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升官题
传说唐代尚书杨损，廉洁奉公，任人唯贤。有一次，要在两名小吏中提升一人，主管提升工作的官员感到很难决断，便请示杨损。杨损认为，作为一个官员，不仅要有高尚的品德，还要有一定的文化水平。于是，他说：“一个官员应具备的一大技能是速算。让我出题来考考他们，谁算得快就提升谁。”杨损出了一道题：
“有人在林中散步，无意中听到几个强盗在商讨如何分赃。他们说，如果每人分6匹布，则余5匹；每人分7匹布，则缺少8匹。试问共有几个强盗几匹布？”两个小吏听过题目后，便用筹算解联立一次方程组。后来，先得出正确结果的小吏果真升了官，大家心服口服。
这个故事反映出我国古代人民对于解联立一次方程组的熟练程度。事实上，在2000多年前的《九章算术》中，已系统地叙述了联立一次方程组的解法，这是中国古代数学的杰出贡献之一。
《九章算术》是我国至今有传本的一部经典数学著作，内容极为丰富，它几乎集中了过去和当时的全部数学知识，将246个问题分为九章，所以叫做《九章算术》。
《九章算述》不是出自某一个人的手笔，不是一个时代的作品。它是经过历代名家的修订和增补，才逐渐成为定本的。它成书于何时，目前学术界尚无统一结论，据推测起码在公元1世纪之前。《九章算术》对我国以及一些外国的数学发展有很大影响，直到16世纪我国的数学著作大都还是受它的体例影响。
一元一次方程问题在古埃及时已经出现。巴比伦人已经知道某些特殊的二次、三次方程的解法，例如：两个正方形面积之和是1000，其中一个边长是另一个边长的23少10，问各长多少？这相当于解联立方程x2+y2=1000，y=12x—10。
当时实际的解只是由观察某些简单的数字关系而得到答案。
《九章算术》的第8章“方程”，给出了联立一次方程组的普遍解法，并且使用了负数，这在数学史上具有非常重要的意义。
我国古代是用算筹来运算的，未知数不用符号表示，只是将各个系数用算筹依次布列成方阵的形式。“程”是变量的总名，也有计量、考核、程式的意思。“方程”的名称，就来源于此。
《九章算术》第8章的第1题为：
“今有上禾三秉、中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何？
“禾”指黍米，一“秉”即一捆，“上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗”就是说：三捆上等黍米，两捆中等黍米，一捆下等黍米，一共可打出黍米谷39斗。
设上、中、下禾，每捆各出谷x、y、z斗，则用现代的方程来表达，可得
3x+2y+z=39，
2x+3y+z=34，
x+2y+3z=26。
在《九章算术》中列出的方程形式为：
在方程中只能看到系数，看不到未知数，文字采用直排，而且阅读时是从右到左的。由于这种方程中，未知数不用符号表示出来，实际上就是现代的分离系数法。书中给出的解法是联立一次方程组的普遍解法。除了符号、名词和计算工具不同外，和现代使用的消元法实质一样。
第8章中还有四元及五元的方程组，也是用类似的方法来解的。
在国外，线性方程组的完整解法，直到17世纪末才由微积分的发明人莱布尼茨着手拟定。可见，从时间上来说，《九章算术》的解法实是在世界数学史上一大光辉成就，值得中国人自豪！
自从《九章算术》提出了多元一次联立方程后，多少世纪没有显著的进步。贾宪、秦九韶、李治等人曾研究过一元高次方程。元朝杰出数学家朱世杰集前人之大成，建立了四元高次方程组理论，并称为“四元术”。他用天元、地元、人元、物元表示四个未知数，相当于现在的x、y、z、u。朱世芝的《四元玉鉴》一书，举例说明了一元方程、二元方程、三元方程、四元方程的布列方法和解法。其中有的例题相当复杂，数字惊人的庞大，不但过去从未有过，就是今天也很少见。可见朱世杰已经非常熟练地掌握了多元高次方程组的解法。
在外国，多元方程组虽然也偶然在古代的民族中出现过，例如巴比伦人借助数表处理过某种二元二次方程组，但较系统地研究却迟至16世纪，1559年，法国人彪特才开始用不同的字母A，B，C，……来表示不同的未知数。而过去不同未知数用同一符号来表示，以致含混不清。正式讨论多元高次方程组已到18世纪，由探究高次代数曲线的交点个数而引起。1764年，法国人培祖提出用消去法的解法，这已在朱世杰之后四五百年了。
兔子数列
由于研究兔子繁殖问题，引出了一个极为奇妙而重要的数列。
有位养兔专业户想知道兔子繁殖的规律，于是他围了一个栅栏，把一对刚出生的小兔子关在里面。已知一对小兔子出生后两个月就开始生兔子，以后则每月可再生一对，假如不发生伤亡现象，满一年时，栅栏内有几对兔子呢？
现在，我们来帮他算一算。为了寻找规律，我们用“成”字表示已成熟的一对小兔子，“小”表示未成熟的一对小兔子，因为一对小兔子生下两个月就开始生小兔子，所以我们可以画出以下图表。
可见，头6个月的兔子的对数是1，1，2，3，5，8。
这个数列有什么规律呢？稍加观察就可发现它的特点：从第三项起，每一项都等于其前两项之和。根据这个特点，我们就可以把这个数列继续写下去，从而得到一年内兔子总对数
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144。
可见，满一年时，一对刚出生的兔子可变成144对。
斐波那契是意大利人，12世纪、13世纪欧洲数学界的中心人物。他曾到埃及、叙利亚、希腊、西西里、法国南部等地游历，回国后便将所搜集的算术和代数材料加以研究，编写成《算盘书》。该书对欧洲大陆产生了很大影响，它用大量的题目说明理论内容。兔子繁殖问题就是其中的一题。所谓斐波那契数列就是指由兔子繁殖问题引出的数列
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…
其中an＝an－1+an－2
斐波那契数列也可叫兔子数列，该数列中的每一项都称为斐波那契数。
它的通项公式为
an=151+52n—1—52nn∞αnan+1=1—52n。斐波那契数列有着广泛的应用。它和现代的优选法有密切关系。所谓优选法就是，尽可能少做试验，尽快地找到最优生产方案的数学方法。70年代经著名数学家华罗庚的倡导，优选法在我国得到广泛的推广和应用，取得了很多成果。优选法中有个“0.168法”，所谓“0.168”就是5—12的近似值。因此，人们就可用相邻两个斐波那列数之比来近似代替0.168。在这基础上，人们还创造了一种“斐波那契法”，来寻找最优方案。
最使人们感到惊奇的是，自然界很多现象都与斐波那契数列有关。科学家们发现蜜蜂的繁殖速度也符合斐波那契数列。除了动物的繁殖外，植物的生长也与斐波那契数有关。如果一棵树每年都在生长，那么，一般说来，第一年只有主干，第二年有2枝，第三年有3枝，最后是5枝、8枝、13枝等，每年的分枝数正好为斐波那契数。还有一些学者发现自然界中花朵的花瓣数目也与斐波那契数有关。生物学中的“鲁德维格定律”，就是斐波那契数列在植物学中的应用。
对于以上现象怎样解释呢？是偶然的巧合吗？大多数科学家认为，决不是巧合。是这些动、植物也懂得优选法吗？不是！其实道理很简单，自然界的生物在进化过程中都不自觉地服从着一条原则——“适者生存”，只有按照最优方案发展，才能很好地生存下去，否则就会慢慢被淘汰。
关于世界著名魔术大师兰迪有个小故事。他有一块边长为13分米的正方形地毯，想把它改成8分米宽，21分米长的地毯。于是，他找来一位工匠，请他加工。大家想一想，本来地毯面积是13×13＝169，加工后地毯的面积是8×21＝168。这位工匠当然无法完成。于是，他对兰迪说；“先生，我不是魔术师，恕我无法加工。”这时，聪明的兰迪教他先按左图中的方法割成两块，再重新拼凑一下，就得到了一块8×21（平方分米）的地毯（如下图）。
兰迪不愧为魔术大师，169平方分米分明比168平方分米大，这差数1平方分米变到哪里去了呢？读者如果自己动手，用硬纸剪割拼凑一下，也许会发现，当你将剪下的四个小块拼成长方形时，在对角线中段会出现微小的重叠，正是这种重叠，造成面积的误差。
十分奇妙，上面切割拼凑过程中碰到的四个数字5，8，13，21正好是斐波那契数。并且132＝8×21+1，82＝5×13－1。
看来，兰迪掌握了斐波那契数列的一条重要原则：
an2＝an－1·an+1±1（n≥2）
读者能不能根据这条性质，模仿兰迪也设计出一个几何魔术呢？
五家共井
我国最早提出不定方程问题，它由“五家共井”引起。古代，没有自来水，几家合用一个水井是常见的事。《九章算术》一书第8章第13题就是“五家共井”问题：
今有五家共井，甲二绠不足，如乙一绠；乙三绠不足，如丙一绠；丙四绠不足，如丁一绠；丁五绠不足，如戊一绠；戊六绠不足，如甲一绠。如各得所不足一绠，皆逮。问井深、绠长各几何！
用水桶到井中取水，当然少不了绳索，“绠”就是指“绳索”。原题的意思是：
五家共用一水井。井深比2条甲家绳长还多1条乙家绳长；比3条乙家绳长还多1条丙家绳长；比4条丙家绳长还多1条丁家绳长；比5条丁家绳长还多1条戊家绳长；比6条戊家绳长还多1条甲家绳长。如果各家都增加所差的另一条取水绳索，刚刚好取水。试问井深、取水绳长各多少？
虽然该问题是虚构的，它是最早的一个不定方程问题。
用现代符号，可设甲、乙、丙、丁、戊各家绳索长分别为x、y、z、u、v；并深为h。根据题意，可得
2x+y=h，
3y+z=h，
4z+u=h，
5u+v=h，
6v+x=h。
这是一个含有6个未知数、5个方程的方程组。未知数的个数多于方程个数的方程（或方程组）叫不定方程。用加减消元法可得
x=265721h，y=191721h，z=148721h，
u=129721h，v=76721h。
给定h不同的数值，就可得到x、y、z、u、v的各个不同的数值。只要再给定一些特定条件，就可得到确定的组解。原书中只给出一组解，是最小正整数解。
我国古代数学家在《九章算术》的基础上，对不定方程作出了辉煌的成绩。“五家共井”问题是后来百鸡术及大衍求一术的先声。
“五家共井”问题，曾引起世界上很多数学家的注视。在西方数学史书中，把最早研究不定方程的功绩归于希腊丢番都。其实，他在公元250年左右才研究这些问题，要比我国迟200多年。
公元6世纪上半期，张丘建在他的《张丘建算经》中有一个百鸡问题：今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏生，值钱一。凡百钱，买鸡百只。问鸡翁、母、雏各几何？
意思是，如果1只公鸡值5个钱；1只母鸡值3个钱；3只小鸡值1个钱。现用100个钱，买了100只鸡。问公鸡、母鸡、小鸡各多少？
设公鸡、母鸡、小鸡分别为x、y、z只，则可得不定方程消去z不难得出
5x+3y+13z=100
x+y+z=100
消去z不难得出
y=7x4
因为y是正整数，所以x必须是4的倍数。
设x＝4t，则y＝25－7t，z＝75+3t
∵x＞0，∴4t＞0，t＞0；
又∵y＞0，∴25－7t＞0，t＜347
故t＝1，2，3。
∴原方程组有三组答案：
{x＝4，y＝18，z＝78{x＝8，y＝11，z＝81{x＝12，y＝4，z＝84
数学史家评论说，一道应用题有多组答案，是数学史上从未见到过的，百鸡问题开了先例。《张丘建算经》中没有给出解法，只说：“术曰：鸡翁每增四，鸡母每减七，鸡雏每益三，即得。”意思是：如果少买7只母鸡，就可多买4只公鸡和3只小鸡。因为7只母鸡值钱21，4只公鸡值钱20，两者相差3只小鸡的价格。只要得出一组答案，就可推出其余两组。但这解法怎么来的？书中没有说明。因此，所谓“百鸡术”即百鸡问题的解法就引起人们的极大兴趣。
稍后，甄鸾在《数术记遗》一书中又提出了两个“百鸡问题”，题目意思与原百鸡问题相同，仅数字有所区别。到了宋代，著名数学家杨辉在他的《续古摘奇算法》一书中，也引用了类似的问题：
“钱一百买温柑、绿桔、扁桔共一百枚。只云温柑一枚七文，绿桔一枚三文，扁桔三枚一文。问各买几何？”
到了明清时代，还有人提出了多于三元的“百鸡问题”。不过，各书均与《张丘建算经》一样，没有给出问题的一般解法。
7世纪时，有人对百鸡问题提出另一种解法，但只是数字的凑合。到了清代焦循在他的《加减乘除释》一书中指出其错误。之后，不断有人提出新的解法，但都没有完全得到普遍解决此类题目的通用方法。例如丁取忠在他的《数学拾遗》中给出一个比较简易的解法：先设没有公鸡，用100个钱买母鸡和小鸡共100只，得母鸡25只、小鸡75只。现在少买7只母鸡，多买4只公鸡和3只小鸡，便得第一组答案。同理可推出其余两组。直到19世纪，人们才把这类问题同“大衍求一术”结合起来研究。
百鸡问题是一个历史名题，在世界上有很大影响。国外常见类似的题目。
难色的仙鹤图
传说宝华寺曾藏有一幅鲜为人知的仙鹤图。这仙鹤图为数海法师所作，在他临终前秘传给他的一位弟子，并嘱咐他死后49天才能打开。数海法师圆寂后，这位弟子总想打开图看看，但又不愿违背师父遗嘱。过了42天，实在坚持不下去了，当天半夜，他打开图一看，原来是张仙鹤图。画面上有7棵松树，每棵松树上均有7只仙鹤，松树下面写了一个黑色的“七”字，但有一棵松树例外，这松树上一只仙鹤也没有，松树下面写了一个红色的“七”字。
红色的“七”字是什么意思呢？弟子们无法理解。不过，因为数海法师神通广大，精通算术。人们相信，图中必有奥秘。后来，有了负数概念，有人猜测，红色的“七”字，表示负数（－7）。但是，松树上有（－7）只仙鹤，又是什么意思呢？始终是个谜。自从秦始皇焚书坑儒后，宝贵的仙鹤图失传，这事情几乎被人们遗忘了，但是，过了2000多年，人们又想起了仙鹤图，这与下面的椰子问题有关。
5个水手带了一只猴子来到南太平洋的一个荒岛上，发现那里有一大堆椰子。由于旅途劳累，大家顾不上椰子，很快就睡觉了。第一个水手醒来后，把椰子分成五堆，余一只给了猴子，自己藏了一堆又去睡觉了。第二、第三、第四、第五个水手也陆续起来，和第一个水手一样，把椰子分成五堆，恰好又多一只给猴子，私藏一堆，再去入睡。天亮以后，大家发现椰子已剩下不多了，各人心里有数，但谁也不说。为了公平，大家把余下的椰子又分成五堆，每人得一堆。这时，巧得很，又余下一只，再给猴子。试问原先共有几只椰子？
这是一道世界有名的趣味数学题。
设最初共有椰子x只，天亮后大家一起分配时每人分得y只。
根据题意，可得
x=5A+1，
4A=5B+1，
4B=5C+1，
4C=5D+1，
4D=5E+1，
4E=5y+1。这是一个不定方程组，化简后可得到
1024x＝15635y+11529。
它有无数组解，人们的兴趣是求其最小正整数解。如果用常规的方法（例如，用大衍求一术）来解，是很繁难的。
世界著名物理学家李政道在访问中国科技大学时，曾在少年班提到这个题目，并介绍了怀德海的解法。
怀德海是英国数理逻辑专家，对此他给出了一个异乎寻常的解法。
首先，从方程可看出，如果某数x；是方程的一个解，则x1+15625也是方程的解。这一点我们也可用下面的方法来考虑，由于原有的椰子曾被连续6次分成5堆，因此如果某数是该方程的一个解时，则把此数加上56（56＝15625）后，仍旧是方程的解。通常人们解不定方程应用题，总是只注意它的正整数解，可是怀德海却与众不同，他的方法异乎寻常，他先借助负整数来帮忙，在找到一个负整数解之后，再过渡到正整数。就像在几何中引用辅助线、辅助角一样。
在方程中，设y＝－1，则可得
1024x＝4096，∴x＝－4。
既然－4是这个不定方程的一个特解，那么，则－4+15625也是方程的解。可见，所求的椰子数应是－4+15625＝15621（只）。
怀德海说，他是用下面的想法“领悟”出－4是不定方程的一个特解的：
“假定当初有－4只椰子，则在其中硬拿出一只来给猴子后，根据正、负数减法，还剩下－4－1＝－5（只），分成五堆，每堆便有－1只椰子。私自藏起一堆之后，还有四堆，每堆有－1只椰子，所以一共仍然是（－4）只椰子，这正好仍然回到没有分以前的情况。照这样分法，不仅5次、6次……可以一直分下去，都符合题目之要求。因此，在这个题目中，－4是一个神奇的数。
按照常理来说，每堆椰子数为“负数”是毫无意义的，但从纯数学的观点来看，却是能满足题中分配方法的，并且是能帮助解决问题的。它正像物理学中的“负质量”或“虚功”一样，在解决具体问题时是有用的。
怀德海的巧妙解法传到我国后，人们想起2000年前的仙鹤图。既然，一堆椰子的数目可以设想是负数，那么，一棵松树上的仙鹤的数目，也可设想为负数。可以推测，数海法师早就掌握了利用负数解决问题的高度技巧。
才女算灯
著名小说《镜花缘》里有段故事：
元宵节，宗伯府的女主人卞宝云想考一考精通筹算的才女米兰芬，请她算一算楼房中灯的数目。她告诉米兰芬，楼上的灯有两种，一种上做三个大球，下缀六个小球，计大小球九个为一灯；另一种上做三个大球，下缀18个小球，计大小球21个为一灯。大灯球共396个，小灯球共1440个。楼下的灯也分两种，一种一个大球，下缀两个小球；另一种是一个大球，下缀四个小球，大灯球共360个，小灯球共1200个。她请米兰芬算一算楼上楼下四种灯各有多少个。米兰芬想了一想。先算楼下的，她将小灯球1200折半，得600，再减去大灯球360，得240，这是一大四小灯球的灯的盏数。然后用360减240，得120，这便是一大二小灯球的灯的盏数。再算楼上的，她先将1440折半，得720，减大灯球396，余324，再除以6，得54，这是缀十八个小球灯的灯的盏数。然后用3乘以54，得162，用396减162，得234，用234除以3得78，即下缀六个小球灯的灯78盏。卞宝云让人拿做灯的单子来念，果然丝毫不差。大家莫不称她为神算。若引进未知数列便容易解决，但米兰芬的神算法是从哪里来的呢？应该说，故事人物米兰芬是读了著名古书《孙子算经》。
《孙子算经》是我国古代一部较为普及的数学著作，在唐代初期用作“算学”的教科书。全书共分三卷，上卷叙述筹算的制度、方法和度量衡的单位；中卷举例说明筹算分数法，包括面积、体积、等比数列等计算题、应用题；下卷收集了不少有趣的名题、难题。书中对各种问题的解法很有特色，充分显示了中国筹算数学的特点。例如，下卷第31题是：
“今有鸡兔同笼，上有35头，下有94足，问鸡、免各几何？”
这是后世“鸡兔同笼”题的始祖。书中的解法是：设头数是a，足数是b，则是12b—a兔数，a—（12b—a）是鸡数。
其具体算法过程是：
头35
足94半其足头35
半足47下一上头35
兔12上一下鸡23
兔12
这种解法不但巧妙，而且有简便的筹算程序。可以看出米兰芬正是采用了这种解法。
对于“鸡兔同笼”问题，读者还可想出各种解法。例如，可以设想鸡、兔都是两只足，那么从35个头可知，应该只有70只足，但现在笼中实有94只足，两者相差24只，这是因为我们设想兔子只有两只足，每只少算两足，可见兔子数是12只。
“鸡兔同笼”问题是算术中一个典型问题，历代“算学”课本大都引用此题，但题目与解法不尽一样。例如，在元代的著作《丁巨算法》一书中，原题变成：
今有鸡兔100，共足272只，问鸡、兔各几何？
书中先设想全部是兔，那么100只兔该有400只足，但现在实际只有272只足，两者相差400－272＝128只，这是把鸡设想当作兔时多计算的足数。每只鸡多算两足。可见鸡数就是128的一半，即64只；兔数为36只。
《孙子算经》对我国及一些外国的数学发展都有一定的影响。“鸡兔同笼”问题传到日本，变成了“鹤龟算”，改成这名词可能是因为日本人特别欣赏乌龟的缘故。
富翁的得不偿失
从前国外有个贪财的大富翁，虽然已非常有钱，可是每天还在盘算着如何得到更多的钱。
一天，富翁在路上遇到一个衣着俭朴的年轻人，他连眼皮也没眨一下，就走了过去，年轻人自言自语地说：“1分钱换10万元总会有人干的……”富翁一听，急忙回头叫住年轻人：“喂，你说的换钱是怎么回事？”
年轻人很有礼貌地一鞠躬说：“先生，是这样的，我可以在一个月内，每天给你送来10万元钱，虽然不是白给，但是代价是微不足道的，第一天只要你付我1分钱。”
“1分钱？”富翁简直不敢相信自己的耳朵。
“对，是1分钱。”年轻人说，“第二天再给你10万元时，你要付两分钱。”
富翁急切地问：“以后呢？”
“第三天，付4分钱；第四天，付8分钱……以后每天付给我的钱数都要比前一天多一倍。”
“还有什么附加条件吗？”
“就这些，但我们俩都必须遵守协定，谁也不准反悔！”于是，两人签订了协定。
10万元换几分钱，真是难得的好事！富翁满口答应：“好！就这样。”
第二天一清早，年轻人准时到来，他说：“先生，我把10万元送来了。”随即从大口袋里掏出整整10万元，并对富翁说：“下面该你付钱了。”
富翁掏出一分钱放在桌子上，陌生人看了看，满意地放入衣袋说：“明天见。”说完走出门去。
10万元钱从天而降！天下最大的便宜事叫富翁遇上了，他赶忙把钱藏了起来。
第二天早晨，年轻人又来了，他拿出10万元，收下两分钱，临走时说：“明天请准备好4分钱。”
第二个10万元又到手了！富翁乐得手舞足蹈，心想这个年轻人又蠢又怪！世上这样的人要是多几个多好，我们这些聪明人就会发了还要发，变成举世无双的大富豪了。
第三天，年轻人用10万元换走了4分钱。
第四天换走8分钱，以后又是1角6分、3角2分、6角4分，七天过去了，富翁白白收入70万元，而付出的仅仅是1元2角7分，富翁真想把期限再延长些，哪怕多半个月也好呀！
年轻人照常每天送10万元来，第8天付给他1元2角8分，第9天付2元5角6分，第10天付5元1角2分，第11天付10元2角4分，第12天付20元4角8分，第13天付40元9角6分，第14天付81元9角2分。
14天过去了，富翁已经收入整整140万元，而付出的才150元多一点。
又过了一段时间，富翁慢慢感到年轻人并不那么简单了，换钱并非那么合算了，15天后，每收入10万元，付出的已是几百元了，不过，总的来说还是收入的多，支出的少。
可是，随着天数的增加，支出在飞速地增大，纯收入在逐日减少，第25天，富翁支出167772元1角6分，第一次超过了收人；第26天支出335544元3角2分，大大超过了收入；到了第30天支出竟达5368709元1角2分。
年轻人最后一次离开时，富翁连续算了一昼夜，终于发现：为了收入300万元，他付出了10737418元2角3分，亏了近800万元，富翁失算了！
计算一下富翁付出的总钱数，以分为单位的话，就有以下30个数相加：
1+2+4+8+16+32+64+…+536870912。
为了算出这个和，可以写成算式
1+2+4＝2×2×2－1，
1+2+4+8＝2×2×2×2－1，
……
1+2+4+8+…+536870912＝2×2×…×2－1
30个
＝1024×1024×1024－1＝1073741823（分）
约瑟夫斯问题
这是一个古老的传说：有64名战士被敌人俘虏了，敌人命令他们排成一个圆圈，编上号码1，2，3，…，64，敌人把1号杀了，又把3号杀了，他们是隔一个杀一个这样转着圈杀，最后剩下一个人，这个人就是约瑟夫斯，请问约瑟夫斯是多少号？这就是“约瑟夫斯问题”。
这个问题是比较容易解答的：敌人从1号开始，隔一个杀一个，第一圈把奇数号码的战士全杀死了。剩下的32名战士需要重新编号，而敌人在第二圈杀死的是重新编排的奇数号码。
由于第一圈剩下的全部是偶数号2，4，6，8，…，64。把它们全部用2除，得1，2，3，4，…，32，这是第二圈重新编的号码，第二圈杀过之后，又把奇数号码都杀掉了，还剩下16个人，如此下去，可以想到最后剩下的必然是64号。
64＝26，它可以连续被2整除6次，是从1到64中能被2整除次数最多的数，因此，最后必然把64号剩下，从64＝26还可以看到，是转这6圈之后，把约瑟夫斯剩下来的。
如果有65名战士被俘，敌人还是按上述方法残杀战士，最后剩下的还是64号约瑟夫斯吗？
不是了，因为第一个人被杀后，也就是1号被杀后，第二个被杀的必然是3号，如果把1号排除在外，那么剩下的仍是64个人，对于剩下这64个人，新1号就应该是原来的3号，这样原来的2号就变成新的64号了，所以剩下的必然是原来的2号。
对于一般情况来说，如果原来有2k个人，最后剩下的必然是2k号；如果原来有2k+1个人，最后剩下的是2号；如果原来有2k+2个人，最后剩下的是4号……如果原来有2k+m个人，最后剩下的是2m号。
比如，原来有100人，由于100＝64+36＝26+36，所以最后剩下的是2×36＝72号；又比如，原来有111人，由于111＝64+47＝26+47，所以最后剩下的是2×47＝94号。
下面把问题改一下：不让被俘的战士站成圆圈，而排成一条直线，然后编上号码，从1号开始，隔一个杀一个，杀过一遍之后，然后再重新编号，从新1号开始，再隔一个杀一个，问最后还是约瑟夫斯吗！
答案是肯定的，最后剩下的仍然是约瑟夫斯。
如果战俘人数是65人呢？剩下的还是约瑟夫斯，只要人数不超过128人，也就是人数小于27，那么最后剩下的总是约瑟夫斯，因为从1到128中间，能被2整除次数最多的就是64，而敌人每次都是杀奇数号留偶数号，所以64号总是最后被留下的人。
回数猜想
一提到李白，人们都知道这是我国唐代的大诗人，如果把“李白”两个字颠倒一下，变成“白李”，这也可以是一个人的名字，此人姓白名李。像这样正着念、反着念都有意义的语言叫做回文，比如“狗咬狼”、“天和地”、“玲玲爱毛毛”，一般说来，回文是以字为单位的，也可以以词为单位写回文，回文与数学里的对称非常相似。
如果一个数，从左右两个方向来读都一样，就叫它为回文数，比如101，32123，9999等都是回文数。
数学里有个有名的“回数猜想”，至今没有解决，取一个任意的十进制数，把它倒过来，并将这两个数相加，然后把这个和数再倒过来，与原来的和数相加，重复这个过程直到获得一个回文数为止。
例如68，只要按上面介绍的方法，三步就可以得回文数1111。
68+86154+451605+5061111
“回数猜想”是说：不论开始时采用什么数，在经过有限步骤之后，一定可以得到一个回文数。
还没有人能确定这个猜想是对的还是错的，196这个三位数可能成为说明“回数猜想”不成立的反例，因为用电子计算机对这个数进行了几十万步计算，仍没有获得回文数，但是也没有人能证明这个数永远产生不了回文数。
数学家对同时是质数的回文数进行了研究，数学家相信回文质数有无穷多个，但是还没有人能证明这种想法是对的。
数学家还猜想有无穷个回文质数时，比如30103和30203，它们的特点是，中间的数字是连续的，而其他数字都是相等的。除11外必须有奇数个数字，因为每个有偶数个数字的回文数，必然是11的倍数，所以它不是质数，比如125521是一个有6位数字的回文数，按着判断能被11整除的方法：它的所有偶数位数字之和与所有奇数位数字之和的差是11的倍数，那么这个数就能被11整除，125521的偶数位数字是1，5，2；而奇数位数字是2，5，1，它们和的差是
（1+5+2）－（2+5+1）＝0，
是11的倍数，所以125521可以被11整除，且
125521÷11＝11411。
因而125521不是质数。
在回文数中平方数是非常多的，比如，
121＝112，
12321＝1112，
1234321＝11112，
…，
12345678987654321＝1111111112，
你随意找一些回文数，平方数所占的比例比较大。
立方数也有类似情况，比如，1331＝113，1367631＝1113
这么有趣的回文数，至今还存在着许多不解之谜。
冰雹猜想
30多年前，日本数学家角谷静发现了一个奇怪的现象：一个自然数，如果它是偶数，那么用2除它；如果商是奇数，将它乘以3之后再加上1，这样反复运算，最终必然得1。
比如，取自然数N＝6，按角谷静的作法有：6÷2＝3，3×3+1＝10，10÷2＝5，5×3+1＝16，16÷2＝8，8÷2＝4，4÷2＝2，2÷2＝1，从6开始经历了3→10→5→16→8→4→2→1，最后得1。
找个大数试试，取N＝16384。
16384÷2＝8192，8192÷2＝4096，4096÷2＝2048，2048÷2＝1024，1024÷2＝512，512÷2＝256，256÷2＝128，128÷2＝64，64÷2＝32，32÷2＝16，16÷2＝8，8÷2＝4，4÷2＝2，2÷2＝1，这个数连续用2除了14次，最后还是得1。
这个有趣的现象引起了许多数学爱好者的兴趣，一位美国数学家说：“有一个时期，在美国的大学里，它几乎成了最热门的话题，数学系和计算机系的大学生，差不多人人都在研究它。”人们在大量演算中发现，算出来的数字忽大忽小，有的过程很长，比如27算到1要经过112步，有人把演算过程形容为云中的小水滴，在高空气流的作用下，忽高忽低，遇冷成冰，体积越来越大，最后变成冰雹落了下来，而演算的数字最后也像冰雹一样掉下来，变成了1！选数学家把角谷静这一发现，称为“角谷猜想”或“冰雹猜想”。
这一串串数难道一点规律也没有吗？观察前面作过的两串数：
6→3→10→5→16→8→4→2→1；
16384→8192→4096→2048→1024→512→256→128→64→32→16→8→3→2→1。
最后的三个数都是4→2→1。
为了验证这个事实，从1开始算一下：
3×1+1＝4，4÷2＝2，2÷2＝1。结果是1→4→2→1，转了一个小循环又回到了1，这个事实具有普遍性，不论从什么样自然数开始，经过了漫长的历程，最终必然掉进4→2→1这个循环中去，日本东京大学的米田信夫对从1到10995亿1162万7776之间的所有自然数逐一做了检验，发现它们无一例外，最后都落入了4→2→1循环之中！
计算再多的数，也代替不了数学证明。“角谷猜想”目前仍是一个没有解决的悬案。
其实，能够产生这种循环的并不止“角谷猜想”，下面再介绍一个：
随便找一个四位数，将它的每一位数字都平方，然后相加得到一个答数；将答数的每一位数字再都平方，相加……一直这样算下去，就会产生循环现象。
现在以1998为例：
12+92+92+82＝1+81+81+64＝227，
22+22+72＝4+4+49＝57，
52+72＝25+49＝74，
72+42＝49+16＝65，
62+52＝36+25＝61，
62+12＝36+1＝37，
32+72＝9+49＝58，
52+82＝25+64＝89。
下面再经过八步，就又出现89，从而产生了循环：
聪明的小王子
1.抽牌的秘密
从前有个国王，他有三个王子，大王子只喜欢读书，二王子只知道习武，小王子的兴趣十分广泛，爱读书，爱习武，还爱玩。
国王想试一试三个王子谁更聪明，把他们都找来，国王一本正经地说：“今天，我让你们比试一下，看谁最会玩。”
“比玩？”大王子、二王子有点莫名其妙，两人互相看了一眼。
“比玩？那可太好了！”小王子高兴得直蹦。
国王从口袋里拿出一副扑克牌，从中拿掉大王、小王，又拿掉四张K，把剩下的四十八张牌分成三份，每份十六张牌，分别发给三个王子。
国王说：“你们都先不要看牌，大王子从二王子手中抽出一张牌，二王子从小王子手中抽出一张牌，小王子再从大王子手中抽一张牌。”三位王子各抽一张牌后，把手中的牌依次交给国王，国王分别把三份牌都重新洗过，又还给他们。
国王说：“我第一次给你们的牌都是有规律的，现在，谁能说出你从别人那儿抽的是什么牌？被抽走的又是什么牌？”
三位王子刚把手中的牌翻过来，小王子就说：“我从大哥那儿抽来了一张红桃3，二哥从我手中抽走了一张梅花7。”
二王子问：“你是怎么知道的？”
小王子举着手中的牌说：“你看：我手中有四张5、四张6，四张8，可是只有三张7，缺一张梅花7，但是多了一张红桃3，父王说第一次发牌是有规律的，原来一定有四张7才对。”
国王点点头说：“小王子说得对！”
大王子不服气，他说：“这是蒙人，再来一次我也能猜出来。”
“再做一次游戏。”国王把红桃A到红桃Q这十二张牌挑了出来，每人分了四张牌，让三位王子按刚才的方法再抽一次，抽过之后每人把手中的牌都亮出来。
大王子手中的牌是6，7，9，Q（12）；
二王子手中的牌是A（1），5，10，J（11）；
小王子手中的牌是2，3，4，8。
大王子抢先说：“我知道了！我手中的牌有规律：7－6＝1，9－7＝2，12－9＝3，它们的差是1，2，3对不对？”
小王子摇摇头说：“大哥您别忘了，您手里有一张牌是刚从二哥手里抽去的。您原来的牌并没有这个规律。”大王子和二王子实在想不出来。
小王子说：“大哥手中的6，9，12这三张牌都可以被3整除，因此，我手中的3一定是从大哥手中抽来的。”
二王子问：“我手中的牌有什么规律呢？”
“二哥手中的牌原来是1，5，7，11，这些数（除1之外），只能被1和它本身整除，数学上叫质数，只是7被大哥抽走了。”小王子答道。
小王子把手中的牌一举说：“我原来手里牌一定是2，4，8，10，其中10被二哥抽走了。”
“答得好！”国王又从扑克牌里挑出了七张，在桌面上摊开，三位王子一看有六张红桃牌，它们是2，4，6，8，10，Q（12），外加一张小王（代表14）。国王把七张牌洗过之后，背面朝上摆在桌上，让每位王子任选两张牌，把两张牌的数字之和报出来。
大王子说：“我的两张牌数字之和是12。”
二王子说：“我的两张牌数字之和是10。”
小王子说：“我的两张牌数字之和是22。”
国王问：“桌上还剩下一张牌，谁能以最快的速度回答我，桌上这张牌是红桃几？”
二王子说：“这可以算出来，由于8+4＝12，10+2＝12，因此大哥手中的牌可能是红桃8和红桃4，也可能是红桃10和红桃2……”
“对，对。”大王子急着也搭话说：“由于8+2＝10，6+4＝10，因此，二弟手中可能是红桃8和红桃2，也可能是红桃6和红桃4……”
小王子见二位哥哥正在猜测，就脱口而出说：“桌子上那张牌是红桃Q（12）。”国王翻牌一看，果然是它。
大王子问：“三弟，你怎么算得这么快？”
小王子笑着说：“这红桃Q（12）不是算出来的。”二王子奇怪地问：“不算，怎么能知道？”
小王子解释说：“我手里的两张牌是红桃8和14（小王），我就肯定桌子上的牌是红桃Q（12）。”
二王子摇摇头说：“我看三弟是在蒙人吧？”
小王子说：“二哥的两张牌之和才是10，红桃Q（12）不可能在二哥手中；大哥的两张牌之和也只有12，因此，红桃Q（12）也不会在大哥手里，我手里又没有，红桃Q（12）只能在桌子上！”
国王笑着点点头说：“小王子不用算就可以知道桌上的牌是几，你们说，他巧妙之处在哪里呢？”
大王子顿有所悟，他说：“三弟善于动脑筋去分析问题。”
2.蒙眼猜珠
强人国派两位使者来见国王。
一个矮矮胖胖的使者说：“我们强人国国王，听说贵国的三位王子聪明过人，特派我们给三位王子送上薄礼，请笑纳。”
另一个又高又瘦的使者拿出一金一银两个盒子，又拿出一个口袋，打开口袋。里面装有30颗又圆又大的珍珠。
胖使者像变魔术一样，从口袋里抽出一条黑绸子，他举着绸子说：“我用这条绸子把一位王子的眼睛蒙上，然后有人把珍珠往两个盒子里放，往银盒子里放，每次只能放一颗；往金盘子里放，每次只能放两颗，不许不放也不许多放，每放一次就拍一下手，放完后，蒙眼的王子要根据听到的拍手次数，在20秒内说出金盒、银盒里各有几颗珍珠。”
瘦使者插上一句说：“若猜对了，就把这些珍珠作为礼物，送给他！”
三位王子互相看了一眼，二王子说：“我先猜。”胖使者马上给二王子蒙上眼睛。
二王子听到19次拍手，他自言自语地说：“关键是要找到两个数，这两个数之和等于19；其中一个数乘2，另一个数乘1，相加之后等于30，这两个数是几呢？”
“噢，我想起来啦！”二王子刚要说，只见瘦使者把手一举说：“20秒钟已到。”
二王子把黑绸子一把抓下来说：“往金盒里放了11次，共22颗珍珠；往银盘里放了8次，有8颗珍珠，加在一起恰好是30颗！”
“您虽然算对了，但是时间已超过20秒钟，这份礼物不能送给您，十分遗憾哪！”胖使者的几句话，不冷不热，听了很不顺耳。
小王子笑眯眯地说：“我来试试。”胖使者赶紧给小王子蒙上眼睛。
瘦使者一共拍了21下手，小王子立刻答出：“银盒里有12颗珍珠，金盒里有18颗珍珠，对不对？”大家一数，一点也不差。
胖使者皮笑肉不笑地问：“我相信小王子是不会蒙人的，请小王子说说算法，我们也长长见识。”
小王子说：“我听到了21次拍手，如果这21次都是往银盒子里放，只有21颗珍珠，还差9颗，这说明21次中必然有9次是向金盒子里放了，因为金盒子每次放两颗珍珠，就可以补上所差的9颗。”
小王子悄声对胖使者说：“我告诉你一个公式吧：
金盒子的珍珠数＝（30－拍手次数）×2；
银盒子的珍珠数＝30－金盒子的珍珠数。”
“你也猜猜看。”小王子用黑绸子把胖使者的眼睛给蒙上了，又抓起珍珠一会儿往金盒里放，一会儿往银盒子里放，“啪，啪……”一连拍了11下，然后问胖使者：“快说各有多少颗珍珠？”
胖使者结结巴巴地回答：“金盒子里有38颗珍珠，而银盒子有……嗯，按你的公式做，怎么不对啦？”
“哈，哈。”小王子笑着说：“一共才30颗，你算出了38颗，我才拍了11次手，就是每次都放了2颗，才放了22颗呀！而且我还没有放完哪！你要记住，拍手次数不能少于15次，不然这个公式是不能使用的！”大家一齐大笑。
3.寻找宝石
强人国使者见一计不成，就又施一计。
瘦使者在桌上摆了五只金光闪闪的盒子，五只盒子从1到5都编上号。1，2，4号盒子都写着“宝石在这个盒子里”，3号盒子上写着“宝石不在这个盒子里”，而5号盒子上写着“宝石不在1号盒子里”。
瘦使者指着盒子说：“在这五只盒子里，有一只盒子里装有一块价值连城的宝石，请王子猜一下宝石在哪只盒子里，但每位王子只能猜一次，谁猜对了就把宝石送给谁，哪位王子先猜！”
“我先猜。”大王子用手指了一下2号盒子。
瘦使者连忙打开2号盒子，盒子里面空空的，什么也没有。
小王子上前一步问：“这盒子上写的都是真话吗！”
瘦使者说：“只有一句是真话。”
小王子指着3号盒子说：“宝石在这个盒子里。”
瘦使者打开3号盒子，宝石果然在盒子里，在场的人齐声称赞。
瘦使者皮笑肉不笑地问：“小王子怎么知道宝石一定在3号盒子里呢！”
小王子解释说：“5号盒上写的‘宝石不在1号盒里’和1号盒上写的‘宝石在这盒里’，这两句话中必有一句是真话，因此2，3，4号盒上写的一律是假话，而3号盒上写的‘宝石不在这盒里’是假话，那么宝石必在3号盒里。”
4.“3129”
有一天，国王忽然想起了什么，他对王子们说：“你们的祖父母去世的早，你们可能都记不得他们的年龄了，谁能告诉我，你们的祖父母都活了多大年岁！”
二王子问：“可以问您几个问题吗！”
国王回答：“只能问一个。”
“啊，问一个问题就猜到祖父母的年龄，太困难了，这恐怕连神仙也难办到！”大王子自言自语地说。
国王又问小王子说：“你行吗！”小王子点了点头，大王子和二王子很惊讶。
小王子说：“请您把祖父的年龄用5乘，再加6，然后乘以20，再加上祖母的年龄，再减掉365，把最后得数告诉我。”
国王不知道小王子想干什么，心算了一阵说：“得2884。”
小王子马上答道：“祖父活到31岁，祖母活到29岁。”
国王高兴地站起来说：“对极啦，就是这两个年龄！”
“为什么让父王算一道题，就能把祖父母的年龄算出来呢？”“只许问一个问题，要猜出两个人的年龄，还不能直接去问，你是怎么算的呢！”两位哥哥不停地问着小王子。
小王子的妙算是叫父王算出一个四位数，使得千位和百位上的数字与祖父的年龄有关；十位和个位的数字与祖母的年龄有关。
小王子的算法是：用祖父的年龄乘以5得31×5；加上6再乘以20得（31×5+6）×20；再加上祖母的年龄29，最后减掉365得
（31×5+6）×20－365＝2884
小王子心里把2884再暗自加245，得3129，31是祖父的年龄，29是祖母的年龄。
大王子问：“为什么最后要加上245呢？”
小王子解释，可以利用乘法分配律，把上面的算式以另一种方式做一下：
（31×5+6）×20+29－365
＝31×5×20+6×20+29－365
＝31×100+29+120－365
＝3129－245
你看这最后一个式子，如果再加上一个245，不就得到需要的3129了吗？
原来小王子像魔术师变魔术一样，在计算中加了一点“伪装”，这就是“加6，减去365”，其实这两步与计算祖父、祖母的年龄毫无关系，目的使这种计算更隐蔽、更神秘。不然的话就会叫人家一眼识破，变得没意思了。不信，我们换一种直接计算方法你看看。
小王子对父王说：“请您把祖父的年龄每次乘以100，再加上祖母的年龄，把最后得数告诉我。”
国王会说：“得3129，好小子！你把祖母年龄放在十位、个位上；把祖父年龄放在千位、百位上，这还不如直接问问我，祖父、祖母活了多大年岁呢！”你看，这样直接问不就坏事了吗？
各式各样的数学题
1.泥板上的
古代巴比伦王国的位置，在西亚底格里斯河和幼发拉底河的中下游地区，现在的伊拉克境内，巴比伦国家建立于公元前19世纪，是世界四大文明古国之一。
巴比伦人使用特殊的楔形文字，他们把文字刻在泥板上，然后晒干，泥板晒干后和石头一样坚硬，可以长期保存。
从发掘出来的泥板上，人们发现了3000多年前巴比伦人出的数学题：
“10个兄弟分100两银子，一个人比一个人多，只知道每一级相差的数量都一样，但是究竟相差多少不知道，现在第八个兄弟分到6两银子，问一级相差多少？”
如果10个兄弟平均分100两银子，每人应该分10两，现在第八个兄弟只分到了6两，说明老大分得最多，往下是一个比一个少。
按着题目所给定的条件，应该有以下关系：
老二得到的是老大减去一倍的差，
老三得到的是老大减去二倍的差，
老四得到的是老大减去三倍的差，
……
老十得到的是老大减去九倍的差。
这样，老大与老十共得银两
＝老二与老九共得银两
＝老三与老八共得银两
＝老四与老七共得银两
＝老五与老六共得银两
＝20两
已知老八得6两，可求出老三得20－6＝14两，老三比老八多得14－6＝8，另一方面，老三与老八相差7－2＝5倍的差，因此，
差＝8÷5＝1.6（两）
答：一级相差1.6两银子。
巴比伦的数学和天文学发展很快，他们除了首先使用60进位制外，还确定一个月（月亮月）有30天，一年（月亮年）有12个月亮月，为了不落后太阳年，在某些年里用规定闰月的办法来纠正。
巴比伦人了解行星的存在，他们崇拜太阳、月亮、金星，把数3看作是“幸福的”，晚些时候，他们又发现了木星、火星、水星、土星，这时数7被看作是“幸福的”。
巴比伦人特别注意研究月亮，把弯月的明亮部分与月面全面积之比，叫做“月相”，在一块泥板上记载有关月相的题目：
“设月亮全面积为240，从新月到满月的15天中，头5天每天都是前一天的2倍，即5，10，20，40，80，后10天每天都按着相同数值增加，问增加的数值是多少？”
月亮全面积为240，第五天月亮面积为80，后10天月亮共增加的面积为240－80＝160。
因此，每天增加的数值为160÷10＝16。
答：增加的数值为16。
2.纸草上的
《兰特纸草书》是4000年前古埃及人的一本数学书，上面用象形文字记载了许多有趣的数学题，比如：
在7，7×7，7×7×7，7×7×7×7，7×7×7×7×7，……
这些数字上面有几个象形符号：房子、猫、老鼠、大麦、斗，翻译出来就是：
“有7座房子，每座房子里有7只猫，每只猫吃了7只老鼠，每只老鼠吃了7穗大麦，每穗大麦种子可以长出7斗大麦，请算出房子、猫、老鼠、大麦和斗的总数。”
奇怪的是古代俄罗斯民间也流传着类似的算术题：
“路上走着七个老头，
每个老头拿着七根手杖，
每根手杖上有七个树杈，
每个树杈上挂着七个竹篮，
每个竹篮里有七个竹笼，
每个竹笼里有七个麻雀，
总共有多少麻雀？”
古俄罗斯的题目比较简单，老头数是7，手杖数是7×7＝49，树杈数是7×7×7＝49×7＝343，竹篮数是7×7×7×7＝343×7＝2401，竹笼数是7×7×7×7×7＝2401×7＝16807，麻雀数是7×7×7×7×7×7＝16807×7＝117649。总共有十一万七千六百四十九只麻雀，七个老头能提着十一万多只麻雀溜弯儿，可真不简单啊！若每只麻雀按20克算，这些麻雀有2吨多重。