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第一节 少年时代
在北京城的南面，有一个土地肥沃、盛产西瓜的好地方——大兴县。800年前，这里归金朝的大兴府管辖。府内有一位推官（相当于现在的参谋），姓李名通。1192年（金明昌三年）的一天，李家突然传出新生婴儿的啼哭声。刚忙完公务的李通，还没进家，接生婆便赶过来向他道喜了。他顿时忘却了一天的疲劳，兴冲冲地走到夫人王氏床前，端详着可爱的儿子。但他不会想到，这个看来没什么特殊的孩子，会成为一个举世闻名的大数学家！
“给孩子取个什么名字呢？”王氏问道。李通捋了捋胡须，胸有成竹地答道：“他哥哥叫李澈，他的名字也该以水为旁，咱们都盼望国家长治久安，就叫他李治吧！”
李治长大以后，在翻阅《唐书》的时候，突然发现唐高宗与自己同名！在封建社会里，常人姓名与古帝王相同是很不妥当的。但沿用已久，不愿全改，于是把偏旁减去一点，改为冶。我们不知道他是哪一年改名的，但肯定在金朝，因为他在1230年（正大七年）考进士时，便叫李冶了。他的著作也都以“李冶”署名。有人不明真相，见到金朝的一些书中称他为李治，还以为是笔误呢！
李冶的祖籍并不是大兴，而是河北栾城。他父亲便是在栾城出生和长大的。1191年（明昌三年），李通考中进士，被任命为河北涉县的县令。当时县城缺水，居民的饮用水又不干净，不少百姓得病，李通便亲自到西山探得美泉，组织民工挖渠引水，使沿渠几千户人家受益。土地灌溉及饮水问题都解决了，人们的生活得到改善。虽然他做县令只有半年多，却深得百姓爱戴。不久，李通升任大兴府推官，把家属接到大兴，李冶便在这里出生了。
李冶的童年时代，金朝正由盛而衰。章宗即位（1190）后，官僚政治越来越腐败。金朝是女真人建立的，他们本来有剽悍善战的习性，现在大多变得游手好闲起来。女真上层分子钩心斗角，互相倾轧，很少过问生产。关系国计民生的黄河管理不善，修河费用被贪官污吏塞入自己的腰包。结果，在十几年的时间里，黄河便三次决堤，万顷良田成了一片汪洋。人民流离失所，哀鸿遍野。那一队队衣衫褴褛的灾民，真是惨不忍睹！由于生产受到严重破坏，自然影响了金朝的财政收入。而连年的对外战争，使军费猛增。再加上女真贵族的任意挥霍，金朝出现了财政危机。于是滥发纸币，造成物价飞涨，结果是国虚民穷。1208年（泰和八年），金章宗病死，卫绍王允济当了皇帝。这时蒙古军队加紧向金朝进攻，腐朽的金朝已潜伏着亡国的危机了。李通就是在章宗和卫绍王时期在金朝为官的。
李通的上司胡沙虎，是一个深得朝廷宠信的奸臣，常常打骂同僚，欺压百姓。有一次外出路过阻居，监酒官移刺保献酒，只因酒味薄了一点，便被胡沙虎打伤。为了满足自己的贪欲，他还干出冒领俸禄、骗取马匹和掘人坟墓的丑事。只因皇帝宠爱，人们不敢得罪他。但李通是一个正直而不怕权势的人，见他的上司无恶不作，常常据理力争，置个人生死祸福于度外。据说，当时在金朝为官者，敢于向胡沙虎作斗争的只有李通和尚书左丞张行中二人。胡沙虎对这样一个抗上的书生，自然是怀恨在心，欲除之而后快。李通曾险遭毒手，只因为官谨慎，终于解脱。但他深知自己处境危险。私下对家人说：“这个人什么坏事都干得出来，不能不防啊！”他怕连累家人，于是把老小送回故乡栾城。这时李冶正是童年，他没有随家人回乡而独自到栾城的邻县元氏求学去了。从唐代以来，各县有公立学校，称县学。由于战乱，不少县学废止了，但元氏县学尚在，而且教学质量不错，李冶便在这里上学。
小李冶不仅聪明，而且喜欢读书，每得到一本好书，便爱不释手。他爱动脑筋，记忆力又好，知识越来越多了。不仅老师喜欢他，就是身边的小伙伴，也常常向他请教呢。在李冶看来，学问和本事比财富更可贵，父亲曾用当时的一句民谚教导他：“积财千万，不如薄技在身。”他牢记在心，当做自己的座右铭。他还在笔记本上写下自己的体会：“金银虽然宝贵，但有用尽的时候。学问藏在身上，只要身在便有余。”
在学习期间，李冶对数学、文学都感兴趣。由于他的文章写得好，乡邻们常请他写东西。有一天下午，进士李屏山找到李冶，试探着说：“有几位朋友请我作墓铭（墓铭也称墓志或墓志铭，是刻在墓碑上的文字，内容为死者的生平事迹）。我近来太忙，你能不能代笔？”李冶一口应承。李屏山高兴地走了。他想，不出三五天，李冶就会写好的。第二天，他刚吃完早饭，便见李冶不慌不忙地来了，手里还拿着一卷纸。他想：“大概是李冶遇到什么疑难，来问我吧！”
“先生，墓铭写完了，请过目。”李冶笑着把那卷纸递上去。李屏山大吃一惊，好几篇文章，竟在一个晚上完成，真是太快了。他把那几篇墓铭细看一遍，不仅字迹清秀，而且文笔流畅，用词得体，简直挑不出一点毛病。李屏山赞不绝口，半开玩笑地说：“大概有天神下凡相助吧！”消息传开，人们都把李冶当做神童，说他小小年纪，便有“成人之风”。
在李冶21岁时，家中发生了一件大事——父亲被迫辞职。这是与胡沙虎篡权乱政分不开的。1211年（大安三年）10月，蒙古窝阔台军进逼金朝西京（今山西大同），西京的城防司令胡沙虎贪生怕死，在强敌压境的关头，带兵七千弃城而逃。途中与蒙古军遭遇，在安定县北打了一仗，各有伤亡。傍晚，金军安营扎寨，一些将领正在考虑第二天如何抵御蒙古军，不料天黑以后，胡沙虎竟偷偷地带领亲信逃离军营。全军无主将，自然溃败了。胡沙虎途经蔚县时，私自提取官库银五千两和各种衣物，还抢夺老百姓的马匹，当地官吏敢怒而不敢言。他路经涞水时，继续为非作歹，涞水县令上前阻止，竟被他活活打死！
胡沙虎逃回中都（金首都，今北京），允济不予问罪，只是迫于舆论，将他罢归故里。1213年（至宁元年），允济不顾许多官员的反对，又起用胡沙虎抵抗蒙古军，命他为右副元帅，领兵驻中都城北。但他只顾游玩打猎，不部署军事。允济派使臣到军中责问，胡沙虎大怒，决计谋反。8月25日，他突然领兵入城，劫持允济出宫，将其杀死。允济姑息养奸，终于自食恶果。胡沙虎自称监国大元帅，从彰德迎世宗的孙子完颜殉入中都，立他为帝，即宣宗。9月，宣宗即位，拜胡沙虎为太师、尚书令、大元帅，并封为泽王。这时，李通已不在胡沙虎手下为官，正任东平府治中，这是一种主管文书、协助处理府中日常事务的官职。他目睹胡沙虎罪行及朝政的混乱，感到政事已无可为，又怕受虎迫害，便托病辞职，隐居阳翟（今河南禹县），在颍水旁盖了几间住房，取名寄庵，并以此为号（即笔名）。这种奸臣得势、忠臣受排挤的现实，以及父亲的刚直不阿，对年轻的李冶影响极大。他决心以父亲为榜样，做一个正直而有学问的人。
李通隐居阳翟后，便把家眷迁来，李冶也从河北来到河南。从此李通不再过问政事，只在大自然中寻求乐趣。他喜欢吟诗作画，善画山水、龙虎，在当地颇有名声。人们争相请他作画，李通从不推辞，并诙谐地称为“画债”。他的诗也写得很好，有好几首律诗和绝句被元好问收入《中州集》，流传至今。
第二节 良师益友
李冶喜欢交朋友。他在学生时代，便常与同年好友李钦叔、冀京甫等一起切磋学业，吟诗作词。空闲时便畅游山林，饱览自然风光。但与李冶感情最深、对李冶影响最大的朋友，还是元好问。
好问比李冶大两岁。他是金朝的著名诗人，据说7岁便能作诗。好问常到李冶家来，向李父求教，李父很喜欢他，亲自作画相赠。
好问同李冶一样，十分爱好文学。他听说礼部尚书赵秉文（1159—1232）的诗、文极好，便于1217年（兴定元年）专程去汴京（今河南开封）求教，并带去自己作的文章。赵秉文看过文章，连连点头，认为他很有发展前途，便悉心指教。经元好问介绍，李冶也来到汴京，两人同拜赵秉文为师。秉文是金代著名的文学家，而且有舍身报国之志。1213年，蒙古军队入侵金国边境，他曾主动要求去前线守城御敌，因皇帝不准而未成行。秉文做官多年，从未收取贿赂，可说是两袖清风。他的正直为人及高深的文学修养，对李冶影响很大。特别是他那种以钻研学问为乐事，时时不忘著述的精神，李冶更是视为楷模。
后来，二人又拜文学家杨云翼（1170—1228）为师。杨云翼是1194年（明昌五年）的状元，同年入翰林院。他不仅精于辞赋，而且通历法、数学，1209年（大安元年）曾在司天台任职、参与历法的修订工作，数学著作有《勾股机要》、《象数杂说》等，不过没有出版。1218年（兴定二年）被任为礼部尚书。他与赵秉文同在礼部，掌管文化事业，被称为“赵杨”。
在名师指点下，元好问与李冶并驾齐驱，不久便名声大振。李冶在晚年追忆这段往事时，感慨地说：“我从20岁以来，只知读书、做文章为乐事，以为再也没有比这更快乐的事情了。”在汴京的几年，确实使李冶的文学水平大为提高。1230年前后，元、李二人便与赵、杨齐名了。另外，李冶从杨云翼处受到不少数学方面教育。他在元氏求学时便学过一般的数学知识，杨老师又教给他从事数学研究的方法。他在数学上的杰出成就，除了自己的天才与勤奋外，也得益于老师的教诲。
李冶不仅博览群书，而且善于接受前人知识。他说：“读书有三个层次：多、精、深。首先要多学，在多学的基础上精读，在精读的基础上深刻理解。”他在晚年曾写过一本读书笔记式的著作《敬斋古黈今黈》，阐发自己多方面的心得、体会，这是与他善于读书分不开的。
第三节 北渡黄河
1230年，李冶在洛阳考中进士，得到高陵（今陕西高陵县）主簿官职。但蒙古窝阔台的军队已攻入陕西，所以没有上任。接着又被调往阳翟附近的钧州（今河南禹县）当知事。金朝在蒙古军队的威胁之下，形势非常紧张，钧州城内调度十分频繁。李冶和他父亲一样，为官清廉、正直。他亲自掌管出纳，对钱、粮管理严格，与士卒同甘共苦。在当时动乱的环境中，像李冶这样的清官，确实是难能可贵的。他自己也说：“如今贪赃枉法者多，好人未必有好报，好人确实难做啊！但人生在世，要对得住自己的良心。所以还是要努力做个好人。”
李冶在钧州为官时，金朝实际上已濒临灭亡了。宣宗即位后，面对蒙古军的进攻，一味屈辱求和。为了苟安一时，1214年（贞祐二年）竟放弃中都南逃，迁都汴京。蒙古统治者不仅不与金讲和，反而加紧进攻。另外，山东、河北一带的农民不堪忍受苛重的租税和徭役，纷纷起义，反抗金的黑暗统治。金朝内外交困，灭亡不可避免了。1223年（元光二年）12月，宣宗病危，太子守绪当了皇帝，即哀宗。这时，人民自发的抵抗蒙古军的斗争有所发展。金哀宗采取一系列新措施，集中兵力，抗蒙救亡。但金国力已衰，腐朽的统治机构已病入膏肓，哀宗竭力维持，终未免于亡。1232年（开兴元年）正月，蒙古军攻破钧州。李冶不愿投降，只好换上平民服装，北渡黄河避难，走上了漫长而艰苦的流亡之路。他知道父亲年老体衰，但由于形势危急，临走时未能看望父亲。李冶北渡后不久，李通便在阳翟病逝了，享年66岁。
据说，李通在病危时，神志十分清楚，他在一天前向亲属预告自己的死期，说：“我明日就要归天了。你们千万不要失声痛哭。”果然如期而逝。家人见他闭上眼睛，脉息全无，以为死了，便大哭起来。哭了许久，李通突然睁开眼睛，缓缓说道：“我已经告诉过你们，我死时不要痛哭。你们这样大哭不止，令我心烦意乱。”说罢，闭上眼睛。家人再也不敢哭了，默默地守在床前，确认他死亡以后，才默默地办理丧事。
李冶北渡后流落于山西的忻（xin）县、崞（guo）县之间，过着饥寒交迫的生活。1233年（天兴二年），汴京陷落，元好问也弃官出京，于5月3日北渡黄河避难。李冶与元好问在青年时代就志趣相投，现在，共同的命运又把他们连在一起了。从留存下来的诗文看，两人当时的思想是相当一致的，不过李冶表现得比较含蓄。面对蒙古军队的屠杀和抢掠，他引用前人诗句，表达自己的愤慨：“劝君莫话封侯事，一将功成万骨枯。”这就是说，那些因所谓战功而被封为侯爵的人，是把自己的荣誉、地位建立在屠杀人民的基础上。他还说：“仁义之人是不会无端攻伐其他国家、掠夺他国百姓及财产的。那些侵略他国而得逞的人，可以说有本事，但绝不是仁义之人。”不过，他在当时的条件下，还不敢直接指责蒙古统治者。
元好问对人民苦难生活的描写，要比李冶更为明显。他满怀同情地写了《癸巳五月三日北渡》一诗：“道旁僵卧满累囚，过去旃（zhan）车似水流。红纷哭随回鹘（hu）马，为谁一步一回头？”句中的“旃”是一种红色的曲柄旗，挂这种旗子的车称旃车；回鹘即回纥（he），暗指蒙古军。在《续小娘歌》中，好问写道：“山无洞穴水无船，单骑驱人动数千。直使今年留得在，更教何处过明年？”诗人在这里勾画出一幅多么悲惨而真实的图景啊！蒙古军掳掠金朝妇女和财物，一车一车满载而去，那些可怜的女子，绝望地不断回头向着亲人哭泣。人民被掠去为奴，入山无穴，下水无船，简直是死路一条！即使侥幸活过今年，还不知明年怎样呢！
目睹蒙古军的屠城，元好问悲愤地写道：“野蔓有情萦战骨，残阳何意照空城？”他还在诗中无情地鞭挞了那些践踏农田的军队：“一夕营幕来，天明但平土。呼天天不闻，感讽复何补？”
元好问知道，要挽救金朝的灭亡是不可能的，但他希望新的统治者能接受汉族先进的文化，采取汉族的定国安邦之策。因此在北渡之前给窝阔台手下的大臣耶律楚材写信，推荐了李冶、王鹗、李献卿、商挺、徐世隆等四、五十位亡金的学者及社会贤达，说他们都是优秀的人才，希望蒙古统治者择而用之。元好问恳切地说：“以您的力量，使这些学者不再为衣食而奔波，并非难事。可以建立学馆，让他们在学馆工作。学馆的设备不必讲究，报酬也不必丰存，只要使他们吃饱穿暖就行了，花不了多少钱……”元好问这次努力，效果不错。所荐的人当中，后来有不少为忽必烈所用。蒙古军攻占开封后，没有再屠杀官民，反而采取了一种分批安顿亡金官吏与学者的办法，这与元好问的努力也有一定关系。
元好问本人，似乎并不打算在蒙古统治者手下为官。李冶也是这样。李冶北渡两年之后，即1234年初，金朝为蒙古所灭。他和元好问都感到政事已无可为，于是专心做学问。李冶经过一段时间的颠沛流离之后，终于在崞山（崞县境内）的桐川定居。这时，李冶已年过40了。金朝的灭亡给李冶的生活带来不幸，但由于他不再为官，这在客观上也使他的科学研究有了充分的时间。
第四节 著书立说
李冶在桐川的研究工作，遍及数学、文学、历史、天文、哲学、医学。同时代的砚坚说他“凡是见过的书，没有一本不仔细研究的。”这话也许有点夸张，但他确实以读书、做学问为乐，正如他的学生焦养直所说：“老师在流离颠肺之中，没有一天废弃学问。手不停地翻书，口不停地吟诵，几十年如一日。甚至在挨饿受冻的时候，也不肯放下书本。”
在各种学问中，李冶最感兴趣的还是数学。古代学校的教育内容，包括礼法、音乐、射箭、驾车、书写及数学六种技艺。李冶说：“数学虽然列在六艺之末，要论在人们的生产和生活中的用途，当数第一。”因此，自从隐居桐川之后，他便把主要精力用于数学研究。当时的许多读书人，都把数学看做“贱技”，认为做官用不着它，不值得研究。李冶却潜心数学几十年，这种精神是多么可贵啊！
李冶在桐川进行数学研究，是以天元术为主攻方向的。这时天元术虽已产生，但还不成熟，就像一棵小树一样，需要人精心培植。李冶用自己的辛勤劳动，使它成长为一棵枝叶繁茂的大树。
天元术是一种用数学符号列方程的方法，“立天元一为某某”与今天“设χ为某某”是一致的。在中国，列方程的思想可以追溯到汉代的《九章算术》，书中用文字叙述的方法建立了二次方程，但没有明确的未知数概念。到唐代，王孝通已能列出三次方程，但仍是用文字叙述的，而且尚未掌握列方程的一般方法，不知道设未知数。北宋时期，工商业比唐有了更大的发展，尤其是造纸业与印刷业的突飞猛进，直接为数学的发展创造了条件。北宋的土木工程和水利工程很多，经常用到包括方程在内的数学知识。随着数学问题的日益复杂，迫切需要一种普遍适用的列方程方法，以提高工作效率，天元术便在北宋应运而生了。但直到李冶之前，天元术还是比较幼稚的。记号混乱、复杂，演算烦琐。例如李冶在山东东平得到的一本讲天元术的书中，还不懂得用统一符号表示未知数的不同次幂。未知数的一次幂（即χ）用“天”字表示，二次（χ2）至九次（χ9）幂则依次用上、高、层、垒、汉、霄、明、仙来表示，运算之繁可想而知。李冶决心在前人的基础上，创造一种简便而用途广泛的天元术。当时，北方出了不少数学书，如《钤经》、《照胆》、《如积释锁》、《洞渊算书》等，这些书为李冶的数学研究提供了方便。特别是在《洞渊算书》中讲了不少求直角三角形内切圆、外切圆、旁切圆直径的方法，对李冶启发甚大。这类问题统称为“容圆问题”。李冶研究了怎样在不同条件下用天元术求圆的直径，写成代数名著——《侧圆海镜》十二卷，这是他一生的最大成就。
李冶在桐川生活时，条件是十分艰苦的。不仅居室狭小，而且常常不得温饱。据说，他住的房间长、宽各一丈，屋里摆满了书。别人觉得这种生活简直没法过，他却泰然处之。从不间断自己的工作。
有时候，为了筹集一点从事科研和生活的费用，李冶不得不求助于人。李冶很不愿意这样做，他曾感慨地说：“开口求人是不体面的。做学问的人穷到捉襟见肘的地步，不得不向人家摇尾乞怜，实在是学者的悲哀啊！”不过，一些开明的官吏和名儒还是很赏识他的学问，如聂珪、张德辉、王鹗等，都曾给予他不同程度的资助。
在桐川，李冶与元好问来往密切，常在空闲时吟诗唱歌，一唱一和。他们的诗清新、流畅、朴实无华，常为远近的人传诵。有时，传诵的人也说不清是李冶的诗还是元好问的诗，便笼统地说是元李所作。李冶生活虽然清苦，但朋友间的情谊，大自然的风光，还是为他的生活带来不少乐趣。元好问曾用下面的诗句形容李冶的住处：“萧萧窗竹动秋声，檐问白云澹（澹音dan，安静的意思）以成。白云朝飞本无意，白云暮归如有情。”诗中颇有自得其乐的味道。
李冶的诗中有一首脍炙人口的《潇湘夜雨》，生动地捕写了远行之人的思乡情：
远寺孤舟堕渺茫，
雨声一夜满潇湘。
黄陵渡口风波暗，
多少征人说故乡。
此诗粗看起来是一幅闲情逸致的画面，但仔细品味，方使人感到一种惆怅的情绪。开头两句，语言流畅自然，有如一幅素雅的山水画。第三句是过渡句，为最后点明的思乡主题渲染气氛。末句是画龙点睛之笔。远行的人们，在雨夜的孤舟上深深怀念着家乡，不禁溢于言表。读到这里，读者已在不知不觉中被引入了诗的意境，从内心深处发出了对那些征人的同情。
1242年，李冶到河南去了一趟，从阳翟找到父亲的灵柩，归葬于故乡栾城。他请元好问写了一篇纪念父亲的碑文，立碑于坟前，不久便又回桐川，继续在他那数学王国里奋斗。
经过多年的艰苦奋斗，《测圆海镜》终于在1248年完稿。它使天元术达到相当完善的程度，无疑是当时世界上第一流的数学著作，但在中国却没有引起重视。对这一点，李冶是早就料到的。他写完《测圆海镜》后，感慨地说：“我写这本书，可算是呕心沥血了。世人会如何评论呢？同情我的大概数以百计，而嘲笑我的则数以千计吧！”但他接着又说：“我既有收获，便自得其乐，何必计较别人的同情或嘲笑呢？”实际上，《测圆海镜》一书直到1282年（元至元十九年）才得以出版，这时李冶已去世三年了。
《测圆海镜》是我国现存最早的一部以天元术为主要内容的著作，所以是非常宝贵的。书中的天元术分为三步：首先“立天元一”，这相当于设未知数χ；然后寻找两个含有天元的等值多项式；最后把两个多项式连为方程。李冶称未知数为天元，称方程式为天元式，采用由高次幂到低次幂上下排列的顺序。
其中“太”表示常数项，也可不标太字而在一次项旁标“元”（天元的简称）。图中的数码是算形象的反映。算筹是中围古代用于计算的小竹、木棍，在珠算产生以前，它是中国主要的计算工具，在春秋战国时代就普遍使用了。
分别表示1，2，3，4，5，6，7，8，9。使用时横竖相间，可以表示任何正整数。后来，这种算筹记数的形式演变为数码，用于书写。
《测圆海镜》卷一的圆城图式是全书的出发点。该图以一个直角三角形及其内切圆为基础，通过若干互相平行或垂直的直线，构成16个直角三角形。全书一百多道题都是已知某些三角形边长，求圆的直径。有的简单，有的复杂，但所有的题都给出推导方程的详细过程。后人重印这本书时，往往在书名后加上“细草”二字，成为《测圆海镜细草》。书中的方程有二次的，有三次、四次的，还有一个六次方程。不管方程的次数高低，李冶都是在写出方程后便给出结果，不写解方程的过程。他当然会解所有的方程，不然，结果怎能准确无误呢！读者要想了解当时的人是怎么解方程的，就需要看与李冶同时代的另一位大数学家——秦九韶的著作了。秦九韶的《数学九章》全面总结了求高次方程正根的方法，比《数书九章》晚一年成书的《测圆海镜》则全面总结了建立方程的方法——天元术。两位互不相识的数学家，“配合”如此默契，这在数学史上是罕见的。实际上，两人可能从没听说过对方。李冶生活在金末元初的北方，秦九韶生活在南宋，当时南北文化交流极少。到1279年元灭南宋统一南北方时，秦九韶已去世十多年，李冶也于这年去世。所以，我们看到两人的著作中从未提到过对方，就不会感到奇怪了。两人各自独立地进行数学研究，对我国数学的发展做出了几乎是同样重要的贡献。
第五节 杰出贡献
同以前的数学书相比，《测圆海镜》有许多新成果。以前，人们认为方程的常数项是表示面积、体积等几何量的，所以只能为正。李冶认识到，常数可以有纯代数意义，不一定表示几何量，所以可正可负。
书中出现了分式方程，并懂得用方程两边同乘一个整式的方法，化分式方程为整式方程。当方程各项含有公因子xn时，李冶便令次数最低的项为常数项，其他各项都降低n次。李冶的这一做法，相当于用xn去除方程各项，从而降低方程次数。
在《测圆海镜》中，李冶采用了从0到九的完整数码。除0以外的数码古代就有，是筹式的反映。但筹式中遇零空位，没有符号0。这样，写起来就很不方便了。人们很容易把2308与238弄混，或把750当做75。怎么办呢？李冶首先想到，《唐书》在叙述历法时曾用“空”字表示天文数据的空位。能不能在数码中用“空”表示零呢？这样，2308就写成空。算筹形状的数码中加一个汉字，显得很不协调，而且笔画多，写起来费事。用什么符号表示零呢？李冶考虑了许久。“这个符号，应该是既简单、又好看，便于人们书写的。”李冶踱着方步，自言自语地说。
桐川的夏天，骄阳似火。只有在天黑以后，凉风才徐徐吹来。对李冶来说，夏夜的油灯旁，小桌上，便是做学问的好地方。他翻开汉、唐典籍，发现某些地方用口表示脱落的文字。李冶的眼睛一亮，困扰自己多日的问题似乎有了答案。“何不用这个方框表示零呢？”他立刻拿起笔来，蘸饱了墨，工工整整地写下，以表示1308。他端详了一会儿，觉得符号与其他符号配在一起，是很协调的，这比用空位或汉字表示零强多了。在此后的一段时间里，他便用表示零。
后来，李冶发现符号写起来还是不够方便。它像汉字口，有三画。能不能再简单一点呢？有一次，他在草稿纸上写天元式时，为了加快书写速度，不知不觉地把写成了草体，像个圆圈。这个不方不圆的符号引发了李冶的灵感：“干脆用圆圈表示零，不是比更简单吗，一笔就写成了。”李冶仔细地画了一个圈。觉得很好看。但他又想：“别的数码都是横平竖直，唯独零用圆圈表示，合适吗？”一时拿不定主意。他放下纸笔，推开房门，深深吸了一口新鲜的空气。皎洁的月光普照大地，不远处传来潺潺的溪水声。他在小路上漫步，除了草地中的蟋蟀声，可以说是万籁俱寂。他一边思考着是否用圆圈代表零，一边抬起头来，望着夏夜的星空。一轮大而圆的月亮高挂天空，周围的星显得稀疏了。“圆的东西是美好的。”李冶头脑中闪过这样一个念头。他继而想到，圆的太阳、圆的珍珠、圆的果实……似乎圆是与美连在一起的。就连人间的一些美好事物，也离不开圆，如团圆、圆梦、圆满等，佛教徒谈到死时还忘不了圆，叫“圆寂”。在中国人的心目中，圆即美满。“对！就用〇代替。它既好看又好写，何乐而不为呢？”想到这里。李冶匆匆赶回家中，用新的符号连写了几个方程式。从那以后，他便一直使用符号〇了。
另外，李冶在《测圆海镜》中还使用了负号和一套相当简明的小数记法。
在李冶之前，负数是以汉字“负”来表示的，没有专门的符号。在进行筹算时，则把表示正数的筹染成红色，表示负数的筹染成黑色，或者用摆法的正、斜来区别正、负。李冶在写《测圆海镜》时，要进行大量的正、负数运筹，上述办法实在不方便。善于动脑筋的李冶便试图用一个简单的符号来表示负数。他首先想到了“—”，在数字旁加一横来表示负。行不行呢？这样，—156便写成，末尾的一横很容易使人误认为数字一，用一竖来表示负同样行不通。若在数字上画一斜线，来表示负数，如何？他想到这里，在156的6上画了一条斜线，成为，觉得很满意。但他又想，一个数字有好几位，这条斜线画在什么地方呢？因为原来表示负数的“负”字写在数字的右边，他自然想到在末位画一条斜线。但是，若末位是0呢？0是没有正负的，在上面加一斜线似乎不妥。李冶经过反复考虑，终于作出决定：在负数的最后一位有效数字上加一斜线。如用表示—175，用0表示—360，等等。就这样，负号在桐川一间茅屋里诞生了！这是李冶的骄傲，也是中国人的骄傲。负号发明以后，随着元朝的统一，迅速传遍全国，它为数学计算提供了方便，促进了数学的发展。
那么，小数该如何表示呢？在李冶之前，小数表示一般离不开数名，如7.59875尺记作七尺五寸九分八厘七毫五丝。小数位数越多，数名越繁。在《隋书》中，著名的祖冲之圆周率记作“三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽。”李冶则取消数名，完全用数码表示小数，纯小数于个位处写0，带小数于个位数下写单位，如0.25记作〇，5.76记作。
李冶的小数记法在当时是很先进的。直到16世纪，西方的小数记法还很笨重。例如比利时数学家斯带文在1585年出版的《论十进》中，把每位小数都写上位数，画上圆圈。这样，27.847便写作2708（1）4（2）7（3），这种记法显然不如李冶的记法简便。直到17世纪纳皮尔发明小数点后，小数才有了更好的记法。至于负号，在国外是德国人于15世纪才发明的。
以《测圆海镜》为代表的天元术，对后世数学的发展影响很大。李冶死后不久，天元术经二元术、三元术，迅速发展为四元术，解决了四元高次方程组的建立和求解问题。这些代数成就达到了当时世界上的最高水平，可惜的是没有及时传到国外。
第六节 封龙书院
李冶写成《测圆海镜》后不久，到太原住了一段时期。太原府的长官请他出来做官。他婉言谢绝了。李冶曾目睹金朝官府的腐败，而蒙古军队灭金的过程中，又大肆屠杀人民，抢掠财物，他实在不愿为蒙古统治者效劳。后来，他又流落到平定，平定侯聂畦很尊重他，把他接到自己的帅府来住，并给了他一些资助。聂畦没有勉强他做官，而是看重他的学识，希望他能成为自己的“智囊”。李冶很感激聂畦的慷慨相助，两人常在一起谈古论今，话很投机，彼此视为知己。但李冶想，在这里寄人篱下，总不是长久之计啊！他怀念着自己的亲人，怀念着故乡栾城和少年求学时的元氏县。
1251年，李冶的经济情况已经好转，河北一带也比较安定了。李冶得到消息，战乱中失散的儿子克修已在元氏县定居。于是，他终于结束了在山西的避难生活，回到元氏。他在离县城25千米的封龙山下买了一点田产，以维持生活，并开始收徒讲学。李冶一生不求显贵，但却努力著述，乐于教人。他那渊博的学识、友善的态度，以及因材施教、循循善诱的教育方法，吸引了越来越多的学生。不仅青年人来求学，有些已有官职的中年人还慕名而来，聆听李冶教诲呢，不久以后，学生便增至数十人，家里自然是容纳不下了。于是，乡人们便聚在一起，商议建学堂之事。封龙山中，本有北宋文学家李防的读书堂故房基，但战乱以来废而不治，荆棘丛生。如果修复一下，让先生在这里讲学，不是乡里的一件美事吗？大家把这个想法告诉李冶，李冶十分高兴。大家纷纷从家里拿来锹、镐，又搜集木料砖石，请来木工、瓦匠，修整房屋。有钱的出钱，有力的出力，干得热火朝天。在师生的共同努力下，不出两月，学堂便修成了。因为在封龙山中，被称为封龙书院，远近闻名。
封龙山原名飞龙山，在恒山南面，唐代以后才改为今名。山上峰峦明秀，泉石清美，草木茂盛，确是讲学、进修的好地方。远远望去，山势如卧龙，南方的龙首峰高1800米，顶上有两块巨石，宛若龙角。封龙书院便坐落在龙首峰下。据县志记载，书院整洁、肃穆，正堂内有孔子的大幅画像。
封龙山上四季景色宜人：春天是山花烂漫，夏天是云烟缥缈，秋天是层林尽染，冬天是玉树银花。信步游山，令人心旷神怡，难怪李冶深爱此山。封龙书院遗址尚在，旁边有一眼清泉，名“蒙泉”，泉水清甜可口，山上还有如诗如画的老龙潭瀑布和收藏汉代碑刻的汉碑亭。如今，封龙山已被列为旅游景点，接待中外游客。
在封龙书院，李冶不仅讲数学，也讲文学和其他知识。他在这里呕心沥血20年，培养出大批人才。他的学生遍布北方各地，可谓桃李满天下。逢年过节，常有学生远道而来，拜见李冶，成为他晚年的一大乐事。
第七节 王庭问答
蒙古灭金以后，忽必烈为了加强对汉族居住广大地区的统治，对金朝遗老采取安抚政策，多次召见金朝旧臣及各地的知名学者，询问治国安邦之道，并从中选拔人才。1257年，他派董文用专程去请李冶，还亲笔写信说：“我早就听说先生学识渊博，才华出众，却隐居山林，不求功名。很想见先生一面，望勿推辞。”李冶虽不想做官，但他对国家大事还是关心的。这几年，他听说在蒙古与南宋交战的过程中，忽必烈率领的军队纪律较好，不妄杀平民，而且忽必烈对知识分子比较尊重，所以李冶对他有好感。他想，趁此机会向忽必烈提些建议，也许会对国家有好处。于是，在5月的一天，他便乘董文用的马车来开平（今内蒙古正蓝旗）见忽必烈，坦诚地表达了自己的政治见解。
忽必烈首先问李冶：“你曾在河南做官，你认为金朝诸臣中，谁称得上贤臣？”李冶答道：“金朝存在一百多年，也出了不少人才。但在危急存亡之际，完颜仲德最可嘉。”他提到的完颜仲德，进士出身，是金哀宗时的大将。他奋力抗蒙救亡，所率部队纪律严明，从上至下同仇敌忾。金亡后自杀而死。忽必烈问李冶：“仲德喜欢读书吗？”李冶答道：“仲德博览古今之书。他所以能以国忘家，为国捐躯，实从读书中来。”忽必烈连连点头，又问李冶：“你以为天下该如何治理？”李冶回答说：“治理天下，可以说难于登天，也可以说易如反掌。为什么呢？如果国家有明确的法制，做到有法必依，并重用君子，疏远小人，国家必然安定。如此治理天下，不是易如反掌吗？若国家没有法制，或者有法不依，违法不究，重用小人，疏远君子，国家必乱。如此治理天下，不是难于登天吗？”他强调说：“治理国家，最重要的莫过于法制和纪律。制定纪律，为的是有上下共同遵守的准则；严肃法制，为的是奖善惩恶，赏罚分明。当今社会上，有功者未必得赏，有罪者未必被罚，甚至立了功反而遭受讽刺、打击，有罪之人反而受宠，这都是国家的赏罚不明所致，发展下去是很危险的。”
在谈到人才问题时，李冶说：“天下的人才并不缺乏，求则得之，舍则失之。”他推荐了魏瑶、王鹗、李献卿、郝经等，说这些儒生“皆可用之材”。忽必烈点头称是，李冶提到的这些人，他都接见过。他立刻回忆起这些学者的言谈举止，觉得李冶的话很有道理。李冶接着说：“四海之内何止这几个人呢？如果您能广开言路，各方求贤，必然会有大批人才来到您的身边，云集于朝廷之内。”忽必烈又问：“回纥人可用否？”李冶答道：“汉人中有君子、小人，回纥人也有君子、小人。国家应该择而用之。”李冶主张任人唯贤，反对种族偏见，认为只用蒙古人和汉人并不妥当。
最后，忽必烈向李冶询问地震原因。因为刚刚发生了一次地震。李冶答道：“天降灾害，是为了警告人君。现在发生地震，不外乎以下原因：也许是有奸臣在您身边，也许是盛行走后门，也许是进谗言的人太多，也许是刑罚不当，也许是无故征伐他国。五者必居其一。”说到这里，李冶抬头看了看忽必烈，只见他听得很入神，若有所思。于是，李冶便趁机劝告忽必烈：“上天爱护人君，如同爱护自己的孩子，所以才用地震来提醒您。如果能够辨别奸邪、杜绝走后门、不听谗言、减轻刑罚、停止征伐，便是合乎天意、民心，必然国泰民安，不会有灾变了。”由于时代的局限，李冶对地震原因的解释并不科学，但他向忽必烈提出的5条政治建议，却有着进步意义，不失为当时的治国良策。其实，李冶未必研究过地震成因，他不过想假托地震表达自己的政见罢了。如果直接批评蒙古统治者，不就触犯龙颜了吗？李冶的这些建议都是有的放矢的。他早就对蒙古统治者发动的战争及严苛的法律不满。所以才提出要“减轻刑罚，停止征伐”。
对于李冶的议论，忽必烈表示了赞赏。从他即位后的用人来看，李冶的意见还是对他有一定影响的。
第八节 数学教育
李冶会见忽必烈之后，回封龙山继续讲学。1259年，李冶写成另一部天元术著作：《益古演段》三卷。如果说《测圆海镜》是为数学家写的，那么《益古演段》就是为他的学生写的。李冶认识到天元术的重要性，但《测圆海镜》比较深奥，粗知数学的人看不懂。于是李冶便在教学的同时，着手写一部普及天元术的著作。他曾读过北宋数学家蒋周的《益古集》，内容多为二次方程，列方程的方法则是几何的，不懂得设未知数。李冶用天元术对此书进行研究，于是有《益古演段》之作。演是推演的意思，段是“条段”的简称，因为方程各项常用一段段的条形面积表示，所以称为条段。李冶在序言中说：“如果能使稍有数学知识的人看懂此书，掌握天元术要领，我将感到十分快乐。”
当时的数学书虽然不少，但缺乏适于普及的精品。在李冶看来，有的作者故弄玄虚，把数学说得很神秘，而且用词晦涩，以为看懂的人越少就说明自己越有学问；有的作者又把书写得浅近粗俗，平淡无味，使人读了少有收获。李冶很欣赏蒋周的《益古集》，因为它深浅适中，文字简练，题目又有实用价值。该书为他几年来苦苦思索的一个问题找到了答案，那就是：通过什么途径来普及天元术？李冶知道，天元术之所以难普及，就因为它太抽象了。自古以来，人们习惯于度量和计算那些看得见的几何量，如长度、面积等。对于较复杂的立体图形，已感到难于想象了，而天元术所建立的方程居然可以高达四次甚至更高，人们简直无法理解一个量的四次方是什么东西？所以感到高次方程是十分神秘的。面对《测圆海镜》这样的高水平学术著作，许多人只好望洋兴叹了。李冶想，天元术的优越性不仅表现在建立高次方程，也表现在建立二次方程。二次方程解决的面积之类的问题，既可用几何方法，又可用代数方法——天元术。如果能把二者结合起来，以几何方法解释天元术，并通过二者的比较来说明优劣，一定能达到让读者理解天元术并乐于使用天元术的目的！想到这里，李冶便选中了以解决方、圆面积问题为主的《益古集》，该书的方程都用几何方法导出，比较直观，但复杂多变；天元术比较抽象，但方法简单，不需要很多技巧。在具有一定的抽象能力后，人们会感到天元术比几何方法优越得多，许多难于画图、用几何与算术方法费解的“难题”，只要设个未知数（即“天元之一”），解起来便易如反掌了。李冶决心使自己的《益古演段》成为一座桥，使人们由几何方法的彼岸走到天元术中来。
《益古演段》全书64题，都是平面图形，所求多为圆径、方边、周长之类。其中60题是二次方程，其余4题是一次方程，内容安排从易到难。书中新、旧二术并列，新术是天元术，旧术是蒋周的图解法。书中常用人们易懂的几何方法对天元术或代数公式进行直观解释，图文并茂，深入浅出。例如，书中讲到了“四积一较幂”公式，较指两数的差，幂即自乘积。
李冶画图，其中每个“池”长a宽b，这样，公式的几何意义便一目了然了。
另外，李冶还在列方程时创立了设辅助未知数的方法。如果方程的首项系数四积一较幂大，用筹算来解方程是比较麻烦的。遇到这种情况时，李冶便设法缩小首项系数，尽量把它变为1。
当然，李冶时代是没有x、y的，我们这里借用了现代符号。李冶称这种设辅助未知数的方法为连杖同体术。顾名思义，他是把辅助未知数看做与原方程连为一体的一个分枝。这种方法在代数上是很有用的。我们在遇到较复杂的方程时，不是也往往通过辅助未知数来简化方程吗？
李冶写成《益古演段》后，便以此为教材，他的数学教育更有系统了。虽然他已是著名数学家，但每次备课都十分认真，准备讲给学生的题目，自己必先演算一遍。他讲课条理清楚，并注意启发学生独立思考，让学生多做题，因此教学效果很好。除数学外，他还向学生讲解儒家经典、文学知识和历史。在这样一位多才多艺、博古通今的老师门下读书，学生们都感到乐在其中。不少人远道而来，拜李冶为师。
李冶对于求学的人，可以说是来者不拒。他效法孔子，有教无类，不限制出身，也不限制年龄。李冶的学生中，上至宰相的儿子，下至农夫、商贩；年长者两鬓斑白，年少者才十几岁。
李冶讲学属于私学，没有固定的学制。但他对学生要求严格，每年都要进行考核，学生学成之后，便可以离校了。由于李冶的声望和他的高质量教学，各地官府都愿任用他的学生。
第九节 隐居山林
年逾花甲的李冶，全身心地投入讲学著书活动。他在闲暇时喜欢爬山，与蜿蜒起伏的封龙山结下了不解之缘。人们说他“爱山嗜书，此外再没有别的爱好了”。李冶热爱科学，热爱大自然，却把功名看得很轻，尤其不愿负辱求名。这从他对忽必烈的态度可以看得很清楚。
1259年，忽必烈正率军攻打南宋的鄂州（今湖北武昌），突然得到他的哥哥——蒙古大汗蒙哥的死讯。忽必烈为争夺帝位。不得不罢兵北归。1260年（中统元年），忽必烈当了皇帝，即元世祖。第二年7月建翰林国史院于开平，让王鹗负责翰林院的组织工作。王鹗推荐李冶入翰林院，忽必烈欣然同意。他聘请李冶至京（即开平），许以清高而显要的工作——翰林学士知制诰同修国史。翰林学士是官衔，知制诰是官名，掌管起草诏令（以帝王名义下达的文件称“制诰”）；同修国史是具体的工作任务。李冶此次来京，第二次见到忽必烈，不像上次那样慷慨陈词了。在说了几句客气话以后，便向忽必烈表示：“我现在年老多病，实在难当此任。您还是另寻高明吧！”忽必烈见他不愿做官，也不勉强。李冶辞别忽必烈后不久，便重回封龙山隐居了。
李冶当时69岁，身体尚好，耳聪目明。他拒绝元世祖的聘请，并非身体原因，也不是能力不足，因为他的文史功底相当深。那么。他为什么不肯为朝廷效力呢？第一，李冶在上次会见忽必烈时，曾诚恳地劝告蒙古统治者“停止征伐”，但四个月后，蒙哥汗及忽必烈等便率领大军出师南征，企图灭宋。对这种“伐人之国”的战争，李冶是不赞成的。这是李冶不愿出来做官的原因之一；第二，由于南宋军民的奋勇抵抗，使蒙古军队直到1259年夏仍无重大进展，蒙哥汗也死于战场。1260年3月，忽必烈在开平称帝，他的弟弟阿里不哥不服，起兵反抗，蒙古统治区陷入连年的内战。忽必烈聘请李冶时，内战正在进行，李冶不愿在这种动荡的局势下作官。他对家人说：“世道不好，君子是不该出去做官的。若顺潮流则违心；若逆潮流又无回天之力，反招祸患。所以只好隐居。”
李冶选择隐居的道路虽属不得已，但他对自己的选择还是很满意的。他说：“君子可以做官，也可以隐居。但是，只有那些德、才兼备而不肯轻易出去做官的人，才可称为隐士。一些不学无术、行为怪僻的人以‘隐士’自居，实在是徒有虚名，亵渎了隐士的美名。若无德无才，只在穷乡僻壤中苟延残喘，那算什么隐士啊！”在李冶看来，真正的隐士也是君子，他以自己能成为这样的君子而自豪。
第十节 翰林学士
翰林国史院于1261年（中统二年）初建时，蒙古内战正在进行，翰林院未能正常开展工作。1264年（至元元年）7月，阿里不哥大败，溃不成军，不得不率诸王来降。蒙古内战结束，使忽必烈把较多的注意力放在经济和文化建设上。他于8月迁都燕京，并改名为中都（今北京）。王鹗不失时机地建议世祖重组翰林院，修国史与辽、金史。世祖采纳他的建议。于当年9月重立翰林国史院于中都。1265年（至元二年），世祖再召李冶为翰林学士知制诰同修国史，并派车去接。李冶不便推辞，于是随车前往中都，在翰林院任职。
李冶的工作有两项，一是为皇帝起草诏令，二是参与编写蒙古史。他做这些工作毫无困难。但他是一个崇尚思想自由的人，对任何人都不愿唯命是从。他不久便发现，翰林院的工作环境不符合自己的性格。虽然不少人把能为皇帝起草文件看做十分荣幸的事，但李冶认为对自己来说没什么意义。作为一个有识之士，应该为国家的治理出谋划策，现在却只能按皇帝的意思写文件。不仅提不得反对意见，即使由于对皇帝的心意揣摸不透而出现文字上的疏漏，也会被认为失职，所以只能小心翼翼地遣词造句，绝对不可把自己的思想加进去。这样工作真没意思！至于修史，李冶本以为可以有所作为，因为自己读过不少史书，对蒙古史也多有耳闻。他十分赞赏司马迁的观点：“通古今之变，成一家之言。”他在读司马迁的《史记》时，不只一次地拍案叫绝。他非常钦佩司马迁的忠于历史的精神，认为写史就要写成《史记》那样的信史。他也深深地为司马迁的文笔所折服，感到读《史记》不仅是在了解历史，简直可以说是一种文学享受。众多的历史人物栩栩如生，各种形象跃然纸上，使人爱不释手。他想以司马迁为榜样，把自己的见解融于历史记载，成为“一家之言”。把国史写得既真实又生动。但他发现，他的愿望根本实现不了。蒙古统治者让他们编史，主要目的不是为他们提供研究历史的机会，也不是为后人留下详实的资料，而是为政治服务，为巩固蒙古统治服务。不仅不能在史书中阐述自己的观点，就是史实的取舍，也要符合统治者的意愿。为了美化蒙古统治者，监修官甚至让他们歪曲历史。蒙古军队在征伐邻国时的许多重大暴行不准写入史册，统治者的决策失误也要回避。对于蒙古内战的双方，败者要极力贬斥，胜者要歌功颂德，真是胜者王侯败者贼！虽然翰林院的工作不算繁重，生活也比较舒适，但李冶却感到心情压抑，因为在这里呼吸不到新鲜的空气。他不敢违抗统治者的意旨，又不愿在编史时隐瞒或歪曲历史，说违心的话。因此，他在工作了几个月之后，编史的热情便越来越低了。
日月如梭，转眼到了冬天。京城内外，白雪皑皑，寒风凛冽。李冶常常一个人走出翰林院，在小路上漫步。在他的脑海里，不时闪过家中亲人的形象。虽然这里是繁华的京城，他却有一种“独在异乡为异客”的惆怅。年逾七旬的李冶，实在不愿在这里干了。睡梦中还常常见到郁郁葱葱的封龙山，见到自己那些可爱的学生。
最后，李冶终于鼓足勇气，同监修历史的左丞相耶律铸谈了自己的想法，谈了自己不能效法司马迁的苦恼。通过近一年的交往，耶律铸对李冶的人品及学识有了进一步的了解。他叹了口气，说：“司马迁的《史记》是私修，我们的史书是官修啊！我也有自己的观点，可是，我是代表圣上来监修历史的，怎敢不照圣上的意旨行事呢？”李冶表示自己心力不支，想回家养老。耶律铸很同情他，并向元世祖转达了李冶恳求还山的愿望，忽必烈未予强留。他虽然希望海内的知名学者能为朝廷服务，但对那些不愿为自己所用的知识分子，他从不勉强，也不干涉其学术研究。作为一个封建皇帝，能做到这一点就算不错了。
李冶在临行前致书翰林院，说：“翰林院并非病人居住的地方，官禄也不是庸夫应该得到的。”其实，这不过是他的婉言推托之辞。李冶接着说：“官场上的诽谤是令人畏惧的。”这句话才道出了他辞职的真实动机。李冶像他父亲一样，遇到不平事便要争曲直。他的这种性格，难免受到那些只知见风使舵、迎合上司的人的非议。若在家乡，有人议论并不可怕。但这是在天子脚下，一些冒犯朝廷的话被官场上的人听到，就可能招致祸患。在这里提心吊胆地过日子，真不如回家养老，自由自在地生活。他私下里对人说：“按皇帝的旨意起草诏令，在宰相的监视下编写历史，作者不能以是为是，以非为非。在我看来，只有那些善于逢迎的小人才欣赏这类工作呢，有识之人恐怕会感到羞耻。”
李冶在翰林院任职正好一年。临行前，耶律铸为他饯行。席间赠诗一首：“一代文章老，素车归故山。露浓山月净，荷老野搪塞，茅屋已知足，布衣甘分闲。世人学不得，须信古今难。”这里的古今难，指李冶的《敬斋古今黈》一书，敬斋是李冶的笔名，难是问难的意思。全诗大意为：“文学上的一代宗师，就要乘坐古朴的马车回归故山了。那是个山清水静的地方，夜晚月光皎洁，清晨露水浓重；池塘里荷花渐老，凉意袭人。有茅屋避风雨，已经知足；穿布衣御寒，自得其乐。这种不求功名、不图富贵的清高之士，一般人是学不来的。要领会高士的思想境界，还是看看《敬斋古今黈》吧！”后来，李冶把书名改为《敬斋古今黈》。一是黄色的意思，这里表示黄棉。古人有“黄棉塞耳，不听谗言”的话。李冶把黈字写进书名，便表现了他独立的人格与精神，决不随波逐流、人云亦云。不过。他选择这样一个生僻的古字，使许多读者认不得，常误渎为“注”。
第十一节 三老四贤
李冶从山西回到元氏以后，便常在讲学之余与元好问，张德辉一起游封龙山。三人情投意合，关系最密，人们称他们是“龙山三老”。三老之中，元好问的名望无疑是最大的，因为他是当时的一位大诗人；流传至今的金代诗歌总集《中州集》便是他编的。他曾说过：“我死后，不必为我写墓志。只要在坟前立一个三尺高的石碑，写上‘诗人元遗山之墓’（遗山是元好问的笔名），我就心满意足了。”金朝灭亡之后，好问一直没有做官。1235年以后，史天泽掌管真定府，张德辉在他手下为官。李冶回元氏时，他正负责真定地区学校的管理，元氏县也归他管。三老当时有一个共同的政治目标，就是争取忽必烈尊重汉族的知识分子，按照儒家思想治国。
实际上，早在1247年，忽必烈便在漠北的和林（今蒙古国哈尔和林）召见了张德辉，访求人才，德辉举荐了魏蹯、元好问、李冶等二十余人。1252年，李冶与元好问、张德辉一起谈论国家大事，认为蒙古统治者正在以武力打天下，缺乏治理国家的文官，而且兵役过重，影响到文化、教育。张德辉根据自己会见忽必烈的体会，认为此人对知识分子还比较同情，对孔子也有兴趣，何不尊他为儒家的首领，利用他在最高决策机构中的地位，来推广汉族的文化？于是，他们便联络了各地的一些学者，决定尊忽必烈为“儒教大宗师”。1252年秋，张德辉与元好问亲自到和林见忽必烈，奉上“儒教大宗师”的称号，忽必烈十分高兴。他们还请求忽必烈免儒户的兵役，这个目的也达到了。
1257年，68岁的元好问病逝。三老之中，只剩下二老了。1260年，忽必烈称帝以后，便起用张德辉为河东宣抚使，管理临汾、太原一带。当时河东很乱，官府与豪强狼狈为奸，欺压百姓，向农民滥征赋税，甚至预征几年的税，农民苦不堪言，不少人逃往他乡。德辉做事果敢，上任后坚决打击豪强，罢免赃官，合理摊派赋税和劳役，并注意兴修水利、发展农业生产。当地被治理得井然有序，老百姓得到温饱，安居乐业。有些七八十岁的老人，远道赶来见张德辉，称赞说：“多年来战乱不断，贪官污吏横行，60年没见到这样的太平官府了。”1261年，中央政府考察各省官员的政绩，张德辉被列为最优。忽必烈亲自接见他，予以嘉奖，并向他询问治国之策。后来，朝廷打算提升他为侍御史，他因年老体弱而未就职，告老还乡，约1270年（至元七年）病逝，享近80岁。
李冶多交贤士，他不仅与元好问、张德辉并列三老，而且与赵秉文、杨云翼、元好问一起，被称为四贤。1265年（至元二年），山西平定建四贤堂时，其他三位均已去世。
四贤堂源于二贤堂。聂畦为平定侯时，尊重文儒，与李冶、元好问都有来往，曾把李冶接到府中来住。1254年秋，65岁的元好问途中经过聂家，他又留住数日。席间元好问谈起他和李冶的两位老师——赵秉文和杨云翼，希望在二位先生的故乡建纪念堂。聂畦高兴地说：“正合我意。”他一向敬重赵、杨，所以不久便开始筹建二贤堂。不料刚开始动工，他突然得急病身亡，此事便暂时搁下了。1265年，新的平定侯刘天禄得知当初修二贤堂事，认为这是弘扬先贤的好事，应该使聂侯遗志得以实现。他又想，元好问与李冶都是二公门生，早就与二公齐名了。如今，二人名声甚至超过他们的老师。海内之人，不管是否认识元、李，都常常吟诵他们的诗。河南一带的官员和老百姓，谈起有名望的老人时常常提到这四个人，称之为“四贤”。何不改“二贤堂”为“四贤堂”，以作永久纪念？于是，刘天禄便组织工匠建起一所庭院，正堂中置赵、杨、元、李四人的画像。门前一匾，上书“四贤堂”三个大字。落成之时，四贤的不少好友前来祝贺，一些陌生人久闻四贤大名，也不远百里赶来，一睹贤士风采。
当时，李冶正在翰林院任职，他没有应邀参加四贤堂的落成典礼。但是，这一消息加深了他对师友和家乡的怀念。他更不想在翰林院久留了。李冶离开翰林院后，元世祖并没有忘记他，令官府按月给他俸禄，直到去世。
李冶晚年身体康健，德高望重。他的80岁生日时，朋友和学生们纷纷前来祝贺。翰林学士张之翰献诗一首，内有这样几句：“四贤堂上无余子，三老山中只此仙。”“天教上寿非无意，混一本书要正传。”后两句的意思是：上天使您长寿并非无意，因为您有装满一车的书要进行整删、传留后世啊！
李冶平生著述确实很多，堪称一位多产作家。除了《测圆海镜》和《益古演段》以外，他还在晚年整理了自己多年的笔记，写成两部内容丰富的著作——《泛说》与《敬斋古今黈》。《泛说》是一本随感录，记载李冶对耳闻目睹的各种事物的见解。《敬斋古今黈》则是一本读书笔记，涉及文学、历史、数学、天文、哲学和医学，其中以文、史方面的论述最为精彩。另外，李冶作过不少诗词，有十几首保存至今。还著有《文集》四十卷和《壁书从削》十二卷。但这两书已经失传，不知具体内容。只知道《文集》是一部文学著作，收入李治各个时期的文章。李冶死后，学生焦养直曾为《文集》作序，称赞李冶的作品语意深厚。
第十二节 谈古论今
在《敬斋古今黈》中，李冶谈古论今，发表了许多独到见解。
他说：“史不可言命。”即不能把历史事件归于天命。他认为：“写历史应从实际出发，有褒有贬，以明辨是非，教育今人。如果一切归于天命，就没有是非了，也就起不到借鉴作用了，要历史学家何用？”他还说，人类历史是有规律可循的，“圣贤之人不违背历史的发展趋势，而能顺应其发展。若不顾历史潮流，勉强行事，必然失败。”
在谈到普通人物与杰出人物的关系时，李冶说：“人的本性没有贤、愚之别。为什么有人能成为圣贤呢？那是因为他们善于修养，善于发挥自己的才能。”又说：“出身低微的人，只要认真读书，便可以成为教育别人的老师；即使出身高贵，若不好好读书，也只能从事耕田、养马之类的简单劳动。由此看来，怎能不自勉呢？”
李冶作为封建国家的臣民，还曾探讨君主、国家与人民的关系。他说：“国家好比一条船，国君是船长，将军和大臣是船员，老百姓就是载船之水。”因此，他认为国家的利害在于君主，就像船的安危在于船长。如果国君英明，臣子贤良，国家就会太平。他渴望有一位好君主，使国泰民安。
在研究历史的过程中，李冶对不少有争议的事件进行了考证。例如，有人认为“西汉赵过是最早用牛耕田的人。”李冶根据自己的考证，否认了这种说法。他说：“耦（一种农具）用人，犁用牛。早在春秋时代，就有人用牛拉犁耕田了。赵过的功绩是改进犁的构造，提高了工作效率。”
李冶对史实的考证一丝不苟，他反对史实的夸张，更反对把没有根据的传说写入历史。例如《晋书》载，魏时修凌云殿，由于工匠的疏忽，把尚未题字的匾额钉在殿上。钉匾处太高，不便取下，于是把书法家韦诞盛在大笼子里，用辘轳提到80米的高空题字。“韦诞十分害怕，题完字后，胡须、头发全变白了。”李冶认为这是不可信的，“韦诞写几个字，不过是喝杯茶的功夫，恐惧虽甚，须发怎能一下子变白呢？”
另外，李冶还对一些古诗、文的字义进行了考证。例如，他考证出“首级”的意思：
“古时斩敌一首（即头颅）拜爵一级，所以称一首为一级。后来，首级的意思便演化为头颅。”李冶还发现了汉语中的一个独特现象——某些词的否定形式与肯定形式的意义相同，李冶称为“极致之辞”。如“不尴不尬”的意思是尴尬，“无赖”的意思是赖。诸如此类的有趣内容，在《敬斋古今黈》中比比皆是。
李冶的兴趣很广泛。有一次，他和学生讨论数的有限、无限。学生问他：“能不能找到一个最大的数或最小的数呢？”李冶回答说：“不能。从一到十，百，千，万……这是数的进率；从十分之一到百分之一，千分之一，万分之一……这是数的退率。进数是无穷的，退数也是无穷的。”他举了一个大数的例子——北宋科学家沈括的“棋局都数”（都音du，即大）。在具有实际意义的数中，当时再没有比它更大的了。这个数是怎么得来的呢？我们都知道，围棋盘共有361个格，每个格可以放黑子、白子或空着，于是有三种不同的情况。对两个格来说，有3×3＝9种棋局；对3个格来说，有3×3×3＝27种棋局；对4个格来说，有3×3×3×3＝81种棋局……依此类推。既然棋盘有361个格，所以从理论上来说，出现的棋局总数是361个3相乘，即3361。李冶说，此数虽已大到“无数名可记”，仍然是个有限数，因为棋盘的格子是有限的。实际上，任何具体的数都是有限数，而不存在“最大的数”。
第十三节 光照千秋
1279年（至元十六年），李冶已是87岁高龄。他卧病在床，知道来日不多了。他看着身边的一部部书稿，回想自己培养出来的一批批学生，感到没有什么遗憾了，脸上露出一丝欣慰的笑容。除了家人以外，他不想让更多的人知道自己的病情，只想平静地离去而不惊动大家。他唯一的牵挂就是他那部倾注了半生心血的《测圆海镜》尚未出版，虽然社会上有不少抄本，但毕竟不方便啊！再说，抄来抄去，难免出错。李冶把儿子克修叫到床前，嘱咐他要设法尽快出版《测圆海镜》。李冶说：“我平生著作不少，只有这部《测圆海镜》值得留给后人。至于其他的书，我死后可以全烧掉。”克修含泪接过李冶反复修改过的书稿，表示一定要实现父亲的遗愿。
李冶死后三年即1282年（至元十九年），《测圆海镜》终于出版了。各地学者争相购买，不久便销售一空，许多人为买不到书而遗憾。由于社会上买书的呼声很高，李克修便组织人力，于1287年（至元二十四年）再版，并请李冶的学生——翰林修撰王德渊作序。随着元朝的统一和数学的发展，李冶的书开始在全国范围流传。
李冶死后不久，元氏县建立了李冶祠堂，里面的塑像栩栩如生，供后人瞻仰。祠堂与四贤堂遥相呼应，都是人们纪念李冶、寄托哀思的场所。
1313年（皇庆二年），元仁宗诏令李冶的曾孙李慎言入翰林院，不久又封为监察御史。他见封龙书院年久失修，为弘扬曾祖父的治学精神，于1321年（至治元年）重修书院。当地人民纷纷响应，李冶当年的学生也捐钱、捐物，书院很快就整旧如新了。慎言请翰林学士袁桷写一篇纪念文章。袁桷欣然命笔，写了《封龙山书院重修记》一文，真实地记载了李冶当年在这里传徒授业的事迹和书院重修的始末，并表彰了李冶一些成大器的弟子。他希望李冶的后人“继承祖先遗志，使书院精神永存。”
李冶的治学精神，确实对后世深有影响。康熙年间，栾城人民仿封龙书院，建龙冈书院于城内，尊李冶为“先达”。乾隆和道光年间，书院曾两次重修。1836年（道光十六年），知县桂超万主持制定了书院章程，对于书院组织、招生制度、待遇、考试及房地产等，都作了明确规定，并立“岁修”制，即每年修整书院一次，由官府拨款，以便书院能长久发挥作用。
根据书院章程，龙冈书院是一个以一年为期的进修学业的场所。聘请“山长”负责书院的日常工作，还有监院（负责学生管理）、董事（管钱）、看守（保护书院）等常设人员。书院有田地30余公顷及捐款3000千文。地租及捐款的利息便是书院的主要经济来源。书院房屋不得挪作他用，也不准私人借住。书院每年2月2日开课，每月集中上课四次，11月底散馆。入学需经考试，录取名额在100以内，前20名可获得奖学金。章程还规定：“书院为教育人才之地，理应整齐清肃……如有酗酒滋事者，立即赶走。”书院的教学体制一直延续到清末，对于传播文化、培养人才，起了不小的作用。栾城的知名学者，大多受益于龙冈书院。
本世纪以来，中国发生了翻天覆地的变化，但李冶家乡的人民，一直没有忘怀这位“先贤”。1992年，即李冶诞辰800周年之际，栾城人民建立了一座“李冶纪念馆”，正中矗立着慈祥而端庄的李冶塑像，四周以图片和文字的形式介绍了李冶的一生，馆内陈列着李冶著作的不同版本，还有后人研究李冶及其著作的各种文献。8月2日，县长蓝平信亲自主持了李冶塑像揭幕暨李冶纪念馆开馆仪式。接着，栾城县举办了有五六百人参加的纪念李冶的大会。一些对李冶素有研究的中、外学者应邀在大会上作了学术报告，包括呼和浩特的李迪教授、杭州的沈康身教授、北京的白尚恕教授和孔国平博士，法国的林力娜博士等。他们说：“800年前，这片富饶的土地上养育了一位闻名于世的数学家——李冶。这是栾城人民的骄傲，也是值得中华民族引以为自豪的。”“希望栾城出现现代的李冶，在各行各业都能出现李冶式的人物、为栾城争光，为全国和世界做出贡献！”纪念会后，内蒙古大学出版社及台湾省的九章出版社联合发表了各位学者的报告，以便海峡两岸的读者进一步了解李冶的业绩。
忆往昔，李冶以自己的毕生心血，在中国科学史上写下了光荣的一页；看今朝，他的优良人品及卓越的学术成就，仍被人们深深怀念着。李冶的事业光照千秋，李冶的精神将永远鼓舞他的家乡和祖国的人民。