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上编:数学篇1

升官题

传说唐代尚书杨损,廉洁奉公,任人唯贤。有一次,要在两名小吏中提升一人,主管提升工作的官员感到很难决断,便请示杨损。杨损认为,作为一个官员,不仅要有高尚的品德,还要有一定的文化水平。于是,他说:“一个官员应具备的一大技能是速算。让我出题来考考他们,谁算得快就提升谁。”杨损出了一道题:

“有人在林中散步,无意中听到几个强盗在商讨如何分赃。他们说,如果每人分6匹布,则余5匹;每人分7匹布,则缺少8匹。试问共有几个强盗几匹布?”两个小吏听过题目后,便用筹算解联立一次方程组。后来,先得出正确结果的小吏果真升了官,大家心服口服。

这个故事反映出我国古代人民对于解联立一次方程组的熟练程度。事实上,在2000多年前的《九章算术》中,已系统地叙述了联立一次方程组的解法,这是中国古代数学的杰出贡献之一。

《九章算术》是我国至今有传本的一部经典数学著作,内容极为丰富,它几乎集中了过去和当时的全部数学知识,将246个问题分为九章,所以叫做《九章算术》。

《九章算述》不是出自某一个人的手笔,不是一个时代的作品。它是经过历代名家的修订和增补,才逐渐成为定本的。它成书于何时,目前学术界尚无统一结论,据推测起码在公元1世纪之前。《九章算术》对我国以及一些外国的数学发展有很大影响,直到16世纪我国的数学著作大都还是受它的体例影响。

一元一次方程问题在古埃及时已经出现。巴比伦人已经知道某些特殊的二次、三次方程的解法,例如:两个正方形面积之和是1000,其中一个边长是另一个边长的23少10,问各长多少?这相当于解联立方程x2+y2=1000,y=12x—10。

当时实际的解只是由观察某些简单的数字关系而得到答案。

《九章算术》的第8章“方程”,给出了联立一次方程组的普遍解法,并且使用了负数,这在数学史上具有非常重要的意义。

我国古代是用算筹来运算的,未知数不用符号表示,只是将各个系数用算筹依次布列成方阵的形式。“程”是变量的总名,也有计量、考核、程式的意思。“方程”的名称,就来源于此。

《九章算术》第8章的第1题为:

“今有上禾三秉、中禾二秉,下禾一秉,实三十九斗;上禾二秉,中禾三秉,下禾一秉,实三十四斗;上禾一秉,中禾二秉,下禾三秉,实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何?

“禾”指黍米,一“秉”即一捆,“上禾三秉,中禾二秉,下禾一秉,实三十九斗”就是说:三捆上等黍米,两捆中等黍米,一捆下等黍米,一共可打出黍米谷39斗。

设上、中、下禾,每捆各出谷x、y、z斗,则用现代的方程来表达,可得

3x+2y+z=39,

2x+3y+z=34,

x+2y+3z=26。

在《九章算术》中列出的方程形式为:

在方程中只能看到系数,看不到未知数,文字采用直排,而且阅读时是从右到左的。由于这种方程中,未知数不用符号表示出来,实际上就是现代的分离系数法。书中给出的解法是联立一次方程组的普遍解法。除了符号、名词和计算工具不同外,和现代使用的消元法实质一样。

第8章中还有四元及五元的方程组,也是用类似的方法来解的。

在国外,线性方程组的完整解法,直到17世纪末才由微积分的发明人莱布尼茨着手拟定。可见,从时间上来说,《九章算术》的解法实是在世界数学史上一大光辉成就,值得中国人自豪!

自从《九章算术》提出了多元一次联立方程后,多少世纪没有显著的进步。贾宪、秦九韶、李治等人曾研究过一元高次方程。元朝杰出数学家朱世杰集前人之大成,建立了四元高次方程组理论,并称为“四元术”。他用天元、地元、人元、物元表示四个未知数,相当于现在的x、y、z、u。朱世芝的《四元玉鉴》一书,举例说明了一元方程、二元方程、三元方程、四元方程的布列方法和解法。其中有的例题相当复杂,数字惊人的庞大,不但过去从未有过,就是今天也很少见。可见朱世杰已经非常熟练地掌握了多元高次方程组的解法。

在外国,多元方程组虽然也偶然在古代的民族中出现过,例如巴比伦人借助数表处理过某种二元二次方程组,但较系统地研究却迟至16世纪,1559年,法国人彪特才开始用不同的字母A,B,C,……来表示不同的未知数。而过去不同未知数用同一符号来表示,以致含混不清。正式讨论多元高次方程组已到18世纪,由探究高次代数曲线的交点个数而引起。1764年,法国人培祖提出用消去法的解法,这已在朱世杰之后四五百年了。

兔子数列

由于研究兔子繁殖问题,引出了一个极为奇妙而重要的数列。

有位养兔专业户想知道兔子繁殖的规律,于是他围了一个栅栏,把一对刚出生的小兔子关在里面。已知一对小兔子出生后两个月就开始生兔子,以后则每月可再生一对,假如不发生伤亡现象,满一年时,栅栏内有几对兔子呢?

现在,我们来帮他算一算。为了寻找规律,我们用“成”字表示已成熟的一对小兔子,“小”表示未成熟的一对小兔子,因为一对小兔子生下两个月就开始生小兔子,所以我们可以画出以下图表。

可见,头6个月的兔子的对数是1,1,2,3,5,8。

这个数列有什么规律呢?稍加观察就可发现它的特点:从第三项起,每一项都等于其前两项之和。根据这个特点,我们就可以把这个数列继续写下去,从而得到一年内兔子总对数

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144。

可见,满一年时,一对刚出生的兔子可变成144对。

斐波那契是意大利人,12世纪、13世纪欧洲数学界的中心人物。他曾到埃及、叙利亚、希腊、西西里、法国南部等地游历,回国后便将所搜集的算术和代数材料加以研究,编写成《算盘书》。该书对欧洲大陆产生了很大影响,它用大量的题目说明理论内容。兔子繁殖问题就是其中的一题。所谓斐波那契数列就是指由兔子繁殖问题引出的数列

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…

其中an=an-1+an-2

斐波那契数列也可叫兔子数列,该数列中的每一项都称为斐波那契数。

它的通项公式为

an=151+52n—1—52nn∞αnan+1=1—52n。斐波那契数列有着广泛的应用。它和现代的优选法有密切关系。所谓优选法就是,尽可能少做试验,尽快地找到最优生产方案的数学方法。70年代经著名数学家华罗庚的倡导,优选法在我国得到广泛的推广和应用,取得了很多成果。优选法中有个“0.168法”,所谓“0.168”就是5—12的近似值。因此,人们就可用相邻两个斐波那列数之比来近似代替0.168。在这基础上,人们还创造了一种“斐波那契法”,来寻找最优方案。

最使人们感到惊奇的是,自然界很多现象都与斐波那契数列有关。科学家们发现蜜蜂的繁殖速度也符合斐波那契数列。除了动物的繁殖外,植物的生长也与斐波那契数有关。如果一棵树每年都在生长,那么,一般说来,第一年只有主干,第二年有2枝,第三年有3枝,最后是5枝、8枝、13枝等,每年的分枝数正好为斐波那契数。还有一些学者发现自然界中花朵的花瓣数目也与斐波那契数有关。生物学中的“鲁德维格定律”,就是斐波那契数列在植物学中的应用。

对于以上现象怎样解释呢?是偶然的巧合吗?大多数科学家认为,决不是巧合。是这些动、植物也懂得优选法吗?不是!其实道理很简单,自然界的生物在进化过程中都不自觉地服从着一条原则——“适者生存”,只有按照最优方案发展,才能很好地生存下去,否则就会慢慢被淘汰。

关于世界著名魔术大师兰迪有个小故事。他有一块边长为13分米的正方形地毯,想把它改成8分米宽,21分米长的地毯。于是,他找来一位工匠,请他加工。大家想一想,本来地毯面积是13×13=169,加工后地毯的面积是8×21=168。这位工匠当然无法完成。于是,他对兰迪说;“先生,我不是魔术师,恕我无法加工。”这时,聪明的兰迪教他先按左图中的方法割成两块,再重新拼凑一下,就得到了一块8×21(平方分米)的地毯(如下图)。

兰迪不愧为魔术大师,169平方分米分明比168平方分米大,这差数1平方分米变到哪里去了呢?读者如果自己动手,用硬纸剪割拼凑一下,也许会发现,当你将剪下的四个小块拼成长方形时,在对角线中段会出现微小的重叠,正是这种重叠,造成面积的误差。

十分奇妙,上面切割拼凑过程中碰到的四个数字5,8,13,21正好是斐波那契数。并且132=8×21+1,82=5×13-1。

看来,兰迪掌握了斐波那契数列的一条重要原则:

an2=an-1·an+1±1(n≥2)

读者能不能根据这条性质,模仿兰迪也设计出一个几何魔术呢?

五家共井

我国最早提出不定方程问题,它由“五家共井”引起。古代,没有自来水,几家合用一个水井是常见的事。《九章算术》一书第8章第13题就是“五家共井”问题:

今有五家共井,甲二绠不足,如乙一绠;乙三绠不足,如丙一绠;丙四绠不足,如丁一绠;丁五绠不足,如戊一绠;戊六绠不足,如甲一绠。如各得所不足一绠,皆逮。问井深、绠长各几何!

用水桶到井中取水,当然少不了绳索,“绠”就是指“绳索”。原题的意思是:

五家共用一水井。井深比2条甲家绳长还多1条乙家绳长;比3条乙家绳长还多1条丙家绳长;比4条丙家绳长还多1条丁家绳长;比5条丁家绳长还多1条戊家绳长;比6条戊家绳长还多1条甲家绳长。如果各家都增加所差的另一条取水绳索,刚刚好取水。试问井深、取水绳长各多少?

虽然该问题是虚构的,它是最早的一个不定方程问题。

用现代符号,可设甲、乙、丙、丁、戊各家绳索长分别为x、y、z、u、v;并深为h。根据题意,可得

2x+y=h,

3y+z=h,

4z+u=h,

5u+v=h,

6v+x=h。

这是一个含有6个未知数、5个方程的方程组。未知数的个数多于方程个数的方程(或方程组)叫不定方程。用加减消元法可得

x=265721h,y=191721h,z=148721h,

u=129721h,v=76721h。

给定h不同的数值,就可得到x、y、z、u、v的各个不同的数值。只要再给定一些特定条件,就可得到确定的组解。原书中只给出一组解,是最小正整数解。

我国古代数学家在《九章算术》的基础上,对不定方程作出了辉煌的成绩。“五家共井”问题是后来百鸡术及大衍求一术的先声。

“五家共井”问题,曾引起世界上很多数学家的注视。在西方数学史书中,把最早研究不定方程的功绩归于希腊丢番都。其实,他在公元250年左右才研究这些问题,要比我国迟200多年。

公元6世纪上半期,张丘建在他的《张丘建算经》中有一个百鸡问题:今有鸡翁一,值钱五;鸡母一,值钱三;鸡雏生,值钱一。凡百钱,买鸡百只。问鸡翁、母、雏各几何?

意思是,如果1只公鸡值5个钱;1只母鸡值3个钱;3只小鸡值1个钱。现用100个钱,买了100只鸡。问公鸡、母鸡、小鸡各多少?

设公鸡、母鸡、小鸡分别为x、y、z只,则可得不定方程消去z不难得出

5x+3y+13z=100

x+y+z=100

消去z不难得出

y=7x4

因为y是正整数,所以x必须是4的倍数。

设x=4t,则y=25-7t,z=75+3t

∵x>0,∴4t>0,t>0;

又∵y>0,∴25-7t>0,t<347

故t=1,2,3。

∴原方程组有三组答案:

{x=4,y=18,z=78{x=8,y=11,z=81{x=12,y=4,z=84

数学史家评论说,一道应用题有多组答案,是数学史上从未见到过的,百鸡问题开了先例。《张丘建算经》中没有给出解法,只说:“术曰:鸡翁每增四,鸡母每减七,鸡雏每益三,即得。”意思是:如果少买7只母鸡,就可多买4只公鸡和3只小鸡。因为7只母鸡值钱21,4只公鸡值钱20,两者相差3只小鸡的价格。只要得出一组答案,就可推出其余两组。但这解法怎么来的?书中没有说明。因此,所谓“百鸡术”即百鸡问题的解法就引起人们的极大兴趣。

稍后,甄鸾在《数术记遗》一书中又提出了两个“百鸡问题”,题目意思与原百鸡问题相同,仅数字有所区别。到了宋代,著名数学家杨辉在他的《续古摘奇算法》一书中,也引用了类似的问题:

“钱一百买温柑、绿桔、扁桔共一百枚。只云温柑一枚七文,绿桔一枚三文,扁桔三枚一文。问各买几何?”

到了明清时代,还有人提出了多于三元的“百鸡问题”。不过,各书均与《张丘建算经》一样,没有给出问题的一般解法。

7世纪时,有人对百鸡问题提出另一种解法,但只是数字的凑合。到了清代焦循在他的《加减乘除释》一书中指出其错误。之后,不断有人提出新的解法,但都没有完全得到普遍解决此类题目的通用方法。例如丁取忠在他的《数学拾遗》中给出一个比较简易的解法:先设没有公鸡,用100个钱买母鸡和小鸡共100只,得母鸡25只、小鸡75只。现在少买7只母鸡,多买4只公鸡和3只小鸡,便得第一组答案。同理可推出其余两组。直到19世纪,人们才把这类问题同“大衍求一术”结合起来研究。

百鸡问题是一个历史名题,在世界上有很大影响。国外常见类似的题目。

难色的仙鹤图

传说宝华寺曾藏有一幅鲜为人知的仙鹤图。这仙鹤图为数海法师所作,在他临终前秘传给他的一位弟子,并嘱咐他死后49天才能打开。数海法师圆寂后,这位弟子总想打开图看看,但又不愿违背师父遗嘱。过了42天,实在坚持不下去了,当天半夜,他打开图一看,原来是张仙鹤图。画面上有7棵松树,每棵松树上均有7只仙鹤,松树下面写了一个黑色的“七”字,但有一棵松树例外,这松树上一只仙鹤也没有,松树下面写了一个红色的“七”字。

红色的“七”字是什么意思呢?弟子们无法理解。不过,因为数海法师神通广大,精通算术。人们相信,图中必有奥秘。后来,有了负数概念,有人猜测,红色的“七”字,表示负数(-7)。但是,松树上有(-7)只仙鹤,又是什么意思呢?始终是个谜。自从秦始皇焚书坑儒后,宝贵的仙鹤图失传,这事情几乎被人们遗忘了,但是,过了2000多年,人们又想起了仙鹤图,这与下面的椰子问题有关。

5个水手带了一只猴子来到南太平洋的一个荒岛上,发现那里有一大堆椰子。由于旅途劳累,大家顾不上椰子,很快就睡觉了。第一个水手醒来后,把椰子分成五堆,余一只给了猴子,自己藏了一堆又去睡觉了。第二、第三、第四、第五个水手也陆续起来,和第一个水手一样,把椰子分成五堆,恰好又多一只给猴子,私藏一堆,再去入睡。天亮以后,大家发现椰子已剩下不多了,各人心里有数,但谁也不说。为了公平,大家把余下的椰子又分成五堆,每人得一堆。这时,巧得很,又余下一只,再给猴子。试问原先共有几只椰子?

这是一道世界有名的趣味数学题。

设最初共有椰子x只,天亮后大家一起分配时每人分得y只。

根据题意,可得

x=5A+1,

4A=5B+1,

4B=5C+1,

4C=5D+1,

4D=5E+1,

4E=5y+1。这是一个不定方程组,化简后可得到

1024x=15635y+11529。

它有无数组解,人们的兴趣是求其最小正整数解。如果用常规的方法(例如,用大衍求一术)来解,是很繁难的。

世界著名物理学家李政道在访问中国科技大学时,曾在少年班提到这个题目,并介绍了怀德海的解法。

怀德海是英国数理逻辑专家,对此他给出了一个异乎寻常的解法。

首先,从方程可看出,如果某数x;是方程的一个解,则x1+15625也是方程的解。这一点我们也可用下面的方法来考虑,由于原有的椰子曾被连续6次分成5堆,因此如果某数是该方程的一个解时,则把此数加上56(56=15625)后,仍旧是方程的解。通常人们解不定方程应用题,总是只注意它的正整数解,可是怀德海却与众不同,他的方法异乎寻常,他先借助负整数来帮忙,在找到一个负整数解之后,再过渡到正整数。就像在几何中引用辅助线、辅助角一样。

在方程中,设y=-1,则可得

1024x=4096,∴x=-4。

既然-4是这个不定方程的一个特解,那么,则-4+15625也是方程的解。可见,所求的椰子数应是-4+15625=15621(只)。

怀德海说,他是用下面的想法“领悟”出-4是不定方程的一个特解的:

“假定当初有-4只椰子,则在其中硬拿出一只来给猴子后,根据正、负数减法,还剩下-4-1=-5(只),分成五堆,每堆便有-1只椰子。私自藏起一堆之后,还有四堆,每堆有-1只椰子,所以一共仍然是(-4)只椰子,这正好仍然回到没有分以前的情况。照这样分法,不仅5次、6次……可以一直分下去,都符合题目之要求。因此,在这个题目中,-4是一个神奇的数。

按照常理来说,每堆椰子数为“负数”是毫无意义的,但从纯数学的观点来看,却是能满足题中分配方法的,并且是能帮助解决问题的。它正像物理学中的“负质量”或“虚功”一样,在解决具体问题时是有用的。

怀德海的巧妙解法传到我国后,人们想起2000年前的仙鹤图。既然,一堆椰子的数目可以设想是负数,那么,一棵松树上的仙鹤的数目,也可设想为负数。可以推测,数海法师早就掌握了利用负数解决问题的高度技巧。

才女算灯

著名小说《镜花缘》里有段故事:

元宵节,宗伯府的女主人卞宝云想考一考精通筹算的才女米兰芬,请她算一算楼房中灯的数目。她告诉米兰芬,楼上的灯有两种,一种上做三个大球,下缀六个小球,计大小球九个为一灯;另一种上做三个大球,下缀18个小球,计大小球21个为一灯。大灯球共396个,小灯球共1440个。楼下的灯也分两种,一种一个大球,下缀两个小球;另一种是一个大球,下缀四个小球,大灯球共360个,小灯球共1200个。她请米兰芬算一算楼上楼下四种灯各有多少个。米兰芬想了一想。先算楼下的,她将小灯球1200折半,得600,再减去大灯球360,得240,这是一大四小灯球的灯的盏数。然后用360减240,得120,这便是一大二小灯球的灯的盏数。再算楼上的,她先将1440折半,得720,减大灯球396,余324,再除以6,得54,这是缀十八个小球灯的灯的盏数。然后用3乘以54,得162,用396减162,得234,用234除以3得78,即下缀六个小球灯的灯78盏。卞宝云让人拿做灯的单子来念,果然丝毫不差。大家莫不称她为神算。若引进未知数列便容易解决,但米兰芬的神算法是从哪里来的呢?应该说,故事人物米兰芬是读了著名古书《孙子算经》。

《孙子算经》是我国古代一部较为普及的数学著作,在唐代初期用作“算学”的教科书。全书共分三卷,上卷叙述筹算的制度、方法和度量衡的单位;中卷举例说明筹算分数法,包括面积、体积、等比数列等计算题、应用题;下卷收集了不少有趣的名题、难题。书中对各种问题的解法很有特色,充分显示了中国筹算数学的特点。例如,下卷第31题是:

“今有鸡兔同笼,上有35头,下有94足,问鸡、免各几何?”

这是后世“鸡兔同笼”题的始祖。书中的解法是:设头数是a,足数是b,则是12b—a兔数,a—(12b—a)是鸡数。

其具体算法过程是:

头35

足94半其足头35

半足47下一上头35

兔12上一下鸡23

兔12

这种解法不但巧妙,而且有简便的筹算程序。可以看出米兰芬正是采用了这种解法。

对于“鸡兔同笼”问题,读者还可想出各种解法。例如,可以设想鸡、兔都是两只足,那么从35个头可知,应该只有70只足,但现在笼中实有94只足,两者相差24只,这是因为我们设想兔子只有两只足,每只少算两足,可见兔子数是12只。

“鸡兔同笼”问题是算术中一个典型问题,历代“算学”课本大都引用此题,但题目与解法不尽一样。例如,在元代的著作《丁巨算法》一书中,原题变成:

今有鸡兔100,共足272只,问鸡、兔各几何?

书中先设想全部是兔,那么100只兔该有400只足,但现在实际只有272只足,两者相差400-272=128只,这是把鸡设想当作兔时多计算的足数。每只鸡多算两足。可见鸡数就是128的一半,即64只;兔数为36只。

《孙子算经》对我国及一些外国的数学发展都有一定的影响。“鸡兔同笼”问题传到日本,变成了“鹤龟算”,改成这名词可能是因为日本人特别欣赏乌龟的缘故。

富翁的得不偿失

从前国外有个贪财的大富翁,虽然已非常有钱,可是每天还在盘算着如何得到更多的钱。

一天,富翁在路上遇到一个衣着俭朴的年轻人,他连眼皮也没眨一下,就走了过去,年轻人自言自语地说:“1分钱换10万元总会有人干的……”富翁一听,急忙回头叫住年轻人:“喂,你说的换钱是怎么回事?”

年轻人很有礼貌地一鞠躬说:“先生,是这样的,我可以在一个月内,每天给你送来10万元钱,虽然不是白给,但是代价是微不足道的,第一天只要你付我1分钱。”

“1分钱?”富翁简直不敢相信自己的耳朵。

“对,是1分钱。”年轻人说,“第二天再给你10万元时,你要付两分钱。”

富翁急切地问:“以后呢?”

“第三天,付4分钱;第四天,付8分钱……以后每天付给我的钱数都要比前一天多一倍。”

“还有什么附加条件吗?”

“就这些,但我们俩都必须遵守协定,谁也不准反悔!”于是,两人签订了协定。

10万元换几分钱,真是难得的好事!富翁满口答应:“好!就这样。”

第二天一清早,年轻人准时到来,他说:“先生,我把10万元送来了。”随即从大口袋里掏出整整10万元,并对富翁说:“下面该你付钱了。”

富翁掏出一分钱放在桌子上,陌生人看了看,满意地放入衣袋说:“明天见。”说完走出门去。

10万元钱从天而降!天下最大的便宜事叫富翁遇上了,他赶忙把钱藏了起来。

第二天早晨,年轻人又来了,他拿出10万元,收下两分钱,临走时说:“明天请准备好4分钱。”

第二个10万元又到手了!富翁乐得手舞足蹈,心想这个年轻人又蠢又怪!世上这样的人要是多几个多好,我们这些聪明人就会发了还要发,变成举世无双的大富豪了。

第三天,年轻人用10万元换走了4分钱。

第四天换走8分钱,以后又是1角6分、3角2分、6角4分,七天过去了,富翁白白收入70万元,而付出的仅仅是1元2角7分,富翁真想把期限再延长些,哪怕多半个月也好呀!

年轻人照常每天送10万元来,第8天付给他1元2角8分,第9天付2元5角6分,第10天付5元1角2分,第11天付10元2角4分,第12天付20元4角8分,第13天付40元9角6分,第14天付81元9角2分。

14天过去了,富翁已经收入整整140万元,而付出的才150元多一点。

又过了一段时间,富翁慢慢感到年轻人并不那么简单了,换钱并非那么合算了,15天后,每收入10万元,付出的已是几百元了,不过,总的来说还是收入的多,支出的少。

可是,随着天数的增加,支出在飞速地增大,纯收入在逐日减少,第25天,富翁支出167772元1角6分,第一次超过了收人;第26天支出335544元3角2分,大大超过了收入;到了第30天支出竟达5368709元1角2分。

年轻人最后一次离开时,富翁连续算了一昼夜,终于发现:为了收入300万元,他付出了10737418元2角3分,亏了近800万元,富翁失算了!

计算一下富翁付出的总钱数,以分为单位的话,就有以下30个数相加:

1+2+4+8+16+32+64+…+536870912。

为了算出这个和,可以写成算式

1+2+4=2×2×2-1,

1+2+4+8=2×2×2×2-1,

……

1+2+4+8+…+536870912=2×2×…×2-1

30个

=1024×1024×1024-1=1073741823(分)

约瑟夫斯问题

这是一个古老的传说:有64名战士被敌人俘虏了,敌人命令他们排成一个圆圈,编上号码1,2,3,…,64,敌人把1号杀了,又把3号杀了,他们是隔一个杀一个这样转着圈杀,最后剩下一个人,这个人就是约瑟夫斯,请问约瑟夫斯是多少号?这就是“约瑟夫斯问题”。

这个问题是比较容易解答的:敌人从1号开始,隔一个杀一个,第一圈把奇数号码的战士全杀死了。剩下的32名战士需要重新编号,而敌人在第二圈杀死的是重新编排的奇数号码。

由于第一圈剩下的全部是偶数号2,4,6,8,…,64。把它们全部用2除,得1,2,3,4,…,32,这是第二圈重新编的号码,第二圈杀过之后,又把奇数号码都杀掉了,还剩下16个人,如此下去,可以想到最后剩下的必然是64号。

64=26,它可以连续被2整除6次,是从1到64中能被2整除次数最多的数,因此,最后必然把64号剩下,从64=26还可以看到,是转这6圈之后,把约瑟夫斯剩下来的。

如果有65名战士被俘,敌人还是按上述方法残杀战士,最后剩下的还是64号约瑟夫斯吗?

不是了,因为第一个人被杀后,也就是1号被杀后,第二个被杀的必然是3号,如果把1号排除在外,那么剩下的仍是64个人,对于剩下这64个人,新1号就应该是原来的3号,这样原来的2号就变成新的64号了,所以剩下的必然是原来的2号。

对于一般情况来说,如果原来有2k个人,最后剩下的必然是2k号;如果原来有2k+1个人,最后剩下的是2号;如果原来有2k+2个人,最后剩下的是4号……如果原来有2k+m个人,最后剩下的是2m号。

比如,原来有100人,由于100=64+36=26+36,所以最后剩下的是2×36=72号;又比如,原来有111人,由于111=64+47=26+47,所以最后剩下的是2×47=94号。

下面把问题改一下:不让被俘的战士站成圆圈,而排成一条直线,然后编上号码,从1号开始,隔一个杀一个,杀过一遍之后,然后再重新编号,从新1号开始,再隔一个杀一个,问最后还是约瑟夫斯吗!

答案是肯定的,最后剩下的仍然是约瑟夫斯。

如果战俘人数是65人呢?剩下的还是约瑟夫斯,只要人数不超过128人,也就是人数小于27,那么最后剩下的总是约瑟夫斯,因为从1到128中间,能被2整除次数最多的就是64,而敌人每次都是杀奇数号留偶数号,所以64号总是最后被留下的人。

回数猜想

一提到李白,人们都知道这是我国唐代的大诗人,如果把“李白”两个字颠倒一下,变成“白李”,这也可以是一个人的名字,此人姓白名李。像这样正着念、反着念都有意义的语言叫做回文,比如“狗咬狼”、“天和地”、“玲玲爱毛毛”,一般说来,回文是以字为单位的,也可以以词为单位写回文,回文与数学里的对称非常相似。

如果一个数,从左右两个方向来读都一样,就叫它为回文数,比如101,32123,9999等都是回文数。

数学里有个有名的“回数猜想”,至今没有解决,取一个任意的十进制数,把它倒过来,并将这两个数相加,然后把这个和数再倒过来,与原来的和数相加,重复这个过程直到获得一个回文数为止。

例如68,只要按上面介绍的方法,三步就可以得回文数1111。

68+86154+451605+5061111

“回数猜想”是说:不论开始时采用什么数,在经过有限步骤之后,一定可以得到一个回文数。

还没有人能确定这个猜想是对的还是错的,196这个三位数可能成为说明“回数猜想”不成立的反例,因为用电子计算机对这个数进行了几十万步计算,仍没有获得回文数,但是也没有人能证明这个数永远产生不了回文数。

数学家对同时是质数的回文数进行了研究,数学家相信回文质数有无穷多个,但是还没有人能证明这种想法是对的。

数学家还猜想有无穷个回文质数时,比如30103和30203,它们的特点是,中间的数字是连续的,而其他数字都是相等的。除11外必须有奇数个数字,因为每个有偶数个数字的回文数,必然是11的倍数,所以它不是质数,比如125521是一个有6位数字的回文数,按着判断能被11整除的方法:它的所有偶数位数字之和与所有奇数位数字之和的差是11的倍数,那么这个数就能被11整除,125521的偶数位数字是1,5,2;而奇数位数字是2,5,1,它们和的差是

(1+5+2)-(2+5+1)=0,

是11的倍数,所以125521可以被11整除,且

125521÷11=11411。

因而125521不是质数。

在回文数中平方数是非常多的,比如,

121=112,

12321=1112,

1234321=11112,

…,

12345678987654321=1111111112,

你随意找一些回文数,平方数所占的比例比较大。

立方数也有类似情况,比如,1331=113,1367631=1113

这么有趣的回文数,至今还存在着许多不解之谜。

冰雹猜想

30多年前,日本数学家角谷静发现了一个奇怪的现象:一个自然数,如果它是偶数,那么用2除它;如果商是奇数,将它乘以3之后再加上1,这样反复运算,最终必然得1。

比如,取自然数N=6,按角谷静的作法有:6÷2=3,3×3+1=10,10÷2=5,5×3+1=16,16÷2=8,8÷2=4,4÷2=2,2÷2=1,从6开始经历了3→10→5→16→8→4→2→1,最后得1。

找个大数试试,取N=16384。

16384÷2=8192,8192÷2=4096,4096÷2=2048,2048÷2=1024,1024÷2=512,512÷2=256,256÷2=128,128÷2=64,64÷2=32,32÷2=16,16÷2=8,8÷2=4,4÷2=2,2÷2=1,这个数连续用2除了14次,最后还是得1。

这个有趣的现象引起了许多数学爱好者的兴趣,一位美国数学家说:“有一个时期,在美国的大学里,它几乎成了最热门的话题,数学系和计算机系的大学生,差不多人人都在研究它。”人们在大量演算中发现,算出来的数字忽大忽小,有的过程很长,比如27算到1要经过112步,有人把演算过程形容为云中的小水滴,在高空气流的作用下,忽高忽低,遇冷成冰,体积越来越大,最后变成冰雹落了下来,而演算的数字最后也像冰雹一样掉下来,变成了1!选数学家把角谷静这一发现,称为“角谷猜想”或“冰雹猜想”。

这一串串数难道一点规律也没有吗?观察前面作过的两串数:

6→3→10→5→16→8→4→2→1;

16384→8192→4096→2048→1024→512→256→128→64→32→16→8→3→2→1。

最后的三个数都是4→2→1。

为了验证这个事实,从1开始算一下:

3×1+1=4,4÷2=2,2÷2=1。结果是1→4→2→1,转了一个小循环又回到了1,这个事实具有普遍性,不论从什么样自然数开始,经过了漫长的历程,最终必然掉进4→2→1这个循环中去,日本东京大学的米田信夫对从1到10995亿1162万7776之间的所有自然数逐一做了检验,发现它们无一例外,最后都落入了4→2→1循环之中!

计算再多的数,也代替不了数学证明。“角谷猜想”目前仍是一个没有解决的悬案。

其实,能够产生这种循环的并不止“角谷猜想”,下面再介绍一个:

随便找一个四位数,将它的每一位数字都平方,然后相加得到一个答数;将答数的每一位数字再都平方,相加……一直这样算下去,就会产生循环现象。

现在以1998为例:

12+92+92+82=1+81+81+64=227,

22+22+72=4+4+49=57,

52+72=25+49=74,

72+42=49+16=65,

62+52=36+25=61,

62+12=36+1=37,

32+72=9+49=58,

52+82=25+64=89。

下面再经过八步,就又出现89,从而产生了循环:

聪明的小王子

1.抽牌的秘密

从前有个国王,他有三个王子,大王子只喜欢读书,二王子只知道习武,小王子的兴趣十分广泛,爱读书,爱习武,还爱玩。

国王想试一试三个王子谁更聪明,把他们都找来,国王一本正经地说:“今天,我让你们比试一下,看谁最会玩。”

“比玩?”大王子、二王子有点莫名其妙,两人互相看了一眼。

“比玩?那可太好了!”小王子高兴得直蹦。

国王从口袋里拿出一副扑克牌,从中拿掉大王、小王,又拿掉四张K,把剩下的四十八张牌分成三份,每份十六张牌,分别发给三个王子。

国王说:“你们都先不要看牌,大王子从二王子手中抽出一张牌,二王子从小王子手中抽出一张牌,小王子再从大王子手中抽一张牌。”三位王子各抽一张牌后,把手中的牌依次交给国王,国王分别把三份牌都重新洗过,又还给他们。

国王说:“我第一次给你们的牌都是有规律的,现在,谁能说出你从别人那儿抽的是什么牌?被抽走的又是什么牌?”

三位王子刚把手中的牌翻过来,小王子就说:“我从大哥那儿抽来了一张红桃3,二哥从我手中抽走了一张梅花7。”

二王子问:“你是怎么知道的?”

小王子举着手中的牌说:“你看:我手中有四张5、四张6,四张8,可是只有三张7,缺一张梅花7,但是多了一张红桃3,父王说第一次发牌是有规律的,原来一定有四张7才对。”

国王点点头说:“小王子说得对!”

大王子不服气,他说:“这是蒙人,再来一次我也能猜出来。”

“再做一次游戏。”国王把红桃A到红桃Q这十二张牌挑了出来,每人分了四张牌,让三位王子按刚才的方法再抽一次,抽过之后每人把手中的牌都亮出来。

大王子手中的牌是6,7,9,Q(12);

二王子手中的牌是A(1),5,10,J(11);

小王子手中的牌是2,3,4,8。

大王子抢先说:“我知道了!我手中的牌有规律:7-6=1,9-7=2,12-9=3,它们的差是1,2,3对不对?”

小王子摇摇头说:“大哥您别忘了,您手里有一张牌是刚从二哥手里抽去的。您原来的牌并没有这个规律。”大王子和二王子实在想不出来。

小王子说:“大哥手中的6,9,12这三张牌都可以被3整除,因此,我手中的3一定是从大哥手中抽来的。”

二王子问:“我手中的牌有什么规律呢?”

“二哥手中的牌原来是1,5,7,11,这些数(除1之外),只能被1和它本身整除,数学上叫质数,只是7被大哥抽走了。”小王子答道。

小王子把手中的牌一举说:“我原来手里牌一定是2,4,8,10,其中10被二哥抽走了。”

“答得好!”国王又从扑克牌里挑出了七张,在桌面上摊开,三位王子一看有六张红桃牌,它们是2,4,6,8,10,Q(12),外加一张小王(代表14)。国王把七张牌洗过之后,背面朝上摆在桌上,让每位王子任选两张牌,把两张牌的数字之和报出来。

大王子说:“我的两张牌数字之和是12。”

二王子说:“我的两张牌数字之和是10。”

小王子说:“我的两张牌数字之和是22。”

国王问:“桌上还剩下一张牌,谁能以最快的速度回答我,桌上这张牌是红桃几?”

二王子说:“这可以算出来,由于8+4=12,10+2=12,因此大哥手中的牌可能是红桃8和红桃4,也可能是红桃10和红桃2……”

“对,对。”大王子急着也搭话说:“由于8+2=10,6+4=10,因此,二弟手中可能是红桃8和红桃2,也可能是红桃6和红桃4……”

小王子见二位哥哥正在猜测,就脱口而出说:“桌子上那张牌是红桃Q(12)。”国王翻牌一看,果然是它。

大王子问:“三弟,你怎么算得这么快?”

小王子笑着说:“这红桃Q(12)不是算出来的。”二王子奇怪地问:“不算,怎么能知道?”

小王子解释说:“我手里的两张牌是红桃8和14(小王),我就肯定桌子上的牌是红桃Q(12)。”

二王子摇摇头说:“我看三弟是在蒙人吧?”

小王子说:“二哥的两张牌之和才是10,红桃Q(12)不可能在二哥手中;大哥的两张牌之和也只有12,因此,红桃Q(12)也不会在大哥手里,我手里又没有,红桃Q(12)只能在桌子上!”

国王笑着点点头说:“小王子不用算就可以知道桌上的牌是几,你们说,他巧妙之处在哪里呢?”

大王子顿有所悟,他说:“三弟善于动脑筋去分析问题。”

2.蒙眼猜珠

强人国派两位使者来见国王。

一个矮矮胖胖的使者说:“我们强人国国王,听说贵国的三位王子聪明过人,特派我们给三位王子送上薄礼,请笑纳。”

另一个又高又瘦的使者拿出一金一银两个盒子,又拿出一个口袋,打开口袋。里面装有30颗又圆又大的珍珠。

胖使者像变魔术一样,从口袋里抽出一条黑绸子,他举着绸子说:“我用这条绸子把一位王子的眼睛蒙上,然后有人把珍珠往两个盒子里放,往银盒子里放,每次只能放一颗;往金盘子里放,每次只能放两颗,不许不放也不许多放,每放一次就拍一下手,放完后,蒙眼的王子要根据听到的拍手次数,在20秒内说出金盒、银盒里各有几颗珍珠。”

瘦使者插上一句说:“若猜对了,就把这些珍珠作为礼物,送给他!”

三位王子互相看了一眼,二王子说:“我先猜。”胖使者马上给二王子蒙上眼睛。

二王子听到19次拍手,他自言自语地说:“关键是要找到两个数,这两个数之和等于19;其中一个数乘2,另一个数乘1,相加之后等于30,这两个数是几呢?”

“噢,我想起来啦!”二王子刚要说,只见瘦使者把手一举说:“20秒钟已到。”

二王子把黑绸子一把抓下来说:“往金盒里放了11次,共22颗珍珠;往银盘里放了8次,有8颗珍珠,加在一起恰好是30颗!”

“您虽然算对了,但是时间已超过20秒钟,这份礼物不能送给您,十分遗憾哪!”胖使者的几句话,不冷不热,听了很不顺耳。

小王子笑眯眯地说:“我来试试。”胖使者赶紧给小王子蒙上眼睛。

瘦使者一共拍了21下手,小王子立刻答出:“银盒里有12颗珍珠,金盒里有18颗珍珠,对不对?”大家一数,一点也不差。

胖使者皮笑肉不笑地问:“我相信小王子是不会蒙人的,请小王子说说算法,我们也长长见识。”

小王子说:“我听到了21次拍手,如果这21次都是往银盒子里放,只有21颗珍珠,还差9颗,这说明21次中必然有9次是向金盒子里放了,因为金盒子每次放两颗珍珠,就可以补上所差的9颗。”

小王子悄声对胖使者说:“我告诉你一个公式吧:

金盒子的珍珠数=(30-拍手次数)×2;

银盒子的珍珠数=30-金盒子的珍珠数。”

“你也猜猜看。”小王子用黑绸子把胖使者的眼睛给蒙上了,又抓起珍珠一会儿往金盒里放,一会儿往银盒子里放,“啪,啪……”一连拍了11下,然后问胖使者:“快说各有多少颗珍珠?”

胖使者结结巴巴地回答:“金盒子里有38颗珍珠,而银盒子有……嗯,按你的公式做,怎么不对啦?”

“哈,哈。”小王子笑着说:“一共才30颗,你算出了38颗,我才拍了11次手,就是每次都放了2颗,才放了22颗呀!而且我还没有放完哪!你要记住,拍手次数不能少于15次,不然这个公式是不能使用的!”大家一齐大笑。

3.寻找宝石

强人国使者见一计不成,就又施一计。

瘦使者在桌上摆了五只金光闪闪的盒子,五只盒子从1到5都编上号。1,2,4号盒子都写着“宝石在这个盒子里”,3号盒子上写着“宝石不在这个盒子里”,而5号盒子上写着“宝石不在1号盒子里”。

瘦使者指着盒子说:“在这五只盒子里,有一只盒子里装有一块价值连城的宝石,请王子猜一下宝石在哪只盒子里,但每位王子只能猜一次,谁猜对了就把宝石送给谁,哪位王子先猜!”

“我先猜。”大王子用手指了一下2号盒子。

瘦使者连忙打开2号盒子,盒子里面空空的,什么也没有。

小王子上前一步问:“这盒子上写的都是真话吗!”

瘦使者说:“只有一句是真话。”

小王子指着3号盒子说:“宝石在这个盒子里。”

瘦使者打开3号盒子,宝石果然在盒子里,在场的人齐声称赞。

瘦使者皮笑肉不笑地问:“小王子怎么知道宝石一定在3号盒子里呢!”

小王子解释说:“5号盒上写的‘宝石不在1号盒里’和1号盒上写的‘宝石在这盒里’,这两句话中必有一句是真话,因此2,3,4号盒上写的一律是假话,而3号盒上写的‘宝石不在这盒里’是假话,那么宝石必在3号盒里。”

4.“3129”

有一天,国王忽然想起了什么,他对王子们说:“你们的祖父母去世的早,你们可能都记不得他们的年龄了,谁能告诉我,你们的祖父母都活了多大年岁!”

二王子问:“可以问您几个问题吗!”

国王回答:“只能问一个。”

“啊,问一个问题就猜到祖父母的年龄,太困难了,这恐怕连神仙也难办到!”大王子自言自语地说。

国王又问小王子说:“你行吗!”小王子点了点头,大王子和二王子很惊讶。

小王子说:“请您把祖父的年龄用5乘,再加6,然后乘以20,再加上祖母的年龄,再减掉365,把最后得数告诉我。”

国王不知道小王子想干什么,心算了一阵说:“得2884。”

小王子马上答道:“祖父活到31岁,祖母活到29岁。”

国王高兴地站起来说:“对极啦,就是这两个年龄!”

“为什么让父王算一道题,就能把祖父母的年龄算出来呢?”“只许问一个问题,要猜出两个人的年龄,还不能直接去问,你是怎么算的呢!”两位哥哥不停地问着小王子。

小王子的妙算是叫父王算出一个四位数,使得千位和百位上的数字与祖父的年龄有关;十位和个位的数字与祖母的年龄有关。

小王子的算法是:用祖父的年龄乘以5得31×5;加上6再乘以20得(31×5+6)×20;再加上祖母的年龄29,最后减掉365得

(31×5+6)×20-365=2884

小王子心里把2884再暗自加245,得3129,31是祖父的年龄,29是祖母的年龄。

大王子问:“为什么最后要加上245呢?”

小王子解释,可以利用乘法分配律,把上面的算式以另一种方式做一下:

(31×5+6)×20+29-365

=31×5×20+6×20+29-365

=31×100+29+120-365

=3129-245

你看这最后一个式子,如果再加上一个245,不就得到需要的3129了吗?

原来小王子像魔术师变魔术一样,在计算中加了一点“伪装”,这就是“加6,减去365”,其实这两步与计算祖父、祖母的年龄毫无关系,目的使这种计算更隐蔽、更神秘。不然的话就会叫人家一眼识破,变得没意思了。不信,我们换一种直接计算方法你看看。

小王子对父王说:“请您把祖父的年龄每次乘以100,再加上祖母的年龄,把最后得数告诉我。”

国王会说:“得3129,好小子!你把祖母年龄放在十位、个位上;把祖父年龄放在千位、百位上,这还不如直接问问我,祖父、祖母活了多大年岁呢!”你看,这样直接问不就坏事了吗?

各式各样的数学题

1.泥板上的

古代巴比伦王国的位置,在西亚底格里斯河和幼发拉底河的中下游地区,现在的伊拉克境内,巴比伦国家建立于公元前19世纪,是世界四大文明古国之一。

巴比伦人使用特殊的楔形文字,他们把文字刻在泥板上,然后晒干,泥板晒干后和石头一样坚硬,可以长期保存。

从发掘出来的泥板上,人们发现了3000多年前巴比伦人出的数学题:

“10个兄弟分100两银子,一个人比一个人多,只知道每一级相差的数量都一样,但是究竟相差多少不知道,现在第八个兄弟分到6两银子,问一级相差多少?”

如果10个兄弟平均分100两银子,每人应该分10两,现在第八个兄弟只分到了6两,说明老大分得最多,往下是一个比一个少。

按着题目所给定的条件,应该有以下关系:

老二得到的是老大减去一倍的差,

老三得到的是老大减去二倍的差,

老四得到的是老大减去三倍的差,

……

老十得到的是老大减去九倍的差。

这样,老大与老十共得银两

=老二与老九共得银两

=老三与老八共得银两

=老四与老七共得银两

=老五与老六共得银两

=20两

已知老八得6两,可求出老三得20-6=14两,老三比老八多得14-6=8,另一方面,老三与老八相差7-2=5倍的差,因此,

差=8÷5=1.6(两)

答:一级相差1.6两银子。

巴比伦的数学和天文学发展很快,他们除了首先使用60进位制外,还确定一个月(月亮月)有30天,一年(月亮年)有12个月亮月,为了不落后太阳年,在某些年里用规定闰月的办法来纠正。

巴比伦人了解行星的存在,他们崇拜太阳、月亮、金星,把数3看作是“幸福的”,晚些时候,他们又发现了木星、火星、水星、土星,这时数7被看作是“幸福的”。

巴比伦人特别注意研究月亮,把弯月的明亮部分与月面全面积之比,叫做“月相”,在一块泥板上记载有关月相的题目:

“设月亮全面积为240,从新月到满月的15天中,头5天每天都是前一天的2倍,即5,10,20,40,80,后10天每天都按着相同数值增加,问增加的数值是多少?”

月亮全面积为240,第五天月亮面积为80,后10天月亮共增加的面积为240-80=160。

因此,每天增加的数值为160÷10=16。

答:增加的数值为16。

2.纸草上的

《兰特纸草书》是4000年前古埃及人的一本数学书,上面用象形文字记载了许多有趣的数学题,比如:

在7,7×7,7×7×7,7×7×7×7,7×7×7×7×7,……

这些数字上面有几个象形符号:房子、猫、老鼠、大麦、斗,翻译出来就是:

“有7座房子,每座房子里有7只猫,每只猫吃了7只老鼠,每只老鼠吃了7穗大麦,每穗大麦种子可以长出7斗大麦,请算出房子、猫、老鼠、大麦和斗的总数。”

奇怪的是古代俄罗斯民间也流传着类似的算术题:

“路上走着七个老头,

每个老头拿着七根手杖,

每根手杖上有七个树杈,

每个树杈上挂着七个竹篮,

每个竹篮里有七个竹笼,

每个竹笼里有七个麻雀,

总共有多少麻雀?”

古俄罗斯的题目比较简单,老头数是7,手杖数是7×7=49,树杈数是7×7×7=49×7=343,竹篮数是7×7×7×7=343×7=2401,竹笼数是7×7×7×7×7=2401×7=16807,麻雀数是7×7×7×7×7×7=16807×7=117649。总共有十一万七千六百四十九只麻雀,七个老头能提着十一万多只麻雀溜弯儿,可真不简单啊!若每只麻雀按20克算,这些麻雀有2吨多重。 NkWC7nHXInnSmUnXTtl61k0XmGlbc+6l6CqCSWyto/VmCVJtGz4ov7U55lUgdjnQ

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