物体的惯性质量等同于引力质量数值，而这一事实就是广义相对论创立的基础。然而若是将相对性原理加入这两者相对加速的坐标系之中，就可以解释这个事实了。若是引入一个相对于惯性系加速的坐标系，那么，一个相对于惯性系的引力场就会出现。于是，一种引力场理论从广义相对论中出现了。在此处，惯性和质量相等这一事实是广义相对论的基础。
若是将两个坐标系看成是同样的坐标系，而忽略它们的相对加速，再根据狭义相对论，这样一个结论就出现了：若是存在着引力场，那么，欧几里得的几何定律就无法规定固体在空间中排列所遵循的定律。与此类似的结果也可由时钟运动获得。我们原先以为能用量杆和时钟来度量空间和时间，可现在这种说法已经不具有解释力，如此一来，我们就只能在更广的领域中推广空间和时间的理论。高斯和黎曼两位已经在纯粹的数学领域内推广了度规。一般而言，在小范围内，狭义相对论的度规依旧有效。这一事实也就是推广物理学上度规的依据。
在我们所说的这些范围内，时空坐标并非独立存在。必须把时空坐标和概括引力场的数学量结合起来，才能获得度规的实在性。
影响广义相对论发展的还有另外一个因素。牛顿的一些理论也曾经遭到恩斯特·马赫的质疑，比如牛顿的这个说法：人们如果只是纯粹地描述物体运动，而不从因果角度加以研究，那么相对运动就是一切物体之间的运动的本质。牛顿的这个观点是自相矛盾的，若是依据牛顿提出的相对运动这个概念，运动方程中的加速度问题就没法理解，牛顿同样也意识到了这一点。牛顿因此臆想出一种物理空间以解决此矛盾，并假定加速度存在的依据就是这种空间，加速度的存在是相对于这种空间的。在逻辑上，这种绝对空间概念的引进并没有问题，然而总让人觉得说服力不强。马赫曾为此想过对引力方程加以修改，他想将引力方程中的加速度改变为相对于其余全部有重物体，而不是相对于绝对空间。受到当时知识水平的限制，他不可能实现这种想法。
虽然改变是不可能的，然而人们已经发现了问题。因为从广义相对论的角度来看，空间的物理性质是受到有重物质的影响的，所以这个怀疑在广义相对论的支持下就更有力量。我认为，若想用广义相对论完美地解决这个问题，只有把世界在空间上看成是闭合的。如果世界上的有重物质的平均密度存在着确切的数值，而且此数值并不是无限小的，那么无论它有多小，用数学方法借助这个理论将会获得一个结论，并且这个结论就是客观存在的真理。
几何学和经验
数学是一切科学的学科里面最为人所尊重的，原因何在？因为其命题从来无需争辩，具有绝对的唯一性，这种程度的正确性是其他所有学科的命题都无法达到的。无论是哪一门学科，总有地方能产生争辩，并且还总是面临着被新的发现所取代的危险。即便如此，别的学科的人也不用对数学家有所妒忌，因为数学命题根本就没办法找到实在的对应客体，其命题对象仅仅存在于想象中。在数学领域，只要某个基本命题或公理得到众人的一致认同，那么有着相同逻辑的其他公理或结论也就必定会产生。数学能够给其他自然科学提供可靠的数据支撑，若是没有数学，其他科学也许就无法被证实，这也是数学有着极高声誉的另一个原因。
有一个谜是历史上的探索者都非常感兴趣的，接下来我就要将这个谜揭示出来。数学既然只是靠思维而来，无关于经验，那么为什么它还可以适用于无数客观存在的个体上面呢？人类是否能够无需经验而只凭思维就可以获得无数个事实呢？
我个人认为，我们应该如此理解：数学命题的可靠性和实在性是成反比的，即实在性越强，其命题的可靠程度就越是值得怀疑。要想弄清楚这种情况，我们要借助数学里面的“公理学”。公理学可以将何谓逻辑—形式、何谓客观或直观的内容分得一清二楚。在公理学里面，只有逻辑—形式可以构成数学题材，其他一切东西都与此无关。
接下来，我们借助这个观点对一条数学公理进行解释：有且仅有一条直线连接空间中任意的两个点。这条公理具体应该如何解释呢？我们要分古代的解释和近代的解释两种情况来说明。
古代的解释是：
在很早的时候，大家就已经非常清楚直线和点的含义了。可这种知识到底是如何获得的，还真说不太清楚。它到底是经验的总结，还是人类思维的自然结果呢？又或者，是这两者的结合产生了它？抑或是它的来源在其他地方？这个问题数学家无法解决。于是这个问题就被哲学家接了过去。这条公理是一种自明的公理，大概是所有的数学知识中最早为人所发现的。
近代的解释是：
直线、点等概念是几何学的基础。无需什么知识或经验的储备，只要告诉你这样的公理，你就能够接受这些知识。人们完全是在纯粹形式的意义上理解这些公理，跟一切直觉或经验都无关。只要运用逻辑思维，人们就能将这些公理自由地创造出来。所以，从逻辑上对公理进行推论构成了几何学命题的主干。几何学完全凭着对公理的定义来决定如何处理事物。斯里克曾针对认识论写了一本书，他说，公理实质上就是“隐形的定义”。
数学的所有外在附加因素都被现代公理学的观点删除得干干净净，数学因此有了更清晰的基础，人们也就看清了此前的诸多疑团。这种对于数学的解释是被修正过的，不过无法更明了地解释实际客体和直觉对象。当在几何中运用公理学时，“点”、“直线”等也失去了其实质的内容，仅仅作为符号存在，数学无法将任何内容附加到它们上面。
数学，尤其是几何学，有着非常特殊的存在理由，即为了确切地描述或规定实际客体的某个或某些方面。“几何”这个词的本意是测量土地，就很好地说明了这一点。在测量土地时，还要排列组合诸如地球的某些部分、量绳、量杆等自然对象。所以，公理学的几何概念体系无法完成这一任务，即它们无法明确地断言这些实际客体。因此几何学就要进行修订，去掉那些单纯的逻辑形式，将公理学中的几何概念与经验的实际客体一一对应，以满足这项任务。因此，接下来的一条命题就是必须的，即“三维欧几里得几何里的形体关系和固体间的排列关系是相等的”。有了这一条，欧几里得的命题就能够包含有关实际客体行为的断言了。
几何学通过这种方式就被作为自然科学的一种了。而实际上，我们也可以说最古老的物理学就是它。在此形势之下，它的断言就不仅仅是依靠逻辑推理来完成了，而拥有了经验的归纳这一根据。几何学被如此修改后，称作“实际几何”才更合适，因此，对另外一个几何——“纯粹公理学的几何”我们就要搞清楚，并且将二者的区分弄明白。我们只能凭借经验来回答这个问题：宇宙的实际几何到底能否归之于欧几里得几何？如果我们对“光是沿直线传播的”这条经验定律表示承认，并且认可“实际上光传播的轨道是‘实际几何’意义上的直线”，那么，物理学中的所有长度度量，包括天文学和测地学上的一切长度度量都能被囊括在这种“实际几何”中。
对于这种“实际几何”的观点，我要表示特别的感谢，因为我之所以能建立现在的相对论，要得益于它。若是这种意义上的几何学不存在，下面这个问题也就没有意义了：如果有一个参照系相对于惯性系运动，因为洛伦兹收缩的存在，所以刚体的排列定律不再吻合于欧几里得几何的规则，因此，如果承认非惯性系也有着相同的地位，那么就必须要放弃欧几里得几何。并且，上述解释要是不存在，那么就很难确定向广义协变方程过渡的决定性一步。我们如果认为，在公理学欧几里得几何里面获得的物体形体，和实际的刚体之间存在着对应关系，那么就好像深刻而敏锐的思想家彭加勒所说：别的所有能够设想的公理学的几何都无法达到欧几里得几何的简单性。
……若是真的有不可调和的矛盾存在于理论和经验之间，那么我宁愿改变物理定律，而维持公理学的欧几里得几何。……
对于实际刚体和几何体之间存在的等效性，有的研究者并不认同，事实上这种等效性很容易看到。为什么他们会如此认为呢？他们在更深入地考察后发现，刚性从未出现在自然界中那些实际固体身上，是温度、外力等因素决定了这些固体的几何性状。如此一来，就破坏了在几何与物理之间存在着的那种直接而原始的关系。彭加勒从最一般的原理入手，他的观点值得我们重视。不能完全用几何（G）来断言实在事物的性状，而几何必须彻底跟物理定律（P）相结合才可以做到对事物形状的断言。我们能用符号来这样表示：当且仅当（G）和（（P）相加时，才能够获得实验的结果。在这里，（G）或者（P）的某些部分都是我们能够任意选取的，因为一切物理定律都是规定了的。对于其余部分（P）的选取我们要把握好，要确保将（G）和所有的（P）合并起来时不与经验相矛盾，如此才能免于陷入自相矛盾的境况。我们若是从这个方面思考问题，就认识角度而言，公理学的几何等效于那些已有公认地位的自然规律。
从永恒的观点来说，彭加勒的理论是找不到错误的，这一点我要承认。我们无法在现实世界里找到确切地对应理论的东西，例如我们在现实中就找不到相对论里面的量杆和与它搭配的时钟的对应物。很明显，固体和时钟在物理学的概念大厦中所扮演的角色，并不是无法简约的元素，它们有着复合式的结构。这种元素无法担当起理论物理学中的任何一个独立角色。然而，就理论物理学当下的发展情形来说，我们必须要独立使用这些概念，因为在原子结构理论方面，我们的知识还极为贫乏，使得我们无法在理论上将之当做构成时钟和固体的基本概念。
此外还有一种截然相反的观点我也有所注意，这种观点对于自然界中存在着真正的刚体这一点表示否认，若是此观点成立，刚体性质对于物理实在就不能适用。可是，我们无需绞尽脑汁地研究此观点，因为它实际上并没有什么重要性。要想准确无误地测定量具的物理状态，并对它的性状能毫无疑问地代替刚体这一点进行验证，是非常容易的。然而，恰恰是那些和刚体有关的陈述，必须要对这种量具进行参照。
所以，我们能够说，整个实际几何的基础已经被经验所能验证的原理构造起来了。我们来看看这条原理是怎样的：我们能够将两个标记放在一个实际的刚体上，并用“一个截断”来称呼这对记号。假设有两个实际刚体在我们手上，且它们上面各有一个截断。如果一个截断两端的记号永远重合于另外一个，那么，我们就能认定，这是两个彼此“相等”的截断。好，我们再进行这么一个假设：
这两个截断如果在某时某地是相等的，那么无论在什么时间、什么地点它们都会相等。欧几里得的实际几何——黎曼的实际几何是对此理论最接近的推广。并且，这个假定也是广义相对论的基础。这个假定能够为许多实验提供依据，比如这个例子：光在真空中传播时，在任何一个确定的时间和地点中都有一个确定的截断，即光的相应路程。相反的情况同样成立。我们可以从此点发现：在相对论中时钟的时间间隔问题上，同样适用截断假定。
我们因此可以这么说：如果两只理想的钟表在任何地点和时间的行走速度一样，那么无论在什么地点和什么时间，这两只钟表行走的速度永远是一样的。实际存在的钟表如果不遵从这个定律，我们就会看到，被分割开来的同一种元素中的原子的本征频率就不会有严格的一致，这一点跟经验不同。从实验中我们了解到存在着锐光谱线，上面说的实际几何原理从这个结果中获得了有力的支持。说了这么些，我们总算可以面对这么一个问题了：四维空间——时间连续区的黎曼度规的形成原因。
目前而言，这个连续区的结构到底是来自欧几里得、黎曼或者是任何别的什么人，我们还无法确切地知道。要想对这个物理学本身的问题作出解答，我们不能只图方便而作出约定选择，而必须依靠经验。如果我们对时间—空间问题的考察只是局限在一片很小的区域里，那么实际刚体的排列定律就跟欧几里得几何体的定律极为接近，在此情况之下，黎曼的几何理论才可以成立。
的确，在小于分子数量级的空间内直接运用这个几何学的物理释义是不行的。可是，这个做法至少能在一定程度上解决一些和基本粒子的组成有关的问题。我们在描述组成物质的带电基本粒子的时候，可以尝试将一定的物理意义赋予场的概念。而在此前，我们只有在描述比分子大得多的物体的几何性状时才运用这些概念，并将一个物理定义给予这些物体。如今，我们想在物理定义之外的范畴使用黎曼几何的基本原理，还希望它的物理实在意义依旧存在，当然，目前来说这种努力能否成功还不能断言，答案只能等待试验结果的验证。或许结果会是这样：较之于温度概念外推到分子数量级的物体时，这种外推的很多依据有所不足。
将实际几何的概念推广到宇宙数量级的空间上，就表面上而言没有太多的问题。然而，我们也要注意那些反对意见。这种意见说道：若是固体杆组成结构的空间越大，则在这种结构中越不可能体现理想刚性。我认为，这种意见对问题的实质并未涉及。因为对于宇宙在空间上是否有极限这个问题的研究，在实际几何学的意义上是很有必要的。我甚至觉得，天文学在不久的将来能够给出这个问题的答案。广义相对论在这个方面就提出了两个可能：
第一，宇宙在空间上具有无限性。只有在一定的条件之下，才能够产生这种无限性。这个条件也就是：在宇宙星体中集中的物质平均空间密度为零；这个条件也就是在说：当考察的空间容积越来越大，星体的总质量和其所处的整个空间容积的比率无限趋近于零。
第二，宇宙在空间上具有有限性。在宇宙空间的重物质平均密度不为零时，就能实现这种有限性。因为平均密度越小，就意味着宇宙的容积越大。
我还要特别说明的是，我们可以列举出一个理论来论证这个关于宇宙有限性的假说。既定物质的惯性，会随着它附近有重物质的增加而变大，这是广义相对论里的一个观点。因此，将一个物体的总惯性和与其同宇宙中的其他物质之间的相互作用相联系，就是自然而然的。从广义相对论的方程中，我们能获得这个结论：要想将惯性的原因归结为物体之间的相互作用，就必须承认宇宙的有限性。
物理学家和天文学家并未适当地重视这个论证。我们在分析之后可以发现：两种可能性在现实中存在的状况，取决于经验。那么，能够验证这种状况的为什么只有经验呢？
为了对物质的平均密度进行检测，我们首先可以设想从已知的部分宇宙进入。然而，因为宇宙中分布的星体非常不规则，我们不能凭借自己的想象认定某一星体的平均物质密度等价于其他星体或星系，所以这个方法没有用。还要特别说明的在于，不管我们考察的空间有多大，我们都无法确定是否还有别的星体存在于这个空间之外。那么，对于平均密度的计算就更谈不上了。
我这里有另外一个办法解决这个问题，虽然也是困难多多，但其操作性却更强。我们要是将那些已经被经验所验证的广义相对论中的结论，和牛顿理论的结论进行对比，并对这些偏差进行研究，马上就会发现有一个偏差存在于引力物质的近旁。这个例子从水星身上就可以发现。可是，我们要是承认了宇宙空间的有限性，远离牛顿理论的第二个偏差也就出现了。我们用牛顿理论的语言对之进行这样的描述：表面上看来，能够产生引力场的除了有重物质，还有在整个空间中均匀分布的带负号的质量密度。可是，只有在极为广大的引力体系中，我们才能察觉后一种引力场，因为显而易见，这个虚设的质量密度非常之小。
我们要是已经获得了银河中星体的统计分布和质量的数据，那么我们就能运用牛顿定律，将引力场和这些星体所必须具有的平均速度计算出来。我们在这里对“必须具有”的强调不是没有原因的。因为银河系中的各个星体若能够互相吸引并保证银河系不至于坍塌，并能维持银河系的实际大小，就“必须具有”这个速度。要是能够测量出星体的实际速度，并且发现较之于我们计算出来的速度，这个速度更小一些，那么这样一个结论就出现了：牛顿定律所定的数额大于遥远距离之间的实际吸引力。这个偏差可以间接地证明宇宙的有限性，我们甚至还能够因此将宇宙空间的大小大概估计出来。
宇宙能否被我们想象为一个有限却没有边界的三维空间呢？
在一般情况下，我们不能如此设想。接下来，我们要证明出一个迥然不同的结论。对于有一点我需要强调一下，即在稍稍实践一番后，我们可以比较容易地用想象的图像对宇宙有限性理论进行说明。这些图像我们不久便能习惯。
我们首先要考察一下认识论的性质，因为我们无法直接描绘几何—物理理论本身，它们仅仅是一组概念。然而，这些概念能够联系起存在于我们头脑中的各种各样的或想象或实在的感觉经验。因此，为理论寻找系统排列的诸多能感觉的经验，就是理论形象化的实质。我们当下需要解决的问题在于，如何描述固体相互排列（接触）的性状，以使之对应到宇宙的有限性理论。对此问题我并无新的想法，可是，这个问题曾经有很多人对我问起，这说明现有的解释并未充分满足大家的好奇心。因此，我想在这里接着就这个问题讲一讲，要是我讲的某些部分是内行人觉得老生常谈的，还请谅解。
在说到空间的无限性的时候，我们实际上是在说什么呢？实际上，这仅仅是说明我们能够一个挨一个地任意在这个空间中摆放同样大小的物体，而这个空间永远不会被填满。从欧几里得几何来说，一个空间中如果有个立方盒，我们能在其上下、左右、前后堆放很多个大小相同的立方盒；可是，无限空间的构造并无边际。这也就是在说，不管我们添加的立方盒有多少个，都还可以再放。这就是所谓的空间无限性。也许这种描述更为贴切：刚体的排列规律若是跟欧几里得几何的规定相符合，那么，对于实际刚体来说空间具有无限性。
无限连续区是我们可以举出的另外一个例子。我们能够在一个平面上摆放许多张方卡片，每张卡片的每一个边都被其他的卡片连接。这种构造同样没有止境。这些卡片的排列规律只要跟欧几里得几何的平面图形的排列定律相符合，卡片就能够无限制地摆放。所以，就这些卡片而言平面是无限的。我们能够说，空间是三维的无限连续区，而平面就是二维的无限连续区。
二维连续区的特殊状况——有限但无边界，也是一个此类的例子。用一些大小相同的纸质小圆片和一个大球，就可以对这种情况进行说明。我们将一个小纸片放在大球表面的任意一个地方，并在球的表面随意移动这张纸片，在此过程之中，就不可能碰到边界。所以，这个大球的表面就可以被我们看作是一个没有边界的连续区。显而易见，此连续区具有有限性。想象一下，要是将所有的纸片都互不交叠地贴到球的表面，最后就会贴满球面，而再多贴一张纸片都不行。所以，就纸片来说，这个球的表面具有有限性。
有一点需要说明，即球面这个二维连续区是非欧几里得的，这也就说：这些刚性图形的排列和欧几里得平面的定律并不相符。我们可以用下面的方法来证明这一点：用六张纸片围住一张纸，然后用同样的方式在外围围住这六张纸片，然后一直向外铺展。我们要是将此构造放到平面上，此构造就可以形成一个无限延伸的排列，在此排列中，除了那些最外围的纸片，所有的纸片都和六张纸片连接。可是，这样的构造要是放在球面上，一开始，因为纸片的半径要远远小于球的半径，还可以进行这种构造，并且球的半径和纸片半径的比率越大，这种构造的希望也就越大。然而要是持续进行这种构造，纸片按照上述方法不间断地排列下去就越来越不可能。如此一来，即便是那些无法从这个球面上离开，乃至无法将球面看作三维空间的人，只要他们重复一遍这个纸片实验，就能发现自己的二维“空间”是球面空间，而并非欧几里得空间。
根据相对论的最新研究成果，我们发现很可能三维空间类似于球面空间。若果真如此，三维空间里刚体的排列定律就应该遵循近似球面几何的规定，而与欧几里得几何的规定不相符合。当然，我们要考察的那部分空间需要足够大才能如此说。探索到了这一步，也许会有的读者感觉犹疑。也许他会愤怒地喊叫，认为人们不可能想象出这种东西；也许他会这样想：只是这么说说而已，这么去想可就不行了。对我而言，想象一个球面是很容易的。然而，对之进行三维类比的想象，我也觉得很是困难。
我们必须要克服这种心理障碍。一个读者只要有耐心，做到这一点就并不困难。下面我们还要再看看二维球面几何，让大家能更好地理解这个问题。我们来看看这张图，我们假设球面为K，球面上的一个圆纸片为L。我们用S来表示球面和平面E相接触的地方。为方便起见，这个平面我们用一个有边界的面进行表示。我们现在就要想象了：球面上和S径向相对的N点能够发光，纸片L因之在平面E上出现其投影L'。实际上，平面上会有球上的任何一点的投影。球面上的纸片L如果移动，相应的，平面E上的影L'同样会移动。在纸片L移动到S处的时候，其投影就几乎与它完全重叠。纸片要是从S处接着往上移动，影L'也就会自S向外移动，并且越来越大。在纸片L和发光点N相接近时，影L'就移到了无穷远的地方，并且无限大。
看了这张图后，我们来想一想——平面E上的纸片的影L'的排列规律是怎样的？很明显，它们跟球面上的纸片L的排列定律是一样的。平面上投影的几何完全一致于球面上纸片的几何。我们要是用刚性图形来定义这些投影，那么球面几何同样适用于平面E。有一点必须说明，即因为只有有限个数的纸片影可以在纸片上占到位置，所以平面能接受的纸片的投影是有限的。现在，也许有人对于将纸片的影归入刚性图形的做法表示质疑。事实上，若要对这一点进行验证，只要观察在平面E上一根尺子的移动情况就可以了，当影子越来越远离S的时候，影子就会越来越长。然而，如果这根尺子也和纸片的影L'一样可以在平面上伸缩，那又说明了什么呢？如此一来，人们就无法看到影子离开S时变长的情形，这种假设也就失去了意义。所以，关于纸片，我们能够获得的唯一客观判断就是：纸片和影之间的关系，完全等同于欧几里得几何意义上的球面上的刚性纸片的关系。
有一点我们必须要注意：要想让关于纸片影增大（在它们移动到无穷远处时）的陈述本身具有客观意义，我们的比较就只能局限在在平面E上运动的欧几里得刚体和纸片的影之间。而无论是认为S点在平面上还是在球面上，最终都不会影响影L'的排列定律。
将球面几何在平面上进行表示，对我们来说意义重大，因为如此一来，将它转化为三维模式对我们而言就很容易了。
想象一下，有一个点以及很多个小球L'存在于一个空间之中，并且这些小球之间能够彼此重合。然而，较之于欧几里得几何意义上的刚性球，这些小球有所不同：在S往无穷远处移动的时候，这些小球的半径从欧几里得几何的意义而言是在增长的。它的整个增长过程所遵循的规律，跟平面上那些纸片的影L'的半径增长规律完全一样。