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定义
定义是揭示事物的本质属性的逻辑方法，就是用简明的语言把该事物的一切本质属性完整地表述出来。
定理
通过一定论据而证明为真实的命题。每个定理都包括“条件”和“结论”两个部分。条件是已知的部分，结论是从条件经过推理而得到的结果。
公理
人类在长期的实践中反复验证过的，并且不需要再加以证明就被公认的真理。例如：“过一点可以画无数条直线”，这就是公理。
定律
有某种规律的结论称为定律。
推论
由定理直接推导出来的正确的命题成为推论。
猜想
有些命题，通过有限的事实，可能猜出它的结论是正确的，但是还没有被人们用逻辑推理的方法所证明，这样的命题叫做猜想。例如，哥德巴赫猜想。
反驳
要证明一个命题不是真实的，一般只需要举出一个符合命题的条件与命题的结论相矛盾的例子就可以了。这种证明方法叫做反驳。
原始概念
没有加以定义就被采用的概念称为原始概念，又称为基本概念。给概念下定义，要引用已知的概念，这样追溯上去，总有一些概念只能作为对其他概念下定义的起点，而它本身是无法定义的。如“点”、“直线”等都是一些原始概念。对于原始概念的属性，可以用描述的方法来揭示，如用“针的尖端”、“拉紧的一条细丝”等分别说明点、直线等。
推理
根据一个或几个已知的判断，推出一个新的判断的思维过程就是推理。将已知的判断叫做前提，推导出的新的判断叫做结论。要使推理得到的知识是真实的，必须遵守两个条件：1.前提真实；2.推理的形式正确。
推理有归纳推理、演绎推理和类比推理等。归纳推理一般是指由特殊到一般的推理。分为不完全归纳和完全归纳两种。用不完全归纳推理得到的结论，还必须用其他方法进行证明，才能肯定是正确的。完全归纳推理的结论一定是正确的，但是这种方法只适合于所考察的对象比较少的情况。
演绎推理一般是指由一般到特殊的一种推理。其前提和结论之间的联系是必然的，它是一种确定性的推理。演绎推理有三段论、假言推理、选言推理等。演绎推理统称为“演绎法”。
类比推理是从特殊到一般的推理。它是根据两个对象某些属性相同，从而推出这两个对象的其他属性也可能相同的思维过程。类比推理不是证明，由类比推理得出的结论，只能作为猜想或假设，它的真实性，还要靠其他方法来论证。
判断
对事物的情况有所断定的思维形式就是判断。任何一个判断，或者都是真的或者大都是假的。任何一个判断所肯定或否定的内容与客观现实相符合，它就是真的；否则，就是假的。
概括
在头脑里把抽象出来的本质属性推广到一类事物上去，使它普通化的过程称为概括。概念与规律都是概括的结果。概括是高级的综合。
比较
在头脑里确定事物之间的共同点和差异点就是比较。有的是在同一类事物之间进行比较，找出共同点，便于掌握概念的含义。有的是在不同类相似或相近的事物之间进行比较。比较是在分析与综合的基础上进行的。
抽象
在头脑里抽出一些事物的本质属性而舍去其非本质属性的思维过程就是抽象。
集合
简称为集。所指对象的全体构成一个集合，其中各个对象叫做这个集合的元素。数学中由点构成的集合称谓点集，由数构成的集合称为数集。常用的数集约定用特定的大写字母标记，如自然数集为N，整数集为Z等。不含任何元素的集合称为空集。含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集。
集合的两个基本要素是：1、集合中对象的确定；2、所指对象的范围必须是全体。另外约定在同一集合中不能存在相同的元素。
对集合的表示有三种方式：列举法、描述法、图示法。
实数的绝对值
正数和零的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，结果为正数。
命题
能够判断真假的语句（包括式子）称为命题。其分为真命题和假命题。真命题是指“命题成立”；假命题是指“命题不成立”。如：
（1）“10大于5”为真命题，即这个命题成立
（2）“3等于7”为假命题，即这个命题不成立
（3）“如果一个四边形是正方形，那么它的四个边长相等”为真命题。
（4）“圆是一个长方形”为假命题。
命题有四种形式：原命题、逆命题、否命题和逆否命题。如果原命题是“如果p则q”，它的逆命题就是“如果q则p”；它的否命题是“如果非p则非q”，逆否命题是“如果非q则非p”。
映射
对于两个非空集（其中一定含有元素的集合）A、B，在对应原则f的作用下，如果任意的x属于集合A，都能找到惟一的y在集合B中，使y与x对应（记为f：x→y），这个对应（包括A，B，f）叫做从A到B的影射。其中，y称为x的像，x称为y的原像。
函数
在一个变化过程中，如果有两个变量x、y，使得对于在某个范围内取值的x值，按照某种对应法则，都有惟一确定的y值与它对应，那么就说y是x的函数，x称为自变量。x的取值范围叫做函数的定义域，和x对应的y的值叫做函数的值。函数值的集合叫做函数的值域。通常函数的表示方法有解析式法、列表法和图像法。
复合函数
已知函数y=f（u）和函数u=g（x），如果把u=g（x）代入f（u）就构成了一个新的函数y=f［g（x）］，这个新函数就称为由f（u）和g（x）复合而成的函数，简称为复合函数。这里u叫做中间变量，f叫做外层函数，g叫做内层函数。
幂函数
具有y=xa（a是常数，a属于实数集）形式的关于x的函数叫做幂函数。指数函数具有y=ax（0<a且a≠1）形式的关于x的函数成为指数函数，指数函数的定义域为实数。指数函数是用来描述“生长现象”的数学模式。
对数
对数是一种数学表达式。设a>0，并且a≠1（可以写成0<a，a≠1），对于数N，如果能够找到实数x，使得
N=ax
那么，数x就叫做以a为底，数N的对数，记作
x=logaN
其中a叫做底数（简称为“底”），N为真数。
常用对数就是以10为底的对数。在表示时常常将底数10略去，记作“lg”，如lg8就是一个常用对数。常用对数的可以通过查“常用对数表”得到。
自然对数就是以e=2.71828…为底的对数。在表示时通常写为“ln”，如，ln8就是一个自然对数。其常用于技术科学和微积分中。
指数方程
在指数中含有未知数的方程称为指数方程。
对数方程
在对数符号中的真数或底数中含有未知数的方程称为对数方程。
平面三角学
简称为三角。平面三角的主要研究对象是“三角形”和“测量”。为了解决三角形的计算，引入了三角函数。它的主要内容包括三角函数和解三角形两个部分。它主要应用于几何、物理、天文、航海和其他工程测量方面。
任意角
一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形称为任意角。开始的位置是角的始边，最后位置是角的终边，射线的端点叫做角的顶点。规定逆时针旋转所形成的角为正角，顺时针方向形成的角为负角。如果把一条射线没有做任何旋转也看成一个角，那么这个角叫零度角。
角的度量单位
经常用的角的度量单位有角度制和弧度制两种：
1.角度制规定圆的周角的1/360叫做1度角，记为1°。
1度的1/60叫做1分角，记为1′；1分角的1/60叫做1秒角，记为1″。
2.弧度制规定等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角。
角度制与弧度制之间的换算关系为：
π（弧度）=180（角度）
1（角度）=π/180（弧度）
象限角
为了把角的图形数量化，以便于用代数方法进行研究，常常把角放在直角坐标系内讨论，使角的顶点与坐标系的原点重合，角的始边在坐标系的x轴正半轴上。规定角的终边落在第几象限，就把这个角叫做第几象限角；终边落在坐标轴上的角，不属于任何象限。
任意角的三角函数
设a是一个任意角，以角的顶点为原点，以角的始边为x轴正半轴，建立直角坐标系，终边上任意P的坐标是（x，y），它到原点的距离r（r>0），那么：
角a的正弦sin a =y/r
角a的余弦cos a =x/r
角a的正切tg a =y/x
角a的余切ctg a =x/y
角a的正割sec a =r/x
角a的余割csc a =r/y
将角看作是自变量，其他所有的比值分别是自变量的正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数和余割函数。
根据三角函数的定义，可以确定三角函数的正负符号。当角的终边落x轴正半轴时，正弦、正切值为零；余弦、正割值为正；余切、余割值不存在。当角的终边落在y轴正半轴时，正弦、余割值为正；余弦、余切值为零；正切、正割值不存在。其他可以通过定义很容易地得到。
反三角函数
三角函数相应的映射是单值映射，对于定义域内每一个值（角），有惟一的值与它对应。反过来，对于三角函数每一个函数值却有无穷多个自变量的值（角）与它对应。就是说，确定三角函数的映射不是一一映射。因此必须限定角的取值范围来构成一一映射。当构成一一映射后，就可以把三角函数的反函数定义为反三角函数了。
反正弦函数：y=sin x在［—π/2，π/2］上的反函数，叫做反正弦函数，记为x=arc sin y；
反余弦函数：y=cosx在［0，π］上的反函数，叫做反余弦函数，记为x=arc cos y；
反正切函数：y=tgx在［—π/2，π/2］上的反函数，叫做反正切函数，记为x=arc tg y；
反余切函数：y=ctgx在［0，π］上的反函数，叫做反余切函数，记为x=arc ctg y.用同样的道理可以定义反正割函数和反余割函数。反正弦函数、反余弦函数、反正切函数、反余切函数、反正割函数和反余割函数都称为反三角函数。
三角方程
含有未知数的三角函数的方程称为三角方程。通常对三角方程的解都是将方程化为最简单的三角方程。最简单的三角方程都可以写出通解。
不等式
用不等号（>、≥、<、≤）连接起来的解析式（包括代数式、指数式、对数式、三角式等），叫做不等式。它表示的是数量之间的不等关系。当提到“大小”、“长短”、“高低”等概念时，就会遇到不等式。
不等式具有如下性质：
1.对于任意两个实数a、b，在a>b，a=b，a<b三种情况中，有且仅有一种情况成立（三歧性）；
2.如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b（对称性）；
3.如果a>b，b>c，那么a>c（传递性）；
4.如果a>b，那么a+c>b+c（移项法则）；
5.如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc；
6.如果a>b，c>d，那么a+c>b+d；
7.如果a>b，c<d，那么a—c>b—d；
8.如果a>b>0，那么an>bn（n是大于1的整数）；
9.如果a>b>0，那么1/a<1/b。
数列
按照一定次序排列的一列数称为数列。数列中的每一个数，叫做数列的项。一般地，数列中的第一项叫做首项，第n项叫做通项。数列也可以看作是定义在自然数集（或它的有限子集）上的函数。当自变量在自然数列上由小到大顺序取值时，就得到相应的函数值。
最通常的数列是等差数列和等比数列。等差数列中，从第二项起，每一项与它前面一项的差都等于同一个常数。等比数列中，从第二项起，每一项与它的前面的一项的比都等于同一个不等于零的常数。
数列的极限
描述当数列的项n无限增大时，数列的通项变化趋势的概念是数列的极限。其定义如下：
对于数列{an}，如果存在一个常数A，无论预先给定多么小的正数ε，都能在数列{an}中找到一项a—N，使得这项后面的所有项与A的差值的绝对值都小于ε，那么A就称为数列{an}的极限。
数列的极限的概念，反映出数列在无限的变化过程中，有着向某一固定常数趋近的性质。它主要具有以下性质：
1.如果一个数列有极限，那么它只有一个极限；
2.如果一个数列是递增有界（或者递减有界），那么它一定有极限。
数学归纳法
适用于证明与任意自然数n有关的数学命题的方法叫做数学归纳法。用数学归纳法证明数学命题的步骤如下：
1.证明当n取第一个值n0（例如n0=1或2等等）时，命题正确；
2.假设当n=k（k属于自然数，并且k≥=n0）时命题正确，证明n=k+1时命题也正确。
在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于从n0开始的所有自然数n都正确。
这种方法就称为数学归纳法。
复数
数的概念是从实践中产生和发展起来的。人们首先建立了自然数、整数、有理数、无理数和实数的概念。由于解方程的需要，人们开始引进一个新的数i，叫做虚数单位，并规定：
1.它的平方等于—1，即i2=—1；
2.实数与它进行四则运算时，实数集中的加法、减法运算仍然成立。
在这种规定下，i可以与实数b相乘，再同实数a相加，并把结果写成a+bi.这样出现了形如a+bi（a，b都属于实数集）的数，人们把它们叫做复数。
复数a+bi（a，b都属于实数集），当b=0时，就是实数；当b≠0时，叫做虚数，当a=0，b≠0时，叫做纯虚数；a与b分别叫做复数a+bi的实部和虚部。
如果两个复数a+bi与c+di的实部与虚部分别相等，我们就说这两个复数相等，记为a+bi=c+di.这就是说，如果a，b，c，d都是实数，那么
a+bi=c+di对应于a=c和b=d.
a+bi=0对应于a=b=0.
复数平面
从复数的定义可以知道，任何一个复数z=a+bi，都可以由一个有顺序的实数对（a，b）惟一确定。因此我们可以用平面直角坐标系来表示复数z=a+bi.在复数平面中，直角坐标系中的每一个点表示一个复数。点z的横坐标表示复数z的实部，纵坐标表示复数的虚部。复数平面的直角坐标系叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。原点在实轴上。
加法原理
如果在做一件事时，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的办法，在第二类办法中有m2种不同的方法，如此，在第n类办法中有mn中不同的方法。那么，完成这件事共有N=m1+m2+...+mn种不同的方法。这就是加法原理。
加法原理是解决排列组合问题最重要最基本的原理之一。它给出了解决排列组合问题的一种重要的分析方法：分类。同时指出了相应的运算：加法。
乘法原理
如果在做一件事时，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步时有m2种不同的方法，如此，做第n步有mn种不同的方法。那么，完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法。这就是乘法原理。
乘法原理是解决排列组合问题中最重要最基本的原理之一。它给出了解决排列组合问题中又一种重要的分析方法：分步。同时，指出了相应地运算：乘法。
排列
如果从n个不同元素中，任意取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
当m=n时，即n个元素全部取出时，所得到的排列叫做n个元素的一个全排列。
当m<n时，即n个元素没有全部取出时，所得到的排列叫做n个元素的一个选排列。
组合
如果从n个不同元素中，任意取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出的一个组合。从n个不同元素中取出m个元素的一个组合，实际上就是由给定的n个不同的元素组成的一个m个元素的子集。
两个组合，只有当所含有的元素完全一样的时候，才是相同的组合。
排列与组合都涉及到对某一个集合的子集的研究。其区别在于，排列与元素的顺序有关，组合与元素的顺序无关。
平面
平面是在初等几何中的一个基本概念。它是静止的水面、光亮的平面镜、桌面等形象的数学抽象。平面的基本性质由以下三条公理确定：
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。
公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有并且只有一条通过这个点的公共直线。
公理3：经过不在同一直线上的三点，有并且只有一个平面。
根据公理3和公理1，可以得到以下三个关于平面的推论：
推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有并且只有一个平面。
推论2：经过两条相交直线，有并且只有一个平面。
推论3：经过两条平行直线，有并且只有一个平面。
空间四边形
四个顶点不在同一个平面内的四边形叫做空间四边形。显然四个顶点在同一平面内的四边形不是空间四边形。
异面直线
不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
注意，以下关于异面直线的说法是错误的：
1.分别在两个平面内的直线是异面直线；
2.在空间不相交的两条直线是异面直线；
3.平面内的一条直线和平面外的一条直线是异面直线。
直线平行公理
平行于同一条直线的两条直线互相平行。
多面体
由几个平面多边形所围成的几何体称为多面体。
围成多面体的各个平面多边形叫做多面体的面，两个面的公共边叫做多面体的棱，若干个面的公共顶点叫做多面体的顶点。连接不在多面体的同一面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线。n个面所围成的多面体叫n面体。一个多面体至少应该有四个面。
如果多面体总是位于它的每个面所在平面的同侧，这种多面体叫做凸多面体。在中学数学中只研究凸多面体。
棱柱
有两个面互相平行，其余各面都是四边形并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的凸多面体，叫做棱柱。两个互相平行的面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面，两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱。两个底面的距离叫做棱柱的高。过棱柱的不相邻的两侧棱的截面叫做棱柱的对角面。
侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱。
侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱。
底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。
棱柱具有以下的性质：
1.侧棱都相等，侧面是平行四边形；
2.两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；
3.过不相邻的两条侧棱的截面（即对角面）是平行四边形。
平行六面体
底面是平行四边形的棱柱称为平行六面体。侧棱和底面垂直的平行六面体叫做直平行六面体。平行六面体具有六个面，这六个面都是平行四边形，相对的两个面即平行有全等。因而平行六面体的任何相对的两个面都可以看作它的底面。
长方体
底面是矩形的直平行六面体称为长方体。长方体具有直六面体的所有性质，同时还具有下面的性质：长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和。
正方体
棱长都相等的平行六面体称为正方体。正方体的六个面都是正方形，所以也叫做正六面体。正方体具有长方体和正多面体的一切性质。
棱锥
有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形的凸多面体的立体图形称为棱锥。棱锥的多边形叫做棱锥的底面，其余各面叫做棱锥的侧面。相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱，各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点，顶点到底面的距离叫做棱锥的高，过棱锥的不相邻的两侧棱的截面叫做棱锥的对角面。底面n边形的棱锥叫做n棱锥。
底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫做正棱锥。正棱锥具有以下性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形；正棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；正棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形。
棱锥具有以下性质：如果棱锥被平行于底面的平面所截，则截得的小棱锥和原棱锥的底面相似，对应侧面相似，并且它们面积的比等于这两个棱锥高的平方比。
棱台
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫棱台。原来棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面，其他各面叫做棱台的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱，上、下底面之间的距离叫做棱台的高，过棱台的不相邻两侧棱的截面叫做棱台的对角面，由n棱锥截得的棱台叫做n棱台。
由正棱锥截得的棱台（即用一个平行于正棱锥底面的平面去截正棱锥，所得到底面和截面之间的部分）叫做正棱台。正棱台具有以下性质：正棱台的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰梯形；正棱台的两底面及平行于底面的截面是相似正多边形；正棱台的两底面中心连线、相应的边心距和斜高组成一个直角梯形；两底面中心连线、侧棱和两底面相应的半径也组成一个直角梯形。
旋转面
一条平面曲线（包括直线）绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面。这条定直线叫做旋转轴，无论转到什么位置，这条曲线都叫做旋转面的母线。
母线是与旋转轴平行的直线的旋转面叫做圆柱面。
母线是与旋转轴斜交的直线的旋转面叫做圆锥面，母线和轴的交点叫做圆锥面的顶点。
一个圆绕同一个平面内与它不相交的一条直线旋转所形成的旋转面叫做环面。
旋转体
封闭的旋转面所围成的几何体叫做旋转体。这时旋转面的轴也叫做旋转体的轴。
环体
环面所围成的几何体叫做环体，简称为环。
圆柱
以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的旋转面所围成的几何体叫做圆柱（也可以说，用两个垂直于圆柱面的旋转轴的平面截这个圆柱面，由这两个截面与圆柱面所围成的封闭的几何体称为圆柱）。旋转轴叫做圆柱的轴，轴上的这条矩形边的长度叫做圆柱的高，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面，与轴平行的矩形的一边旋转而成的旋转面叫做圆柱的侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫做侧面的母线。
圆柱具有以下性质：1、平行于圆柱底面的截面是与上、下底面相等的圆；2、过圆柱的轴的截面是全等的矩形。
圆锥
以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转而形成的旋转面所围成的几何体叫做圆锥。旋转轴叫做圆锥的轴，轴上的这条直角边的长度叫做圆锥的高，另一条直角边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面，斜边旋转而成的旋转面叫做圆锥的侧面，无论转到什么位置，这条斜边都叫做圆锥侧面的母线。
圆锥具有以下性质：1、平行于底面的截面是圆；2、过轴的所有截面是全等的等腰三角形。
圆台
以直角梯形的垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而成的旋转面所形成的几何体叫做圆台。旋转轴叫做圆台的轴，在轴上的腰的长度叫做圆台的高，梯形两底旋转而成的圆面叫做圆台的底面，梯形的另一腰旋转而成的旋转面叫做圆台的侧面，无论旋转到什么位置，梯形的这个腰都叫做圆台的母线。
圆台具有以下性质：1、平行于底面的截面是圆；2、过轴的所有截面是全等的等腰梯形。
球面
半圆以它的直径为旋转轴，旋转一周所形成的旋转面就是球面。半圆的圆心叫做球心，连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径。连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径。球面被平面所截得的一部分称为球冠。
球体
由球面所围成的几何体称为球体，简称为球。和球只有一个公共点的平面称为球的切面。和球相截的平面称为球的截面。
球的截面是圆面，球心和截面圆心的连线垂直于截面。截面过球心时被截得的圆称为球的大圆，球被不经过球心的截面截得的圆称为球的小圆。
拟柱体
所有顶点都在两个平面内的多面体称为拟柱体。这两个平面叫做拟柱体的底面，其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的距离称为拟柱体的高。拟柱体的侧面只能是三角形、梯形或平行四边形。
棱柱、棱台、棱锥都是拟柱体。
长方台
两个底面都是矩形，并且它们的对应边都相互平行的拟柱体叫做长方台。长方台可以是棱台，但是，也可以不是棱台。
楔体
是一种拟柱体，下底是梯形或者是平行四边形，上底面是一条与下底面平行的线段。
多面角
是一个有公共顶点并且不在同一平面内的几条射线，以及相邻两条射线之间的平面部分所组成的图形。组成多面角的射线称为多面角的棱。所有这些射线的公共端点叫做多面角的顶点，相邻两棱之间的平面部分叫做多面角的面，相邻两棱组成的角叫做多面角的面角，相邻两个面组成的二面角叫做多面角的二面角。
有n个面的多面角叫做n面角。多面角至少应该有三个面。
直线坐标系
规定了正方向、原点和长度单位的直线叫做数轴，从原点O引向正方向的射线叫做正半轴，引向负方向的半直线叫做负半轴。这样的数轴就叫做直线坐标系。也叫一维坐标系。
在数轴上，有向线段OM的数量x，叫做点M的坐标。
平面直角坐标系
也叫笛卡儿坐标系，是在平面内有公共原点并且互相垂直的两条数轴构成的坐标系称为平面直角坐标系。通常x轴置于水平方向，y轴置于竖直方向，并且规定x轴向右的方向为x的正方向，y轴向上的方向为y的正方向。
建立了直角坐标系的平面叫做直角平面。x轴和y轴把坐标平面分成四个区域，分别叫做第I象限、第II象限、第III象限和第IV象限。各象限以两条坐标轴为界限，x轴和y轴上的点不在任何一个象限之内。
曲线方程
在直角坐标系中，如果曲线C（看作适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与二元方程f（x，y）=0的实数解建立了如下的关系：1、曲线C上的点的坐标都是方程f（x，y）=0的解；2、以方程f（x，y）=0的解为坐标的点都在曲线C上。那么方程f（x，y）=0就叫做曲线C的方程；曲线C叫做f（x，y）=0的曲线。
曲线方程是平面解析几何研究的基本问题。对于曲线方程的讨论，常常是围绕曲线的下列性质进行的：1、曲线的范围；2、曲线在坐标轴上的截距；3、曲线的对称性。
直线的倾斜角和斜率
一条直线l向上的方向与x轴正方向所成的最小正角叫做直线l的倾斜角，简称为倾角。当直线l平行于x轴或者与x轴重合时，规定它的倾斜角为0。
直线l的倾斜角的正切叫做直线的斜率。
圆的标准方程
在平面直角坐标系中，圆心为C（a，b），半径为r的圆的方程为（x—a）2+（y—b）2=r2。特殊地，圆心在原点的圆的标准方程是x2+y2=r2。
圆和直线的关系
一圆C和直线l，当直线l和圆C有两个不同的交点时，直线l叫做圆C的割线，它们的关系是相交；当直线l和圆C有两个相同的交点时，直线l叫做圆C的切线，它们的关系是相切；当直线l和圆C没有交点时，它们的关系是相离。
圆和直线的位置关系有并且只有相交、相切和相离三种情形。
椭圆
平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于定长（这一长度大于F1到F2之间的距离）的点的轨迹是椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点之间的距离叫做椭圆的焦距。也可以说，当一个动点M到一个定点F的距离和它到一条定直线的距离之比是一个小于1的常数时，动点M的轨迹是椭圆。这个定点就是椭圆的焦点。这条直线叫做椭圆的准线。
椭圆具有对称性、封闭性，并且椭圆和椭圆之间在扁平程度上具有差异性。
双曲线
平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于定长（小于F1到F2之间的距离）的点的轨迹是双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做双曲线的焦距。也可以说，当一个动点M到一个定点F的距离和它到一条定直线的距离之比是一个大于1的常数时，动点M的轨迹是双曲线，这个定点叫做双曲线的焦点，这条直线叫做双曲线的准线。
双曲线具有对称性、有渐进线，并且不同的双曲线之间存在着开口大小的区别。
抛物线
在平面上到一个定点F的距离和到一条定直线距离相等的点的轨迹是抛物线。定点F叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线。
抛物线具有对称性和无限伸展性。
圆锥曲线
将一条动直线绕与其相交的一条定直线旋转一周，生成的曲面叫做正圆锥面，或者叫做直圆截面。动直线的任何一个位置都叫做正圆锥面的母线，定直线叫做正圆锥面的轴。母线和轴的交点叫做圆锥的顶点或者锥顶，母线和轴的交角叫做圆锥的半顶角。
如果用一个平面去截割正圆锥面所得到的截线叫做圆锥曲线，或者叫做圆锥截线。
有下列几种圆锥曲线：当平面和圆锥的轴垂直时，截线是圆；当平面和轴的夹角大于半顶角而小于直角时，截线是椭圆；当平面和轴的夹角等于半顶角时，截线是抛物线；当平面和轴的夹角小于半顶角时，截线是双曲线。
因此，圆、椭圆、抛物线和双曲线都是圆锥曲线。
参数方程
在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个参数t的函数：
x=f（t）
y=g（t）
并且对于t的每一个允许值，由上面的方程组所确定的点M（x，y）都在这条曲线上，那么上面的方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数叫做参变数，简称为参数。
极坐标
在平面内取一个定点O，将它定义为极点，再引一条射线Ox，叫做极轴，在极轴上选定一个长度单位和角度的正方向（通常将逆时针方向定为正方向），这样的图形就是极坐标系。
对于平面内的任意一点M，用ρ表示线段OM的长度，θ表示从Ox到OM的角度，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角，有序数对（ρ，θ）就叫做点M的极坐标。
极坐标有四个要素：极点、极轴（一条有向射线）、长度单位和角度单位及其正方向。
孙子定理
在中国古代的《孙子算经》里的一个问题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二，问物几何？”回答说：“二十三。”
这个问题叫做“孙子问题”，在国外的书籍中称为“孙子定理”。
黄金分割
是欧几里得在《几何原理》中提出的问题：“将一条线段分为两段，使全段与其中一段的乘积等于另一段的平方。”按上述要求分割线段被意大利著名画家达，芬奇称为“黄金分割”，又称为“中外比”。
它还表述为：“将已知线段分为两段，使长段为全线段和短段的比例中项。”
设已知线段AB长为a，被点C分为两段，一段为x，则另一段为a—x，可以求得x=0.618a.其中C点称为线段AB的最优分割点，又称为黄金分割点。
哥德巴赫猜想
是数论中的一个著名问题。在1742年，德国数学家哥德巴赫在写信给欧勒时提出：“每一个偶数可以表示为两个素数的和。”欧勒肯定了他的猜想，但没有作出证明。
一般把“每一个大于2的偶数，都可以表示为两个素数的和”称为哥德巴赫猜想。1920年，挪威数学家布龙证明了每一个大偶数是两个素因子的个数各不超过9的素数乘积的和。这个结论记为（9+9），1956年中国数学家王元证明了（2+3），1962年中国数学家潘成洞证明了（1+5），同年潘成洞和王元又证明了（1+4），1965年苏联数学家博赫石塔布证明了（1+3），1966年中国数学家陈景润宣布他证明了（1+2），并于1972年公布了全部证明过程，被国际上誉为“陈氏定理”：“每一个充分大的偶数都是一个素数及一个不超过二个素数的乘积之和。”
至今，哥德巴赫猜想的真实性还没有最终证实。
《九章算术》
《九章算术》是《算经十书》中内容最丰富和最重要的一部。几乎集中了过去和当时的全部数学知识，是中国最早的一部数学专著。《九章算术》经过了历代各家的修订和增补，逐渐成为定本。
《九章算术》是用问题集的形式编写的。全书共收集了246个问题，分为九章，所以叫做《九章算术》。这九章分别是：
第一章“方田”，主要讲述田亩面积的计算。
第二章“粟米”，讲述各种比例问题，特别是各种粮谷之间的比例交换。
第三章“衰分”，“衰”是按比例，“分”是分配，讲述按照比例分配的问题。
第四章“少广”，“少”是多少，“广”是宽广。“少广”就是已知面积和体积，反过来求某一边的问题，其中讲解了开平方、开立方的问题。
第五章“商功”，“商”是商量，“功”是工程。这是有关各种工程计算，主要是各种体积计算的问题。
第六章“均输”，是计算如何按照人口多少、路程远近等条件，合理安排各地区运输赋粟和分派徭役等问题。
第七章“盈不足”，是用假设的方法来解决某些难以解决的问题。
第八章“方程”，讲述关于一次方程组的解法。其中还有正负数的概念以及正负数加减法的法则。
第九章“勾股”，讲述了勾股定理，以及相似直角三角形的解法。还提出了一般二次方程的解法。
《算经十书》
是汉唐流传下来的数学书籍，主要有以下十部书：1、《周髀算经》；2、《九章算术》；3、《海岛算经》；4、《张丘建算经》；5、《孙子算经》；6、《五曹算经》；7、《五经算术》；8、《缉古算经》；9、《数术记遗》；10、《夏侯阳算经》。总称为《算经十书》。