第二章

真值函数及其他

不管效度的规则是否植入了我们体内，我们对于效度或各种推理都有很强的直觉。比如，以下推理是有效的是没有多少争议的：“她是个女人且是个银行家，因此她是个银行家。”以下推理是无效的也是没有多少争议的：“他是个木匠，因此他是个木匠且打棒球。”

不过，有时直觉会给我们带来麻烦。你觉得下面这个推理怎样？直线以上是两个前提，线下为结论。

很显然，这个推理是无效的。女王的财富——不管多少——似乎与猪的飞行能力毫无关系。

但是，你再看看下面这两个推理，它们又如何呢？

这两个推理中，第一个推理似乎有效。我们来看一下它的结论吧。逻辑学家把这样的句子称为析取命题，并把含“要么”的两个分句称为析取项。那么，一个析取命题怎么样才能算是正确呢？只要一个或另一个析取项正确即可。因此，只要前提正确，结论就正确。第二个推理似乎也是有效的。如果两个断言中只有一个正确且其中有一个已经是错误的，那么剩下那个必然正确。

现在的问题是，我们把这两个表面看来是有效的推理放在一起，可得到如下显然是无效的推理：

这样的推理不可能是正确的。以这种方式把有效推理堆在一起是不能得到一个有效推理的。如果所有的前提在所有情况下都是正确的，那么它们的结论就是正确的，根据这些结论推导出的其他结论就是正确的，直到我们得到最终的结论。那么，这里的问题出在哪儿呢？

为了给这个问题一个正确的答案，就让我们来仔细探讨一下。首先，我们把句子“猪会飞”写做p，把“女王很富有”写做q。这样就简化了一些，但还有其他好处：如果你仔细思考一下，便能看出，上述例子中所使用的两个特殊句子与事物没有多大关系，我本可以使用任何两个句子来阐述，因此，我们可以忽略它们的内容。这就是我们把这些句子写成单个字母的原因。

“要么女王很富有，要么猪会飞”这一句便变成“要么q要么p”，逻辑学家常常将其写成qVp。那么，“女王不富有”这一句该如何改写呢？我们可以改写成“并非女王很富有”，把否定词置于分句之前。因此，这一句就可以写成“并非q”。逻辑学家常把它写成逻辑表达式﹁q，并称之为q的否定。那么“女王很富有，且猪会飞”——即“q与p”这一句呢？逻辑学家常把它写做q&p，并称之为q与p的合取，q和p为合取项。在掌握了这一方法之后，我们可把上述系列推理用逻辑式表达如下：

我们对此推理还有什么要说的吗？

句子可以是正确的（真），也可以是错误的（假）。我们用T来表示真，用F来表示假。自现代逻辑学奠基者之一，德国哲学家和数学家高特罗伯·弗雷格之后，这些值被称为真值。若已知一个句子a，a句的真值与它的否定式﹁a的真值之间有何关系呢？一个简单自然的答案是：如果一个句子为真，则另一个为假；反之亦然。因此，如果“女王很富有”为真，则“女王不富有”为假，反之亦然。我们可将此关系标明如下：

只要a的真值为F，﹁a的真值就为T。

只要a的真值为T，﹁a的真值就为F。

逻辑学家称其为否定的真值条件。如果我们假设每个句子要么是真的要么是假的，但决不是两者兼而有之，我们便能用以下表格来描述真值条件（逻辑学家称其为真值表）：

如果句子a具有它那一列下的真值，那么﹁a便具有右边一列下相对应的真值。

析取命题（V）的真值情况又是怎样的呢？我已提到，一个简单自然的假设是：如果一个析取命题（a V b）中的一个命题a或另一个命题b（或者两个命题）为真，则该析取命题就为真；反之，则为假。我们可将析取命题的真值条件标明如下：

只要a与b中至少一个的真值为T，析取命题a V b的真值就为T。

只有当a与b的真值均为F时，析取命题a V b的真值才为F。

这些条件可用以下真值表表示：

表中的每一行——除了第一行的表头——标明了a（第一列）与b（第二列）真值的可能组合。共有四种可能的组合，因此共有四行。对于每一种组合，右边都给出了a V b相应的真值（第三列）。

图2高特罗伯·弗雷格（1848——1925），现代逻辑学的奠基者之一。

同样，a与b的真值与a&b的真值之间的关系又是怎样的呢？一个简单自然的假设是：如果a与b都为真，那么a&b为真。因此，我们可举例如下：只有当“约翰35岁了”和“约翰的头发是棕色的”都正确，合取命题“约翰35岁了，且有棕色的头发”才是正确的。我们可用合取命题的真值条件将其标明如下：

只有a与b都具有真值T，a&b才具有真值T。

只要a与b中至少一个命题的真值为F，那么a&b的真值就为F。

这些条件可用以下真值表表示：

那么，这与我们一开始所提出的问题有什么关系呢？我们重新来看一下第一章结尾处所提出的问题：何为情形？一个简单自然的观点认为：不管什么情形都决定了每个句子的真值。举例来说，在某个特定情形下，女王很富有是正确的，猪会飞是错误的。而在另外一种情形下，女王很富有是错误的，猪会飞是正确的。（注意：这些情形都纯粹是假设的！）换言之，一个情形决定了每个相关命题的真值是T还是F。这里所说的相关命题不包括“与”、“要么”或“非”在内。假设某个情形的基本信息已知，我们便可利用真值表得到含有这些词的句子的真值。

比如，假设有以下情形：

（r可能是“大黄有营养”这样的句子，而“p：T”表示p被赋予真值T，等等。）那么，逻辑式p&（﹁r V q）的真值又是怎样的呢？我们获得这一真值的方法与我们计算3×（-6+2）时使用乘法表和加法表一样。r的真值为T，因此根据否定真值表可知，﹁r的真值为F。但是，由于q的真值为F，由否定真值表可知，﹁r V q的真值为F。由于p的真值为T，由合取真值表可知，p&（﹁r V q）的真值为F。采用这样的方式，我们能获得任何包含有&、V和﹁的逻辑式的真值。

现在请回想一下，我们在前一章里曾论述道：如果没有情形可表明所有前提为真而结论不真（假），那么这个推理就是有效的。也就是说，如果无法赋予相关句子以T值和F值（这样会导致所有前提为T而结论为F），那么这个推理就是有效的。比如，来看一下我们前面提到过的推理：q/q V p。（我把这个逻辑式写在一行上是为了让牛津大学出版社省点钱。）相关句子为q和p。共有四种真值组合，我们可计算出每一种组合的前提和结论所具有的真值。我们可将结果表示如下：

前两列展示了q和p真值的可能组合。后两列则相应地给出了前提和结论的真值。第三列与第一列相同。这是本例的一个巧合，在这个特定的例子中，前提恰好是其中的一个相关句。第四列内的真值可以根据析取真值表获得。有了以上信息，我们可以看出，这个推理是有效的。因为没有一行是前提q为真，而结论q V p不为真的。

推理q V p，﹁q/p的情况又怎样呢？我们可按照相同的方式得到下表：

这次共有五列，因为共有两个前提。前提和结论的真值可以根据析取和否定真值表获得。而且，也没有哪一行表明两个前提都为真而结论却不为真。因此，这个推理是有效的。

那么我们一开始使用的那个推理q，﹁q/p呢？采用前面的方法我们可以得到下表：

这个推理也是有效的，我们下面就来看一看原因。没有哪一行表明，两个前提都为真而结论却为假。实际上，也没有一行能表明两个前提都为真。结论实在是无关紧要！有时，逻辑学家在描述这样的情形时说，像这样的推理，其效度是没有意义的，因为两个前提永远无法同时为真。

这就是解决我们一开始所说的问题的方案。根据此方案，我们一开始的直觉推理是错误的。别忘了，直觉经常误导人。大家看来，地球明显是一动不动的——直到学习了物理，才发现地球实际上在飞速地穿越太空。我们甚至能够很好地解释逻辑直觉为何会出现差错。我们在实践中所遇到的推理，大多数都不是没有意义的推理。我们的直觉在这样的环境下形成，并不适用普遍情况——就像学走路时所养成的习惯（比如，不向一边倾斜）在其他环境下就不管用（比如，当你在学骑自行车时）。

在下一章里我们还会讨论这个问题。但现在，我们可以通过简要回顾一下我们所用方法的充分性来结束本章。这里所说的并不那么直截。综上所述，否定命题句﹁a的真值完全是由命题句a的真值决定的。同样，析取命题句a V b和合取命题句a&b的真值完全是由命题句a与b的真值决定的。逻辑学家把这样的运算称为真值函数。但是，有很多理由表明，英语中的or和and不是真值函数——至少不一定是真值函数。

比如，根据合取命题真值表，“a与b”和“b与a”具有相同的真值，即a与b都为真的话，它们也都为真，否则就都为假。但我们来看一下下面两句：

1.约翰撞了头，摔倒了。

2.约翰摔倒了，撞了头。

第一句说的是，约翰撞了头，于是摔倒了。第二句说的是，约翰摔倒了，于是撞了头。很明显，即使第二句为假，第一句也可能为真；反之亦然。因此，重要的不是合取项的真值，而是哪一个合取项为另一个合取项的起因。

连接词or也存在类似的问题。根据我们前面所说的方法，如果命题句a与命题句b中的一个正确，则析取命题“a or b”就是正确的。但是，如果一个朋友这样对你说：

要么你现在来，要么我们会迟到；

于是你来了。根据析取真值表，这个析取命题为真。但是，假如你发现朋友一直在跟你开玩笑：你本可以半小时后出发，而且仍然会准时到达。在这样的情形下，你肯定会说你朋友说谎了：他说的都是假话。因此，我们再次发现，重要的不仅仅是析取项的真值，而且是它们之间所存在的某种关系。

请读者再思考一下这些问题吧。我们所讨论的材料至少初步地描述了某个特定逻辑方法的运用；我们在后面的章节里还会引用这些方法，除非有些章节所讨论的观点明显不需要这里所谈的方法——有时会出现这种情况。

目前所讨论的方法只涉及某些推理，还有其他许多种类的推理。我们只不过刚开了个头而已。

本章要点

·在一种情形下，每个相关句都被赋予了一个特定的真值（T或者F）。

·当命题a的真值为F时，其否定命题﹁a的真值就为T。

·当命题a与b中至少有一个命题的真值为T时，析取命题a V b的真值就为T。

·当命题a与b的真值均为T时，合取命题a&b的真值才为T。