八、集合和元素概念

集合和元素概念的层次关系，在古代曾引起困惑诧异。战国辩者对这个问题有深入思考，但他们不想合理地解决这个问题，却故意利用这个问题恣意诡辩。辩者首领公孙龙，从年轻到晚年，都对这个问题感兴趣。《庄子·天下》载，辩者用“鸡三足”、“黄马骊牛三”之类辩题，“与惠施相应（对辩），终身无穷”，指名说公孙龙等辩者，精于这类诡辩。

惠施是战国中期人，当时公孙龙是位翩翩少年，辩者的后起之秀。《吕氏春秋·淫辞》和《孔丛子·公孙龙》载，公孙龙到晚年，还津津有味地跟孔穿辩论“臧三耳”。《公孙龙子·通变论》保存有“鸡三足”和“牛羊足五”辩题的论证。

“鸡三足”之类诡辩的成因，是故意混淆集合和元素概念的层次关系：鸡足的元素是二，鸡足的集合是一，加起来说是三。“黄马”的元素是一，“骊牛”的元素是一，加上“黄马骊牛”的集合，说是三。臧的耳朵，从元素说是二，从集合说是一，加起来说是三。牛、羊足，从元素说是四，从集合说是一，加起来说是五。

当把集合和元素概念的不同层次关系加以区分时，不应产生诡辩，当把二者加以混淆时，就产生纠缠不清的诡辩。在这些诡辩的刺激下，出于清理这类诡辩的需要，《墨经》区分兼名和体名，指出集合和元素概念的不同性质，为廓清辩者的诡辩提供锐利武器。

《墨经》把集合概念叫做“兼名”。《经下》第167条说：“牛马之非牛，与可之同，说在兼。”“牛马”是一个“兼名”（集合概念）。《经上》第2条说：“体，分于兼也。”《经说上》解释说：“若二之一、尺之端也。”

“兼”：整体。“体”：部分。集合概念，叫做“兼名”。相对而言，元素概念，叫“体名”。“牛马”是“兼名”，“牛”、“马”是体名。“二”是兼名，其中的“一”，是体名。直线是“兼名”，其中的点是“体名”。

《经下》第113条说：“区物一体也，说在俱一、惟是。”《经说下》解释说：“俱一若牛马四足，惟是当牛马。数牛数马则牛马二，数牛马则牛马一。若数指，指五而五一。”区分事物为不同的集合，都具有两方面的性质，即元素的各个独立性和集合的唯一整体性。

“俱一”和“惟是”是墨者独创的两个范畴。“一体”解为一个集合，是把许多不同的“体”（部分、元素）统一、整合，而得到高一层次的集合。这个集合，在集和子集的序列中，可解为整体，亦可解为部分。如对“兽”而言，“牛马”为一子集，一部分。对“牛”、“马”而言，“牛马”为一集合，一整体。《墨经》对概念的划分，有相对和辩证的观点。

“俱一”指每个元素的各个独立性，字面意思是“每一个都是独立的一个”。“俱”在《墨经》是全称量词。《经上》第43条定义“尽，莫不然也”，举例是“俱止、动”，“俱”与“尽”同义。《经说上》第39条说：“二人而俱见是楹也。”

《经说上》第103条说“俱一不俱二”。《经下》第105条说“俱一与二”为“不可偏去而二”的一个例子。“俱一”是墨家惯用词语。“惟是”指集合的唯一整体性、不可分配性，字面意思是“仅仅这一个”。“惟”是独、仅仅，“是”即这一个。

《墨经》常以“牛马”为例。“俱一”如说“牛马四足”，指的是牛四足，马四足。“四足”的性质，不是从“牛马”这一集合的意义上说的，而是从非集合即类的意义上说的：“四足”的性质，可以同等地分配给“牛”和“马”两个元素（或子集合）。

“惟是”如说“牛马”的集合。数起元素来，“牛马”有“牛”和“马”两个，而数起集合来，“牛马”只是一个。《经说下》第167条说：“牛不二，马不二，而牛马二。则牛不非牛，马不非马，而牛马非牛非马。”

这是从另一角度，说集合和元素的不同。即“牛”不是两样元素，“马”也不是两样元素，而“牛马”则有“牛”和“马”两样元素。套用逻辑同一律说，牛是牛，马是马，牛马是牛马。

在《经说下》第168条，被概括为“彼止于彼”、“此止于此”、“彼此止于彼此”的规律。这是用汉字表达的元素和集合的同一律。用字母来表达改写即：A=A,B=B,AB=AB。由此可见《墨经》逻辑的合理性。

《墨经》常以“数指”为例：“若数指，指五而五一。”在讲集合和元素这种抽象逻辑理论时，数手指是方便形象的教学手段，可随意取用的天然教具。设老师问学生：“右手有几个手指头？”学生回答：“有五个。”

这是从手指集合的元素角度说的（即“俱一”）。这就是“指五”的意思。老师再问学生：“右手五指的集合有几个？”学生回答：“有一个。”这是从手指集合的角度说的（即“惟是”）。这就是“五一”的意思。左手情况相同。

老师问学生：“两只手有几个指头？”学生回答：“有十个。”这是从元素即“俱一”角度说。老师问：“两只手五指的集合有几个？”学生答：“两个。”这是从“惟是”角度说。于是《经说下》第159条总结说：“五有一焉，一有五焉。十，二焉。”“五有一焉”，即五指的集合有一个。“一有五焉”，即一指的元素有五个。“十，二焉”，即十指中“五指”的集合有两个。

在这个基础上，《经下》第159条总结说：“一少于二，而多于五，说在建、住。”“一少于二”从元素角度说，一指少于二指，更少于五指、十指。“一多于五”从元素跟集合的关系说，因为从一只手说，一指的元素有五个，而“五指”的集合只有一个。从两只手说，一指的元素有十个，而“五指”的集合只有两个。

“建、住”提示元素和集合（“俱一”和“惟是”）两个角度。“建”指建立集合。如在一只手上建立一个“五指”的集合，在两只手上建立两个“五指”的集合。“住”指在集合中住进（放进）元素或子集。如在一个“五指”的集合中住进五个一指的元素，在两个“五指”的集合中住进十个一指的元素。

从住进元素的数目说，住一少于住二、住五、住十。从住进元素的数目和建立集合的数目相比较来说，住一多于建五。如从一只手或两只手的情况说，住进一指元素的数目，多于建立五指集合的数目。

这就是“一少于二，而多于五”趣味数学命题的奥妙谜底所在。《墨经》从清理古代辩者诡辩的需要出发，表述集合和元素概念的理论，讨论集合和元素概念的区分与联系，为古代逻辑学理论增添异彩。 BHp6WEOXlasy6x3+43injXtfLyeDd+MLKCqncu0xSKsBiWW8mnxZ2JqDpW0WAmhg