下载掌阅APP，畅读海量书库
立即打开
——塞巴斯蒂安·雷奥（Sébastien Leo，CFA）
大约在60年前，马科维茨出版了一部影响深远的著作，此后，风险概念一直是金融理论和实践的中心。但是风险管理作为一个独立的研究领域，却是过去15年里才出现的。风险度量科学的发展是对这一显著进展的主要贡献者，提出了新的风险指标，并对其特性进行了研究。这些指标过去只用于市场风险，现在却普遍应用于信用、操作、流动性风险以及组合优化。对于风险预算的日益重视也激发了对整合风险度量框架的需要。但是风险管理绝非仅仅是量化技术的应用。过往发生的大量金融灾难事件告诉我们，需要对风险的本质有深入和坚实的理解，同时，充分的内部控制也是至关重要的。
现代风险研究可以追溯到马科维茨有关组合选择的开创性工作。
马科维茨发现人们应该像关注回报那样关注风险，他把对风险的研究处于金融经济学新领域的中心位置。此后，风险管理科学不断成长，并形成了自己的研究领域。
开始时，风险管理局限于对冲，即消除不希望出现的风险。对冲主要是通过衍生工具完成的。（例如通过购买外币标价的证券对冲外汇风险。）但是，在过去的15年里，风险管理的发展已经超越了对冲实践，围绕着两个维度演变成了一门复杂的学科：风险度量和风险管理实践。这两方面对于金融行业不同的领域，其内涵和应用是不同的。对于投资银行和商业银行来说，风险管理在管理银行流动性储备和法定资本方面是有用的。对于主动资产管理机构来说，它是管理有效组合和获取更高阿尔法回报的强有力工具。这些差异说明风险度量和风险管理并非固定不变的观念，而是不同机构可以用不同方式因地制宜使用的工具，通过减少负面可能事件造成的金融影响而提供附加价值。
今天，在组合风险管理（由马科维茨开创）和企业风险管理之间可以做出区分。尽管这两个领域从消减风险这个共同目标上紧密相关，但它们通常使用不同的工具，要求不同的思考方法。本章所做的文献回顾将涉及这两个领域，但是会更偏重企业风险管理。有关组合风险管理的文献非常丰富。
本章主要讨论以下重要问题：
·金融市场参与者面对的风险有哪些？
·从过往发生的金融灾难中可以学到哪些提高风险管理的经验教训？
·普遍使用的风险指标有哪些？是否适用，以及如何最好地运用？
·如何测量信用风险、操作风险和流动性风险？
·风险指标有哪些最受欢迎的特征？
·为何寻找一个整合风险管理框架是重要的？
金融风险并不是指一个单一的东西。实际上，对风险的经典观点是将其分为几个大类：市场、信用、操作、流动性、法律和监管。这一经典观点为过去15年风险管理学科的快速发展提供了支柱。这不仅仅是学术上的尝试，这些分类揭示了每种类型的风险在经济学上的根本区别。在许多金融机构里，这些分类也反映了风险管理组织功能的不同。
市场风险通常定义为资产价格下跌的风险，当和股票、利率、货币或商品有关的市场因素发生了未预期的变化时，就会产生这样的结果。市场风险可能是最易理解的风险，而且有关这类风险存在着大量可获得的优质数据。很多指标，比如风险价值，随时可用于评估市场风险。信用风险度量的是因为对手方或发行人（如OTC交易的对手方、债券发行人、信用违约掉期的信用连接机构）的信用质量改变引发资产价格下跌的概率。当对手方违约可能性增加或信用降级的可能性增加时，信用风险也将增加。本章讨论了5种主要的信息风险度量方法（见“信用风险方法”一节）。
操作风险被巴塞尔委员会定义为“由不充分或失效的内控流程、人员和系统，或者由外部事件导致损失的风险”。
所以，操作风险可以来自多种原因，如欺诈、管理和报告结构上的不足、不符合操作规程、交易结算错误、信息系统缺陷，或者自然灾害。
流动性风险是无法提供满足短期负债所需的现金（即资金流动性风险），或因市场崩溃而无法以现行市价买卖特定资产（即交易相关的流动性风险）的风险。这两者是相互联系的，为了筹集资金偿债（融资流动性风险），机构可能需要出售它的部分资产（引发交易相关的流动性风险）。
法律和监管风险是错误运用当前法律法规或者适用法规（如税法）发生改变而引发金融损失的风险。
大量文章、工作论文和图书的出版，显示了风险管理领域的不均衡发展。作为一般的参考文献，下列是一些提供了风险管理全面介绍的资料：
达斯（Das，2005）提供了一个风险管理实践的整体回顾，大部分是从衍生工具合约的角度进行分析。
安布莱希特、弗瑞和麦克尼尔（Embrechts，Frey，McNeil，2005）重点讨论了风险管理量化方法的应用。
克劳希、加莱和马克（Crouhy，Galai，Mark，2001，2006）的两篇文章是对国际性银行从业者重要的参考文献，其中对监管框架做了重点讨论。
约里安（Jorion，2007）给出了风险管理实践的回顾，其中包括银行业监管的资料，金融灾难的详尽分析，以及风险管理缺陷分析。他还给出了一个基于VaR的风险管理案例，以及一些VaR应用和方法改进。
最后，伯恩斯坦（Bernstein，1996）提供了另一篇重要的参考资料。他的这篇大作生动描述了风险概念从古到今的发展史。
风险管理既是艺术又是科学。它不仅通过风险度量反映了风险的量化，也提供了对于风险本质的深入和坚实的理解。对于过往发生的金融灾难的研究，既是一个重要的认知来源，也是一个有力的提醒：如果不能准确理解和控制风险，很容易引发灾难。下面我们回顾一些过往发生的金融灾难。
尽管已经是很久以前的事情了，德国金属冶炼和销售公司（MGRM）的灾难仍和今天高度相关，因为它确实是一件复杂和引起激烈争论的案例。一些问题仍未解决，例如MGRM的策略是否允许对冲或者投机？其母公司德国金属公司是否承受得住流动性压力？1994年年初做出这个策略的决定是否正确？如果关于MGRM的争论能够留给我们一些经验教训，那就是风险管理绝非仅仅是量化方法的应用，而关键决策和金融策略也是值得解释和讨论的。
1991年12月，德国工业集团金属冶炼和销售公司设在美国的石油贸易子公司MGRM出售了远期合约，保证其客户未来5～10年价格稳定。直到1993年，总的未平仓合约相当于1.5亿桶原油制品。如果油价上涨，这个策略将让MGRM变得不堪一击。
为了对冲这个风险，MGRM建立了一系列多头仓位，大多数是短期期货（有些只有一个月）。这种做法称为“滚动对冲”（Stack Hedging），通过对定期即将到期的合约滚动处理，以维持对冲。理论上，通过长期的远期合约维持对冲头寸可以消除所有风险。但是中间现金流可能无法匹配，这会造成流动性风险。如果油价持续上涨或者维持不变，MGRM可以用短期期货转仓进行对冲而不产生明显的现金流问题。相反，如果油价下跌，MGRM将不得不注入大笔现金，用于追加保证金和期货转仓。
现实情况是，油价一直跌到1993年，导致当年年底短期期货亏损13亿美元。德国金属母公司的监事会决定撤换MGRM的管理层，并不惜代价停止了它们所做的对冲策略。最终该公司于1994年年初接受了由150家德国和国际银行提供的19亿救援资金。
梅洛和帕尔森（Mello，Parson，1995）的分析支持了媒体当时的报道，将德国金属冶炼和销售公司的策略归结为投机行为，并提出资金风险是导致该公司垮台的主要原因。
卡普和米勒（Culp，Miller，1995a，1995b）的看法不同，他们认为这个事件的真正问题不是策略中的资金风险，而是德国金属冶炼和销售公司监事会缺乏对形势的了解。他们进一步指出，发生的损失只是账面上的，可以在长期抵消。通过清盘，该监事会把账面损失变成了实际损失，导致整个制品公司几乎破产。
爱德华和康特（Edwards，Canter，1995）拓宽了卡普和米勒的分析：
德国金属冶炼和销售公司近乎破产的事件，源于其监事会和MGRM高层对于对冲策略合理性和适用性的看法分歧。
1994年年初，罗伯特·希特龙（Robert Citron），橘郡的司库，管理着价值75亿美元的橘郡投资资产池。为了提高基金回报，希特龙决定借助杠杆融资，通过反向回购（reverse repo）借入125亿美元。于是其管理的资产规模达到了200亿美元，主要购买平均年期为4年的机构票据。
希特龙的杠杆策略可以看作是建立在4年期固定投资收益率与浮动借贷利率之差之上的利差策略：押注浮动借贷利率不会超过固定投资收益率。只要浮动借贷利率低于投资收益率，利差和杠杆结合起来将让投资资产池产生良好回报。但是如果浮动借贷利率超过了投资收益率，基金产生的亏损将被杠杆加倍放大。
橘郡很不幸，1994年当美联储收紧联邦资金利率时，借贷成本大幅上扬。结果橘郡投资资产池的损失快速累积。到1994年12月，橘郡已经亏损了16.4亿美元。不久该郡宣布破产并开始清算投资组合。
约里安（1997）指出，在其策略获利丰厚时希特龙得到了橘郡官方的支持——曾盈利高达7.5亿美元。但是当全部问题浮出水面时，他失去了支持并迅速被撤换，接着该郡宣布破产清算。
但是米勒和罗斯（Miller，Ross，1997）的意见是，橘郡应该既不宣布破产，也不进行清算。如果该郡继续持有投资组合，他们估计橘郡将在1995年弥补损失，甚至还能赚一些钱。
楚格尔（Tschoegl 2004）和约里安（Jorion 2007）研究了四位恶棍交易员的行为。
5.2.3.1 巴林银行（1995年）
尼克·李森是巴林银行派驻新加坡的唯一一位期货交易员，亏损了13亿美元，导致有233年历史的巴林银行倒闭。
李森在日经255期货上积累的做多头寸高达70亿美元。当日经指数下跌时，李森将损失隐藏在一个“亏损账户”里，同时增加了做多头寸，期望市场回转可以让他的头寸变成盈利。但是在1995年前两个月里，日本遭遇了一场地震，日经指数跌去了大约15%。李森一人控制着巴林银行新加坡期货交易的前后台，是导致这场灾难的主要原因，因为这让他可以建立很大的头寸，并将损失隐藏起来。另一个主要因素是巴林银行采用了模糊的矩阵式管理组织架构。岗位、职责和监督责任的设置不清晰。组织结构上的缺陷导致地区交易部门独来独往。
5.2.3.2 大和证券（1995年）
大和证券集团在纽约的一位交易员井口俊英在11年时间里累积了11亿美元的亏损。和李森案相似，这名交易员可同时控制着前后台部门，使得他非常容易隐瞒亏损。
5.2.3.3 住友商社（1996年）
住友在伦敦的铜交易员滨中泰男为了增进其部门的收益，介入了一系列未经授权的投机交易。这些交易导致了13年里累计亏损近26亿美元的结果。
5.2.3.4 爱尔兰联合银行（2002年）
外汇交易员约翰·鲁斯纳克供职于该行在美国马里兰州的一家小分行，在1997～2001年间造成了总计6.91亿美元的亏损。利用虚假对冲交易和设置优先经纪交易账户，让他可以通过其他银行进行交易操作。
在巴林银行、住友、大和、爱尔兰联合银行案例中，造成灾难的共同点是交易员在同一个地区交易部门工作了很久，远离总部的监控。在四家银行中，内控部门或者是由交易员直接管理，或者根本缺位。此外，交易不是主要业务，交易和后台操作没有集中，而是交由“专家”处理，他们很少与总部联系，而且在同一岗位上待了很久。
约里安（2000年）分析了发生在1998年夏天的长期资本管理公司崩溃事件，重点分析了该基金的风险管理。资深交易员约翰·梅里威瑟（John Meriwether）于1994年创立了该对冲基金。
该基金吹嘘聘用了诺贝尔奖得主迈伦·斯科尔斯和罗伯特·默顿担任其高级顾问和管理层。
该基金依赖公开的量化策略，通过非定向的价差收敛或相对价值多空交易盈利。例如，该基金买入一只便宜证券，并做空一只有较紧密关系的较贵的证券，期望这两只证券的价格会趋近。开始时非常成功，但是在1998年夏天的投机性操作中亏损了44亿美元，最后在极端危难的状况下只能求助于美联储和银团。
使用马科维茨的均值方差分析法，约里安指出，应用最优化技术识别相对价值和价差交易通常会导致过度使用杠杆。引发的副作用是该策略的风险对于关联性假设条件的改变特别敏感，加之LTCM采用近期价格数据量度事件风险，危险变得非常大。根据约里安的分析，“LTCM的崩溃是由于它没有能力度量、控制和管理风险。”
为防止发生其他类似事件，约里安建议风险指标应该覆盖到被迫卖出资产时产生的流动性风险，以及应该将重点放在对当期组合的最差情境进行压力测试上。
迪尔（Till，2006）从Amaranth基金案例中得出了一些经验教训，这家对冲基金豪赌能源市场，在2006年9月份一周时间亏掉了92亿美元资产的65%。迪尔特别观察到，该基金持有的头寸“与纽约商品交易所期货曲线的远月未平仓合约量（open interest）有非常大的关联度”，由于头寸可能无法分散或者有效对冲而加大了流动性风险。
迪尔也发现了一些和长期资本管理公司同样的错误，两家基金都持有超过其资本规模的高杠杆头寸，一旦发生极端事件，则无法支撑。由于杠杆头寸比市场可消化的规模大，基金清盘的决定具有反作用，基于历史的风险指标被大幅低估。而且，尽管这两家基金采取了经济上可行的策略，他们都不了解其策略的能力局限。
芬格（Finger，2006）对Amaranth案例提出了略有区别的看法，纠正了标准风险管理模型对损失规模负有部分责任的观点。芬格特别指出，标准风险管理模型至少可以提前给出对一些巨大损失风险的警告。他总结说，标准风险管理不能预测出损失的大小，是因为它们通常不考虑被迫清算巨大头寸引发的流动性风险。
约里安（2007年）从金融灾难里得出了以下关键教训：尽管单一风险来源可能导致巨大风险，但它通常不足以导致一场实际的灾难发生。这样的事件，通常会与其他类型的风险交互影响才会导致灾难发生。最重要的是，缺乏适当的控制看上去是一个决定性的因素。尽管控制不足不会导致实际的财务损失，但它们让组织承担了不必要的风险，也为极端损失的积累提供了足够多的时间。
楚格尔（2004年）指出，“风险管理是一个管理问题。”金融灾难不会随机发生——它们揭示了管理和控制结构上的深层问题。改善控制结构的一个方法是将交易、合规和风险管理职责有效分离开来。
风险度量处于经济学理论、精算统计学和现代概率数学的汇合点上。从统计角度看，塞葛（Szego，2002）给出了一个风险指标及其发展的精彩回顾，以及对VaR方法论的批评。安布莱希特（Albrecht，2004）从精算角度对风险指标特别是相对风险指标做了清晰回顾。福尔默和希德（Follmer，Schied，2004）指出了风险指标的数学意义及与现代金融学和定价理论的联系。
表5-1 部分常用风险指标
这些理论的交汇为多种风险指标的提出提供了良好的环境（见表5-1）。除了从投资理论中衍生出的经典指标，例如回报率的标准差，新的指标，例如VaR或期望损失（expected shortfall），近年其他指标也开始在风险管理文献中出现。最后是专业从业者，大多数来自对冲基金，也对此有所贡献，例如提出了诸如欧米伽值这样的“华尔街指标”，用来衡量其他指标无法量化的风险。
在一份近期的量化股权管理国际趋势的调查报告中，法博齐、佛卡迪和约纳斯（Fabozzi，Focardi，Jonas，2007）发现，36家参与调查的资产管理机构使用最多的风险指标是
·方差（35家或97%）
·VaR（24家或67%）
·下行风险（14家或39%）
·条件VaR（4家或11%）
·极值理论（2家或6%）
调查结果显示，尽管股票投资经理很快接受了新开发的货币风险指标，如VaR和条件VaR，他们没有放弃方差和下行风险这样的传统指标。特别是方差的使用比例之高，部分解释了足有83%的被调查对象声称他们用均值方差优化作为资产配置工具的事实。
该调查还指出了另外两个风险量化的趋势。第一，大部分被调查者使用了多种指标，这对如何将所有指标整合在一个一致的框架内提出了疑问。第二，大多数被调查者关心模型风险，并使用模型平均和收缩技术这类复杂方法减轻这个风险。
最后，该调查揭示了阻碍机构使用量化方法的主要因素是内部文化，而促进量化方法使用的主要因素是其正面结果。
风险是马科维茨、夏普、特雷诺（Treynor）、林特纳（Lintner）和莫辛（Mosin）创立的现代组合理论的基石。对投资理论的研究导致出现了一些新的被普遍接受的风险指标，例如方差、标准差、贝塔值和跟踪误差。
标准差是方差的平方根。方差是测量分布相对围绕均值展布宽度的二阶中心距。与方差不同的是，标准差与随机变量和分布均值的单位是一致的，因此可以直接进行比较。标准差也是描述正态分布的一个关键参数。
期望回报的标准差（见图5-1），通常用希腊字母σ（sigma）表示，可能是最古老的风险指标，是由马科维茨（1952）在组合选择问题中首次引入的。在均值方差理论和其后继者——资本资产定价模型（CAPM）里，标准差代表了一项资产或组合的全部风险。CAPM也通过从总风险里分解出系统风险，与斜率β和其他特殊风险一起构成了一个更精细的风险度量——误差项。相对风险量值，例如追踪误差，后来被引入了被动投资策略中。
图5-1 标准差
标准差有一个主要缺陷。作为一个对称性指标，其计算包括了上限偏差（收益）和下限偏差（亏损），导致了潜在的对估算风险的误导。相应地，只有在分布式对称的时候，标准差才给出精确的总风险。当收益分布变得越来越偏时，作为风险指标的标准差，其精确性会大幅降低。
现代风险管理指标是过去15年风险管理理论和实践快速发展的结果。用彼得·伯恩斯坦引述艾罗里·迪姆森的话，风险是“更多事情可能发生而不是将要发生。”
概率提供了解决这类特定问题的理论和工具箱。其结果是，风险度量将根深深地扎在了概率理论中。VaR、期望损失、条件VaR和最差预期值是四个最常用和最基本的现代风险指标。
随机变量X，代表一项投资或组合在给定时间区间的损益金额
在初始时点的贴现值。例如，为了估算一个美国股票组合在3天内的风险，X代表该股票组合的3天损益（用美元表示）再用3天回购价格贴现。
因为在风险管理中，X被视为一个随机变量，所以其可能取值和发生概率都由一个概率分布决定。X的累积概率密度（或分布）函数（CDF）记为FX（·），
F X （x）=P［X≤x］
其中，P［X≤x］是X不大于某个给定x值的概率。
累积概率密度函数F X （x）根据不同的X值，得出相应的概率p，投资的价值X将不大于x，累积概率密度（或分布）的逆函数X定义如下。这个累积概率密度的逆函数F X -1（x）对于特定的p，给出投资价值x，使得X不大于x的概率等于p，即P［X≤x］=p。正式表示为，
在数学中，竖线是“以……为条件”的简要表达形式，所以上面的公式读作“当X不大于x的概率为p时，CDF的逆函数给出的投资价值x”。见图5-2上的累积概率密度函数及其逆函数的图形。
概率密度（或分布）函数（PDF）定义为f X （.），当X只取离散值时（如在泊松分布或二项分布中），X在x的概率密度函数f X （x），就是X=x时的概率。也就是
f X （x）=P［X=x］
所以
对于在随机变量X不超过x的情况下，y可取任意值。对于连续的概率分布，例如正态分布或t分布，PDF和CDF的关系表示为积分形式。
图5-2 累积概率密度函数及其逆函数
从上面讲的概率方法来看，风险度量是一个前瞻性的练习。给定一套不同金融产品的头寸和对各种风险的细致分析，有可能估算出在给定时间里需要积累多少资本金用于支持投资活动。
但是，在实践中，风险管理通常是回顾式的，根据过往的损益信息可以知道过去的风险是怎样的，所需的资金数额大概是多少。后向分析的问题在于，目的是为了预测未来，不仅风险因子的行为而且组合构成，都要和过去一样。
风险价值是使用最广泛的风险指标之一，在国际银行业监管规则中，例如巴塞尔协议（Basel Accord），居于中心地位。
组合的VaR代表了在置信度为1-α时（α在0～1之间）一个组合在给定时间内（如d日）的最大损失（见图5-3）。例如，如果一个组合在10天中95%VaR是1000万美元，那么在任意10天中该组合95%置信度下的最大损失不会超过1000万美元。通常，组合（1-α）VaR定义为
VaR（X；α）=–{X∣F（X）≤α}
读作“选择负的损失X（因此VaR是正值），使得比X大的损失发生的概率不大于α。”
图5-3 从概率密度函数角度看VaR
注：阴影区域的累积概率等于α。其他区域的累积概率等于置信度1-α。
约里安（2007年）给出了一个VaR及其在银行业应用的综合且非常易懂的文章。多德（Dowd，1998）提供了对VaR理论和应用的一个更先进的方法。VaR最广为人知的商业应用是祖巴赫（Zumbach，2006）提出的风险控制矩阵（RiskMetrics）方法。
5.3.5.1 VaR的计算
计算一个组合的VaR有三种方法：德尔塔正态法（Delta Normal）、历史模拟法和蒙特卡罗模拟法。
·德尔塔正态法是一种分析手段，通过数学公式计算VaR，其结果和均值偏差分析是一致的。德尔塔正态法假设风险因子是对数正态分布的（即其对数值是正态分布的），且证券在这些风险因子上的回报是线性的。这些假设条件也是这个方法的主要缺点：正态假设并非总能保持，而对于非线性资产，例如固定收益证券和期权，其线性假设是不成立的。
·在历史模拟法里，在组合的历史回报分布中，通过提取过往资产回报数据，应用于当期组合配置，推导出组合回报的分布而算出VaR。这个方法的优点是不会预先限定任何特定的回报分布，因此适用于肥尾分布和偏的分布。这个方法的主要缺点是他假设过去的收益分布可以精确预测将来的收益模式。
·蒙特卡罗模拟法是一种更复杂的概率方法，通过使用大量的随机模拟得出回报分布。蒙特卡罗模拟法的最大优势是其灵活性，因为风险因子无须遵循一个特定类型的分布，而且资产可以是非线性的。蒙特卡罗模拟法更难应用，而且比前两种方法有更大的模型风险。
VaR估算程序和方法的详细做法可见约里安（2007）、玛利森（Marrison，2007）和多德（1998）。
5.3.5.2 VaR方法的缺点
组合的VaR的另一个定义是在特定时间区间和置信度下，一个组合的预期最小损失。这个定义揭示了一个严重不足。VaR在分布的α端具有“盲点”，意味着极端事件的概率可能会被忽略。在图5-4中，投资X和投资Y的损益分布具有同样大小的VaR，但是Y的损益分布由于有较大的潜在损失而更具风险性。
图5-4 两项投资具有同样VaR但分布不同
注：阴影区域的累积概率等于α。其他区域的累积概率等于置信度1-α。
阿尔巴内塞（Albanese，1997）进一步指出，在信用组合中使用VaR可能导致集中风险的增加。
投资单一风险债券的VaR可能比投资不同机构发行的风险债券组合的VaR更大。VaR因此与分散化原则是相冲突的，而这是金融学理论和实践的核心原则。
5.3.5.3 压力测试
压力测试通过解决分布的α端的盲点起到了对VaR的补充作用。在压力测试中，风险经理分析了组合在一些市场极端情境下的行为，这些情境可能包括过往发生的情境和风险经理设计的情境。情境选择和在每种情况下给组合定价的能力是压力测试成功的关键。约里安（2007）和多德（1998）讨论了压力测试和如何用它弥补VaR的不足。杜巴乔瓦和波利夫卡（Dupacová，Polívka，2007）提出一个新方法，即在压力测试中采用一种污染技术测试损益分布的概率分布，并获得VaR的新估计值和条件VaR。
期望损失（ES）和条件VaR（CVaR），也被称为预期尾部损失，是两个密切相关的可被视为改善VaR方法在分布尾部的盲点的风险指标。
期望损失通常被定义为
这个公式可以被解释为等权重资产或组合X损益分布左尾结果的可能平均值。阿瑟比和塔舍（Acerbi，Tasche，2002）指出期望损失可以用计算一个连续的置信度上VaR的均值来表示。
条件VaR是d日损失的均值减去d日（1-α）VaR（见图5-5）。所以，CVaR不会比VaR小。d日（1-α）VaR的计算也包括在了d日（1-α）CVaR之中。
一项资产或组合X的d日（1-α）CVaR定义为
在这个公式里代入置信度的CDF逆函数α，得到损失金额限值（等于VaR）。CVaR可以通过计算分布左尾的所有可能损失的均值或期望值超过该限值得出。
CVaR的定义和期望损失的定义之间的差异非常微小。实际上，当CDF是连续函数时，如图5-5所示，CVaR和期望损失是一致的：
然而，通常来说，当CDF不是连续函数时，如图5-6所示，CVaR和期望损失可能不尽相同。
图5-5 概率密度函数上的条件VaR
注：阴影面积代表损失超过VaR。阴影区域的累积概率等于α。其他区域的累积概率等于置信度1-α。
图5-6 不连续的CDF
注：累积概率密度函数上有一些不连续点。
5.3.6.1 使用CVaR选择组合
在组合选择中应用CVaR，是过去10年一个活跃的研究领域。原则上，任何风险指标都能够用来和收益预测一起选择投资的“优化组合”。根据马科维茨的说法，优化组合会受到一些限制，要么在给定的风险预算将其回报最大化，要么将给定的收益目标的风险最小化。
这个理念对于使大多数风险指标具体化非常困难。为了计算风险指标，通常需要从可能的最大损失到最高收益进行排序以得出概率分布。尤其要注意的是，这个中间处理步骤是CVaR和VaR计算的核心。但是这个必需的且逻辑性很强的步骤也已被证明是应用于组合选择的非方差相关风险指标的一个主要障碍，因为它显著增加了优化过程的计算量。
对于CVaR，普弗鲁格（Pflug，2000）和洛克法勒、乌尔雅瑟夫（Rockafellar，Uryasev，2000）提出了一个可以跳过排序要求的优化方法。该方法高效且有很大的使用价值。
洛克法勒、乌尔雅瑟夫强调通过降低CVaR，也可以将VaR最小化，这意味着一个CVaR有效率的组合，从VaR角度看也是有效率的。他们提出，当回报是正态分布时，均值方差分析、VaR最优化和CVaR最优化将重合。所以CVaR看上去是马科维茨所做工作的直接扩展。
其他有趣的研究结果包括：
·波齐马斯、劳普莱特和萨马洛夫（Bertsimas，Lauprete，Samarov，2004）研究了密切相关的均值-缺口最优化问题。
·黄、朱、法博齐和福岛安正（Huang，Zhu，Fabozzi，Fukushima，2008）提出了一个CVaR最优化模型，用于处理组合期限在不确定情形下的问题。
·卡兰达和扎法罗尼（Quaranta，Zaffaroni，2008）提出了一个基于强健最优化理论（Robust Optimization Theory）的普弗鲁格-洛克法勒-乌尔雅瑟夫替代法。
5.3.6.2 缺点和不足
CVaR和期望损失方法的主要缺点是它们仅仅考虑了分布的尾部（见，如Cherny，Madan，2006）。在风险仅被定义为发生大损失的概率时，用来计算CVaR或期望损失是足够的；由于投资X和Y可能具有同样的CVaR或期望损失，只是分布的形态不同，就可能无法在两个投资X和Y之间做出选择了。例如，在图5-7中，尽管X和Y具有同样的CVaR，从长右尾看，Y明显优于X。
图5-7 两项投资具有同样的CVaR和不同分布
注：阴影面积代表损失超过VaR。阴影区域的累积概率等于α。其他区域的累积概率等于置信度1-α。
最现代的风险指标——最差预期值（WCE）也被称为最差VaR，最开始是阿茨纳、德尔巴恩、艾博和海斯（Artzner，Delbaen，Eber，Heath，1999）作为一个一致性风险度量的例子提出的。
朱和福岛（2005）用CVaR给出了WCE的一个有见解的特征描述。其思路是：假设X投资损益的准确概率分布p是未知的。只知道概率分布p（.）属于一个概率分布集合P，那么有
其中，sup意为“取集合P中所有概率分布p的最大值。”
如果集合P包含两个分布p 1 （.）和p 2 （.），如图5-8所示，然后计算X在给定置信度1-α的WCE，在给定置信度（1-α）计算X在每个分布上的CVaR，选择其中最差（最高）的一个。
图5-8 计算X的最差预期值
注：阴影区域的累积概率等于α。
类似于CVaR，WCE可以用于组合选择，朱、福岛（2005）和黄、朱、法博齐、福岛（2008年）的分析提供了例证。
WCE没有CVaR和VaR那么流行，对其特点和应用的研究仍有待加强。
最近提出的欧米伽风险指标（见Keating，Shadwick，2002a）得到了对冲基金的欢迎。其最大吸引力在于考虑到了包括在给定损失限度下的期望回报在内的所有回报分布。
欧米伽风险指标定义为在损失限度L之上的概率加权预期回报，与损失限度L之下的概率加权预期回报之比。即
其中，F代表CDF，r是投资回报，r min 代表最低回报，rmax代表最大回报（见图5-9）。
图5-9 欧米伽风险指标
注：其中［P（r≤L）］是比损失限度L差的回报的全概率，［1-［P（r≤L）］是超过L的回报的全概率。
欧米伽是一个无单位的比率，当用这个指标比较两个组合时，投资者将选择欧米伽值较大的那个组合。
欧米伽风险指标的主要优点是考虑了回报的所有可能分布，同时考虑概率和预期表现（好的和差的），但是其结果严重依赖于选择的损失限度水平（threshhold level），其特点仍有待深入研究。
信用风险是排在市场风险之后被理解得最透彻的金融风险。尽管风险指标的应用，如标准差、VaR或CVaR可以马上用于市场风险，但是其他类型的风险需要做额外的工作，才能更好地用于计算损益分布的风险指标。
核心的信用风险方面的参考文献包括兰道（Lando，2004）、杜非和辛格顿（Duffie，Singleton，2003）杰出但同样很技术性的处理，以及更易读的柯若依、加莱和马克（Crouhy，Galai，Mark，2001）的文章。洛弗勒和波什（Loeffler，Posch，2007）提供了一个如何使用Excel和VB模型的使用指南。英格曼和洛梅尔（Engleman，Rauhmeier，2006）编辑的文集给出了基于巴塞尔II监管框架的信用风险建模回顾。
衡量信用风险的关键目标是要看到可预见的由于违约造成的损失。
从广义上来说，投资组合中的可预见的损失由三方面因素组成：
1.违约概率；
2.违约时头寸或敞口的预期价值；
3.回收率。
以下公式说明了在单次投资X中的这一关系，
E［CL］=d×LGD=d×E［X］×（1-R）
式中 CL=信用损失
d=违约概率
X=头寸或敞口价值
R=回收率，即在发生违约之后，作为清算过程中的一部分，证券价值回收所占的比例
LGD表示违约造成的损失，其算法是
LGD=EX×（1-R）
因此，要估算信用损失需要一系列变量值。其中最主要的变量值是违约概率，通常我们可以通过5种信用风险度量方法来得出这一数字：
1.信用迁移，
2.结构化模型，
3.强度模型，
4.精算方法，
5.大型投资组合模型。
尽管这些方法对于违约风险模型是不同的，但他们全部都把重点放在了对违约概率的估算上。对于头寸价值的建模可能降到了第二位，因为这个价值依赖于违约风险，而回收率的评估和建模通常由第三方完成。
回收率的问题很复杂，部分是源于回收率和这个问题的其他变量相关。实际上，奥尔特曼、布莱迪、莱斯迪和斯洛尼（Altman，Brady，Resti，Sironi，2005）提供的实证证据表明，在回收率和违约概率之间存在着负相关（也见奥尔特曼2006）。奥尔特曼、莱斯迪和斯洛尼（2004年）所做的文献回顾也提供了回收率相关问题的进一步细节。
信用迁移是基于证券发行人的信用评级恶化概率而对该证券的信用风险所建立的模型。这个方法的关键在于一个迁移矩阵，它给出了在特定时期信用评级上调或下调的概率。在实践中，迁移矩阵使用信用评级机构的数据构建。由于使用的是信用评级数据，因此风险迁移方法特别受固定收益市场参与者的欢迎。最广为人知的信用迁移方法的应用是CreditMetrics法（关于这个方法的细节描述见Bhatia，Finger，Gupton，2007）。
信用迁移方法并非没有问题。评级机构只提供历史数据，因此可能在某些领域缺乏数据，例如主权发行人。此外，不同机构的评级流程不同，导致评级结果有差异。
最后，迁移矩阵通常是静态的，没有反映出评级机制和商业周期所处阶段之间的关系。
一个研究机构已经研究出解决和估算评级迁移矩阵有关问题的方法。例如，胡、基瑟尔和佩劳丁（Hu，Kiesel，Perraudin，2002）提出了一个对主权发行人的评级迁移矩阵做出估算的方法。贾夫莱和绍尔曼（Jafry，Schuermann，2004）比较了两个常用评级迁移矩阵的估算方法，并提出了一个实用的估计结果矩阵的新方法。他们特别指出，估算方法的选择对矩阵有巨大的影响，因而也影响到了支持组合所需的经济资本数额。
关于评级流程引发的一些问题也有一些研究成果，比如对证券的评级差异，与那些获得了同样评级的证券相比，很可能造成评级迁移上的障碍。利文斯顿、纳兰约和周（Livingston，Naranjo，Zhou，2008）通过检讨评级差异和评级迁移两者的联系，研究了这个特别的问题。
从数学角度看，信用迁移模型使用了一个概率论的概念——马尔科夫链。
马尔科夫链概念打开了一系列计算技术的大门，它们对于建立真正动态的评级迁移模型和估算复杂金融工具是必需的，例如担保债务凭证（CDO）。弗莱德曼和绍尔曼（Frydman，Schuermann，2008）提出一个建立在融合了两个马尔科夫链基础上的评级迁移模型，卡尼沃夫斯基和普弗鲁格（Kaniovski，Pflug，2007）开发了一个复杂信用证券的定价和风险管理模型。
结构化模型使用诸如资产和负债价值这类与发行人有关的信息，对违约概率做出评估。最著名和最常用到的结构化模型是或有求偿权模型（contingent claim model），这个模型来自于罗伯特·默顿的一个观察：一个企业的股权可以被看作在其资产上开出的欧式期权，其行权价等于其债务的价值，有效期与该债务的到期日相同（见Merton 1974和Geske 1977）。简单说，就是在到期日，如果资产价值超过了债务价值，那么该项期权就是价内期权。股东将会偿付债务，并重新获得对公司资产的控制权。相反，如果债务到期时，资产的价值小于债务价值，股东则缺乏行权的动机，他们将让期权作废并任由债务违约。所以根据默顿的看法，违约概率在某种意义上与期权不被行权的概率是有联系的。尽管从理论上看非常吸引人，但使用这个方法还需要克服很大的现实障碍，KMV用这个方法开发了一个广受认同的基于或有求偿权的模型（见Kealhofer 2003a，2003b）。
除此之外还有一些别的模型。最初由布莱克和考克斯（1976）提出的首次穿越法（first-passage approach）与或有求偿权方法接近，在学术界很受追捧。在这个方法里，模型给出的违约时间是资产价值第一次突破一个给定的限值时，这样就可以得出在一个给定时间的违约概率。勒朗德（Leland，1994）和朗斯塔夫、施瓦茨（Langstaff，Schwarz，1995）将这个方法做了归纳。随后周（2001）、柯林-杜夫海斯纳和歌德斯坦（Collin-Dufresne，Goldstein，2001）以及希伯林克、罗杰斯（Hilberink，Rogers，2002）进一步扩展了该方法。
近期，陈、法博齐、潘和斯沃德罗夫（Chen，Fabozzi，Pan，Sverdlove，2006）实证检验了一些结构化模型，包括默顿模型和朗斯塔夫-施瓦茨模型。他们发现做出随机利率假设和随机回收率假设，对于模型的精度会有一定的影响，而假设持续违约则不会。他们还发现，所有被测试的结构模型看上去都有相似的违约预测能力。
强度模型（intensity models），也称为简式模型（reduced form models），来自资产定价理论，且仍主要用于资产定价中。在这些模型中，分析师将违约时间作为一个随机变量处理。由于这个方法既不依赖公司的资产负债表，也与评级模型的结构无关，因此其本身是能独立的。因为所用的参数通常可直接从市场价格中推出，因此与当前的市场环境条件也是一致的。
最简单的应用是用二叉树计算违约概率。但是随着强度模型复杂性提高，也需要更复杂的数学工具。因其（相对）方便用数学来处理，强度模型已经成为一个活跃研究领域，不仅是风险管理，而且还包括了资产定价、组合最优化甚至概率论。杜非和辛格尔顿（Duffie，Singleton，2003）以及兰道（2004）的文章是强度模型领域最好和最常被引用的参考文献。
精算方法采用了精算科学的技术，用于大型债券或贷款组合的违约概率建模。最著名的一个精算方法是CreditRisk+（关于这个方法的详细技术说明见Gundlach，Lehrbass 2004）。为了得出一个组合的信用损失的概率分布，CreditRisk+首先对违约频次建模，并假设组合的违约数目的概率遵循泊松分布。CreditRisk+对于每个违约事件赋予了一个给定的违约损失。该分析所需的参数可以通过历史统计数据估算得出。
信用转移、结构化模型和强度模型对于小型组合相当有效。当组合中的资产数目增加时，计算的复杂度会快速增大，用数学处理的可行性会快速降低。
瓦斯塞克（见Vasicek 1987，1991，2002）将默顿的结构化模型扩展到用于大型贷款组合的估值。可以探讨各种贷款之间的违约相关性。瓦斯塞克分析了当一些贷款增长到无限大时，默顿估值模型的渐近行为。为了让计算变得更简单和高效，他假设组合是同质的，即所有贷款具有同样的参数和同样匹配的违约相关性。这个模型是可以用数学处理的，对于包括很多贷款的组合，可以得到非常不错的估计值。这是个毋庸置疑的优势，因为传统模型在贷款数量不断增加时，可能在数学和计算方面都无法处理。相反，瓦斯塞克大型组合模型的准确度会随着组合中贷款数量增加而提高。
戴维和劳（2001年）为大型市场遭遇信贷紧缩时的对手方风险建了模型。
他们的模型源自一个简单的想法，即在对手方层面，违约可能像流感那样扩散开。如果一个金融机构染上了这种流感（违约），那么很大机会其对手方也会被传染。而一旦出现这种情况，那么他们可能会再传染给各自的对手方。
克洛德、戴维斯、基安皮里（Crowder，Davis，Giampieri，2005）通过引入一个隐藏的状态变量来代表组合中所有债券的一个共同因子，对违约的互动作用建立模型。这个隐藏马尔科夫链的方法产生了一个可以用数学处理和高效计算的动态信用风险模型。
所有这些大型组合模型的一个共同特点是，他们避免使用完全违约相关性矩阵（full default correlation matrix）。违约相关性矩阵在精确估算方面是出名的困难，其快速增大的规模通常带来计算复杂度的大幅增加。
监管制度，例如巴塞尔II协议，激发了人们对操作风险建模的巨大热情。有关操作风险的监管要求的讨论，可以参考安布莱希特、弗瑞、麦克尼尔（Embrechts，Frey，McNeil，2005，第10章）或者查诺柏、拉契夫和法博齐（Chernobai，Rachev，Fabozzi，2007，第3章）。
巴塞尔II协议坦率地承认了操作风险是金融风险的主要来源。事实上，即便操作风险没有达到巴林银行或大和证券崩盘的那种灾难性水平，可能仍占有很大比重。古明斯、刘易斯和魏（Cummins，Lewis，Wei，2006）分析了1978～2003年间美国的银行和保险公司的操作损失对其市场价值的影响。他们重点研究了操作损失在1000万美元以上的403家银行和89家保险公司。他们发现这些机构的股价产生了统计意义上的显著下跌，而下跌幅度要比所遭受的操作损失更大。
正如预期到的，操作风险比信用风险难估算，更是远比市场风险难估算。类似于信用风险，应用风险指标的主要障碍在于如何对操作风险生成一个概率分布。大部分操作风险的技术发展发生在过往的10年里，因为对操作风险日益增加的认识和监管压力共同将它推到了舞台中心。
在一篇简短的文章里，史密森和宋（Smithson，Song，2004）检讨了一些用于评估操作风险的精算技术和工具。所有这些技术都有一个共同特点，它们都试图绕过操作风险最大的技术和分析困难——缺乏可用的数据。缺乏数据是由一些因素导致的结果。首先，操作风险数据库是不久前才有的。其次，某些操作风险，如系统失效可能很少发生。最后，行业范围的数据库共享仍处于起步阶段。
在史密森和宋所调查的技术中，极值理论（extreme value theory，EVT）值得特别留意。EVT构建了一套对操作风险进行量化的非常基础但非常成功的技术，其重点在于对极少发生事件建模和分析，其基础是统计和概率理论。正如它的名字，EVT原来是为分析极少发生事件而设计的，或者用于在只有极少几个数据是可靠的情况下进行概率估算。从事自然灾害和巨灾的保险公司很快采用了EVT方法。安布莱希特、克吕派尔伯格和米克什（Embrechts，Klüppelberg，Mikosch，2008）提供了一份关于EVT及其在金融和保险方面的应用的详尽参考文献。安布莱希特、弗瑞和麦克尼尔（Embrechts，Frey，McNeil，2005，第10章）展示了EVT在操作风险方面的用法。在近期的研究中，沙维-徳穆林、安布莱希特和奈斯洛霍瓦（Chavez-Demoulin，Embrechts，Neslehava，2006）引进了有用的统计和概率论技术来量化操作风险。他们特别讨论了EVT与一些独立和非独立的建模技术。查诺柏、拉契夫和法博齐（2007年）提出了一个相关的但更接近概率论的操作风险的处理方式，把关注点特别放在了讨论巴塞尔II协议要求和操作风险的VaR之上。
从企业金融角度看，杰鲁（Jarrow，2008）将银行的操作风险分为（1）由机构操作技术造成的损失风险，（2）由代理成本引发的损失风险。杰鲁观察到，与市场风险和信用风险相反，这些对于机构都是外部的风险，而操作风险来自于机构内部。他认为需要在设计操作风险的估计技术时关注这个关键的区别。杰鲁进一步指出，当前的操作风险方法论，因为没有考虑银行的净现值产生流程，导致了对所需资本估算的向上偏差，按照他的观点，应该至少覆盖到预期的操作风险。
在国际清算银行关于流动性风险的报告（2006）和古德哈特（Goodhart，2008）对过去几年金融动荡期间的银行流动性管理的分析中可以看到，流动性风险的建模和管理现在已经成为风险管理界的前言和当务之急要解决的问题。
尽管很少有实证研究聚焦于流动性风险的一般性量化问题，一家大型研究机构关注清算风险指的是机构在需要清算一些资产时无法实现全部价值的风险。杜非和齐格勒（Duffie，Ziegler，2003）使用一个由现金、一项流动性较好的资产和一项非流动资产构成的三资产模型探讨了清算风险。他们指出，出售非流动资产，而保留现金和流动资产通常是可行的，但是有可能在资产回报和买卖价差出现肥尾时失败。恩格尔、佛斯腾堡和鲁塞尔（Engle，Fersteinberg，Russel，2006）用一个更宽的视角分析了交易执行成本，并将这个分析与他们所称的流动性VaR指标联系起来。在股票市场上，李、穆拉迪安和张（Li，Mooradian，Zhang，2007）研究了纽约证券交易所佣金的时间序列数据，发现股票佣金是与非流动性指标相关的。
从一个更一般但更理论化的角度，杰鲁和普罗特（Jarrow，Protter，2005）讨论了如何将瑟廷、杰鲁和普罗特（Cetin，Jarrow，Protter，2004）模型，通过诸如VaR之类指标来计算流动性风险。从监管角度来看，古（Ku，2006）考量了从流动性风险角度看待“可接受的投资”概念，并引入了一个流动性风险模型。最后，阿瑟比和斯坎德洛（Acebi，Scandolo，2008）做了一个依据相关风险指标种类确定流动性风险的位置的学术研究，定义了组合的相关风险指标的类别。
在前面章节介绍了一系列风险指标的定义，一些来自广为人知的投资理论文献，一些来自相对较新的风险管理文献，一些来自投资业界对于提高自身对风险的理解和评估的巨大兴趣。在本节中，我们的目标是查明各种风险指标的特征，并定义一个比从上述三方面指标拼凑起来的“三联画”更有相关性的分类体系。
之所以需要这样一个分类，是因为半个世纪的金融理论和实践的发展，已经产生了数量丰富的风险指标，并提出了一系列的实践问题：是否所有的风险指标在评估风险时一样“好”？如果是这样的话，是否存在这些风险指标需要满足的某种标准？最后，是否所有的市场参与者、交易员、组合经理和监管机构都应使用同样的风险指标？
但是这些问题只有在理解了风险度量流程之后才能给出回答，因为理解测量流程将有助于对所需测量风险的特定方面获得重要的见解。毕竟，如果人们手里有一台秤，他们更可能是去测量体重而非长度。同样的道理，通过了解风险指标的特点来理解风险是如何测量的，将有助于理解已经控制的风险大小以及残留风险的大小。
在本节中，风险指标被分类为满足共同特征的不同家族或种类。我们将讨论四类风险指标，并探讨前面提到的那些风险指标如何放入这个新的分类中去：
1.货币风险指标
2.一致性风险指标
3.凸性风险指标
4.谱风险指标
图5-10总结了类别和指标之间的关系。这个建立在阿茨纳、德尔巴安、艾博和希斯（Artzner，Delbaen，Eber，Heath，1997，1999）对一致性风险指标有重要影响的研究之上的分类体系，并非是唯一可能的分类。
实际上，当阿茨纳、德尔巴安、艾博和希斯在完善他们的分类系统之时，派德森和萨彻尔（Pedersen，Satchell，1998）在精算文献里就提出了一个建立在非负性、正齐性、可加性和平移不变性特征之上的相似的分类。在保险方面的文献中，王、扬格和潘哲尔（Wang，Young，Panjer，1997）也提出了一个和阿茨纳、德尔巴安、艾博和希斯一样的分类体系。在金融学文献里，萨尼和赫奇斯（ˇcern，Hodges，2000）引入了“好的交易”的观点。
图5-10 风险指标一览
货币风险指标的概念最先是由阿茨纳、德尔巴安、艾博和希斯（1999年）引入的，这类风险指标，是将最小现金或资本金额投入一个有特定风险的投资中，以使该项投资的风险对于投资者或者监管机构是可以接受的。简言之，货币风险指标ρ定义为
其中，r代表一定数额的现金或资本，X是某个投资或组合在给定期间的货币损益在初始时点的贴现值。
对于不同的投资者和监管机构，“可以接受的”投资的判断是不同的。但是对于风险的这个观点具有简单、直接的优点，并且与银行经理、监管机构、清算所和柜台交易对手所问的关键问题一致：
·一家银行需要保留多少储备金以应对风险？
·对于清算所的成员，需要多少现金或抵押物，才能覆盖成员的头寸市场价值的波动？
·应该要求对手方提供多少抵押物才可以接受与它的一项交易？
具体的可接受规则通常不会提及。如果一项投资不发生损失的话，通常习惯上将一项投资视为可接受的。在这个意义上说，货币风险指标是投资者在一个头寸上有可能发生的绝对损失的函数。尽管这个解释意味着这些绝对风险指标可以用于评估由投资经理引发的风险，但在某些情况下可能不是最合适的。有两个例子可以说明这一点。第一，对于完全积累制养老基金的投资经理来说，用投资组合的绝对损失衡量盈余（surplus）要比用风险指标得出的结果小，盈余指的是投资组合的价值和养老基金负债的精算值之间的差额。第二，由于对冲基金向投资者承诺了一个既定的回报目标，所以他们可能跟踪与目标值的相对损失，而非绝对损失（从零开始）。
从前面的定义，可以确定货币风险指标的两个重要特征：
·风险可以用货币金额表示，如美元、英镑、欧元等。
·指标ρ（.）可以看作投资潜在损失和可接受的损失之间的“距离”。例如，一个95%的3日VaR，即投资潜在损失是95%的置信度下3天的亏损。所以超过95%置信度的任何损失都未计算在潜在损失的VaR中。
阿瑟比（2007）给出了一个一致性风险指标及其应用的回顾。阿茨纳、德尔巴安、艾博和希斯（1999）定义一致性风险指标为满足以下四个“一致性”特性的货币风险指标的类别：
1.单调性： 如果资产X的回报总是小于资产Y的回报，那么资产X的风险应该更大。表示为
X≤Y，则有ρ（X）≥ρ（Y）
2.次可加性： 资产组合的风险应该不大于其中每个资产头寸的风险之和。一般来说，如果投资者有两个头寸X和Y，那么
ρ（X+Y）≤ρ（X）+ρ（Y）
这个特性保证了组合的风险不会高于（通常是小于）其组分的风险之和，所以这可以看作马科维茨所说的分散化概念的扩展。这个概念对于组合投资经理和想把各个部门的风险加总的银行是非常重要的。
3.正齐性： 如果资产X的头寸按照某个比例k增加，那么这个头寸的风险也会以同一个比例增加，数学上表示为，ρ（kX）=kρ（X）。
这个特征保证了风险的大小和所持的头寸规模一致。但是这个特征不反映当头寸增加时流动性风险的增加。例如，持有50万股XYZ公司的股票可能比在危机发生时持有100股要危险，因为危机时出售50万股将会更困难，成本更高，也需要更多的时间。作为补救措施，阿茨纳、德尔巴安、艾博和希斯建议调整X，以反映较大的头寸所增加的流动性风险。
4.平移不变性或无风险条件： 在现有头寸上增加现金，可以减少同等数额的该头寸的风险。对于价值为X的投资和一笔现金r，
ρ（X+r）=ρ（X）-r
有了一致风险指标概念，我们可以把以下两个问题表述为：一致性是必需的吗？前面引入的指标是一致的吗？
一致性并非对所有应用都是必需的。根据对方是银行家、组合经理或是监管机构，一些特征可能会比其他特征更为重要。明显的例子是次可加性，这在组合管理应用中是非常重要的。另一个例子就是平移不变性，加强了风险指标在监管方面的应用。
对于第二个问题，用资产回报的分布计算的标准差并不是一个货币指标，因此也不具有关联性。使用损益分布计算出的标准差是一个货币指标，但因为不具备单调性，所以也不具有关联性。
VaR由于不满足次可加性，所以也不具有一致性。阿茨纳、德尔巴安、艾博和希斯正式证明了VaR不具有次可加性特征。
这个和分散原则明显的区别，对于需要把不同交易部门的VaR加总计算整个银行交易操作的VaR的银行风险经理来说，是非常值得特别关注的。由于无法把VaR加总，因此银行的VaR无法反映出不同交易部门的分散程度。丹尼尔森、艾布莱希特、古德哈特、基廷、穆恩尼奇、雷诺和辛恩（Daníelson，Embrechts，Goodhart，Keating，Muennich，Renault，Shin，2001）进一步提醒了VaR的广泛使用，特别是监管机构的使用，可能导致系统性风险的显著提高。丹尼尔森（2002）也从整体上批评了风险建模，并特别批评了VaR，认为在危机发生时，风险指标的波动性和提供的指导很有限。
阿瑟比和塔什（2002年）指出期望损失（ES）是一个一致性指标。
对于CVaR，当损益分布是连续的，CVaR和ES是一致的，所以CVaR也是一致的。如果损益分布是不连续的，那么CVaR不是一致的。为了解决这个问题，洛卡费勒和尤利亚瑟夫（Rockafellar，Uryasev，2002）完善了CVaR的定义，以使其即便低于非连续分布函数仍能保持一致性。为了做到这一点，他们引入了一个标准化的α尾部累积密度函数FX α （.），定义如下：
对于给定的α尾部的投资价值，上式代表了条件概率的累积分布（见图5-11）。
图5-11 CDF和标准化α尾部CDF
CVaR可以作为α尾部的期望值算出：
两位作者还为CVaR引入了一个上、下限，
CVaR-（X；α）≤CVaR（X；α）≤CVaR+（X；α）
其中，CVaR-和CVaR+分别定义为
和
当分布是连续的，CVaR与其上、下限以及期望损失相等。也就是
CVaR-（X；α）=CVaR（X；α）=CVaR+（X；α）=ES（X；α）
一致性对数、一致性效用函数、一致性和一般均衡以及多期一致性风险指标是一致性风险指标定义的拓展。
一致性对数 （log coherence）：比莱基和普利斯卡（Bielecki，Pliska，2003）通过引入一套对数一致性特征拓展了关联性。它可以用于基于瞬时（log）回报分布的风险度量。
一致性效用函数 （coherent utility function）：彻尼和马丹（Cherny，Madan，2006）引入了一致性效用函数概念作为一致性风险指标的补充。他们也指出风险调整后的业绩表现指标p（.），可以用一致性风险指标ρ（.）定义，
p（X）=E［X］-λρ（X）
其中，λ代表投资者的风险规避倾向。实际上，p（.）按照彻尼和马丹所给的概念，也是一个效用函数。
一致性和一般均衡 （coherence and general equilibrium）：索卡、赫林斯和科奇（Csóka，Herings，Kóczy，2007）从一般均衡角度讨论了一致性特征。
多期一致性风险指标 （Multiperiod coherent risk measures）：阿茨纳、德尔巴安、艾博、希斯和古（Artzner，Delbaen，Eber，Heath，Ku，2007）提出了一致性风险指标的多期度量流程。
凸性风险指标是风险管理研究的一个活跃和非常具有技术含量的领域，富尔默和希德（Follmer，Schied，2002a，2002b），以及近年本塔尔和特布勒（Ben-Tal，Teboulle，2007），科勒贝尔和施维策（Kloppel，Schweizer，2007），约伯特和罗杰斯（Jobert，Rogers，2008）都在这方面做了很多工作。
富尔默和希德（2002a）注意到一些工具不会因为头寸增加而线性地提高风险，由此引入了凸性风险指标的概念。这与阿茨纳等人的正齐性是冲突的。他们建议放宽正齐性和次可加性特征而代之以凸性。
有两个投资头寸X和Y的组合的风险指标是凸函数，如果
ρ（λX+（1-λ）Y）≤λρ（X）+（1-λ）ρ（Y），0≤λ≤1
放松了一致性特征的一个结果是，任何一致性风险指标必然是凸的，但是凸性风险指标不一定是一致性的。塞葛（Szego，2002）也指出，放宽可加性的一个结果是VaR既不是一致的也不是凸的。实际上，次可加性包含在凸性之内，所以分散化很适合使用凸性风险指标。
楠冈（Kusuoka，2001）和阿瑟比（Acerbi，2002）分别引入了谱风险指标类别，指的是可通过风险回避函数进行参数化处理的一致性风险指标。谱风险指标的清晰优势是，与期望损失和CVaR类指标相反，谱风险指标可以覆盖到整个回报分布，而不只是分布的左尾。事实上，期望损失以及当回报分布是连续时的CVaR，都是这类风险指标的一个简单成员，而此时风险回避函数是（0，α）区间的一个常数。
而且塔什（Tasche，2002）指出，不只期望损失可以表示为在一个连续置信水平上的VaR的平均值，类似的表达式也存在于所有的谱风险指标上。他也说明了谱风险指标作为一致性风险指标的一个子类别，除了满足4个一致性特征，最好还满足以下2个特征：
· 不变性原则： 如果X和Y具有同样的概率分布（也被称为概率法则），那么它们将具有同样的风险：
·P［X≤u］=P［Y≤u］，对于所有u的可能取值，有ρ（X）=ρ（Y）。
· 单调可加性： 对于两个（非减）函数f和g，投资Z的风险，其中Z=f（X）+g（Y），只是将投资A和投资B的风险简单求和，其中A=f（X），B=g（X）。所以，一个给定投资函数之和的风险是以下风险的和：
ρ［f（X）+g（X）］=ρ［f（X）］+ρ［g（X）］
彻尼和马丹（Chenry，Madan，2006）引入了两个新的谱风险指标：一个是2参数β+VaR指标，这个名字反映了β概率分布在其中所起的作用；另一个是1参数α+VaR指标，是在β+VaR指标上做了一些限制。
阿瑟比和西门奈提（Acerbi，Simonetti，2002）通过扩展普弗鲁格（Pflug，2000）和罗卡费勒、尤利亚瑟夫（Rockafellar，Uryasev，2000）提出的CVaR最优化方法，将谱风险指标应用于组合选择中。他们也建立了在他们考虑的组合选择问题和马科维茨（Markowitz）的均值-方差最优化问题（1952）之间的关联。
亚当、胡卡里和劳伦特（Adam，Houkari，Laurent，2007）用对冲基金回报数据库对基于组合选择的风险指标做了一个实证分析。他们发现，尽管风险指标围绕着尾部以便提高组合的分散程度，但是关注最差情境的风险指标一般会降低组合的分散程度。
表5-2展示了本章讨论的风险指标相互之间的关系、它们的起源，以及它们各自所属的不同类别。
表5-2 常见风险指标的分类
风险管理是一个持续改善的过程。尽管风险管理实践是改善决策和控制结构，使得机构更具动态性、灵活性和进取心，以及减少“灾难”发生的可能性，风险管理科学一直需要找到更精确的风险指标，更有效率的评估方法，以及量化多维度风险的途径。除了准确和快速计算出每种风险，机构还需要做更多工作。为了控制所承担的风险，机构需要设定一个风险预算，并将其有效地分配给机构的不同部门。这个要求是假设机构可以把自己面对的所有类别的风险归集在一个一致的框架中。
资产管理经理常年来一直在其风险管理中使用的是，由马科维茨、夏普、特雷诺、林特纳和莫辛发展出的传统的基于组合的现在组合理论。在这个“由上而下”的方法中，风险的基本指标是包含在资产回报方差中的全风险（total risk，或用现代术语表达，就是“整合风险”）。在单因子模型中，全风险可以分拆为系统性风险（贝塔）和非系统性风险；而在多因子模型中，可以拆分成更细小的风险因子和非系统性风险。这种观点引出了数种风险配置的应用，例如格利诺德、坎恩（Grinold，Kahn，1999），以及最近的利特曼（Litterman，2008）。但是维持运作所需的资金数额是缺失的，这不奇怪，因为这个框架建立在头脑中的组合上；而资本是组合中实际掌控的财富或权益。
金融机构在寻求整合风险度量框架时，它们依赖的是现代风险管理。其源头在银行业的交易和贷款活动中，围绕着交易柜台的风险因子和子因子发展出了一种“自下而上”的方法。首先，利用VaR和其他指标分别估算，股权、利率、货币和商品市场风险，并得出一个整合的市场风险数字。然后再把信用风险、操作风险和流动性风险纳入考虑范围。这种方法的核心理念是：银行的资本是有限的，因此必须向经风险调整后的潜在收益高的项目分配。但是这种资本分配或风险预算实践有效运行的前提是：所有交易部门层面的风险指标能够有效地整合在一起。在这方面已经有了很多成果，但是没有一个整合方法脱颖而出。我们这里给出一些例子，约里安（2007）和多德（1998）设计了基于VaR的整合风险度量框架。杜非和辛格尔顿（2003）提出了一篇高水平的问题回顾，指出了在整合市场和信用风险时需要考虑的事项。莫多瓦、史密斯（Medova，Smith，2005）和约布斯特、高丹、泽尼斯（Jobst，Gautam，Zenios，2006）提出了整合市场和信用风险方法的度量系统框架。
为了回答基础的风险预算问题，传统的基于组合的现代组合理论和现代风险度量学科已经开始融合。资产管理经理和投资银行家的文化差异变得模糊了，这也加强并加速了这个趋势。
过去的15年标志着风险管理的真正的革命。风险度量科学，曾经只是投资理论中的一个相对较小的题目，现在已经变成了一个研究领域。新的风险指标不断推出并得到研究。由于新分析技术的发展，过去只应用于市场风险的指标，现在也被用于信用、操作、流动性风险以及组合最优化。此外，对风险预算的不断增长的关注也激发了对整合风险度量框架的需求。基本上说，这些创新的巨大成功是整个金融界学术、实践和监管共同努力的结果。
风险管理实践已经相当成熟了。尽管风险度量科学是沿着理性量化分析之路前进的，风险管理实践已经从一长串金融危机事件的痛苦中成长起来。尽管这个过程非常艰难，但是从金融灾难中学习经验教训对于风险管理的促进是非常关键的。实际上，灾难是一个强有力的提醒，告诉人们好的风险度量是需要的，但还不足以确保好的风险管理。
所以，风险管理不只是一个需要少数经过强化培训的量化分析师的技术挑战，也是一个面向组织的挑战，因此，要求每个人都参与其中。从根本上说好的基础风险管理不仅需要有适当的控制方法，也应当扎根于良好的个人和组织职业道德中。