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第一节 早年的学习生活
秦九韶是我国南宋时期的卓越数学家，约1202年（嘉秦二年）生于四川的安岳县。他的父亲秦季槱是1193年（绍熙四年）的进士，后任巴州太守。1219年（嘉定十二年）3月，陕西军士张福、莫简等发动兵变，反对政府。他们带兵进入四川，先后攻取了利州、遂宁、普州等地，又气势汹汹地进攻巴州。秦季槱知道自己寡不敌众，难以抵抗，于是逃离巴州。不久以后，他带领全家辗转抵达南宋都城临安（今杭州）。他在临安担任了工部郎中官职，1224年（嘉定十七年）升任秘书少监。1225年（宝庆元年）6月，秦季槱被任命为潼州（今四川三台）知府，回四川做地方官。
秦九韶自幼聪明好学，随父亲在临安的五六年时间，他集中精力学习，父亲的官职也为他提供了学习的条件。工部是管理手工业、建筑、交通和金融的部门，工部郎中则主管营建工作，所以秦九韶可以阅读在民间难以见到的建筑书籍，又有机会随父到工地参观，了解施工情况。在和工人们的接触中，他既学到了许多劳动技术，又懂得了老百姓的疾苦，在幼小的心灵中埋下了对劳动人民的同情。秘书省是掌管国家图书、国史资料和天文历数的，下属机构太史局专门研究天文历法。秦季槱当了秘书少监以后，便主管太史局的工作。他有意培养儿子对天文的兴趣，经常带儿子来太史局。秦九韶是个勤学好问的孩子，局里的工作人员都很喜欢他。日食和月食是怎样发生的？为什么可以提前知道？月亮为什么有圆有缺：天上的星为什么有的动，有的不动？还有，一年中那么多节气是怎样确定的？这些天文和历法问题像一个个谜语一样，引起了小九韶的浓厚兴趣。他开始在父亲指导下阅读天文书，还常到观象台通过仪器观察天体，遇到不懂的问题就向太史们请教。短短一年时间里，他学到了不少天文知识。另外，他还向著名诗人李梅亭学习诗词。梅亭是秦季槱的朋友，他觉得九韶很有培养前途，不仅教给他作诗之法，还把自己珍藏多年的诗集给他看。两人常在一起，话很投机，不久便成了忘年交。
秦九韶在临安时，最大的收获是向陈元靓（jing）学到了丰富的数学知识。陈元靓是位博学多才的学者，比秦九韶大五六岁。凭他的才能，谋个一官半职并不困难。但在当时的动荡环境中，他不愿出来做官，而是在山林隐居，埋头做学问，被称为“隐君子”。他的著作《事林广记》、《岁时广记》等，充满传奇色彩和自然之美，语言清新、流畅。读他的书，就像漫步在鸟语花香的小溪旁，令人轻松愉快。他对中国传统数学也深有研究，家里收藏着许多古算书，现代的《九章算术》、《周髀（bi）算经》、晋代的《孙子算经》、南北朝时的《张丘建算经》、《五曹算经》，以及唐代的《缉古算经》，他全有。秦九韶一进他家，就被那一部部字迹清秀的算术迷住了。读过以后，他感到自己被引入了一个神奇的世界。许多复杂的问题，只要使用恰当的数学方法，就会迎刃而解，数学的威力真是太大了！陈元靓告诉他，《九章算术》是数学的经典，要学好数学必须以这本书为基础。他还说，学数学的目的是为了应用，应该结合社会上的各种实际问题来学习，秦九韶牢牢记住了。实际上，《九章算术》讲的便是各种应用题的解法，包括面积，体积计算、比例问题、开方问题、纳税和运输问题等，还有多元一次方程组和勾股定理的应用。秦九韶觉得书写得很好，但也感到那个时代离现在太远了，现在的许多新问题，用古算书上的方法是解不出来的。“老师不是说学数学是为了应用吗？要是写一本数学书来解决现在的各种问题，那该多好啊！”年轻的秦九韶心中，已经萌发出写书的激情了。
秦九韶是个精力充沛、兴趣广泛的青年，他除了学习天文、数学、营造及诗词之外，还通音乐、好踢球，射箭和舞剑也是他的爱好，操场上常常见到他和同伴们练武的身影。秦季槱的同事不住地称赞：“你儿子真是个全才啊！”再加上九韶长得英俊、举止潇洒，可以说是朋友如云。一些女孩子也暗送秋波，以种种方式表达对他的爱慕之情。比利时数学史家李倍始在提到秦九韶时，以赞美的口气说，这位奇才“无疑具有迷人的品格”。
第二节 投身于抗蒙斗争
在临安生活6年之后，秦九韶于1225年（宝庆元年）随父到四川。这时的九韶已是成年人了，担任漳州知府的秦季槱让儿子在府里协助自己工作。不久以后，秦九韶便在府衙所在地鄞县当了正式武官——县尉。当时，南宋正面临蒙古军队的威胁。秦九韶心怀报国之志，加紧操练人马。他后来有机会向朝廷陈述政见时，曾说：“让未经训练的队伍去打仗这是上面的过失。”他从当县尉开始，便十分注意军士素质的提高，教给他们必要的军事知识。九韶能文能武、体贴士卒，很受属下爱戴。1230年（绍定三年）前后，李梅亭到成都做官，离郡县不远，他与九韶有不少接触的机会，对他有进一步的了解。1233年（绍定六年），李梅亭被调回临安，提名秦九韶做国史院的校正官。但九韶认为作县尉能更好地施展自己的才能，所以没有赴任。
1236年（端平三年），蒙古军已攻占成都。10月，元太子阔端亲率大军东下，不久便攻到潼州。秦九韶率领部队，奋勇抵抗，县里的老百姓也全力支持，帮助守城、运输、救伤员。军民同仇敌忾，打退了敌人一次又一次的猖狂进攻。但当时南宋朝廷腐败，没有形成一个统一的、强大的抗蒙阵线，郭县孤城难守。到第二年，终因寡不敌众，又无外援，郭县失守了，整个潼州受到蒙古铁骑的践踏。秦九韶想：“留得青山在，不怕没柴烧。”他决不投降，但也没有在大势已去的时候和敌人拼命，而是化装成普通百姓，逃离四川。他要养精蓄锐，寻找时机，再和敌人较量。
秦九韶离开四川后，往东南避难，过着颠沛流离的生活。但他时刻不忘抗蒙救亡，报效国家。他听说朝廷重臣吴潜坚决抗蒙，便去投奔。吴潜早就知道秦九韶的才华和他抗击蒙军的英勇，见到他后十分高兴。吴潜仅比九韶大6岁，他是1217年（嘉定十年）的状元，1231年（绍定四年）为尚书右郎官，1239年（嘉熙三年）便成为兵部尚书，相当于国防部长，并兼管江苏镇江府的军政。当时，蒙古已经灭金，正在大举进攻南宋。南宋朝廷内的主战、主和两派斗争激烈。贾似道是主和派，主张通过割地、纳贡的办法，屈辱求和；吴潜是主战派，坚决主张加强国防，抗击蒙古军队的进犯。他很注意选拔人才，曾于1234年（端平九年）向南宋朝廷提出9条建议，其中第五条便是：“广畜人才以待乏绝。”秦九韶这样一个才华横溢的青壮年，被吴潜看重是不奇怪的。由于受到吴潜的赏识，秦九韶先后担任过湖北蕲州（今蕲春）通判及安徽和州的太守。他在和州积极发展生产和贸易，还采取食盐官营的办法，一方面抑制盐价，另一方面为国家积累资金。后来，他到浙江湖州做地方官。吴潜对他很好，把自己的一块土地赠送给他，以便他建立住宅，长期居住。这块土地在湖州西门外，地名曾上，正当苕水所经，是个风景优美、交通方便的好地方。秦九韶凭自己的营建知识，亲自设计图纸，在此建起一所漂亮、宽敞的宅院，从此在湖州定居下来，过了一段时期的安定生活。由于他的哥哥在战乱中去世，留下一子无人照顾，他便收养下来，认为义子。
秦九韶在湖州做官的同时，开始了一项伟大的工作——撰写《数术大略》，这是一部数学巨著，受《九章算术》影响而把问题分为九类，后人出版此书时，将书名改为《数学九章》。它与《九章算术》一样，是密切联系社会实际的，但问题的深度和广度远远超过了《九章算术》，不少数学成果都是世界领先的。特别感人的是，秦九韶写书不忘救国。九类问题中有一类为“军旅”，专讲与军事有关的数学问题，包括排兵布阵、行军、测望敌营，以及种种后勤问题。他写这部分内容的目的。是为了教人们把数学用于军事，为抗蒙救亡服务。
第三节 卓越的数学成就
1244年（淳祐占四年）8月，秦九韶被任命为建康（今南京）通判。这是一种管钱粮、户口、赋役等工作的官职。但他任职时间很短，11月便因母亲去世，回湖州守孝三年。这其间，他的心情不佳。这不仅是因为永远失去了慈祥的母亲，更因为自己对国家前途的担忧。多年来，他一直渴望着为保卫大宋江山而战，但南宋朝廷内部十分腐败。许多人为了自己的私利，主张求和。昏庸的宋理宗在主战、主和两派的斗争中，往往举棋不定，而且倾向于求和，所以不可能出现一个领导全国抗蒙救亡的核心。蒙古军队步步紧逼，南宋正面临着亡国的危险。秦九韶想：“朝廷也许会更换，但有用的书将长存。这些年来，我搜集了不少数学问题，趁目前没有公务，我应该抓紧时间研究，写出书来，留给后人。”于是，他在料理完母亲的后事以后，便在家里埋头著书。
功夫不负有心人。到1247年（淳祐七九）7月，秦九韶终于完成了数学史上的杰作——《数学九章》十八卷，这是他一生中最有意义的事情。
全书共81道数学应用题，全是他精心选择的，每题以“术”说明解题方法，以“草”说明演算的具体步骤，必要时还画出图来。书中解决了大量实际问题，包括天文历法、雨雪测量、田亩计算、几何测望，还有赋税、财会、建筑、军事和贸易问题。这些内容都与当时的社会生活有密切联系，正如他自己所说：“我写书的目的就是应用。”他能做到这一点，是与他的经历有关的。他年轻时在临安学到了丰富的知识，后来又做过多年地方官，他深入下层，对物价、度量衡、各地间的距离、农民的负担，以及耕地面积、作物生长情况、气象资料等，都很熟悉，所以书中的问题符合实际，便于人们应用。后人则可以通过此书来了解南宋社会。
更重要的是，《数学九章》具有很高的理论价值，书中的“正负开方术”和“大衍术”居世界领先地位。
正负开方术实际是一套求高次方程正根的方法，也可以叫“高次方程数值解法。”古人称解方程为“开方”，而秦九韶在解高次方程时要反复进行正、负数运算，所以称“正负开方术”。大家知道，一次和二次方程是好解的。对于三次方程，一般人就不会解了。解三次以上的方程当然更为困难。秦九韶却在前人基础上，总结出一套可以解任意次方程的方法，而且是要多精确就能多精确，只要运算步骤足够多就行，因为这是一套循环性程序，具有很强的机械性。书中的方程，最高达到10次，秦九韶准确无误地求出了它的根，这是多么了不起啊！电子计算机产生以后，有人把这套方法在计算机上实现，并称为“秦九韶程序”。直到1819年，英国数学家霍纳才提出与秦九韶演算步骤基本相同的高次方程解法。西方人不知秦九韶早已解决这一问题，所以称为“霍纳法”。
大衍术又称大衍法，实际是一套术解一次同余式组的完整程序。秦九韶很重视自己的这项发明，强调说：“前人从未解决这一问题。”的确如此，即使在世界范围里，秦九韶也是第一个解决这种复杂问题的。什么叫同余呢？举例说，8除以3余2，11除以3也余2，我们就说8和11对3来说是同余的。含有同余关系的式子叫同余式，同余式和方程式一样，分为一次的、二次的……几个同余式联立，就成为同余式组。在秦九韶之前，《孙子算经》中便出现了一个闻名世界的一次同余式组，叫“物不知数”问题，因为开头的一句话是：“今有物，不知其数。”题的大意是：某数被3除余2，被5除余3，被7除余2，问这个数是多少？这实际是由三个同余式构成的同余式组。给出的答案是23，读者可以验证，这个答案是正确的。但书中的方法含有试猜的成分，不是普遍适用的。换个比较复杂的同余式组，读者就不知怎样求解了。秦九韶的功绩，在于他研究了各种形式的一次同余式组，发明了一套普遍适用的完整程序。这套程序在制定历法时很有用。它和“正负开方术”一样，带有很强的机械性，可以毫无困难地转化为现代的算法语言，用计算机来实现。
除了这两项重大成就外，秦九韶的“三斜求积术”也是很有名的。三斜即任意三角形的三边，积指三角形面积。
这一公式与著名的海伦公式是等价的。
相比之下，秦九韶的公式不够整齐，时间也较晚，但毕竟是在中国独立解决了这一问题，影响是很大的。以前，人们只知道三角形面积等于底乘高的一半。自秦九韶后，才知道只要求出三角形三边之长，也可得到三角形面积。此法在田亩测量中很有用，因为量三角形田的边长比量它的高要容易些（在田地中作一条比较严格的垂线是困难的）。
由于秦九韶精通天文历法和数学，于1748年（淳祐八年）受到宋理宗召见，他坦率地指出现行历法的弊病和许多官吏不懂数学常识的状况，陈述了自己对改革历法和加强数学教育的意见，同时呈上《数术大略》，受到皇帝的夸奖。考虑到当时的一些历官造诣不深，皇帝让秦九韶等精通天文、历法的人去太史局讲学，让历官们学习。从此，秦九韶的知名度更高了，不少学者向他请教天文或数学问题。他的《数术大略》也开始在各地流传。虽然当时没出版，但有不少手抄本。
秦九韶受皇帝召见的消息传出后，引起历法家陈振孙的注意。他当时为侍郎官，善于收藏历代图书，藏书五万余卷。他专程拜访秦九韶，讨论天文历法问题。秦九韶的许多精辟见解，被陈振孙收入《直斋书录解题》，流传至今。秦九韶说：“天体运行有规律可循，不能横袭前历。”这句话成为历法改革的至理名言。陈振孙从秦九韶那里得到好几本珍贵历法，包括罕见的《崇天历》和《纪元历》，前历于1024年（天圣二年）问世，到秦九韶时代已有200年；后历于1106年（崇宁五年）编成，也有一百多年了。二历传本极为稀少，陈振孙感慨地说：“近世诸历，多亏秦的收藏，才未失传。”
第四节 坎坷的晚年
秦九韶守孝期满后，又去做官，此后的科学研究不多了。他决心在政治上干一番事业，为国家治理和抗蒙救亡贡献自己的力量。但他的仕途并不顺利，东奔西走，最后死于梅州。
1249年（淳祐九年）8月，吴潜被任命为浙东安抚使。第二年，秦九韶去宁波投奔吴潜，在他手下为官。
1251年（淳祐十一年）吴潜奉命入京，宋理宗拜他为右丞相。在一段时期内，主战派力量占了上风，南宋的防务有所增强，蒙古军队不敢轻易进犯，只是虎视眈眈地等待时机。1254年（宝祐二年），秦九韶在建康（今南京）担任了沿江制置司参议。制置司即一个地区的司令部，参议是军事参谋。秦九韶感到有了施展才能的机会，积极参与军事部署，为抗蒙斗争出谋划策。不幸的是，吴潜受到主和派的排挤，失去了右丞相的官职，当了个没有实权的观文殿大学士。秦九韶也于1255年（宝祐三年）被免职，家居湖州。但他不甘寂寞，还想参政。当时贾似道任两淮安抚使，在朝廷内势力很大。秦九韶虽然与贾政见不同，但他想：“现在通过吴潜做官是不行了。要想当官。就得找贾似道。有了官职，才能实现自己的志向啊！在家里闲居，不是一事无成吗！”于是，他便在1257年（宝祐五年）准备了一些礼物，去扬州拜谒贾似道。贾似道是个贪财又喜欢奉承的人，他见秦九韶带来不少礼物，便热情接待。他虽然知道秦九韶与吴潜关系密切。但也爱惜九韶的才华。他想：“此一时彼一时啊！现在吴潜已经失宠，他的旧友弃他而投我，这是好事。我应该使秦九韶为我所用。”于是，他便写了一封推荐信，让九韶带信去长沙投李曾伯。李当时是荆湖南路安抚使，兼长沙知府。
1258年（宝祐六年）正月，秦九韶到长沙见李曾伯。由于有贾似道的手书，李曾伯只好答应给秦九韶安排官职。此时正值他管辖区内的琼州缺太守，于是任命秦九韶为琼州太守，但三个多月后就接到了免除秦九韶职务的圣旨。可能是由于朝中有人说秦九韶的坏话，使理宗做出罢免他的决定。上任不久的秦九韶，只好怀着大志未酬的遗憾心情，离开琼州。
秦九韶回到湖州后，仍想当官。吴潜已被起用为沿海制置大使，秦九韶再去宁波投奔他。1259年（开庆元年），宋理宗拜贾似道为右丞相，吴潜为左丞相。秦九韶随吴潜入京。由于吴潜的推荐，秦九韶被任命为司农寺丞，去平江一带筹措军粮。1260年（景定元年），秦九韶被任命为江西清江的知府，但由于朝廷内的派系斗争，有些人坚决反对，皇帝只好收回成命。
这一时期，南宋朝廷内的主战、主和两派斗争日趋激烈。按理说，右丞相和左丞相应该是同舟共济，但实际上却水火不容。1259年，右丞相贾似道负责湖北一带的防务。蒙古皇帝蒙哥亲率大军进攻四川，派他弟弟忽必烈攻打鄂州，企图灭亡南宋。吴潜立即调军马援鄂，准备抗击蒙军。贾似道却私自派人到忽必烈军营屈辱求和，献上大批礼物，并居然背着皇帝，以朝廷名义保证今后每年奉献蒙古白银20万两，绢20万匹。忽必烈听到密报：蒙哥已死于战场。他急于北上夺取帝位，于是答应了贾似道的请求：双方以长江为界。忽必烈退兵后，贾似道向朝廷隐瞒了私自求和一事，谎称自己率领军队打败了敌人，反诬吴潜抗蒙不力。理宗信以为真，让贾似道掌握了军政大权，吴潜则受到排挤。1260年，贾似道又指使手下人罗织吴潜的罪名，在理宗面前告黑状，诬陷吴潜犯有“欺君之罪”。昏庸的理宗不明是非，罢免了吴潜的一切职务，于当年10月把吴潜流放到广东潮州。1262年（景定三年）5月，吴潜含冤去世。
吴潜冤狱也涉及秦九韶。因为秦与吴关系密切，所以被当做吴潜党人，受到株连。不过，贾似道与秦九韶有些旧情，因此对他的处理要轻得多，没有革职问罪，只是把他贬到广东梅州做官。这对花甲之年的秦九韶来说，也是个不小的打击。念国家，主和派掌权，一大批主张抗战的忠勇之士被贬逐，国家灭亡已不可避免了；想自己，被迫来到边远地区做个小官，大志难酬，颇有一种怀才不遇的惆怅。他想：“不管在哪里做官，都要上对得起朝廷，下对得起百姓。”因此，他在梅州勤于政务，兢兢业业地处理各种公务，并注意发展生产，使当地百姓生活安定，秩序井然。不幸的是，他生前再也没能回到家乡，最后病死在梅州。去世时间没有明确记载，约在1262年前后。
纵观秦九韶一生，堪称一位学识渊博、多才多艺的学者，尤其在数学上做出了卓越贡献。他研究数学不是为了做官，也不仅仅是出于兴趣，而是为了应用，他千万百计地使自己的学问为社会服务，这种精神是十分可贵的。秦九韶的数学成就已得到世界公认，著名的美国科学史家萨顿（1884—1956）这样评价秦九韶：“他是他那个民族，他那个时代，并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一。”