第一篇 天体的视运动

第一章 周日运动

在晴朗的夜里，如果你站在空旷的地方注意天空的景象，便会看见它在不断地变化。星星都在升起或落下，有些从东方出来，有些向西方落下。例如，北极星与大熊座内的星在我们的地方绝不会达到地平线下 。在这些运动里，所有的星的相对位置从不改变，它们都在圆周上运动，和我们认为是一个不动之点愈接近的星，它所走的圆周愈小。因此，天穹像是围绕两个固定点在旋转，这两点叫做天球的 极点 ，天穹便带着众星所组成的体系而运动。在我们地平上的一个极点叫做 北极 ，我们想象在地平下和北极相对的还有另一极点叫做 南极 。

这样便会发生几个有趣的问题需要解决。夜间所看见的星在白昼怎样？刚出现的星从哪里来?落下的星往哪里去？仔细研究天象，便会对这些问题给予简明的回答。早晨当曙光逐渐增强之时，星光逐渐暗弱；夜晚当暮色逐渐变暗之时，星光逐渐明亮。由此可见太阳升起后我们看不见星，不是它们停止发光，而是它们为黎明的曙光和太阳的强光所掩蔽。望远镜发明后使我们能够证实这个解释，即使太阳升起相当高时，在望远镜里我们还可看见亮星。那些距北极相当近，不降到地平下面的星是经常可以看见的。至于那些从东方升起，向西方落下的星，我们自然会认为它们继续在地平面之下而为地平所遮掩的那部分圆周上运动。如果我们到北方地区去，更会体会到这个事实，因为在天穹上对着北方地区的星所运行的圆周愈来愈高出地平，这些星永远不会隐没。至于另外一些在天穹上对着南方的星，便成了永远不会被我们看见的星。如果我们到南方地区去，将会看见相反的现象，有些星常在地平上，有些星交替地升起和落下，有些从前看不见的，现在开始出现。因此，地面并不像我们所看见的是支持天穹的平面，早期的观天者很快便纠正了这种幻觉；接着他们便了解天空四面八方地包围着地球，而且星在天穹上不断地发光，每颗星在天穹上每日描绘出一个圆周。以后我们还会看到天文学常常要纠正这一类幻觉，使我们透过骗人的表面现象去认识真正的事实。

为了对天体运动形成精确的概念，我们设想通过地球的中心与其两个极点有一根轴，天球便围绕这根轴旋转着。与这根轴正交的大圆叫做 赤道 ，由于周日运动，天体在平行于赤道的小圆上运行，这些小圆叫做 赤纬圈 。观测者的 天顶 是其铅垂线与天球相交的一点；与天顶直接相反的一点叫做 天底 。经过天顶与两极的大圆叫做 子午圈 ，它将天体在地平上所绘的弧平分为二，当天体达到子午圈时，它们便达到最高或最低处。最后，与铅垂线正交的大圆，或平行于观测处静止的水面的大圆，叫做 地平 。

北极的高度是不落的星在最高与最低处的平均高度，这是决定北极的高度的一个简易的方法。如果你向北行，将看见北极升高，升高的度数大约和你所走过的路程成正比。因此，地球的表面是凸出的，它的形状与球相似。地球的曲面表现在海洋面上，海船驶近岸时，海员先看见陆地上的最高点，跟着挨次出现被地球弧线所遮掩的较低的部分。太阳初升时，阳光先照山峰，然后达到平原，这也是由于地球的曲面所造成的现象。

第二章 太阳和它的运动

一切天体都参加天球的周日运动，但是有些天体有其自身的运动，追踪这些运动有其重要性，因为它们可以引导我们认识真正的宇宙体系。正如测量远处物体的距离，我们是从两个不同的位置去观测它的，因此为了发现自然的结构，我们应从各个观察点去考察它，在它给予我们的现象的变化里，观测它的规律的发展。在地球上我们可用实验的方法使现象改变，对于天象我们便只能仔细地测定天体运动呈现出的各种现象。用这些方法向自然界探询，并将其答案加以数学的分析，由于这一系列审慎处理的归纳，我们便会达到从一切特殊事实所导出的带有普遍性的现象。我们应该致力于发现这些带有普遍性的重大现象，并将它们的数目尽量减少，因为万物的本性及其“第一因”是我们永远不能认识的。

太阳有一种与周日运动相反的自身运动。我们从夜间看见随季节变化与循环的天象而认识这一运动。在太阳运动的路径上比太阳稍后一些时间降落的恒星，不久便掩没在阳光里，然后又在太阳的前面升起，可见太阳是朝着这些恒星由西向东运行的。很多年代以来，我们跟踪太阳的运动（所以现在能以很高的精确度来测定它），即每天观测太阳中天（即到子午圈时）的高度和太阳中天与恒星中天之间所经历的时间。这些观测为我们提供太阳运动在子午圈上与在赤纬圈上的两个分量，这些分量之和便是太阳围绕地球的视运动。由此我们求得太阳在其轨道（ 黄道 ）上的运动,1801年初黄道与赤道的交角为26g07315,即23°.46584 。

四季的变化更是由于黄道与赤道不在同一平面内所引起的。当太阳由其周年运动达到赤道时，更由于它的周日运动，便在很接近于赤道的圆周上运行。由于赤道为各处的地平均分为二，因而到处的昼夜都是等长的。所以赤道与黄道的交点称为 二分点 。太阳从春分点出发在其轨道前进时，它在我们地平上的中天高度日益增加，它每天所走的赤纬圈上可见的弧不断地增长，因而白昼逐日变长，直到太阳达到其最大高度时为止。这时白昼最长，因为太阳的中天高度达到其极大值，所以高度的变化小得不能觉察，如果只考虑与昼长有关的中天高度，这时太阳好像停止不动。黄道上与这一极大值相对之点叫做 夏至点 。那时太阳所走的赤纬圈叫做 北回归线 。接着太阳再向赤道运行，由 秋分点 通过赤道，直至 冬至点 而达其极小值。那时太阳所走的赤纬圈叫做 南回归线 ，与之相对应的白昼在一年内为极短。自此以后太阳复向赤道运行，再由春分点过赤道，如此年复一年地周而复始。

这便是太阳与四季恒常的运行。春季是春分与夏至之间的一段时间；夏季是夏至与秋分之间的一段时间；秋季是秋分与冬至之间的一段时间；冬季是冬至与春分之间的一段时间。

由于太阳出现在地平上是使气候变热的原因，好像夏季与春季的温度应当相同，冬季与秋季的温度应当相同。但是温度高低不是太阳出现的瞬间效应而是长时间的累积效应。温度达到最高时应在太阳在地平上极高处之时（即夏至日）以后的某些日子里。

地球上从赤道至两极，气候有显著的变化。赤道上，地平将所有赤纬圈平分为二，因此那里昼夜终年等长。在二分日太阳中午上升到天顶。在二至日太阳中天高度最低，等于黄赤交角的余角；冬至和夏至中午的日影在相反的方向上，这是在我们的纬度地方绝不会有的现象，我们这里中午的日影总指北方。因此可以说赤道上每年有两个冬季和两个夏季。北极的高度小于黄赤交角的地方（热带）皆发生与这相同的现象；北极的高度超过黄赤交角的地方（温带）太阳绝不会到天顶，一年内只有一个夏季、一个冬季；愈近北极的地方，夏至白昼愈长，冬至白昼愈短，到了天顶与北极相距只有黄赤交角那样远时，夏至日太阳便不落下，冬至日太阳便不升起。在比这更接近两极的地方（寒带）冬至日前后太阳出现在地平上或隐藏在地平下的日子可以延续几日或几月。最后，在两极点正下面的地方，地平即是赤道；当太阳与极点在赤道的同一侧时太阳常在地平之上；当太阳与极点不在赤道的同一侧时，太阳便常在地平之下；因此两极地方每年只有一昼和一夜，各长6个月。

现在特别跟踪太阳的运行。首先我们注意到二分日之间的时间与二至日之间的时间是不等的：从春分到秋分（即春夏两季），比从秋分返回到春分的时间（即秋冬两季）约长8天，因此太阳的运动不是均匀的。由精密而众多的观测，得知太阳在轨道上与冬至点接近的一点运行最快，而在轨道上与此相对的点，即与夏至点接近的一点，太阳运行最慢。太阳在前一点每日走1°.0194,在后一点每日走0°.9532；因此一年内太阳的运动速率是有变化的，其最大和最小值可以或快或慢于平均值的336/10000。

这一变化累积起来可以在太阳的运动上产生一个感觉得到的差数。为了从这差数寻觅定律，我们可以考虑这样一些角度适宜于表达这些差数，即它们的正弦与余弦在这些角度增加并在圆周上运行一周时能回到原来的数值。因此，按照这个方法去表达天体运动的一切差数有两个困难，一方面是分开这些差数，另一方面是决定这些差数所依赖的角。我们所讨论的差数，是于太阳每运行一周时恢复其原值，因此可使它依赖太阳运动的角度和这角度的整倍数。而且将这差数表达为这角度的正弦级数时，我们发现只须保留这个级数的头两项便可得到很好的近似值，其中第一项与太阳和它在轨道上运行最速的一点之间的角距离的正弦成正比，第二项比第一项约小95倍，与这角距离的2倍的正弦成正比 。

太阳视直径的测量向我们证明了它和角速度相同，是随地球—太阳间的距离而变化的。这视直径按照角速度变化的规律而变化，但小2倍。太阳运行速度最快时视直径是32′35″.6，速度最慢时视直径是31′31″.0，因而其平均值是32′3″.3 。

太阳—地球之间的距离是其视直径的倒数，这距离的变长与其视直径的变短遵循相同的规律。太阳轨道与地球最近的一点叫做 近地点 ，最远的一点叫做 远地点 。在近地点处太阳的视直径与速度均最大，在远地点这两者均最小。

要太阳的视运动变缓，只须使它更远离地球。但是如果只是这个原因造成太阳运动的变化，而且假设太阳的真速度不变，那么，它的视速度与其视直径将按相同的比例而变小。然而，实际上视速度是按视直径的2倍而变小，因此当太阳远离地球时，太阳的运动将有真实的变缓。由于这一变缓与距离的增加两者的综合效应，太阳的角速度按距离的平方增加而减少，因此角速度与距离的平方数的乘积差不多是一个常数。太阳视直径的测量与其日常运动的观测的比较，证实这个结果。

连接太阳中心与地球中心的直线叫做 向径 ，并知道一天内这个向径绕地球扫过的扇形面积与这向径的平方和太阳每天的视运动（即扫过的角度）之乘积成正比。因此这个面积是常数，而且从一定向径开始后，它在若干日内所扫过的总面积和太阳在这个定向径上开始所经过的日数按正比增大。所以 向径所扫过的面积和时间成正比 。太阳的角速度与其对于焦点的距离之间的关系，应当看作是这运动理论的一个基本定律，除非观测须使我们加以修改。

如果每天记下太阳的位置及其向径的长度，而且通过这些向径的末端绘一条曲线，我们便会发现只在连接最长与最短两向径末端的直线那个方向上特别伸长。这一曲线形似椭圆，使我们将它与椭圆比较而认出这两曲线确是相同的，于是我们断定： 太阳的轨道是椭圆 ， 地球的中心在其一个焦点上 。

椭圆是一条有名的曲线，在几何学里属于一种 圆锥曲线 。其绘法是简易的，即固定两点（叫做 焦点 ）于一平面上，而将一根丝线（应比两焦点间的距离长）的两端系在两焦点上，并将其拖紧于一笔尖上，则这个笔尖在这平面上运动时所绘出的曲线便是椭圆。这样绘出的椭圆显然在连接两焦点的直线的方向上伸长，这条直线延长到椭圆的两端形成 长轴 ，其长度等于所用的丝线的长度。由中心与长轴正交而延长到椭圆上一段直线叫做 短轴 ；一个焦点与中心之间的距离与长轴之比叫做椭圆的 偏心率 。如果两焦点相合为一点，则椭圆变为正圆；如果使两焦点离开愈远，则椭圆愈扁即偏心率愈大，如果两焦点间的距离无限地增长，而一焦点与曲线最接近之点（顶点）间的距离仍是有限的，则椭圆便成了 抛物线 。

太阳运行的椭圆轨道与正圆相差很少，太阳—地球间的最长距离与其平均距离（即长轴半径）之差，如上所说只是长轴的0.0168（约1/60）。这个差数便是偏心率，太阳轨道的偏心率变小很慢，在一个世纪里也难以觉察。

为了对于太阳的椭圆运动有一个正确的概念，假想有一点在以地心为中心、半径为近地距的圆周上做等速运动；更假设这一点与太阳同时从近地点出发，而且这一点的角运动等于太阳的平均角运动。当这一假想点的向径围绕地球做等速运动时，太阳的向径的运动是不等速的，只是它和近地距与椭圆的弧常常形成与时间成正比的扇形面积。起初，太阳的向径在假想的运动点的向径前面，这两个向径之间形成一个角，这个角增大到某一极限值后开始变小，当太阳到远地点时再度为零，于是这两个向径与长轴重合。在椭圆的第二个半周里，假想点的向径开始在太阳的向径前面，这两向径间夹角，与前半周里在和近地点有相同的角距处两向径的夹角完全相等，以后假想点的向径与太阳的向径又和长轴重合。太阳的向径在假想点前面的角度叫做 中心差 。中心差的极大值在本世纪之初（即1801年1月1日开始的子夜）是1°.92426，中心差每世纪大约减少17″.2。绕地球运动的这个假想点的角运动由太阳在其轨道上的运行周期而定。将这角运动加上中心差便得太阳的角运动。中心差的研究是数学上一个有趣的问题，这个问题只能够有近似解；但由于太阳轨道的偏心率小，致使级数收敛得很快，因而容易编制为数字表。

太阳椭圆轨道的长轴不是固定在天空里，这个长轴对于恒星的周年运动约为11″.7，转动方向与太阳的转动方向相同。

太阳的轨道与赤道相当接近，据计算求得这轨道与赤道的交角（黄赤交角）每世纪减少48″。

太阳椭圆运动的理论还不能确切地表示近代的观测，由于观测精度的增高发现有些小的差数只靠观测还不能得出其规律。这些差数属于从原因追索现象的那一部分天文学，将在本书第四篇内讨论。

太阳—地球间的距离一向使观测者感觉兴趣，他们曾经使用不断提出的各种方法进行测量。最自然与最简单的方法是几何学家用以测量地上物体的距离的方法。从一条已知长度的基线两端测量该物体与两端连线之间的角度，从180°减去这两角之和便得这两条视线的交角，这个角叫做那物体的 视差 ，既知视差便容易算出物体与基线两端的距离。将这个方法应用于太阳，我们应当选择地球上尽可能长的距离作为基线。假使在地面同一经度圈上有两位观测者在正午同时观测太阳中心和北极之间的角距离。这两个角距离之差便是在太阳中心对这两位观测者之间的直线距离所张之角；由这两处的北极高度之差，可将这段直线表为地球半径的分数；因此容易得出从太阳中心看地球半径所张之角。这个角叫做太阳的 地平视差 ；但是这个角很小，用这个方法不能作精确的测量，这个方法只能表示太阳至少在9000倍地球直径之外。以后我们要说天文学还有更精确得多的方法去求太阳的视差。我们现在所用的数值是在日—地间平均距离处太阳的视差很接近于8″.60，由此算出日—地间的平均距离是地球半径的23984倍 。

我们在太阳表面上观测到不规则而有变化的黑子，有时黑子多而面积大，曾经发现过比地球表面大4、5倍的黑子 。有时（虽然很少）太阳表面在一两年的时间内像是纯洁而无黑子的。黑子外围常有半影，半影之外有比太阳的其他部分更亮的光斑，黑子即在其中出现或消逝。黑子的性质还不明白，但由黑子我们认识太阳有自转现象。由黑子位置与大小的变化，我们得以分辨出它们运动的一些有规则部分，假设太阳有围绕与黄道差不多正交之轴的自转运动，且方向与绕地球运行方向一致，那么这些黑子运动的有规则部分，恰和太阳面上相应点的运动相同。由黑子观测算出太阳的赤道带自转的周期为25.5日，而日面赤道与黄道的交角为7°.5 。

大黑子常出现在太阳赤道附近的一带内，在日面经度圈上测量，其宽度不超过赤道两侧31°，也曾观测到40°处的黑子。

春分日前后的日出前或日落后，地平上出现以 黄道光 而得名的纺锤状的白色微弱光辉，其底部落在日面赤道上。因此我们所看见的像一个很扁的回转椭球，其中心与赤道面和太阳的中心与赤道面似相合。黄道光的长度有时看起来像张开90°的角。由于星光可以透过黄道光，因而反射它的流体是异常稀薄的。一般认为，这流体是太阳的大气，但是这大气可能不会伸长得这样远。我们将于本书结尾部分对于黄道光提出我们的看法 。

第三章 时间和它的测量方法

时间是一连串接续而来的事件在人们记忆里所留下的印象。运动适用于测量时间，因为一个物体不能同时占几个位置，它由一处到另一处必须经过这两处中间的一切地方。假使在它经过这两处之间的直线上的每一点，受到相同的力量，它的运动便是等速的，这直线的各段可用以测量物体经过它们所用的时间。一只摆在每次振荡之末复回到与原先完全相同的地位，这些振荡的周期相同，时间便可用振荡的次数来测量。我们将这方法用于似有等时性的天球的转动，其实人们早已使用这个方法将太阳作为测量时间的目标，太阳复返子午圈与同一个二分点或二至点形成日与年。

平常说的昼是指日出与日没中间的一段时间；夜是太阳在地平面下的一段时间。天文日是周日运动的周期，即连续两个中午或两个子夜之间的时间。这段时间比天球自转一周所形成的 恒星日 稍长一点，因为如果太阳和一颗恒星同时中天，后一天太阳因有其自己的运动，将比那颗恒星稍迟一点中天。由于太阳绕地球的运动是由西向东，经过一年的时间它中天的次数比恒星中天的次数少一次（一天）。由此算出如果取天文上的平日为单位则恒星日之长为0.99726957日。

天文日的长度每天不同，原因有二，即太阳围绕地球运行的不均匀性是由黄赤交角所造成的。前一个原因的效应是明显的，例如夏至日前后太阳运动最缓时比冬至日前后太阳运动最快时，天文日更接近恒星日。

为了认识第二个原因的效果，应注意天文日对于恒星日的超差只是由于太阳绕地球运动在赤道上的分量。设连接太阳在黄道上一天运行所经过的弧的两端与天北极在天球上作两个大圆弧，它们与赤道相交的一段弧，便是太阳每日运动在赤道上的分量，这段弧经过子午圈所需的时间便是天文日超过恒星日的时刻。容易了解在二分日赤道上的这段弧比黄道上对应的一段弧短，两弧的长度之比等于黄赤交角的余弦与1之比；在二至日，这两段弧的长度之比等于1与黄赤交角的余弦之比。因此天文日在前一情形变短，后一情形加长。

为了得到一种与这两种原因无关的平日或平太阳日，假想有另外一个太阳在黄道上做等速运动，而且它和真太阳同时通过太阳轨道的长轴，这便消除太阳绕地球运动的不均匀性效应，然后再消除由于黄赤交角所产生的效应，于是假想有第三个太阳在赤道上运动，与第二假想的太阳同时过春分点而且这两个太阳与春分点的角距离总是相同的。于是这第三个太阳连续两次中天之间所经历的时间形成天文平日。 平时 由这第三个太阳运转次数而测定，真时则由真太阳的运转次数而测定。通过真太阳与假想的第三个太阳的中心所引的两个子午圈在赤道上所夹的弧，转化为时间（以赤道的全圆周为一天），叫做 时差 。

每日分为24时，并以子夜为每日的起点，每时再分为60分，每分再分为60秒，秒再分为60“计埃斯”（tierces）。但如把一天分为10时，一时分为100分，一分分为100秒，似更合于天文学上的使用，我们在本书内采用这种百分计时制 。

由假想的第二个太阳转回赤道而定平二分点，转回回归线而定平二至点。太阳连续两次过同一个二分点或同一个二至点叫做一 回归年 ，其长度为：365.2422419日 。由观测得知太阳复返相同的恒星所需的时间较长，这段时间叫做 恒星年 ，比回归年长0.014119日。由此可见二分点在黄道上逆行，即与太阳运行的方向相反而移动，而且二分点所走的一段弧等于太阳以平均速度在0.014119日内所走的一段弧，即50″.1 。这运动对于每个世纪并不完全相同，它使回归年的长度稍有不同，现时（1801）比伊巴谷 的时代短了4″.2。

年的开始（即元旦）宜在二分日或二至日中的任何一日。若将元旦放在夏至或秋分，则将把同样的工作（农事）划分和分摊到连续的两年中去，但同样按天文学家们习用的方法将中午作为一日的开始也不方便 。春分日是大自然觉醒的时节，似应作为新年的开始；冬至也可作为岁首，古代人把这一天作为太阳的再生日来庆祝，在北极地方，这是一年内漫长黑夜的正中间一日。

若以365日为民用年，则它的元旦比较真回归年的元旦不断地提早，于是四季不断地后退，经过约1508年而逆行一周。这种民用年曾在古代埃及使用，这种历法便破坏了历法应有的优点，即月份与节日应和四季以及和农事发生联系。17世纪末法国将每年的元旦作为一种天文现象，按计算定为夏至日或春分日前夕的夜半，以保存对农民有利的宝贵习惯。但是闰年（即366日的一年）按一种很复杂的规则计算，因此将某些年换算为其所含的日数便很困难，于是在历史与纪年学上造成混乱。并且人们必须预先知道的岁首，便成了不确定和任意规定的了（若元旦开始时刻与子夜相差比太阳运行表的误差还小之时，便难确定前后两天的哪一天是元旦）。最后闰年的次序随经度圈而不同，这便成了各国希望采用同一种历法的障碍。由于事实上各国采用其主要天文台的所在处的经度为其地理经度，那么它们能够采用同一经度圈为其年岁的起始吗 ？因此我们应该不管自然，而采用一种有规则而方便的人为置闰法。最简单的一种方法便是尤利乌斯·恺撒在罗马历法中引进的4年一闰法。就埃及历法言，在一个人生存的短暂期间已能感觉到其岁首与夏至或春分之间的偏离，但就儒略历 言，须经历几个世纪在其岁首中才出现同样的偏离，这说明必须采取更复杂的置闰法。11世纪波斯人采用一种异常精密的置闰法。他们采用4年1闰连续7次，以后在第5年才置第8次闰，这样便使回归年为 H，比由观测得来的数值仅长0.0001823日，因此须经历很多世纪民用年的岁首才会产生感觉得到的偏离。格列历 的置闰法精密度稍差；但容易将年和世纪换算为日数，这是历法的一个主要目标。格里历每4年一闰，除了第4个世纪的末年外，每世纪的末年不闰，这样一年之长为 或365.242500日，比真回归年长0.0002581日。但是假使按照这种置闰法，每隔4000年再取消一个闰年，则4000年内只有969个闰年，于是每年长 或365.2422500日，这数字如此接近于由观测定出的回归年365.2422419日，两者之差实在可以略而不计，因为观测本身的误差会影响年的真长度，何况回归年的长度不是严格的常数。

一年分为12个月的来历既很古，而且使用又很普遍。有些民族假定每个月都是30日，为完成一年，他们于12个月外再添上几个附加的日子。别的民族则将这些附加的日子统统包括在一年的12个月内，而使各月的日数不等。一月30日制自然会分为3 旬 。这种周期容易算出每月的日数表，但每年末附加的日子打乱了与旬有关的事件的次序，这不免引起行政上的混乱。于是为了避免这种不便，使用一种与月和年无关的短周期，例如7日一循环的 星期 制。这个短周期起源很早，以致不可稽考，许多世纪来便与各国历法不断混合使用。这个制度在世界各国都是一样，这或许与古代天文学所规定的日子的名称有关，或许和相同的物理时刻的对应性有关。这可能是人类知识最古老和最无可辩驳的成就，显示这制度有一共同的来源，然后传播于各地；但是作为这制度的基础的天文体系，表明这制度产生时期人类知识的不完备。

当格里历改革时，将冬至作为岁首是便当的，这会使四季开始的一日同时为某月的第一日。而且还容易使各月的日数更有规律，只须将平年的2月定为29日，闰年30日，而使其他月份交替地为31与30日；且将每月以其序号定名。再将置闰的方法作如上所说的修改，格里历便可算相当完善了。但是，是否应给予格里历以这种更完善的改革呢？我认为为了避免由这样一些改变对我们的习惯，对各民族间的关系，对经过长远年代已经很复杂的纪年学，可能会引起的混乱，还是不必再提出什么修改为宜。如果考虑到格里历现在几乎为欧美各国所采用，而且经历两个世纪才克服了宗教上的困难，而得到普遍的承认，特别是格里历保持了这些可取之点，纵然还有些不很完善，也无关大局，所以我们认为不必提出格外的修改了。因为历法的主要目的是提供一个简便的方法使发生的事件与日子的次序发生联系，并用简便的置闰法，将元旦固定在相同的季节里，这些条件都为格里历所满足了。

100年的周期称为 世纪 ，这是迄今所用的最长的计时周期，因为现时与已知的最古的史事相距的时间，还不需要另外一种比世纪还长的周期。

第四章 月亮的运动，月相，月食与日食

在太阳之后，使我们最感兴趣的天体便是月亮。月相提供一种极其显著的时间单位，很早便为一切民族所使用。月亮亦如太阳。由西向东运行。它的运动的恒星周期在本世纪之初是27.321661423日；这个周期不是恒常不变，将近代的观测和古代的观测比较，无可争辩地证明月亮平均运动有一种加速现象。这现象在古代的观测记录里还不显著，可是随时间而增大。但这加速现象究竟是不断地增长呢，抑或停止而变为减速呢?这是需要经历很多世纪的观测才能知道的。幸而这现象的原因已经为人发现，不待观测，我们已经知道它是周期性的。本世纪之初，月亮和春分点的平均角距离（从春分点按月亮运行的方向计算），对于巴黎皇家天文台平时子夜是111°.61189。

月亮在椭圆轨道上运行，地球在其一个焦点上。其向径绕着焦点扫过的面积差不多与时间成正比。若取月—地间的平均距离为单位，则这椭圆轨道的偏心率是0.0548442，这使其最大的中心差为6°.2869，像是固定不变的。月亮的近地点有一个顺向运动，即与太阳的自身运动为同向；其恒星周期在本世纪之初为3232.575343日，它（近地点）与春分点间的平均角距离是266°.11233。它的运动不是等速的；当月亮的运动加速时，它减速。

椭圆运动定律还远不能概括对月亮的观测，它受到与太阳的位置显然有关的许多种差数的抑制，我们只谈其中的主要三种：

最大的也是我们最早认识的一种差数，叫做 出差 。其极大值为1°.3416，与月—地间的角距离的2倍减月亮与其近地点的角距离的正弦成正比。当月亮对于太阳在冲与合的位置时，出差与中心差相混合，出差使中心差不断地变小。因此为了决定月球运动理论中的根数，古代的观测者只能用日月食方法，而且为了预言日月食，他们发现月亮的中心差比它真正的中心差（由于受太阳的摄动使偏心率改变）要小，其差即是出差。

在月球运动里还观测到一个大的差数，当月亮与太阳相冲与合时以及它们相距1/4周时，为零。当日月相距为45°时，其极大值为0°.5950，因此我们断定这差数与月—日间的角距的2倍的正弦成正比。这差数叫做 二均差 ，在日、月食时为零，因此不能从对日、月食的观测去决定它。

最后，当太阳的运动减速时，月亮的运动加速，反之当太阳加速时月亮减速，这样产生一种以 周年差 得名的差数，其所遵循的定律与太阳的中心差的定律相同只是符号相反而已。这差数的极大值为0°.1867，在日、月食时，与太阳的中心差混合，计算食发生的时刻里，将这两种差数分别考虑，或将月球理论的周年差略去，而将太阳的中心差增加，这两种方法所得的结果是没有差别的。因此，古代天文学家给予太阳的轨道以过大的偏心率，正如由于出差，他们对月亮的轨道赋予过小的偏心率一样。

月球的轨道（白道）与黄道的交角为5°.1467，这两个轨道的 交点 在天空上不是固定的，交点有一种与月球本身运动相反的后退运动，由月亮经过黄道时遇见的不同恒星，容易认识有这种运动。月亮对着北极运行到黄道面之上时，它所通过的一个交点叫 升交点 ，而向着南极运行到黄道面之下时所通过的另一个交点叫 降交点 。本世纪之初交点运动的恒星周期为6793.39108日，升交点与春分点之间的平均角距离是13°.91505；但交点的运动随世纪的进展而变缓。这运动为几个差数所抑制，最大的一个与月—日间的角距的2倍的正弦成正比，其极大值为1°.6292。黄白交角也在变化；其最大差数，在极大时达0°.1464，与交点运动有关的同一角距的余弦成正比；虽然黄道面有长期的变化，但交角的平均值，在不同的世纪里像是一个常数。

月球的轨道与太阳和一切天体的轨道相同，和地面上抛射物所经过的抛物线一样，不是一种实际的存在。为了表示物体在空间的运动，人们假想把这物体的中心连续所经过的一切位置连成一条曲线，这条线便叫做它的轨道，轨道所在的平面可能是固定的或变化的，这平面由通过物体相邻的两个位置和它运动时环绕的一点所定出。

不按这方式讨论物体的运动，可假想将这运动投射到一个固定的平面上，而测定它的射影曲线与它离射影面的高度。这种极其简单的方法是天文学工作者用以编制天体运动表的方法。

月亮的视直径的变化与其运动的变化的方式相似：当其距离地球最远时视直径为29′22″，最近时为33′31″。

通过视差测量的方法（太阳的视差因其太小不能使用）绘出月亮的平均视差为57′34″。因此，月亮的直径从地球上看上去是31′26″.6（平均视直径）之时，地球的直径在月亮上所张的角为1°55′11″.6；于是地球与月球的直径之比是这两个数字之比，即大约是3与11之比，月球的体积是地球的体积的1/49 。

月相是最引人注意的一种天象。黄昏时脱离其附近日光的照射，出现在西方时，是一丝微弱的蛾眉；月亮愈离开太阳时，蛾眉月愈大而终于与太阳相冲，成为整个明亮的圆轮。此后，月亮再与太阳接近，月亮按先前变大的情况逐渐变小，直到黎明时它沉没在日光里。月亮的一弯蛾眉，其凸面向着太阳表明月光来自日光；月相变化的规律，表现月相的幅度几乎与月—日间的角距的正矢成正比而增长，这证明月亮的形状是球形的。

月相的循环依赖于月球运动对于太阳运动的超差，这差数叫做月亮的 会合运动 。月亮的 会合周期 即日月相合的平均值的周期，现今是29.530588716日；会合月与回归年之比约为19∶235，换言之即19个太阳年里约有235个太阴月。

所谓 朔望 是月亮在白道上与太阳分别形成合与冲的两点。朔时出现新月，望时满月。 方照 是月—日间的角距为90°和270°的两点（按月亮绕地球的运动方向计算）。这两点处的月相叫做上、下弦，是我们看见月亮被照明的半球之一半。严格来说，我们看见的部分比这稍多一点，因为我们看见恰好一半时，月—日间的角距离稍小于90°。那时，由于照明的半球与黑暗的半球的分界线是一条直线，因而我们得以辨识，观测者与月亮中心的连线正和日月两心的连线正交。因此，在连接日、月两中心和观测者的眼睛的三条直线所形成的三角形里，月亮所在处是直角，而由观测可以求得日—月两心间的角度。由此我们能够决定日—地间的距离与月—地间的距离的比值。由于难于精密地定出什么时刻我们所看见的月轮恰是其一半，因而这不是一个精确的方法；但是，我们由此可得知关于太阳体积的庞大与其距离地球的遥远的这一概念是基本正确的。

月相的解释导致我们对月食的解释，人类还在愚昧的时代，日食与月食是一种恐怖的现象，可是它却不断地引起人们的好奇。月食只能发生于遮掩日光的不透明物体夹在日月两体之间，这不透明物体显然就是地球，因为月食只发生于冲，即地球在日月的中间的时候。地球背着太阳的一面有一锥状的黑影，这影锥的轴在连接太阳与地球的中心的直线上，这影锥轴的长度结束于空间里日月两体的视直径相等之点。月亮在其距地的平均距离处冲日时，从月亮的中心望太阳与地球的视直径分别为1918″与6908″；因此地球的影锥之长至少为月—地距的3.5倍，月亮穿过地影处的宽度约为月亮的视直径的8/3。假使白道与黄道同在一平面上时，月亮与太阳相冲（即望日）时，每次都会发生月食；但由于这两个轨道平面相交有一个角度，因而在望日时，月亮不是高于便是低于地球的影锥，只有当月亮在两轨道的交点附近时，才能穿过影锥。如果月轮完全埋没在地影内，将会发生 月全食 ，如果月轮只有一部分埋没在地影内，便出现 月偏食 。由此可见，在望日时，按月亮对黄白两道的交点的接近程度，可以出现我们所观测到的各种类型的月食。

在被食前，月轮的每点挨次失掉由日轮各处而来的光线，它的亮度逐渐减弱，当其进入地影时，便暗黑无光。月光逐渐变暗的区域叫做 半影 ，其宽度等于从地球的中心望太阳的视直径。

太阳环绕地球运行的平均周期对于白道的交点而言为346.619851日；这个周期与月亮的会合周期之比非常接近于223∶19，因此在223个太阳月之后，太阳与月亮相对于白道的交点，复返回相同的位置；于是日、月食差不多按前一周期的次序循环，这是预推日、月食的一种简易方法，自古以来便为天文学工作者所利用 。可是由于太阳与月亮在运动上有差数，应造成可以觉察的差异；而且在223个月的周期内，太阳与月亮相对于交点复返原来位置也不是严格的；而这些离差经久便使我们在某一周里见食的次序发生改变。

月食时地影成正圆形，因为这一点，古代天文工作者便认识到地球的形状很接近于球；我们以后还要讲到，改进的月行理论能为测量地球扁率提供一个也许是最精密的方法。

只是在太阳与月亮相合时，即月亮插入太阳与地球之间，遮掩太阳的光线时，才发生日食。虽然月球比日球是无比之小，但它却与地球相当接近，因此它的视直径与太阳的视直径相差不远，由于这两个视直径的变化，它们交替地一个比另一个大。假想太阳与月亮的中心和观测者的眼睛同在一直线上：便会看见日食。假设月亮的视直径超过太阳的视直径，就会发生 日全食 ；如果月轮的直径小，观测者看见日轮超出月轮的部分形成一个明亮的环圈，这叫做 日环食 。如果月亮的中心不在连接观测者与太阳中心的直线上，月轮只能遮掩日轮的一部分，便发生 日偏食 。由此可见日球与月球对于地球中心的距离的变化以及月合日时，月亮对于其轨道交点的距离的变化，可能在日食上造成很大的差异。这些因素之外，还须加上月亮在地平上的高度，这高度既影响其视直径的大小，而且由于月亮视差的效应会使日、月两中心间的角距离有所增减，因此对于相距稍远的两位观测者言，一位看见日食，另一位却看不见日食。这样日食与月食的现象便不相同，因为地球上凡能够看见月食的地方，其食时与食象都是一样的。

日食时我们常看见像为风所挟带的乌云般的黑影迅速地飞越山岭和平原，从观看者的眼里夺去日光，但在这个影带外的人仍然看得见太阳，这便是日全食现象。日食时人们看到环绕月轮的周围有时出现一圈是灰白色的光晕 ，可能是太阳的大气；因为它的范围不是月球的范围，而且由月掩日与月掩星两种现象得知月亮几乎没有大气。

假设月面上有大气，便应使光线向它的中心弯曲，而且合理地假定离月面愈远，大气层愈加稀薄，于是射向那里的光线愈近大气愈加弯曲，而形成一条凹向月面的曲线。因此月球上的观测者将能看到还在“地平”下一个角度的星，这现象叫做 地平折光 。“地平”上出现的这颗星的光线，掠过月面之后，继续前进，形成一条曲线，它与原来的光线所经过的曲线相似。因此由于光线受月面大气的折射，月球背后的另一观测者还看得见这颗星。可是月球的直径没有由于大气的折射而产生感觉得到的增长；一颗星被月掩时其被掩时刻应比月面没有大气的情况发生得较迟，据相同的理由，这颗星的复明也较早，所以月面大气的影响主要是使日食或月掩星经过的时间缩短。但是精密而众多的观测恰巧使我们怀疑这种影响，从而断定月面上的地平折射不会超过1″.6。地球上的地平折射至少要大千倍；月面若有大气必然极其稀薄，稀薄的程度超过我们用最好的抽气机所造成的“真空”。因此我们可以得出结论：地球上的动物不能在月球上呼吸与生活，如果那里有生物的话，当和地球上的生物大不相同。我们应当认为月面是固体的；因为大望远镜里显现那里是不毛之地，有人认为月面有火山甚至火山爆发的迹象。

布盖 由实验求得满月时月光的亮度只有太阳中午时的亮度的1/300000，因此月光经过最大反射镜的聚焦，对于温度计不会产生可以觉察到的效果。

尤其在新月附近，月轮上未被阳光照着的部分，我们还看得出微弱的光辉，这叫做 灰光 ，是地球被太阳照亮的半球反射给月球的光线；这说明为什么在新月前后，当地面被阳光照亮的半球的大部分对着月球时，灰光特别显著。事实上地球给予月球上观测者的“地相”与月球给予地球上的观测者的月相，是相似的，但由于地面大于月面，因而地球反射阳光的强度大于月球。

如果仔细观察，必会发现月面上有很多不变的斑痕，这些斑痕表明月球差不多以相同的半球对着我们；这说明月球绕轴自转和绕地球公转有相同的周期；因为假使月球中心处有一位观测者，而且假设月球是透明的，他会看见地球和他的视线围绕它转动，由于这视线经过月面上差不多相同的一点，显然这一点在月面上转动的方向和时间与地球围绕这位观测者转动的方向和时间相同。

可是，如果不断地观测月面便会感觉以上所说的现象稍微有改变；我们看见的一些斑痕交替地接近和远离月轮的边沿。那些很接近边沿的斑痕交替地出现和隐匿，作周期性的摇摆，这现象叫做月亮的 经天平动 。欲了解这现象的主要原因，应考虑从地球中心所看到的月轮，其周界乃是与月球至地心的向径相正交的一个大圆，面对着地球的半个月球就是投射在这个圆周的平面上的部分，因而其形态与月球的自转运动有关。假使月球没有自转运动，在其每一公转周期内向径在其表面上将描绘出一个大圆周，这大圆的各部分挨次出现于我们的眼里。可是与向径描绘这一圆周的同时，月球由于自转，将这一向径带回到月面上差不多相同的一点来，因而使月球以相同的半球向着地球。可是月球公转运动有许多差数，使这现象发生轻微的变化。因为月球自转运动上没有这些显著的差数，它对于其向径是有变化的，因而它的向径与月面相交之点不断变化；所以月球对于这向径产生对应于其公转运动的差数的摇摆，从而它交替地隐匿和呈现月面的某些部分于我们的眼里。

月球还有另外一种 纬天平动 ，它垂直于经天平动。由于这一运动，月球的两极区域交替地出现和隐匿。为了说明这个现象，假设月球的自转轴与黄道正交。当月球在升交点时，其两极在可见半球的南北两边。但随着月球离开黄道而逐渐升高时，其北极与北极附近的区域隐匿，而其南极附近的区域逐渐出现，直到月球运行到其轨道北边的最高处，而开始再向黄道接近为止。此后上述现象循相反的方向再现，且当月球达到其轨道的降交点后再向黄道下面去时，北极区便重新现出南极区曾经发生过的现象。

月球自转轴刚刚不与黄道正交，其倾角所造成的现象，我们可以用假设月球在黄道面内运动的方式是使其自转轴保持一定的方向来说明。很清楚，每个极点在月球围绕地球的半个公转周期里可见，在另半个公转周期里不可见，因此两极区交替地隐和现 。

最后，由于观测者并不在地球的中心，而在其表面上，从他的眼睛到月球中心的视线决定视半球的中心，可见由于月球的视差，这视线按月亮在地平上的高度，与月面相交于显著不同的点。

这一切只因在月球上造成的一种视天平动；这是一种纯粹光学的现象，绝不影响其自转的真运动。然而这自转运动可能有细微的离差，但却很小，使我们不能觉察到。

月球的赤道面的变化却不是这样的。卡西尼 对于月面斑痕的辛勤观测，发现月球赤道的轴不是如以前想象的与黄道正交的，而且这个轴在各个位置上也不是平行的。这位大天文学家推出如下的结果，为其最美的发现之一，它包含了所有的月球真天平动的理论。假设通过月球的中心作第一个平面与其自转轴正交，这平面与其赤道面重合；再过同一中心作第二个平面与黄道面平行，还有第三个平面即白道面；如果不计交角与交点的周期性差数，则这三个平面总有一条共同的交线，第二个平面在另外两个平面之间，与第一个平面的交角约为1°.50，与第三个面交角为5°.144。因此月球的赤道与黄道的交线或者它们的交点常和白道的平交点相合，而且和它相同，有一个逆行运动，其周期为6793.39108日。在这个周期内，月球的赤道与白道的两个极点，描绘出了与黄道平行且把黄极包含其中的小圆，使得这三个极点常在天球的一个大圆上。

月面上有很高的山，它们投射在其平原上的阴影形成黑斑，随太阳的位置而变化。在月轮被照明部分的边沿上，山岭以锯齿形出现，并延伸到亮线之外，由这突出度的测量使我们知道山岭的高度，至少是3000米 。由山影的方向知道，月面上布有类似地球上海床那样的坑穴。最后，月面上表现有火山爆发的迹象；新斑痕的出现以及在月轮上的暗处几次观测到的闪光，似乎表示月面上还有活火山。

第五章 行星概论，水星与金星

天穹上有无数闪烁发光的星点，它们的相互位置几乎恒定不变，但其中有10颗，当其不被掩没在日光里的时候，经常可以看见它们，并按照一些很复杂的规则运动，天文学的一个主要目的便是寻找这些规则。这10颗星叫做 行星 ，其中水星、金星、火星、木星与土星，由于它们是肉眼可以看见的亮星，自远古时代，便为人所认识；待望远镜发明后，人们在望远镜里又发现天王星、谷神星、智神星、婚神星与灶神星。水星与金星对于太阳的角距离在一定范围之内；其他8颗行星对于太阳可以在任何角距离处。行星运动的范围在天球上的 黄道带 内，这一带被黄道等分为上下两半。

水星和太阳的角距是始终不超过28。当其开始在黄昏出现时，我们恍惚看见它在朦影里，以后它便越来越离开太阳直到大约23°时，又转向太阳。在这期间，水星对于恒星循 顺行 （即由西向东）运动；但当其接近太阳时，它和太阳的距离只有18°，像是静止不动，这现象叫做 留 ，此后它的运动成为 逆行 （即由东向西），水星继续接近太阳，终于再被黄昏时的光辉所掩没。经过不能为人看见的若干时间之后，人们在早晨又看见它从日光中出现，并逐渐远离太阳。亦如在其隐没以前一样，它的运动是逆行的；但是水星和太阳的角距达到18°时，它再度 留 ，留后再度顺行，它继续离开太阳，直到角距达22°之后，它便接近太阳，复掩没在黎明的光辉里，不久又在黄昏时再表现同样的现象，如是周而复始地循环。

水星在太阳东西两边的最大距离，在16°到28°之间变化。水星的摆动周期或者相对于太阳、水星返回相同位置所需时间也有类似变化，自106日至130日。其逆行段的弧度平均为13°.5，经历的平均时间为23日；但在各次的逆行里，这数字有相当大的差异。一般说来，水星的运动很复杂，它的轨道并不恰好在黄道面上，有时它可以离开黄道4°.5。

无疑，需要经过长时间的观测，人们才认识到在黎明和黄昏看到的交替地远离和接近太阳的两颗星是相同的，由于这两颗星不能同时出现，才使人们最后觉察到它们是同一颗行星在太阳两侧摆动。

水星的视直径是有变化的，这变化显然和它与太阳的相对位置及其运动的方向有关。当水星掩没于黎明的光辉里，或从黄昏的光辉里出现之时，它的视直径极小；但当其掩没于黄昏的光辉里或黎明从光辉里出现时，它的视直径极大。它的视直径的平均值为6″.9。

有时水星从黄昏隐没到黎明再现这一段时间里，它投影在太阳的圆面上面，像一个黑点那样在日面的一条弦线上运动。

人们测定这黑点的位置、视直径与逆行运动均和水星应有的情况相符，这现象叫做 水星凌日 ，与日环食的情况相同，且由此证明水星的光线是反射日光而来的。水星在强有力的望远镜里看来像月亮那样有位相，也与月亮相同，其明亮的凸弧对着太阳，其明亮部分的大小随水星与太阳的相对位置及其运动的方向而变化。

金星和水星表现的现象相同，不过金星的位相更加显著，在太阳两侧的摆动更大，周期更长而已。金星的最大距角在45°至47°.7之间，相对太阳而言，它继续两次复返到相同位置的平均周期（ 会合周期 ）时间是584日。金星的逆行，开始于黄昏时接近太阳，终止于黎明时离开太阳；那时它和太阳的距角约为28°.8，逆行段的弧长约16°，其平均时间约42日。金星并不恰好在黄道上运行，有时候它离开黄道有几度 。

金星凌日时间的长短，若在地球上相距颇远的两处观测，有相当大的差异，原因正如地球上不同处观测同一个日食的时间有长短一样。由于金星的视差，地球上各处的观测者看见它对应于日面上不同的黑点，并且看到这些黑点在长短不同的弦线上运动。1769年的一次金星凌日，在南太平洋的塔希提岛与在瑞典拉普兰的卡亚尼堡两地观测到的时间相差超过15分钟。由这时间上的差异可以很精密地测定金星的视差，由此求得，金星合日时它与地球之间的距离。以后还要谈到一个著名的定律，它将金星的视差和太阳及一切行星的视差联系起来，可见金星凌日观测在天文学上的重要性。金星凌日在相距8年连续发生两次之后，便须经历一个多世纪才能再在8年短时间内出现两次，以此类推。最近两次的金星凌日发生于1761年6月5日与1769年6月3日。当时天文学家们分布在许多最适宜于观测的地区，他们将观测所得加以综合整理之后，求得在日—地的平均距离处，太阳的视差为8″.75 。今后的两次金星凌日发生在1874年12月8日与1882年12月6日。

金星的视直径变化很大，表明它和地球的距离有很大的变化。金星凌日时，它最接近地球，其视直径约为61″，至于其视直径的平均值，据阿拉果（Arago）的观测，是16″.904 。

卡西尼由金星表面上几个黑点运动的观测求得它的自转周期比一日稍短一些。施罗特尔（J.Schröter，1745—1816）对于金星弦角（comes）的变化与其未被照明部分的边沿上几个亮点的观测，证明了这个曾令人怀疑的结果 ；他求得金星的自转周期为0.973日，他和卡西尼一样，求得金星的赤道与黄道的交角很大。最后，施罗特尔由观测断定金星表面有高山，由于从暗处过渡到亮处光线的递降定律，他断定金星周围有广袤的大气，其折光率与地球大气的折光率很少差异。在大望远镜里观测这些现象极其困难，在巴黎那样的气候里这种细微的观测简直无法进行；南方澄静大气下的观测者对于这一类的观测应该加以注意。总之，对于印象相当微弱的现象，最重要的是防备想象发生作用，因为想象对于微弱的印象有相当大的影响，原来内心所造成的形象常会修改，甚至改换了眼里所看见的形象。

金星的亮度超过其他行星与恒星，有时它亮到白昼里肉眼也可看见 。这现象与其对于太阳复返到相同位置有关，发生于下合前后36日之内，大约每隔19个月（会合周期）重演一次，其最大亮度每8年一次。虽然这是一个相当常见的现象，但总会引起一般无知者的惊奇，由于无知而易引起轻信，便会认为这是与当时最显著的事变有关的天象。

第六章 火星

刚才讨论过的两颗行星，很像太阳的卫星伴随着它；它们围绕地球的平均运动与太阳的运动相同。其他几颗行星对于太阳的角距离可能有任何的数值，但是它们的运动与太阳的运动的关系使我们不怀疑太阳对于这些行星运动的影响。

火星貌似由西向东绕地球运动，其恒星周期平均值大约687日，其会合周期，即对于太阳再返回原来位置的时间，约780日。火星的运动颇不均匀：黎明从太阳的光辉里出现，我们再看见它时，它顺行最快，以后逐渐缓慢，而终于留住，那时它和太阳的角距离为136°.8；然后它的运动方向改为逆行，其速度逐渐增加，直至和太阳相冲之时，那时火星的速度达极大，此后再逐渐缓慢而复留住，那时火星接近太阳，角距只有136°.8。逆行73日之后，运动复变为顺行，而且在这期间它所走的逆行弧约为16°.2。此后火星继续接近太阳，终于掩没在西沉的日光里。这些奇特的现象，从每次冲时周而复始，只是在其逆行弧的长短与时间上有相当大的差异而已。

火星并不恰好在黄道面内运动，它有时离开黄道几度 。火星的视直径变化相当大，在其平均距离处时为6″.3，随着它接近冲时，视直径越增大，直至冲时为18″.3。那时火星的视差相当显著，差不多是太阳的视差的2倍。太阳与金星的视差之间的关系同样也存在于太阳与火星的视差之间。在最近几次由金星凌日所测得的太阳视差以前，火星视差的观测已是测定太阳视差的近似方法，它没有金星凌日观测的结果精确。

我们看见火星的圆面，随其与太阳的相对位置而改变其形状，有时成为显著的卵形。火星有位相，证明其光线是日光的反射。火星表面上观测到的斑点使我们认识到它由西向东自转，其周期约为1.02733日，其自转轴与黄道相交成59°.7之角。火星的两极直径比赤道直径稍短。据阿拉果的测量，两极直径的平均值与赤道直径之比为189∶194。

第七章 木星和它的卫星

木星由西向东运行、公转周期差不多为4332.6日；会合周期约399日。木星运动上所受到的差数和火星相似。木星冲日以前，当其与太阳的角距约为115°之时，运动变为逆行；它的速度增加直到相冲之时，跟着变慢，以至于留住，然后又顺行，接近太阳，直至距离太阳115°而止。逆行的时间为121日，逆行弧长约10°；但在木星的各次逆行里，其弧度与时间有可觉察到的差异。木星的运动并不恰好在黄道面内；有时可以离开3°或4°。

木星表面上有几条暗带显著地互相平行，而且平行于黄道；还有许多斑点，由于它们的运动察出木星由西向东自转，其自转轴差不多与黄道正交，周期为0.41377日。由于这些斑点的变化，与这些斑点运动的自转周期之间有显著的差异，所以，我们认为这些斑点并不固定在木星表面之上；它们像是在很骚动的大气里，为各种速度的风所推动的云。

在行星中，木星的亮度仅次于金星；有时它的亮度甚至超过金星。当木星冲时，其视直径最大可以达到45″.9；而其平均值在赤道方向为36″.7；在各个方向上视直径是不同的。木星在其自转的两极处显著地呈扁平状，阿拉果由很精密的测量，求得两极径与赤道径之比约为167∶177。

人们观测到木星周围有4颗小星跟随它不停地运行。它们排列的位置随时变化；它们在木星两侧摆动，由它们摆动范围的大小而定出它们的次序；所谓 木卫 1便是摆动范围最小的一颗。有时我们看见它经过木星的圆面而投影于其上面，它在其一条弦线上经过；因此木星和它的卫星都是为太阳照亮的不透明体。木卫在太阳与木星之间时，其阴影投射在木星的圆面上，形成木星上的日食，完全相似于月影在地球上形成的日食。

木星背着太阳一面所拖的影锥给我们解释木卫所表现的另外一种现象。有时木卫离木星的圆面还有相当距离时，我们已经看不见它们；木卫3和木卫4有时在圆面的同一边再现。这种消逝与月食完全相似，伴随这现象而来的情况，使我们绝不怀疑这个事实。我们看见木卫总消逝于木星圆面背着太阳的一边，因此是在木星所投射的影锥的一边；当木星愈近冲日时，木卫被食处愈近于圆面；最后，木卫被食的时间恰好对应于它们经过木星的影锥所用的时间。由此可见木卫在木星周围由西向东运行。

木卫被食的观测是决定它们的运动最可靠的方法。比较时间相隔很远的、且在木星冲日附近观测到的木卫食，人们精密地测定了木卫围绕木星运行的恒星周期与会合周期。由此我们求得木卫运动差不多是等速圆周运动，因为这个假设几乎很合乎我们看见木星对于太阳在相同位置上时所发生的木卫食的情况，因此我们可以决定从木星的中心所看见的木卫在任何时刻的位置。

从此得出一个简单而且相当精确的方法，去比较木星—地球间的距离和太阳—地球间的距离。这是古代天文学家所缺少的方法，因为木星的视差，即使以现代观测的精度也难测定，而且当其和地球最接近时，我们也只能据行星的公转周期愈长、其距离愈远的估计，从它的周期去决定它的距离。

假设我们观测了木卫3一次被食的全过程。在其食时的正中（食甚），从木星的中心去看这颗卫星，它差不多和太阳相冲；因此由这中心看这木卫对于恒星的位置（这是由木星与这木卫的运动容易断定的），那时正好与由太阳中心看木星中心的位置相同。据对太阳的直接观测或由已知的运动，可得出从太阳中心看地球的位置；因此设想由连接太阳、地球与木星三中心的直线所构成的三角形中，我们可以求得太阳处之角；由直接观测可得地球所在处的角；因此我们可以将食甚时木星—地球间与木星—太阳间的直线距离表为太阳、地球间距离的分数。用此法求得木—地间的距离至少是日—地间距离的5倍，那时木星的视直径为36″.7。在相同的距离处，地球直径所张的角度只有3″.4；因此木星的体积至少是地球的体积的1000倍。

由于木卫的视直径小至不能觉察，因而不能确切决定它们的大小。我们试图根据它们穿过木星的阴影所用的时间去作估计，但由这方法所得的结果有很大的差异，这是由于望远镜的能力、观测者的目力、大气的宁静度、木卫在地平上的高度、木卫对于木星的视距离，以及木卫对着我们的半球的变化等因素所造成的差异。木卫亮度的比较与以上所说的前4种原因无关，它只和它的绝对亮度成正比；因此其亮度的变化可能是由于木卫表面的黑斑因木卫的自转运动依次转向地球，这就表明木卫有自转运动。赫歇耳 曾做过这种精细的研究工作，他发现木卫的亮度有交替消长变化，很容易鉴别它的亮度的极大值与极小值，将这些极大值与极小值和这些卫星的相互位置加以比较，使他认识木卫像月亮那样自转，其周期与它们围绕木星公转的周期相同，这结果已由马拉迪（J.P.Maraldi，1665—1729）根据木卫4凌木时对木卫4表面的一个斑点的回转现象的观测而得出来。由于木卫的距离遥远，减弱了表面出现的这种现象，以致亮度只有很小的变化，乍看之下难以觉察，只有这类观测的长期经验才能发现到这种现象。但是我们只能在既不会弄错这种变化的存在，而又不致为引起这些变化的原因所迷惑的极其审慎的情况下，使用这个想象力在其中占支配作用的方法。

第八章 土星与它的卫星和光环

土星由西向东运行，周期10759日，其会合周期为378日。土星在距黄道面很近的轨道上运动，其所受到的偏差与火、木两星的运动所受到的偏差相似。土星在冲日前与太阳相距109°时转为逆行，冲日后与太阳相距109°时由留而转为顺行；逆行时间约139日，逆行弧大约6°.3。冲日时土星的视直径达极大值，其平均值约16″.2。

土星在宇宙体系里表现出一个独特的现象。我们看见它两侧常有两个附着的小物体，其形状与大小有很大变化：有时它变为围绕土星的光环；有时完全消逝，那时土星和其他行星一样是圆形的。仔细观察这些奇异的形态并将土星相对于太阳与地球的位置联系起来，惠更斯（C.Huygens，1629—1695）发现这些现象是由环绕土星的一个大而薄的光环所形成，光环的各部分不附着于土星上，而在运动中保持平行。光环与黄道的交角为28°.67，常与地球呈倾斜方向，因而形成椭圆，其宽度最大时大约等于其长度的一半。随着土星与地球间的视线逐渐下降到光环面上，我们所看见的椭圆状光环逐渐缩小，直至这椭圆的后半段为土星所掩蔽，前半段则和土星相重合，但它投在土星圆面上的暗影，形成一条暗带，正如我们在大望远镜里所看见的那样。这说明土星及其光环都是受到太阳照射的不透明体。这以后我们只看见光环延伸在土星两侧的部分，这些部分逐渐减少其宽度；最后当地球位于光环平面时，光环消逝，因为光环很薄不能为人觉察。还有，当太阳来到光环面上时，只照着它的侧面，因此光环也消失了。光环面在太阳与地球之间时，光环继续隐匿；可是由于土星与太阳各自的运动，当太阳与地球同在光环面的一边时，光环又会再度出现。

土星在其公转的每半周内，其光环面与太阳的轨道相交，因而其消逝与再现的现象差不多每15年一循环，但其情况常有差异：在同一年内可能有两次消逝和两次再现，而绝不会更多。

在光环消逝期间，其侧面也将所接受的日光反射给我们，但其量极微，不能使我们觉察。可是如将望远镜的口径加大，这是可以看见的，赫歇耳便从他的大望远镜里证实了这个事实；当别的观测者看不见光环的时候，他却不断地看到它。

光环与黄道的交角，可由它表现给我们的椭圆张开到最大之时，而得到测量；由于光环的再现与隐匿，依赖于光环面与地球的相合，光环与黄道面的交点的位置容易由土星的位置而求得。给出交点对于恒星有相同的位置的这一类现象因此发生于光环面与地球相合之时；其他现象则发生于光环面与太阳相合之时；因此当光环出现或隐匿之时，我们可以据土星的位置而认识这现象是由于光环面与太阳或与地球相合而形成的。当光环面经过太阳之时，交点的位置给出从太阳的中心所见的土星的位置；于是我们可以决定土星—地球间的直线距离，正如我们由木卫被食的方法定出木星—地球间的距离一样。在连接太阳、土星与地球三个中心所形成的三角形里，我们可以求得地球与太阳处的两个角，由此容易将太阳、土星间的距离表为太阳轨道的半径的倍数。于是求得当土星的视直径为16″.2时，土星距离太阳比地球距离太阳要远9.5倍左右。

土星在平均距离处时，光环的视直径，根据阿拉果的精密测量，等于38″.43，其视宽度为5″.786。光环表面并不是连续的；中间有一个同心暗带隔开，将其分为内外两环，外环较内环窄。有些观测者看出有若干个暗带，似说明有许多圈光环 。赫歇耳由光环上一些亮点的观测，发现光环由西向东自转，周期为0.437日,其自转轴经过土星的中心而与光环面正交。

土星外围有7颗卫星，均在近似正圆的轨道上由西向东运行。前6颗卫星的轨道很接近于光环面，唯有土卫7的轨道更接近于黄道面。当这颗卫星在土星的东面时，它的光辉微弱到难以觉察，这现象只能产生于土卫7对着我们的半球上的黑斑。由于这现象总出现于这卫星对于我们具有相同的位置上，这说明这颗土卫，像月亮与木卫，绕轴自转的时间等于它绕土星公转的时间。由此可见卫星自转和公转两种周期的相等，像是卫星运动的一个普遍规律。

土星的直径并不是到处一样长；与光环面正交的直径最短，比这面上的直径至少要短1/11。如果我们将土星的扁率和木星的扁率比较，可以有很大的可能性认为土星绕其最短轴相当迅速，而且光环在其赤道面上运转。赫歇耳由直接观测证实这个结论，使我们知道土星亦如太阳系里其他行星，由西向东自转，其周期为0.428日，与木星的自转周期相差颇少。可以注意的是：对于这两个大行星自转周期都很相近，不及半日，至于它们轨道之内的行星，自转周期都很接近一日。

赫歇耳还在土星表面上观测到5个暗带，都差不多和它的赤道平行。

第九章 天王星和它的卫星

天王星由于其体积小，使古代的观测者不能察觉。17世纪末，弗兰斯蒂德（J.Flarnsteed，1646—1719），18世纪默耶尔（TobiasMayer，1723—1762）与蒙尼耶（P.LeMonnier，1715—1799）都把它当做恒星观测过了，直至1781年赫歇耳才证实它的运动，于是仔细地跟踪它，终于确定它是一颗行星。和火星、木星与土星一样，天王星也由西向东围绕地球运行。其恒星周期约30689日；其轨道很接近于黄道面，其运动在冲日前与太阳相距103°.5时开始逆行；冲日后与太阳接近，直到相距只有103°.5时，停止逆行。逆行期约为151日，逆行弧是3°.6。

如果按照运动的迟缓去判断天王星的距离，它应是在行星系的边界了。天王星的视直径很短，最长时还不到4″。据赫歇耳的观测，天王星有6颗卫星，轨道近似正圆，差不多与黄道面正交。这些卫星须在大望远镜里才看得见；只有天王卫2和4才为其他观测者所辨认。至于其他4颗卫星，赫歇耳公布的观测过少，还不能定出它们的轨道根数，因而它们是否真的存在，还不能确定 。

第十章 小行星 ：谷神星、智神星、婚神星与灶神星

这4颗行星很小，只能在大望远镜里才看得见。本世纪（19世纪）的第一个夜晚，皮亚齐（C.Piazzi，1746—1826）在意大利巴勒莫城发现了谷神星。1802年奥耳贝斯（H.W. M.Olbers，1758—1840）发现了智神星；1803年哈尔丁（K.L.Harding，1765—1834）又发现了婚神星；最后，在1807年奥耳贝斯更发现了灶神星。和其他行星一样，这些星均由西向东运动；也交替地循顺向与逆向运行。但是由于发现后经历的时间不久，它们的公转周期与运动规律还没有精确测定。我们只知道，它们之间的恒星周期相差很少，前3颗星的恒星周期约为 年，灶神星的恒星周期比其他3颗约短1年。智神星的轨道比其他老的行星距离黄道面都远得多，如要将这偏离包括在内，便应将黄道带显著地放宽。

第十一章 行星围绕太阳的运动

如果我们只是搜集事实，科学将会成为贫乏的词汇，而绝不会发现自然界的伟大定律。由于许多事实的比较，而追求其间的关系，更将现象的范围推广，最后才发现定律。而这些定律常常隐藏在它们对现象的千变万化的影响之中。于是自然的帷幕揭开，向人们指出产生许多观测到的现象的少数原因，当人们彻底了解因果间的连锁关系之时，便可展望将来，在时间进程里应该发展的一系列事实，便会自然地出现在人们的眼前。人们的思想经过长期而有结果的努力之后，才能在宇宙体系的理论里达到这一高度。人们为了说明行星的表面现象最初所想到的假说，不过是这理论的不完全的草图；但这些表面现象一经得到精密的解说以后，便可由理论提供计算的方法，然后再遵循观测的指示，将理论加以不断的修改，而终于窥见宇宙的真实体系。

行星运动里最显著的现象是它们从顺行到逆行的变化，这变化显然只可能是由两种相辅相成的运动产生的结果。古代天文学家为解释这个现象所提出的很自然的假说是3颗外行星在本轮上顺行，而本轮的中心又循相同的方向（在均轮上）绕地球运行。由此可见，如果我们设想行星在其本轮的最低处或最接近地球处时，行星的运动和本轮的运动相反，而本轮则永远平行于其自身而移动；因此设想行星的运动胜过本轮的运动，则行星的视运动是逆行的，且达到最大速度。反之，行星在其本轮的最高处时，这两种运动相合，视运动是顺行的而且最快。由第一位置到第二位置，行星继续表现逆行运动，速度不断变小，以至于零，然后变为顺行。但是据观测，逆行运动最速时常出现于行星冲日之时；因此每个行星在本轮上运行的周期须等于它的公转周期，而且行星在最低点处的位置与太阳的位置是相反的。因此我们明白行星的视直径为什么在冲时为极大。至于两颗内行星距离太阳常在一定的角度范围之内，我们也可以解释其运动有交替的顺行与逆行，只须假设它们循顺向在本轮上运动，同时本轮的中心也循顺向绕地球每年运行一周，而且更假设内行星过本轮的最低点时它与太阳处于合的位置。这便是最早的天文学假说，经过托勒密（C.Ptolémée，约90—168）的采用与改进以后，便以他的姓氏得名为 托勒密体系 。

这假说里关于均轮和本轮的绝对大小并无丝毫说明；由表面现象只能定出它们轨道的半径的比值。托勒密也不寻求行星与地球之间的距离；他只假设外行星由于其公转周期较长，因而较远；他将金星的本轮放在太阳的下面，水星的本轮又放在金星下面。在这如此不确定的假说里，我们一点也不明白为什么外行星愈远其逆行弧愈短，而且为什么外行星本轮的动半径常与太阳的向径平行，而且也和两个内行星均轮的动半径半行。这种平行性，经开普勒（J.Kepler，1571—1630）引进托勒密的假说，是为行星在平行和垂直于黄道上的运动的一切观测所表明的。但是如果承认这些本轮和均轮都等于太阳的轨道，则这些现象的原因便很明显。这便可以肯定先前的假说经过这样修改后，便变成将所有的行星当做围绕太阳运行，而太阳围绕地球公转（不管它是真运动或是视运动），但太阳却在行星轨道的中心。行星系的这种简单排列便没有什么不确定之处，而且证明行星的顺行与逆行运动和太阳运动的关系。这一改进从托勒密的假说里取消了均轮与行星每年运行一周的本轮，而这些是托勒密特别引进去解释行星运动在与黄道正交方向上的分量。于是托勒密定出的两颗内行星的本轮的半径与其中心所走的均轮的半径之间的比值，便代表了行星、太阳间的平均距离，而以太阳、地球间的距离的分数表示出，同样的比例的倒数也代表外行星和太阳或和地球间的平均距离。这假说的简单性已足够使我们接受，再加上从望远镜里的观测得到的证明，更使我们对这假说没有什么可怀疑的了。

以前讲过由木卫食可以决定木星、太阳之间的距离，结果是木星围绕太阳的轨道是近圆形的。我们还讲过由土星光环的出现与消逝，可以定出土星、地球间的距离约为地球、太阳间的距离的9.5倍，而根据托勒密测定，这比值很接近土星的轨道半径与其本轮半径之比，因此可以肯定土星的本轮等于太阳的轨道，可见土星是环绕太阳在近似正圆的轨道上运行的。从两颗内行星所观测到的位相，显然证明它们是环绕太阳运行的；由此产生金星的运动情况与其视半径和位相的变化。早晨，金星开始从太阳光辉里出现时，我们看见它先太阳而升起，呈蛾眉月的形态，视直径极大；因此那时金星比太阳更接近地球，即差不多在与太阳相合（下合）的位置，金星逐渐离开太阳时，它的蛾眉形状增大，它的视直径变小。到了距离太阳约45°以后，它愈接近太阳，而愈将其照明的半球呈现在我们眼里；它们的视直径继续变短，直到早晨它沉没于太阳光辉里之时。这时金星是满相的，呈满月形，它的视直径极小，因此它在这位置上距离地球比太阳远（上合）。经过一段消逝不见的时间以后，金星再现于黄昏时，再按与以前相反的次序，而重演其消逝前所表现的现象。金星被照明的半球逐渐背向地球，其位相变小，在其随着它远离太阳的同时，视直径日益增大。到了距离太阳45°以后，金星再转向太阳，它的位相继续变小，视直径继续变长，直到再度沉没于太阳光里。有时，在黄昏消逝与黎明再现的一段时间之中，我们看见金星成为一颗黑点，在太阳的圆面上经过（金星凌日）。由这些观察现象，可见太阳差不多在金星轨道的中心，太阳带着金星同时围绕地球运行。水星表示给我们的现象与金星的现象相似，太阳也在其轨道的中心。

因此我们根据行星的运动与位相等表观现象而导致如下的普遍结论： 一切行星环绕太阳运行 ， 同时在太阳围绕地球做真运动或视运动的公转里 ， 太阳都在行星轨道的焦点上 。引人注意的是这结果由托勒密的假说推出，只须假设这假说里的均轮和每年运行一周的本轮均等于太阳的轨道，于是这假说便不是纯粹出于理想，即只凭想象去表示天体的运动。经过修改以后的假说，行星便不是环绕想象的中心运行，而是将它们的轨道的焦点放在伟大的天体上，而这天体（太阳）由于它的作用，将行星维系在它们的轨道上；于是我们窥破它们所以在正圆轨道上运行的原因。

第十二章 彗星

有时我们看见有些天体，起初光辉暗淡难以辨认，其后亮度与速度逐渐增大，终于减小以致消逝不能看见。这种天体叫做 彗星 ，它们周围总附有一团云雾气，在增大时还拖有一条相当长的彗尾，这些云雾气的彗头与彗尾应当异常稀薄，因为其背后的星光还可穿过，而无显著的减弱。这种拖有长而发光的尾巴的彗星之出现，长期以来就使人类惊吓，因为原因不明的异常事件总会引起人们的恐怖。彗星、日月食与其他许多现象在漫长的愚昧时代里所引起的虚惊，已为科学的光辉所驱散。

彗星和其他天体一样，参加天球的周日运动，由于其视差的渺小，我们知道它们绝不是大气里造成的流星一类的现象。它们的自身运动很复杂，可能在各个方向出现，它们既不像行星那样由西向东运行，而且其轨道面与黄道面的交角也较大。

第十三章 恒星和它们的运动

恒星的视差很小，难以测量；即使在大望远镜里，它们的圆面也成了光点。所以，这些星和行星是不相同的，因为行星在望远镜里看，其视直径增大。由于月掩星时，恒星在短暂时间内消逝在月轮后面，这现象说明恒星的视直径之渺小；这一段短暂时间还不到一秒，说明其视直径比1.6弧秒还短 。由于亮的恒星光耀夺目，与其视直径的渺小比较，使我们相信它们比行星距离要远得多；它们并不像行星反射日光，而是自己发光；由于最微弱的星与最亮的星都在同一种运动支配之下，在它们之间维持不变的相对位置，所以恒星很可能具有相同的物理性质，它们都是或大或小的发光体，位置在太阳系之外或远或近之处。

在一些恒星的亮度上，我们观测到表现周期性的变化，叫做 变星 。有时一颗星忽然大放光明，经过一段时间又隐匿不见。例如1572年在仙后座内出现的一颗有名的星 。这颗星的亮度在短时期内超过一切亮星，甚至超过木星，然后亮度逐渐微弱，16个月后终于消逝不见，但在天上的位置却没有改变。这颗星的颜色表现出相当大的变化：起初是耀眼的白色，继后橙黄，终于成了灰色。这些现象的原因究竟在哪里？这是由于恒星表面上有大黑斑，因其自转按周期出现在我们眼前（如最后一颗木卫 那样），或许是由于围绕它运行的暗星遮掩了它的光线，才造成这种周期性变化。至于那些忽然明亮跟着消逝不见的星，可能由于特殊的原因，引起它表面发生大火，这种猜测由它的颜色变化得到证实，因为这种变化类似我们在地上看到的物体着火焚烧而后熄灭的情况。

围绕天穹形似一条无规则腰带的白色微光，我们把它叫做 银河 。在望远镜里，银河分解为无数微弱的星，在我们眼里它们像很接近，以致看去它们好像连接一片的光辉。在天空不同的部分，我们还看见一些微弱的白光，我们把它们叫做 星云 ，其中一些的性质像与银河相同。在望远镜里它们也表现为许多恒星的集团；还有一些星云表现为连续一片的白光；星云很可能是很稀薄的发光物质，以各种式样的集团分布在宇宙空间内，由其继续不断的凝结而形成恒星和各种类型的天体。我们在一些星云里，特别是在猎户座内那一团美丽的星云里，所看见的显著的变化，可用这个假说很好地说明，因此它给予这个假说以很大可能性。

天文学家利用恒星相对位置的不变性，将它们看做是一些定点，而作为其他天体的自身运动的定标点；因此为了辨识它们，需要将它们分组，于是我们将恒星分为许多 星座 。此外，还须将恒星在天球上的位置加以精密的决定，现在将决定恒星位置的几个方法叙述如下：

假想通过天球上的两极与一颗恒星的中心做一大圆（这叫做 赤经圈 或时圈），它与大赤道正交。在这大圆上赤道到恒星中心之间的一段弧便是这颗星的 赤纬 ，随星所较接近的极是北极或南极，赤纬便分别为北纬或南纬。

在同一赤纬圈上的星具有相同的赤纬，为了决定恒星的位置还需另外一个参数。于是我们选择在赤道上夹在通过星的赤经圈与通过春分点的赤经圈之间的弧。这段弧，按太阳运动的方向即由西至东的方向从春分点起计算，叫做这颗星的赤经。于是，星的位置由其赤经与赤纬而决定。

一颗星在子午圈上的高度，和北极的高度比较，给出它与赤道之间的距离，或它的赤纬 。古代天文学家们对于赤经的测定感到困难，因为他们不能将恒星直接和太阳比较。由于月亮在白昼可以和太阳比较，在夜晚可以和恒星比较，因此为了测量太阳与恒星之间的赤经差，他们使用月亮为中间体，自然应当将观测时间内月亮和太阳的自身运动考虑进去。由于根据太阳的理论，可以算出它的赤经，他们依此推算几颗主要恒星的赤经，而作为测定其他恒星的赤经的根据。喜帕恰斯便根据这个方法，编制了我们知道的第一个星表 。多年以后天文学家们不用月亮而用金星作为测量恒星赤经的中间体，因为金星有时白昼可以看见，而且它的运动在短时间内比月亮的运动缓慢而少变化，因而改进了这个方法，使其得到较高的精度。现时出于使用摆钟，提供很精确的时间，我们可以由一颗星和太阳两者中天所经历的时间，直接测定它们的赤经差，这样求得的结果比古代天文学家们所测定的精确得多。

根据相似的方法，我们可以决定天体对于黄道的位置，这种坐标主要用于月亮和行星的理论。假设通过一颗星的中心引一大圆与黄道面正交，这一大圆叫做黄经圈，在这圈上黄道到这颗星之间的一段弧，量度它的 黄纬 ，按这颗星和北黄极或南黄极同在黄道的一边，而分别称为北黄纬与南黄纬。通过这颗星的黄经圈与通过春分点的黄经圈在黄道上所夹的一段弧，从春分点起由西向东计算叫做这颗星的 黄经 ，因此星的位置便由它的黄经与黄纬而决定。容易了解，如果已知黄赤交角，一颗星的黄经与黄纬可由观测而得的赤经与赤纬推算出来。

只须经过几年便可发现恒星的赤经与赤纬是有变化的。而且很快便会看出星只对于赤道的位置发生改变，但其黄纬不变，于是得出这样一个结论，即星的赤经与赤纬的变化，只是由于星绕黄极的公共运动所引起。我们还可将这些变化看做是恒星不动，只是由于赤道的极绕黄道的极运动而引起的。这运动里黄赤交角不变，黄赤交线（或二分点）以每年50″.10的速度均匀后退。以前讲过，二分点的逆行使回归年比恒星年稍短；故恒星年与回归年之差以及恒星的赤经和赤纬上的变化都与这运动有关，由于这运动，赤极在天球上与黄道平行的小圆上，每年所走过的弧为50″.10。这现象的名称叫做 分点岁差 。

由于近代天文学使用望远镜与摆钟而增加其观测的精度，在黄赤交角与分点岁差上发现有微小的周期性的变化。布拉德累 发现这两个现象并仔细地研究了几年，便得出如下所述的规律。

设想赤极在与天球相切的一个小椭圆上运动，其中心可以看做是赤道的平（均）极（点），在其所在的黄纬圈上，每年均匀运动50″.10。这椭圆的长轴常在一个黄经圈的平面上，对应于这大圆上19″.30的弧长，其短轴在黄纬圈上对应于36″.06的弧。赤道的真极在这椭圆上的位置，可作如下决定：假想椭圆所在平面上有一小圆与椭圆有公共的中心，其直径等于椭圆的长轴。而且设想这小圆的一个向径有一种均匀的逆行运动，其方式是：每当白道（月亮的轨道）的平均升交点与春分点重合时，这个向径便和最邻近黄道的那个半长轴相重合；最后从这动向径的末端作一垂线与椭圆的长轴正交。这垂线与椭圆相交之点便是赤道真极的位置。极点的这种运动叫做 章动 。

按照以上所说到几种运动，恒星维持彼此之间的相对位置，但是发现章动的大天文学家从一切恒星上还发现有一种普遍的、周期性的运动，稍微改变它们的相对位置。为了表示这一运动，应该设想每颗恒星在平行于黄道的小圆周上每年运行一周，其中心是星的平均位置，其直径从地球看去所张的角为40″.5；恒星在这圆周上的运动正如太阳在它轨道上的运动，不过太阳常在它前面90°而已。这个圆投影在天球上像是一个椭圆，其扁平的程度随星离黄道的高度而不同，因为椭圆的短轴与长轴之比，正如这高度的正弦与1之比。由此产生的恒星的周期性运动叫做 光行差 。

除了这些普遍性的运动之外，有些星还有其很缓慢的特殊运动，须经过相当长的时间才显出。至今，这种运动在天狼和九角两颗亮星特别显著，大家相信在未来的世纪里，从别的恒星上也会发现这种运动 。

第十四章 地球的形状，地球表面重力的变化，权度和尺度的十进制

我们再从天空返回地球，并看一下我们怎样从观测知道地球的大小与形状。如前所述，地球近似于球形；重力到处指向地心，将物体保持在地面上，纵然在两个对径相反的地方，或彼此看去是相对的两面，它们的上下位置恰好相反的情况下也是这样。天空与星辰像是常在地球上面；原来高与低或上与下只是相对于重力的方向而言。

人类一经认识他所居住的大地是球形的之后，便想测量它的大小；很可能在有历史以前便有人对这个问题做过初步尝试，远古时代留下的几种尺度彼此之间的关系或它们与地球的周长的关系，使我们猜度在很早的时代里人们不但准确知道地球的周长，而且把它用作量度系统的基础，这在埃及和亚洲找得出遗迹。不管事情的真相怎样，我们知道对地球的第一次精密测量是皮卡尔 于17世纪在法国进行的，以后还经过几次复测。测量的方法是容易了解的。人向北行看见北极星愈升愈高；北方恒星的高度升高，南方恒星的高度降低，有些甚至隐匿在地平线下。大地弯曲的基本概念无疑是产生于对这些现象的观测，由这些观测便会引起原始社会的人们从亮星的升落与太阳的出没比较，而认识出季节和它们的循环。由于恒星的中天高度在地上两处所看出的差异，使我们知道这两处的铅垂线在相交处所形成的角；因为这个角显然等于一颗恒星在这两处的中天高度之差减去从这颗恒星的中心看这两处所张之角，而这个角是很小的。其次只须测量这两处之间的距离。但要在地面上测量很长的一段距离是艰苦的，简易方法是先测量12000米或15000米长一段“基线”，而用三角网将这长距离的两端和基线的两端联系起来；由于这些三角形的角须量得相当精确，因此这段基线的长度须测量得特别精确。我们便用这个方法测量了通过法国的地球子午圈上的一段弧。这段弧的幅角等于直角的1/100，且其中点处对应的北极高度为45°，这段弧接近于10万米。

一切内凹体，以正球为最简单，因为它只随一个因素，即其半径的长度而变化。人们思想的自然趋势总是假设我们所看见的物体的形状是容易想象的，因此人们曾将地形看作正球，可是自然的简单性不是常如人们的臆想。其实，自然的原因虽然简单，但其效果却很复杂，由少数的普适定律产生极其复杂而众多的现象，这就是自然的经济性。地形是球便是普适定律的一个结果，但千百种情况的改变，使其对于正球的形状有可察觉的偏差。在法国的弧度测量中所观测到的微小变化，表现出这些偏差；但观测上不可避免的误差，使我们对这个有趣的现象发生怀疑。法国科学院对这个重要问题感到很大的兴趣，认为地面长短相同的弧其度数应有差异；如果这见解是正确的，便会主要表现在从赤道到两极的弧度测量的比较上。于是该院派遣几位院士到赤道去，他们求得那里经度圈上每度弧长比法国的短些，而派遣到北方去的院士们求得的结果比法国的长些。由此可见，经度圈上从赤道至两极同度数的一段弧长度的增加，由测量上予以无可辩驳地证实，于是肯定地球的形状绝不是正球。

法国院士的这一次有名的旅行导致各国测量家注意这个问题，于是在意大利、德国、非洲、印度以及美国宾夕法尼亚州等处都从事经度圈上的弧度测量。这些测量一致表明从赤道到两极同度数的弧变长。

下表载测量得到的经度圈上的两极端以及北极与赤道中间每度的弧长。第一行是布盖和拉·孔达米恩 在秘鲁所测得的结果。第二行是重新大规模测量从敦刻尔克 到佩皮尼昂 穿越法国的经度圈的弧长所得的结果，而且这次测量向南延伸到地中海里的福尔门特拉岛，更向北延长，通过英法两国海岸的三角网而与格林尼治的经度圈联系。这一段很长的弧，相当于由北极至赤道的距离的1/7，经过极其精密的测量。天文与大地测量的观测都用当时精密的经纬仪做成的。使用极可靠的新方法测量出一条在默伦 附近与另一条在佩皮尼昂附近各长12000多米的两条基线，这工作的精度之高，可以从一个事实说明：即由默伦的基线，经过一系列的三角网而测量到佩皮尼昂的基线，所算出的结果与实际测量的长度相差不过1/3米，虽然这两根基线之间的距离超过90万米。

为了使这个重要工作达到完美的境界，我们在这弧段上各点观测北极的高度与同一长度的摆在一日内的振荡次数，我们便可求得弧度和重力的变化。可见我们所进行的这一类精密而广泛的测量工作可以视为论证本世纪科学技术光辉成就的纪念碑。最后，表中第三行是斯旺堡（Swanberg）先生最近在拉坡尼 测量的结果。

当极点的高度增加时，经度圈上的弧度增加之数在我们刚才所说的大圆弧上的各部分是相同的。我们现将以上所说的两极端的测量与这段弧中间的一点——巴黎国葬院——的测量数字表示于下：

从格林尼治与巴黎国葬院之间的距离得出每度的长度为111261.3米，其中点处的北极高度为50°.16233；再由巴黎国葬院到福尔门特拉岛测得每度之长为111078.1米，其中点处的北极高度为43°.65724；因此这两个中点间每度的增长率为28.163米。

因为正圆以外椭圆是最简单的凹形曲线，我们可以将地球看做是椭圆绕其短轴旋转而成的椭球体，这椭球在两极方向的扁度，是从赤道到两极的经度圈上所观测到的弧度增长的必然结果。因为重力的方向在各弧度处的半径方向上，据流体平衡律，这些半径都与占地表大部分面积的海平面正交。与正球的情况不同，这些半径并不会聚于中心，它们的方向既然不同，而长短又不等于从椭球中心引到地面的半径，而且除了赤道和两极之外，这些半径皆与椭球面斜交。在同一经度圈上相邻的两个铅垂线为交点是连接这两点的小圆弧的中心；假使这段弧是直线，则两铅垂线将是平行的，或者说它们在无穷远处相交；但是随着弧的弯曲曲率增大时，两垂线相交之点距离地面愈近；因此，由于短轴的末端是椭圆与直线最相近的一点，故极点处弧度的半径，还有弧度本身的度数，都最长。在椭圆长轴的末端，情形恰好相反，即在赤道上，曲率最大，在经度圈上的弧度最短。因此，由赤道到两极弧度增加；如果椭圆的扁度小，这增率差不多和极点在地平上的高度的正弦的平方成正比。

一个椭球体的 扁度 或椭率，是赤道轴超过两极轴之长而以赤道轴之长除之。在经度圈的方向上测量两段弧，便可决定地球的扁度。如果我们比较在法国与在秘鲁和印度所测量的弧，由于这些测量范围的广阔，相隔距离的遥远，以及观测者的技术等等，使我们能够相信其结果的正确性。他们求得的地球椭球体的扁度的数值为1/310，半长轴为6376606米，半短轴为6356215米 。

假使地形是椭球的，将地上经度圈弧度的测量所得两两加以比较，应得出差不多相同的扁度，但由这比较得出的结果是有一点差异的，而这差异却难以仅仅归诸于观测上的误差。由此可见地球不恰是一个椭球。假设将地球看做是任何一种形状，那么地面的子午线将会具有怎样的性质呢?

天穹上的子午面，根据天文观测，是通过极轴与观测者的天顶而决定的，因为这平面将星辰在地平上所走的赤纬圈分为两段等长的弧。天顶在这子午圈上的地上各点形成对应的地面子午线（经度圈）。由于恒星的距离无限的遥远，从这些地方所立的垂线可以看做是与天空的子午面平行的，因此我们可以将地面子午线规定为平行于天空子午面的所有垂线足点连接所形成的曲线。当地是一个旋转体，这曲线全部在这平面上；否则这曲线便会离开这平面，一般的情况，这曲线将成为几何学上所说的 双曲率的曲线 。

地面子午线不是确切地按照天空子午线的方向而作的三角测量所决定的曲线。被测量的曲线的首段与地球表面相切且平行于天空子午面。如果将这段线延长与无限接近的垂线相交，然后将它弯曲至这垂线的足点以形成曲线的第二段，并按照这方法施行下去。这样绘出的曲线，是我们在地球表面上就这曲线上任何两点之间所能作的最短线，除非地球是旋转体，这条线不在天空子午面内，也不与地上子午面重合；但是这条线的长度与地面子午线相对应之弧的长度，两者之差是短到可以忽略而不致引起显著误差的。

重要的是在地面向各个方向测量，而且在尽量多的地点作这种测量。想象地面上的每一点有一密切椭球（ellipsoïdeosculateur），椭球在密切点附近的小区域内基本上是和地面重合的。据子午线的方向与子午线的垂直线的方向所测的地面弧，使我们知道这椭球的性质与位置，它可能不是旋转体，在远距离处可能有感觉得到的变化。

不管地面子午线的性质如何，只就从极点到赤道同弧长的度数减少，地形便是向两极成扁平状，换言之即极轴比赤道轴短。为了说明这一事实，假想地是旋转体，并画出北极处的曲率半径以及极点到赤道的一系列曲率半径，据假设在不断地缩短。由此可见这些半径的连续的交点形成一条曲线，起初它与极轴相切，在北极与赤道之间这曲线是将凸面向着极轴的，达到赤道面上时，子午线的曲率半径的方向与极轴正交，那时这半径便在赤道面上了。如果我们想象极点的曲率半径是可以屈曲的，而接续包络（enveloppe）刚才所说的曲线的弧，则这曲率半径的末端便形成地面子午线，而包络线在这子午线与曲线之间相截的部分便是子午线上相应的曲率半径，几何学家将这曲线叫子午线的渐屈线或法包线（développe或évolute） 。现在设想赤道直径与极轴的交点是地心，则由地心所作的子午线的渐屈线的两条切线（第一条在极轴上，第二条在赤道径上）之和大于这两切线间的渐屈线之弧；可是从地心到北极所引的半径等于北极处的曲率半径减去第一条切线之长；赤道的半径等于子午线在赤道上的曲率半径加第二条切线之长；因此赤道半径超过极半径之长等于这两条切线之长减去极点处的曲率半径超过子午线在赤道上的曲率半径之长；最后这个超余数即是渐屈线本身的长，这段弧当然比两极端的切线之和短，因而赤道半径与从地心引到北极的半径之差是正数，因此两极间的轴长比赤道直径短，换言之即地球在两极方向是扁平的。

设想把子午线的每个部分视为密切圆周的很小一段弧的伸展（développement），便容易看出从地心引到弧的与极点最接近之端点的半径比从地心引到这段弧的他一端的半径稍短，因此如果像观测所表现的，子午线上同弧长的度数从赤道到北极增长的话，那么地球的半径从两极到赤道加长。

子午线在北极与赤道两处的曲率半径之差，等于对应的地球半径之差加上渐屈线的两倍长超过这两极端的切线之和的差数，这差数显然是正数；可见从赤道到两极同弧长的度数增加，其增长比例比地球半径变短的比例大些。如果南、北两半球不相等、不相似，那么，这一证明显然仍旧有效，即这个证明亦可推广到地球不是旋转体的情形。

在巴黎天文台天球子午线基础上，在法国的主要地方，建立起一些曲线，其描绘法与子午线方法只有一点差异，它们的第一段弧虽然与地面相切，但不是与巴黎天文台的天球子午面平行，而是和它正交。这些地方的位置为这些曲线的长度与巴黎天文台到这些曲线和这条子午线相交之点的距离决定。地理学上最有用的这一工作是为其他国家仿效的一个典范，不久便可推广到整个欧洲。

我们不能用大地测量的方法，决定远隔海洋地点的相对位置，于是应该求助于天文观测。这些位置的认识是天文学为我们提供的一个大的胜利。为了达到这个目的，我们按照编制星表时使用的方法，假想地面上有和天上所想象的圆圈相对应的圆圈。例如天球的赤道轴穿过地球与地面相交于对应的两点，于是在这对应二地点的天顶上各有一个天球的极点，我们可以把它看做是地球的极点。天赤道面与地球表面相交的圆周，可以看做是地赤道；天上的子午面与地球表面的交线是和连接两极点的曲线相同的，它就是地面子午线，如果地球是一个旋转体，在地理学上我们可以作这样的假设，而不致引起显著的误差。最后在地面上平行于赤道所绘的小圆叫做地面纬度圈，任何一处的纬度圈是与过天顶的赤纬圈相对应的。

地球上一点的位置，是这点到赤道之间的距离〔或赤道与纬度圈在地面子午线（经度圈）上所夹的弧〕以及这一点的子午线与本初子午线之间的角度所决定，本初子午线是任意选定的，其他子午线都从它算起。一个地点到赤道的距离依赖于其天顶与天赤道之间的角度，这个角显然等于极点在地平上的高度，这高度叫做 地理纬度 。一个地点的子午线与本初子午线之间的角度叫做 经度 ，即这两个子午线在赤道上所夹的弧。按地点在本初子午线之东或西区别为东经或西经。

观测极点的高度可以求得纬度，至于经度，则在需要测定相对位置的两个地点的子午线上，同时观测同一天象来确定。假设开始计算经度的子午线在要测定经度的子午线之东，那么太阳先到这个地方的天空子午线；例如这两处地面子午线之间的角是1/4圆周，则这两处的正午时刻之差将是1/4日。假设在这两子午线观测到对于地上一切地方同时（物理时）出现的天象，例如月食或木卫的食既与生光，这些观测者对于这些现象所记录的时刻的差异，对于整个一天而言，正如这两个子午线之间的角度与整个圆周之比。由于对日食和月掩星等现象的起迄，可以得到比较精确的观测，因此这一类观测为决定经度提供比较精确的方法。事实上，这些现象对于地上一切地方并不发生于相同的物理时；但是由于我们对于月球运行的根数已经了解得相当清楚，我们可以将时间上的这点差异精确地考虑进去。

为了决定地面一处的经度，天象的观测不一定需要在本初子午线处进行；只需在一个对本初子午线的位置已知的地点作这种观测便足够了。按照这个方法将许多子午线相互联系起来，便可测得地球上相隔很远之地点的相对位置。

根据天文观测，已经决定很多地方的经度与纬度；古代国家的位置与疆域上存在的大误差，已经加以改正；由于商业的利益和科学的发现，曾对有些新地方的位置进行过测定。虽然现今的航海增加了相当多的地理知识，但还有些地方须待发现 。非洲内陆和新荷兰 内部还有不少没有完全开发的地方；这些地方的地理位置还不确定，常因揣度而出现矛盾，须待天文学家们去加以测定。

只用经度与纬度还不能确定地上一处的位置，这两个水平向的坐标之外，还须加上第三个，即垂直向的坐标，这表明一个地点在海平面上的高度或海拔。在这一点上气压计起了它的作用；使用这仪器作过许多精密的观测，它在测量地球表面的高度上所作出的贡献，正如天文学在其他两个坐标上所作出的贡献一样。

在海上航行时，人们只有星辰和罗盘作为他们的指导，他们要知道的是船只在海上的位置以及要驶往的港埠和海程中礁石的位置。容易决定的是由恒星高度的观测而算出的地理纬度；八分仪与经纬仪的发明对于这一类观测提供没有料到的精确度。可是由于天穹的周日运动，每天赤纬圈上各点所出现的天象大致相同，航海者很难决定船位。测量船只航行的速度和方向，以补充天文观测，并与观测到的纬度比较，亦可估计船位对于起航的港埠的相对经度。可是这方法很不精确，引出的误差可能造成不幸的灾祸，由于夜风吹刮使船只接近海岸或礁石而航海者据估算还认为离得远哩！为了避免这一类危险，技术和天文学的进步使我们得到在海上测定经度的较好方法；由于商业国家大力奖励科学家与技术家研究这个问题，由于航海钟的发明与很精确的月亮运行表的编制，他们的愿望终于实现。这两个方法各有优点，而且由于互相补充而更加有用 。

将一个已知位置（经度）的港埠校准的计时钟载在船上，它将继续守着那个港的时刻。如果将这时刻和在海上观测到的地方时刻比较，则其时刻差异与一整天之比，如前所说，将是两处的经度差与圆周之比。但要制造一具这样准确的计时钟是困难的；因为船只的动荡，气温的变化，精密机械间不可避免并且很显著的摩擦，都会损害它的准确度。幸而我们已经能够大致克服这些困难，因而制成的计时钟可以经历几个月而仍保持大致均匀的行走，于是为海上测定经度提供了一个很简易的方法；由于这个方法随计时钟在校准之后经历的时间愈短而愈精确，因而这些钟对于决定距离很近的地点的相对位置（经度）特别有用；这是比天文观测有利之点，因为天文观测的精度并不因观测者距离接近而增加。

木卫食是经常发生的现象，如果航海者能够在海上观测到这些现象，便为他们提供一个求出其所在地的经度的简易方法；但由于船只的动荡使这一方法的实施至今遇到难以克服的困难。可是航海术与地理学从木卫食（特别是木卫1，观测者能够精密地决定其食既与生光的时刻）得到很大的好处。航海者在停泊时，一向使用这个方法而得到成功；事实上他所需要知道的是（由理论计算得出的）木卫食在某已知子午线出现的时刻，再与他观测到这个现象的地方时刻做比较，则这两个时刻的差异便是两地之间的经度的差异。木卫1的运行表，现在已经编算得相当完善，它所给出的木卫食对于巴黎子午线的时刻，其精度和观测的精度是可以比拟的。

观测木卫食的极端困难，使我们求助于其他天象，其中快速运行天象只有月亮可以用作测定地面经度的对象。从地心看月亮的位置容易由它和太阳与恒星之间的角距离的测量而求得；月行表记载本初子午线上看见月亮的位置与时刻，把这时刻同航海者在船上观测到的月亮在同一位置的（地方）时刻相比，他便由这两个时刻之差而算出其所在处的经度。

为了估计这方法的精度，我们应考虑由于观测的误差，观测者所决定的月亮的位置不是精确地反映他的记时器上所表的时刻，而且由于月行表的误差，这一位置又不与表中所载的本初子午线的时刻相合；因此这两种时刻之差严格地说并不是观测的与由月行表所算出的两种时刻之差。假设这两种时刻之差具有的误差为一时分，在这时间内赤道上的星经过子午线15′；这是对应于船只在经度测定上的误差，在地球赤道上，这误差相当于27800米；在赤纬圈相应的误差值较小，而且由于月亮对于太阳与恒星的角距离的多次观测可使这误差减小，即连续几日的反复观测使观测的与月行表的误差得到相互补偿与抵消。

由此可见，对于运动愈速的天体由运行表和观测两方面而造成的经度测定的误差愈小；因此对于这个问题而言，我们宁肯对月亮到近地点时作观测。如果我们观测比月行缓13倍的太阳运动，则经度测定的误差也可能大13倍；因此对于一切天体，月亮是唯一运动迅速，可用于海上测定经度的对象；所以改进月行表是极其有用之事。

我们希望欧洲各国不要将其主要的天文台的子午线作为本初子午线，应由协商采用一个公用的子午线作为地理经度的起算点，这个子午线应当是在随时容易找着的地点。这一种协定在各国地理上所导致的一致性，和它们所用的历法、算术和许多有相互关系的事物一样，将使所有国家形成一个大家庭。托勒密 采取通过加那利群岛 的子午线作为本初子午线，因为该处是那时已知疆域的最西界限。但自美洲发现后，采取这地方作为本初子午线的理由已不存在。但这些岛屿之一，特纳里岛 上的山峰，以其孤立在海上的突出高度，成为地球上最显著之点。我们可以同意荷兰人的意见将其选择为测定全球经度的本初子午线，曾经过许多天文观测去决定它对于欧洲主要天文台的位置。不管我们是否同意选择一个公用子午线，但是在未来的世纪里，考察出某几个以其高度和稳固著称的山峰，例如阿尔卑斯山的雄伟高峻的勃朗峰（Mont Blanc，海拔4810米）的非常精确的位置，那将是有用的 。

天文学家们在旅途中观测时，发现一个极其显著的现象：即地面上重力的变化。这便是一切物体向地面运动的奇特的力与质量成正比，在等时间内赋予它们相等的速度。用天平不能辨识重力的这种变化，因为这变化对于所称之物与和它比较的砝码是相等的；但是将这物的重量与一种恒常不变的力，例如同温下的空气弹力相比，便能查出这种变化。例如将气压表搬运到许多地方去做观测，所谓气压表是充满一定容积的空气张力将其管内的水银柱举起；很明显，水银柱的重量应该与空气的弹力平衡，如果气温不变，这水银柱的高度将是重力的倒数，因此这高度可以显示出重力的变化。观测摆的振荡周期，也可对于重力随地变化，提供一个精确测量的方法。原来在重力较小的地方，摆动应该比较缓慢。摆应用于计时的钟是推动近代天文学与地理学进步的一个重要因素，摆钟是由一根定长的绳或棒（摆杆），一端悬重物（摆锤），另一端是围绕一固定点上转动的机轴（摆轴）旋转的结构，使摆杆稍微离开垂直向的位置，它便在重力的作用下，做小振幅的摆动，不管摆幅的大小，这些摆动的周期差不多是等时的。摆的周期随摆锤的大小与形状以及摆杆的质量与长度而变化；但数学家已经发现一个普适规律，即通过对任何形状的一个复摆的振荡周期的观测，去决定已知振荡周期的另一个摆的长度，假设其摆杆的质量与摆锤（可作质点看）的质量相比，小至可以忽略不计。这种理想的摆叫做 单摆 ，地上各处一切复摆的实验，皆可归算为单摆 。

1672年法国科学院派遣里舍 到南美圭亚那做天文观测，他发现在巴黎校准的摆钟到了圭亚那每天缓慢一定长的时间。这一有趣的观测是重力在赤道变小的第一个直接的证据。这观测在许多地方仔细地重复了很多次，同时将空气的阻力和气温的变化考虑进去。由每秒一周的摆钟的观测所得的结果表明由赤道到两极摆杆的长度应该增加。

如取巴黎天文台的秒摆长度作为单位，每日摆动10万周 ，据观测求得秒摆的长度在赤道海平面处为0.99669米，然而在拉坡尼，纬度66°.80处，这摆长是1.00137米。波尔达 做了很多次很精密的实验，求得巴黎天文台的秒摆长度，归算到真空情况下，为0.99395米。

自赤道至两极，秒摆长度的增加率即使在通过法国的经度圈上各处亦相当明显，这可由下表所载比奥、阿拉果与马提欧 诸位先生的多次精密实验的结果而看出来的：

根据在敦刻尔克和波尔多所观测到的长度，由内插法求得法国大西洋沿岸纬度45°的海平面上秒摆长度为0.99350米。秒摆长度与经度圈弧长如今后发生变化，就可借这个秒摆长度和经度圈弧长回溯我们时代的测量。

秒摆长度的增加比较经度圈上每度弧长的增加更有规律，前者对于纬度的正弦的平方之比偏离较少，这也许是摆长的测量比弧度的测量容易而且产生的误差小，也许是扰乱地球的规则性的因素，在重力上产生的效果要小一些。将直到现时在全球各地所做的观测加以比较，求得：若取赤道上秒摆长度为单位，则这摆长由赤道至两极的增率等于54/10000与纬度的正弦的平方的乘积。

使用钟摆还可查出高山顶上重力的微小变化。布盖在秘鲁对这个课题做了许多实验。若取赤道上海平面处的重力为1，他求得在基多海拔2857米处重力为0.999249，在匹兴沙 海拔4744米处重力为0.998816。地面上山的高度与地球的半径相比很小，因而重力随海拔的高度而变小一事，使我们想到距离地心很远处重力必会有相当大的降低。

由于钟摆振荡的观测提供一个不变的、而且随时可以觅得的长度，使我们想到利用它去作量度的标准。现今使用的度量制度，不仅在各民族，即在一个国家内，既众多而又分歧，分划之奇特，计算之不便，使我们认识和比较这些度量系统时，感到有不少困难，还不要说由于商业上的伪造所引起的纷乱，因此我们认为政府为社会可能做的一桩有益的措施，是采用一种合理的度量系统，其划分法是均一的，计算是简易的，其基本标准是从自然物导出的，而避免人为的结构。提供这种量度系统的国家不但自己首先取得成效，而且其他国家亦将起而效法，这便为人类做了一桩好事；原来理智的势力虽缓慢，而却不可抗拒，终必胜过民族的妒忌，而克服大家感觉到的不合公众利益的障碍。法国制宪会议有鉴于此，乃嘱托法国科学院特设委员会研究新的度量衡制度，而且得到议会中有远见的代表的热烈支持。

十进制计算与整数计算的相等性，给予十等分的量度划分以无可置疑的优越性；试将复杂的分数乘除计算与用整数作相同的计算，对两者难易程度加以比较，便可了解十进制的优越性，若用对数表计算，这种优越性更加显著，而且使用简单价廉的器械，更可使其成为极其适用的制度。事实上我们的算术尺度，不能用3与4除尽，而这两个简单数又是极常见的除数。再加上两个新数字（即采用十二进位制），便可得到这种优点；可是这一相当大的改变，将和隶属于它的量度系统一起必然遭到摒弃。原来十二进位制有其不便之处，人们对于11个数字两两相乘的进位，感到超出了日常生活的经验，但对于十进位制便没有这种困难。于是我们便失掉了产生我们的算术的优点，即利用我们10个指头计数的优点。因此我们不迟疑地采用十进位制，而使整个量度系统取得均一性，更根据同一长度标准及其十等分法去解决其他的派生量度。于是问题便归结为一种标准长度的选择，这一长度标准叫做“米突”（metro）。

秒摆长度与经度圈的弧长便是大自然为我们提供的两种决定标准长度的来源。这两种长度是彼此独立的，而且除非地球的物理结构发生很大的改变，它们不会有显著变化。秒摆长度法使用较易，但其不便之点，在于使距离的测量依赖于两个和它不同类的因素，即重力与时间，而且这两个因素的划分都可以任意选定的，我们也不能用六十进位制去作十进位制的量度系统的基础。因此我们只能使用第二个方法，这方法自古以来即为人所使用，人们将其旅程的距离和其所居的地球的大小联系起来，即将其所走的距离估计为地球的周长的一个分数，原是很自然的事。我们认为这方法还有一个优点，即可将海上的量度与天上的量度联系起来。海员们常测量其出发和到达的港埠之间的距离与这两处的天顶之间的一段弧度；因此有趣的是将一种量度表为他种量度，只是两者的单位有差异而已。距离量度的基本单位应是地面经度圈的长度的一个分数，即圆周的一个部分，于是米突的选择转变为角的单位的选择了。

直角是直线对于平面的倾角的极限值，或物体在地平面上的高度；并且正弦和三角学上应用的其他三角函数都在圆周的第一象限内决定，现已经编算成为数字表；因此很自然地取直角为角的单位，并取1/4圆周之长为其量度的单位。我们将其分成十等分，并且为了得到在地球上对应的量度，我们将地面经圈的一个象限也加以同样的划分；古人早已这样做了，其起源虽不可考，但亚里士多德书中讲到地球的测量曾言其前人将1/4经度圈分为10万个斯达德 ，这单位长度的确切值已不能考订。因此有两个问题须待解决。对于一给定纬度所测量的经度圈上的弧长与整个经度圈之比是怎样?一切经度圈是否相似？在地的形状星旋转椭球的假设下，一切经度圈并无显著差异，据十进制计角法，纬度45°是经度圈上一个象限的中点；这些假设的误差只影响地面距离，但不重要。于是我们可以采用1740年为法国科学院所测量的从敦刻尔克到比利牛斯山通过法国境内的那段大圆弧，去决定经度圈上一个象限的长度。使用更完善的方法，重新测量了一段更长的弧，这将使新的量度系统具有推广的价值；因此决定测量从敦刻尔克到巴塞罗那 之间的经度圈弧长。这段长弧向南延长至福尔门特拉岛，向北延长至格林尼治的纬圈上，其中点很接近于北极与赤道之间的中央纬圈（即45°），实测求得这经度圈上的一个象限等于5，130，740度瓦斯 。我们将这段弧长的1/1000万取为长度单位，即米（或公尺）。对于一般人的使用，米以上的十进长度太长，以下的十退长度太短，因此1米合0.513074度瓦斯，代替旧日常用的长度单位度瓦斯和奥恩 是很适宜的。

一切量度都以最简单的方式从米派生出来：长度的量度用米的十进十退制。

容量的单位是米的1/10为一边的立方体，叫做 公升 。

量度田地的单位是每边10米的正方，叫做 公亩 。

量度木材体积的单位是立方米，叫做 公方 。

重量的单位叫做克，是真空里极大密度下一立方米蒸馏水的重量的1/1000000。由于一种奇特性质，水的极大密度不在其冰点而在+4℃之时。在这温度下水重新开始膨胀，从液态进入固态的过程里体积增大。我们所以采用水，因其是最均匀、而最容易提纯的物质。费勿尔-吉诺先生（Le Fèvre-Gineau）对已精密测定其体积的铜制中空柱体的比重做了一系列精细的实验来决定克这个单位，他求得等于保存在巴黎造币厂的50马尔 的柱体重量的1/25的里弗尔 （Livre），与1克之比为489.5058∶1。1000克叫做 公斤 ，因此1公斤等于2.04288里弗尔。

为了保存长度和重量的标准，在法国科学院权度委员会的监督与测试下，制造有米尺与公斤的标准原器，安放在国家档案局与巴黎天文台 。米尺原器之长只是在某一气温下的长度，这温度是冰融化时的温度，因其是最固定而又不受大气之影响的。公斤原器只能在真空里或不受大气的影响下表现它的重量。为了在任何时候都可找到米尺的长度而不须重测其来源的经度圈的弧长，便须测定米尺与秒摆长度之比 ，波尔达对这比例作过很精密的测定。

由于这些权度的单位须不断地与货币加以比较，最重要的是将货币以十进制计。（法国）货币的单位是银 法郎 ，其1/10叫做德西，1/100叫做生丁；铜币和金币的价值折合为银法郎计算。

为了便于计算货币里所含的纯金和银的量，规定这合金的含量为其总重量的1/10，而取1银法郎的重量为5克。由于法郎是重量单位（克）的整倍，可用作砝码，便于商业的使用 。

最后，由于维持这种权度制的整个系统的均一性，我们须将1天划分为10时，1时100分，1分100秒。时间的这种划分法，天文学家们可能需要，对于民用则不太便利，因为一般人很少使用时间作为乘数或除数。由于在钟表上使用的困难以及法国和其他国家在钟表业务上的关系，时间的这种十进划分法悬搁未用，可是我们相信，1天分为10时的方法将来终必代替现今的24时划分法，因为后者与其他权度的划分法差异太大，而必将遭到摒弃。

这便是（法国）科学家提供给国民议会的权度新系统，立即得到批准。这个系统的基础建立在地球经度圈上的测量，是适用于世界各国的。除了使用的经度圈是通过法国境内之外，这系统完全与法国无关。但选择这段弧是有益的，即使全球科学家共同来作决定，也不会选择另外一个经度圈。为了扩大这个权度系统的优越性，使它具有世界性，法国政府曾邀请其他国家参加这件对大家有利的创举。有些国家派遣出色的科学家到巴黎参加法国科学院权度会议，讨论做过的观测与实验，而决定重量和长度的基本单位，因此这系统的制定应该看做来这里协作的各国科学家及其所代表的人民群众的集体工作。我们希望有一天，这个把一切测量与计算归结为十进位算术的最简便的运算与算法的度量衡制度，将同样会在它依附的其他计算系统里普遍采用 ，无疑它将克服反对引进新制度的偏见与习惯所造成的障碍；可是这系统一经各国共同采用之后，将由权力和理智的力量保证在人类社会里永久使用。

第十五章 潮汐的涨落或海面形状的周日变化

虽然地球和它表面上的流体，长时间来是由作用在它上面的力量取得平衡，可是海面的形态随时为有规则的、周期性的振荡所改变，这些振荡叫做潮汐的涨落。当风和日暖之时，看到大规模的海水汹涌澎湃，猛烈地冲击海岸，酿成滔天的波涛，真是一件惊人的奇事。这景象引起我们思索、寻找它的成因，为了不致迷失在错误的假设里，首先应当认识这现象的规律，而且追索其细节。由于有千百种因素时时使现象发生变化，因此应该同时考虑很多个观测，俾使由偶然性的因素所造成的效果得到相互抵消，以便用平均值的方法才有可能看出规律性的效应。还须将观测的结果作有利的组合，才可能把若干因素合成的现象分开。不仅如此，在观测里还常含有误差，这就必须知道在给定的极限内误差发生的概率。我们知道对于相同的概率，观测的次数愈多，误差的范围愈小，因此任何时候观测者须增多事实和实验。但由一般的概念不能决定结果的精确度，也不能知道要得到一定的概率，必须要多少观测次数。有时，我们研究产生现象的偶然因素，也只有使用概率的计算使我们能够估计这些偶然因素。这便是概率论在物理科学与社会科学里最重要的应用。

上世纪（18世纪）开始时，法国科学院提议在法国的海港对潮汐作大规模的观测；例如在布勒斯特 港每日观测潮汐持续6年之久。该港的情况是很有利于作这类观测的。它由一条宽而长的水道与大海联通，而港口便建筑在这水道的末端。海水运动的无规成分只有极微弱的一点儿达到该港，这好像船只运动给予气压计里水银柱的振荡，因水银管的狭窄而变得微弱情况相似。而且由于布勒斯特港的潮汐很高，其中偶然变化的成分很小。假使像我所做过的那样，特别研究高潮与其前后邻近的低潮之间的水位差，则造成海水运动的无规部分的主要因素——风——在水位差上产生的影响便很小，因为风对于涨潮与其前后的低潮所起的作用差不多是相同的。由此即使观测的次数增加得不多，也能在结果里看出重大的规律性。由于我对这些规律性所表现的惊讶，曾请求政府命令布勒斯特港工作人员对该处潮汐继续观测需经历一个白道的交点周 的时间。这建议被欣然接受，这项观测从1806年开始，每日进行没有间断。我用刚才所说的方法讨论这些观测，便得出如下一些无可怀疑的结论。

在月亮继续两次上中天的时间内，海水涨落两次。月亮连续两次上中天之间的时间，平均值为1.035050太阳日 ，因此，连续两次高潮之间的平均时间为0.517525日；可见在有些太阳日里我们只看见一次潮汐。低潮发生的时刻差不多将两次高潮之间的时间平分。和一切有一个极大值或极小值的变量一样，潮汐向这两个极限值的增或减是与从高潮或低潮起算的时间的平方成正比的。

高潮的高度不总是一样的，每日都有改变，其改变之量显然与月相有关 ，其最高水位的高潮（大潮）出现在朔、望，即新月与满月之时；然后水位减低，最低水位的高潮（小潮）在上（下）弦，即半个月亮时出现。布勒斯特港的大潮并不发生于朔、望，而在以后的一天半，换言之即朔、望日的高潮后第三个高潮才是大潮。同样，上（下）弦的高潮后第三个高潮才是小潮。法国的海港差不多都观测到这个现象，虽然各个海港的潮来时刻是很不同的。

高潮来时如果涨得愈高，则其后的低潮落得愈低。连续两次高潮的半和高出中间低潮的水位叫做总潮或潮幅。布勒斯特港的潮幅的平均值对于二分日的大潮约为5.50米；上（下）弦日的潮幅只有这数字的一半。

如果仔细研究这些结果，便可发现高潮的数目等于月亮上、下中天的数目，可见月亮对于潮汐现象起主要作用。但是由于上（下）弦日的潮汐（小潮）比朔、望日的潮汐（大潮）低，可见太阳对于潮汐也起部分作用，而修改了月亮的影响。于是自然地便会想到太阳和月亮的作用在海水上各自造成一种潮系，其周期分别为这两个天体的中天周期，因而我们所观测的潮汐是这两个潮系的综合现象，在朔、望日太阴高潮与太阳高潮相合而成大潮，在上、下弦日太阴高潮与太阳低潮相消而成小潮。

太阳和月亮的赤纬对于潮汐也有显著的影响；这两个天体的赤纬在二分日减少朔、望的潮幅，而在二至日增加上、下弦的潮幅，前者的损量与后者的增量相等。因此二分日大潮最高那个流行的看法，由大量观测的精确研究而得到了证实。可是有些科学家，特别是拉朗德 ，对于这看法表示怀疑，因为有时二至日的高潮也达到相当大的高度。为了解决有关潮汐理论的这个重要问题，我们须应用概率的计算。应用概率计算于潮汐的观测，我们发现二分日朔、望的潮汐大大超过二至日上、下弦的潮汐的情形，有特别大的概率，换言之即大多数事实使我们不能有丝毫的怀疑。

月亮与地球间的距离对于潮幅的大小也有显著的影响。在其他条件相同的情况下，潮幅的大小随月亮的视直径或视差而增或减，但其比值较大。太阳与地球间距离的变化同样影响潮汐的高度但远不如月亮那样显著。

主要是从潮幅的极大与极小值去认识潮汐变化的规律。刚才谈到布勒斯特港极大的潮幅发生于朔望后一天半，其附近潮幅的减小，与从那时以后所经历的时间的平方成正比，直到计算潮幅的那个低潮为止。

在上（下）弦后一天半的小潮发生之后，潮幅的增长量与从那时起算的时间的平方成正比；这增长量差不多是大潮后潮幅减少量的两倍。

太阳与月亮的赤纬对于潮汐的这些变化有很显著的影响：二至日的大潮减少量只约为二分日的大潮减少量的3/5；上（下）弦的小潮增加量在二分日比二至日约高2倍。可是月—地间距离比日、月的赤纬对于潮汐的影响更大；朔、望大潮的增加量在月亮过近地点时比过远地点时约高3倍。

我们还可在早潮和晚汐之间看出少许差异，这与太阳和月亮的赤纬有关，但当这两个天体均在赤道上时这些差异便消失了。为了认识这一事实应比较朔（望）或上（下）弦后一、二日的潮高；在和大潮或小潮很近的潮汐，日与日间的变化很少，因此容易辨认同一天的两个潮汐的高度差。我们在布勒斯特港寻找到夏至附近朔（望）后一、二日的早潮比晚汐约低1/6米，而在冬至附近朔（望）后一、二日的早潮比晚汐约高1/6米。同样，在秋分的上（下）弦后一、二日的早潮比晚汐约高1/8米，而在春分的上（下）弦后一、二日也约低1/8米。

这些便是潮汐的高度在我们的海港里出现的一般情况；关于潮汐的时间间隔，还有其他现象，将叙述如下：

当朔（望）大潮出现于布勒斯特港时，早潮发生于子夜之后0.1780日，晚汐发生于真正午后0.1780日。这时间即使在彼此很近的海港里也有很大的差异，叫做 海港潮候 或 月潮间隔 ，因为这个数字决定于月相有关的潮汐涨落时刻。例如在布勒斯特上（下）弦时发生的高潮便在子夜或真正午后0.358日。

朔（望）附近的潮汐，根据其发生在新月或满月之前或以后，而每差一小时提前或落后3分53秒；上（下）弦附近的潮汐根据其发生在弦月之前或以后，而每差一小时提前或落后7分14秒。

大潮或小潮的时刻随日—地间与月—地间的距离而变化，主要影响是月—地间的距离。朔（望）日，月亮的视半径增或减1角分 时，高潮提前或落后5分6秒。这现象也发生于上（下）弦，不过高潮提前或落后的时间要小3倍。

同样，太阳与月亮的赤纬也影响大潮和小潮的时刻。二至日大潮约提前2分9.6秒，二分日大潮落后2分9.6秒。反之，二分日小潮提早11分31秒，而二至日小潮落后11分31秒。

我们说过，潮汐逐日推迟的时刻，就其平均值而言约0.03505日，譬如某次潮来在真子夜后0.1日，其次日的早潮便在真子夜后0.13505日。但这推迟的时刻随月相而变化。对于朔（望）大潮当潮幅达到极大值时，这潮汐推迟的时刻最短，只差0.02723日。上（下）弦发生小潮时推迟时刻最大达0.05207日。可见大潮与小潮发生的时间之差，由上面数字计算为0.20642日，对于以后的潮汐，这差数更按这两个位相而作同样方式的增长，最后对于大潮与小潮，这差数可以达到大约1/4日。

日—地间与月—地间距离（主要是月—地距）影响潮汐时刻的逐日推迟。月亮的视半径每增或减0′.54，在朔（望）附近，大潮推迟的时刻可增或减3分43秒。这现象也发生于上（下）弦，但增或减的时间却小3倍。

潮汐逐日推迟还随这两个天体的赤纬而变化；在二至日的朔（望），逐日推迟的时刻比平均值约长1分26.4秒，在二分日的朔（望）约短1分26.4秒。反之，二分口附近的上（下）弦，逐日推迟的时间比平均值大约长5分45.6秒，但在二至日的上（下）弦，约短5分45.6秒。

以上所说的结果是根据1807年至今每天在布勒斯特港所作的观测而得到的。有趣的是我根据这个海港从上世纪开始所作的观测，得到相似的结论，这两组结果差不多符合，它们之间的微小差异是在观测误差的范围之内。由此可见，一个世纪以后在这一点上，自然现象是没有什么改变的。

总之，潮汐的高度与时刻的差数有各种周期：有的半日周，有的是一日周；还有半月周与一月周；半年周与一年周等；最后还有与白道的交点周和近点周相同的周期，因为月亮的赤纬与月—地间的距离，通过白道的位置，而影响潮汐的高度与时刻。

潮汐现象发生了一切海港与海岸；可是局部的情况，虽然不会改变潮汐的规律，但对于各个海港的潮汐高度与海港的潮候，却有相当大的影响。

第十六章 地球的大气与天文折射

地球周围有一圈稀薄、透明的弹性流体，升到相当高处。和一切物体一样，它是有重量的，它的重量与气压计里水银的重量取得平衡。在纬圈45°上，冰融点的温度下，海平面上气压计的平均高度可假定为0.76米，空气的重量与等体积的水银的重量之比为1∶10477.9；因此升高10.4779米时，气压计的高度大约降低0.001米，假设大气的密度到处一样，则其高度当为7963米。但是空气是可以压缩的，假使温度不变，则按照气体与水汽的一般定律，其密度与其重量成正比，因而与气压计的高度成正比。大气下层为上层所压缩，因而较密，于是离地面愈高愈稀薄。如果高度按算术级数增加时，在温度不变的假设下，大气的密度便按几何级数变小。为说明起见，设想一条竖直的管道通过两层无限接近的大气。管道里，最高层部分受到的压力比最低层部分小，压力相差的量等于这两层间小空气柱的重量。在温度不变的假设下，两气层压力量之差与其密度之差成正比；而密度之差显然与小柱体内气体的重量成正比，即与其密度和柱体的高度的乘积成正比，至少是在重力不随高度而变化的假设之下。既然假设这两气层无限接近，则柱内空气的密度可以假设等于其下层的空气密度；后面这一层的密度的微分变化（梯度），因此与这密度和竖直高度的变化之乘积成正比；于是如果使高度作等量的变化，则密度的微分（梯度）与密度本身之比将是一个不变量，这便是递降的几何级数的特征，这级数中各项都是无限的接近。由此可见当气层的高度按算术级数增长时，其密度按几何级数变小，因此密度的对数（自然对数或常用对数）则按算术级数降低。

我们便可根据这些有用的数据，去用气压计测量高度。由于假设大气的温度到处相同，根据上述定理，将两站观测到的气压计的高度的对数之差，乘一个不变的系数，便得两站的高度之差。只需一次观测便可决定这个系数。譬如在零度（0℃）的气温下，在低的一站气压计的高度为0.76000米，在高的一站为0.75999米，则这一站比前一站高0.104779米，因此待定的系数便是0.76000与0.75999的常用对数之差除这个数，而得这一系数值为18336米。但由气压计所测得的高度的规则需经过以下的几种修订。

首先大气的温度不是到处一样的；它随高度而降低。这降低的规律也随时而不同；但利用多次观测的平均值，我们可以认为高度增加3000米时，温度降低16℃或17℃。可是，空气和其他物体一样，热则膨胀，冷则收缩，由精密的实验求得：若以0℃时的体积为单位，则和其他气体与水汽一样，气温变化1℃时，体积变化其0℃时的0.00375倍；因此在计算高度时应将这变化计算进去。显然在气压计上欲得相同的降低度，则所经过的气层较稀薄便应按此而增加其高度。但是由于不能得到大气温度的变化的确切知识，最简单的办法便是取两个观测站的温度的平均值为其均匀的温度。因这两站间的空气柱的体积按这一平均温度而增长，则由温度计上观测到的降低度而算出的高度，应按相同的比例增加，换言之，系数18336米应加上0.00375乘这平均温度的度数。由于在气压和气温相同的大气里，水汽比空气稀薄，因而水汽使大气的密度降低，在其他情况相同之下，温度增高时水汽的含量加多，因而须将表示空气对于温度计上每增1℃的膨胀系数0.00375增加一点。我发现将这系数取0.004，便很适合于全部观测；在没有由湿度计的长期观测得到适当的改正值之前，我们可用这个数字，因此用气压计测量高度时还应同时作湿度计的观测。

迄至现今，我们假定重力是常数，可是上面讲过，高度增加时，重力略为减小，这便使高度因气压计的降低而增加得稍多一点；因此为了考虑到重力因高度增加而降低，便应将这常数的因子稍微增大一点。雷蒙（Ramond）先生将在几座山的山脚和山顶所作的气压计的许多观测加以比较（这些山顶的高度是经过三角测量法加以精密测定的），求得这因子为18398米。但考虑了重力因高度增加而降低以后，同样的比较使这个数字减至18336米。根据这一因子算出在纬度45°上、温度0℃与气压计高0.76米的情况下，水银与同体积空气的重力之比为10477.9。比奥与阿拉果两位先生仔细衡量已知体积的水银与空气之比，求得这个比值，归算到同样的纬度上为10466.6。但是他们所用的空气很干燥，不像大气里的空气总含有或多或少的水汽，它的量可用湿度计来测定；水汽比空气轻，它们的重量比大约是10∶17；因此对于水银与空气的重力之比，直接的实验比由气压计的观测而得到的数值稍小一些。这些实验将因子18336米缩小为18316.6米。为了使这个因子增大到18393米，即不考虑重力变化时，由气压计观测得到的结果，则应假定大气里的平均湿度之值失之过大；可见重力的变小，即使在气压计的观测上也是感觉得到的。因子18393米很近似地改正了重力的这一降低的效应；但还有另外一种由于纬度不同而来的重力变化，也应影响这个因子。若将某一给定纬度，例如由45°纬度上测量而决定的这一因子作为标准，则在重力较小的赤道上，这因子便应加大。可见，还应将这因子提高一些才能从一个给定的大气压过渡到另一个小一定分量的气压，因为在这间距里空气的重力变小的原故；系数18393米，应像秒摆长度那样变化，即按重力增或减而缩短或加长。由以上所讲过的秒摆长度的变化，容易断定应在这系数上加26.164米和纬度的二倍的余弦之乘积。

最后，还应在气压计的高度上加入由两站的气压计里水银的温差而来的一个微小的改正值。为了寻求这个改正值，我们应该装置一个小温度计于盛气压计的架上，使得这两仪器里的水银差不多常在相同的温度里。在较冷的一站，水银较密，因而气压计的水银柱稍低一点。为了恢复其和较暖的一站的气温相同时应有的高度，便应加其1/5550乘两站的温度差的度数。

总之，我认为使气压计测量高度既最精确又最简单的规则是这样的：首先，如前所说的方法改正较冷一站的气压计高度，然后在18398米那个因子上加上26.164米和纬度的2倍的余弦之乘积。再将这个改正了的因子乘以气压计的已作改正的最大与最小的高度之比的常用对数。最后，更将这乘积乘以表示两站的气温之和的2倍，而将1000除这乘积之后再加到前面去；这样算出的总和便很接近高的一站对于低的一站的相对高度，尤其还应仔细选择气压计观测的最佳时刻，我认为最好应在中午。

空气是看不见的小气团，但为大气层所反射的光线，在人的眼睛里造成一种可以感觉到的印象。空气使光线带上蓝色，使远处的物体都带有这种色彩，因而形成蔚蓝的天空；因此我们只能在或远或近的距离，才能看见自己沉浸在其里面的雾气。星辰像是附在蔚蓝的天穹上面，其实这天穹不过是地球的大气，距离我们很近，而天体和我们之间的距离却是异常之遥远。太阳东升前和西落后出现的黎明和黄昏（曙光和暮色），这是由于当太阳在地平下18°时，高层的大气分子给我们反射来的阳光造成的，由此表明大气顶端高出地面至少达6万米。

假使人目能够分辨而且将大气外层之点放在其真实的地位上，便会看见天穹是球形的顶冠，即由地球的切平面在天穹上切割的部分所形成的；由于大气的高度比地球的半径小得很多，我们看见的天穹显得特别低。虽然我们不能分辨大气的极限，可是大气反射给我们的光线，从天界而来的比从天顶而来的遥远，因此我们感觉天界比天顶更远。在这个原因上更加以天界上物体的衬托使我们感觉到这部分天穹的视距离特别远；因此我们看见的天穹低得像一个球的顶冠。高出地面23°.4的星辰好像将天界至天顶的曲线（即竖直面割天穹面的切口）平分为二；假设这曲线是一段圆弧，则人目所见的天穹的地平半径与竖直半径之比大约是 ∶1（或13∶4），但这比值随造成这幻象的原因而有变化。太阳与月亮的视大小与我们看见它们所张之角及其所在天穹上之点的视距离成正比；因此它们在地平比在天顶显得大些，虽然它们在地平上所张的角实际要小一些。

光线在大气里的途径不是直线的，而是不断向地面弯曲。观测者看见物体在其光线所经行的曲线的切线方向上，因而他所看见的物体的方向总比其真正的方向高，星出现在地平线上时，其实它还在地平线之下。由于大气使太阳的光线受到弯曲，因而我们享受阳光的时间较长，即白昼变长，增加了曙光与暮色两段时间。因此天文学家探寻光线在大气里的折射量，以便求算出天体的实在方位。但在叙述这一研究的结果以前，我将简略地说明一下光线的主要特性。

从一种透明介质到另一种透明介质时，光线接近或离开两介质的分界面的垂线，使这两个方向（即进入新介质以前和以后的方向）与垂线的两个角的正弦之比为常数，不管这两个角的大小如何。光线经过这样的折射以后，表现下述一个显著的现象，使我们明白光的性质。进入一间黑暗屋子的一线阳光，经过一个透明的棱镜以后，形成一条有颜色的光带；这线光是由一束无限多的各色光所合成的，由于它们的折射率不同才为棱镜所分开。这条光带里屈折最多的是紫色光，其次是靛、蓝、绿、黄、橙与红光。虽然这里只说了7种颜色的光，其实有无限多种颜色，它们的色调与屈折度和上述7种极其接近，使人不能觉察。这些光线经透镜汇聚后复成为白色的太阳光，可见太阳光是许多单色光按一定比例混合而成的。

当一束单色光从其他颜色光分离出来以后，不管它经受怎样的反射和折射，并不改变它的折射率和颜色，因此它的颜色不是由于它所经过的介质而生的一种光的改变，而是属于其固有的性质。可是颜色的类似并不证明光线的类似。将由棱镜分解的日光里几种单色光混合，可以组成类似阳光里的一种单色光；譬如将红光和黄光相混而造成表面上类似单色的橙光。但是这混合光经过一个新棱镜的折射后，将它分解成为其组成的部分（即红光与黄光），但真正的单色橙光则保持不变。

光线射在反射镜上时，便发生反射，其与镜面的垂线所形成的入射角与反射角是相等的。

太阳光在雨滴上受到折射与反射，产生虹的现象，按照以上的定律加以严格的计算，正确地解释了这奇景的细节，是物理学的一个卓越的成就。

大部分物体将其所接受的光线分解，吸收其一部分，而向四面八方反射其他部分；因而据其所反射之光的颜色，表现为红、蓝、绿等颜色，可见太阳光在自然界里传播，因物体对它的分解与反射，在人目里表现出无限多种颜色。

简略地描述了光的性质以后，再回头来讨论天文折射。空气对于光的折射至少差不多是与气温无关而与其密度成正比例。由真空到空气里，在冰点的气温与气压计高度为0.76米的压力下，一线光受到的屈折，使其折射角的正弦与入射角的正弦之比为1∶1.0002943321。因此为了决定一线光通过大气的路径，只须知其各层密度的定律；但是，这个定律与各气层的热量有关，因而很复杂，并随时在变化。如果假设大气的温度到处都为0℃，以前讲过各气层的密度按几何级数降低；由分析数学求得，气压计的高度为0.76米时，地平处的折射为2395″。设若各气层的密度按算术级数减少，并在最外层的表面为零，则地平折射只有1824″。我们观测到的地平折射约为2106″，是以上两个极限值的平均数。由此可见，大气各层密度随高度减少的定律差不多介于这两种级数之间。如果采取介于这两种级数之间的假设，便可同时表达大气各层里气压计与温度计的观测值和天文折射，而不须像某些物理学家那样，假设大气里的空气混有一种具有折光性能的特殊流体。

当天体的视高度超过10°，其折射便只与观测地点的气压与气温状况有关，而且大约与星之视天顶距的正切（在气温0℃，气压计高度为0.76米的情况下）减去 与这高度对应的折射率的乘积成正比。以上所说的有关光线由真空到空气的折射数据，在气温与气压0.76米时，乘以这正切后便可给出天文折射系数60″.67，许多天文观测的结果比较，使人注目的是导出相同的数值，因而应当看做是很准确的；可是这数值是随空气的密度而变化的。温度计每增1℃，这流体的体积增长其0℃时的体积（取为单位）的0.00375倍；因此须将60″.67这个系数以1加0.00375与温度计上的度数的乘积除之。而且，在其他条件相同的情况下，空气的密度与气压计的高度成正比；因此应以这高度（将水银柱归算到0℃后）与0.76米之比乘这系数。利用这些数据便可编制一个由视高度为10°以至天顶几乎一切天文观测常用的天区的很精确的天文折射表，这个表与大气层里密度降低的一切假设无关，可以用于高山顶上，亦可用于海平面上。但重力随高度与纬度而变化，可见在相同的气温下，气压计的高度相同，并不表示空气的密度相等，在重力较小的地方，这密度应该小些。所以对于纬度圈45°所决定的系数60″.67应按地面上各处重力而变化；即应减去0″.17与纬度的2倍的余弦的乘积。

以上所说的天文折射表是根据大气的结构随时随地都是相同的假设下而编制的；这也经过实验的证明。现在我们知道空气不是一种元素，其中79％是氮气，21％是氧气，氧是使物体燃烧、动物呼吸所必需的元素，而呼吸不过是缓慢的燃烧，是动物热量的主要来源；大气里的空气还含有万分之三或四的碳酸气（二氧化碳）。人们曾将在各个季节、各种气候、高山上与更大的高度上所收集的空气加以精密的分析，求得氮与氧之比总是一样。一个盛有最轻的弹性流体（氢气）的丝囊与其下面所悬的物体，上升到囊和物的重量与稀薄大气层的浮力平衡为止。法国科学家使用这个方法做了这种难得的实验，使人类扩大了领域与能力；他们飞上大气，穿越云霄，到了前人不能达到的大气高层去考察自然现象。科学研究上最有用的一次飞升，当是盖-吕萨克 先生所做过的，他上升到海拔7016米，迄今还是最高的纪录，他在这高空处测量磁力的强度与磁针的倾角，发现它们的数值与地面相同。他从巴黎出发时是早上10时，气压计的高度为0.7652米，温度为30°.7C，而毛发湿度计为60°。5小时后升到最高处，相同仪器上的记录分别为0.3288米，—9°.5C与33°。他将这一高层的空气储入一个气球之后，做了仔细的分析，所得的结果和地面最低层的情况并没有什么差异。

那时以后仅半个世纪，天文学家才将气压计与温度计中的高度引进天文折射表去；目前人们对于观测与天文仪器所追求的高精度便使他们需要了解空气的湿度对于其折射力所产生的影响，因而需要记录湿度计上的读数。为了补充关于这个问题上的直接实验之不足，我提出这个假说：水和水汽对于光线的作用与其密度成正比；这是和物体结构的改变像是一样真实的假说，比液体转化为蒸汽更深刻得多的假说，它一点也不显著地改变它们对光的作用和它们的密度之间的关系。在这假设下，水汽的折射能力，可由光线由空气到水的折射（这是可以确切测定的）而断定其存在。由此求得这一折射能力超过和水汽一样密的空气的折射能力；但在相等的压力下，空气的密度差不多按相同的比例超过水汽的密度，由此可知由散布在大气里的水汽所产生的折射能力，差不多和它所占据地方的空气有相同的折射能力，因而空气的湿度对于光的折射没有显著的影响。比奥先生由直接实验证明了这个结论，并且他指出温度影响折射只是由于它使空气的密度发生改变产生的。最后，阿拉果先生使用一种精密而巧妙的方法，同样证明空气里的湿度对于折射的影响是不能觉察的。

上述的理论，假设大气是完全澄静的，因此空气的密度在相同的海拔高度上到处一样。但风和温度的差异改变了这个假设，因而可能影响折射到可以觉察的程度。不管天文仪器怎样完善，但这些扰乱的因素所造成的效应（如果显著的话），总是精密测量的障碍，因此应将观测的次数增多，以消除这种扰乱的效应。幸运的是我们已经知道这效应只能增加一个很小的角秒数 。

大气使星光变弱，特别是地平上星光穿过更厚的气层时。由布盖的实验得知当气压计的高度为0.76米，如果取星光进入大气时的强度为单位，则星在天顶，当其达到地面观测者时，强度减少为0.8123。假设气温是0℃，而且大气的密度是均匀的，则由此算出的大气高度为7945米。自然，我们认为大气消光到处都合于这个假设，因为光线在大气里到处都碰到一样多的分子；所以具有上述密度的厚度为7945米的空气层将星光消减为其原有强度的0.8123倍。根据这些数据容易算出密度均匀的任何厚度的空气层的消光强度；假设星光穿过一定厚度的大气后，其强度减弱到原来的1/4，则再经过同样厚度的气层，便会将这1/4减少到原来之值的1/16；由此可见当大气厚度按算术级数增加时，星光强度则按几何级数减少；因而它的对数按厚度相同的比例变化。于是当星光穿过任何一个厚度的气层时，欲得其强度的常用对数，应以0.8123的常用对数即—0.0902835乘这厚度与7945米之比，如果空气的密度比以上所假定的较大或较小，应使这比例里的对数增或减。

为了测定星光对于其视高度的变弱，假想星光从管道通过，而且使管道内空气的密度等于上述的密度。这样做成的空气柱的高度便决定我们考虑的星光的减弱度；假设从视高度10°到天顶的一段天区内，星光的路径大约是直线的，而且将这范围内的大气层看做是平行的平面，于是在星光的方向上每层大气的厚度与竖直方向上的厚度之比等于星到天顶的视距离的正割与1之比。因此将这正割乘以—0.0902835与气压计高度和0.76米之比，然后再以1加0.00375乘温度计上的度数之积除之，便得出星光强度的对数。这个很简单的规则给出星在山顶与海平面上的消光度，这对改正木卫食的观测或日光在透镜焦点上的强度，都相当有用。可是我们应注意到散布在空气里的水汽大大影响了消光；高山上天穹的澄清、空气的稀薄，使那里的星光特别明亮，假使我们将望远镜装置在南美安第斯山脉的哥迪里尔山峰上（海拔6813米），无疑会发现一些天象，它们在我们这里的气候条件，由于大气层较厚与较浊，是看不见的。

因此，接近地平的星光的强度与其所受的大气折射和高层大气的密度有关。假使气温到处相同，星光强度的对数将与天文折射被其视高度的余弦除得的量成正比，则地平上星光的强度将减弱到其原来的强度的1/4000，所以在中午时人目不能忍受的日光，在地平上时可以无困难地去窥视了。

利用这些数据，我们可以决定地上的大气对于日、月食的影响。日光穿过大气受到屈折，大气使日光折射到地球的阴影锥里去；且由于地平折射大于日、月两视差之和的一半，假使月轮的中心在阴影锥的轴上，它便从地球的两边接收到从日面同一点来的光；如果大气不削弱由它送来的大部分日光，那么这个月轮的中心将比满月还亮。分析数学应用于以上数据，取满月时这一点的亮度为单位，则远地点中心食里，这一点的亮度将为0.02，而在近地点中心食里约弱6倍，即只有0.0036。如果一切情况都无比的巧合，即日光穿过地球的大气时，受到水汽吸收这种微弱光辉的一大部分，达到月亮时光量的稀少将会使被食的月轮完全看不见。这虽是稀有的现象，但天文史上却记载有几次完全黑暗的月全食。太阳与月亮在地平上表现的红色说明地球的大气使红色光较易通过，因此被食的月轮常呈红色。

对于日食，地球的大气所反射的光线减少日食所造成的黑暗。假设我们在赤道上，而且太阳与月亮的中心均在天顶，如果月亮在近地点，太阳在远地点的方向上，于是造成最黑暗的日食，食时将长达7分55秒。影锥在地面上的直径将是地球直径的22/1000，比地平面在大气层上的截面的直径小6.5倍，至少这在大气的高度等于地球半径的1/100的假设下是这样，这假设是从曙光暮色（晨昏朦影）的延续时间推出的，大气很可能从比这更高的高度上输送光线给我们。由此可见日全食时太阳还照着地平上的大部分大气。但是这部分大气只被一部分日轮照着，离天顶愈远的大气分子，被照亮的愈多；在这情形下，穿过大气更大范围的日光，达到这些大气分子之后，再反射到观测者，将会变得相当微弱，因此使被食的日轮附近的一、二等恒星都会为人看见。这些光线的色彩兼有天空的蔚蓝和曙光暮色的红黄色，因而投影在物体上表现为一种昏暗的色调，加以日光的忽然消逝，因而使动物惊吓恐怖。 EfUTrMW7brF0nnLEcUYzb7cmHPzhZWYA+eCah8mHt6Dmp8xSNaxUkI7wDZI05RIC