托伯列南国

想象我们到某一遥远世界作远程旅行。我们称这一遥远世界为托伯列南国。现在把我们的遥感仪器收集到的信息展现在面前的屏幕上。调好焦距后就看到了图3.1。

它为何物？它是一只形状古怪的昆虫吗？也许它是一个深颜色的并有许多山溪注入的湖泊。也许它是一座巨大的形状奇特的异国城市，公路沿着不同方向散开到附近的小镇和乡村去。它也许为一个岛屿——让我们寻找看在附近是否有和它相连接的陆地。我们可以后退一些，把我们感觉仪器的放大倍数减少到原来的1/15左右。嗬，整个世界进入了我们的视界之内（图3.2）。

我们的“岛”在图3.2中看起来成为标记“图3.1”下的小斑点。除了一条连接到右手的裂缝上去的以外，从原先岛上出发的小片断（溪流、路径、桥梁？）全部都终结了。该裂缝最终接到我们在图3.2画出的大得多的物体上去。这个更大的物体虽然和我们第一次看到的岛不完全一样，但明显地相似。如果我们更仔细地审视这一物体和海岸线相像的东西，就发现多得数不清的圆形的瘤状结构。每一结构自身又具有类似的瘤。似乎每一小瘤都在某一微小的地方附在一个更大的瘤上，由此在大瘤上产生出许许多多的小瘤。当图像变得更清楚时，人们就看到了从这个结构发出的成千上万根的细丝。这些细丝在不同的地方分叉并常常剧烈地弯折。在细丝的某些点，我们似乎看到了具有现有的放大倍数的感觉仪器所不能分析的复杂纽结。很显然，这物体不是实际的岛屿或陆地，也不是任何风景。或许我们看到了某种怪诞的甲虫。我们首先看到的是它的婴儿，它用某种丝线状的脐带安静地把自己连接在母体上面。

让我们把感觉仪器的放大倍数提高10倍，再来考察这个怪物的一个瘤的性质（图3.3——其位置在图3.2中的“图3.3”的标志的下面）。这个瘤本身和怪物整体非常相似——除了在接触点以外。请注意在图3.3中的不同地方5根细丝并到一块。这个特定的瘤似乎有一确定的“五性”（正如在最上面的瘤具有“三性”一样）。如果我们考察下一个相当尺度的瘤，在图3.2中稍微向左下方一点，我们就会在附近发现“七性”，再下一点为“九性”，并以此类推。

当我们进入图3.2中的两个最大区域之间的裂缝，就会发现右边的瘤以奇数来表征，每回增加2。让我们钻到裂缝深处，把图3.2再放大10倍左右（图3.4）。我们看到其他许多小瘤以及扭转的结构。在右边称为“海马谷”的区域可鉴别出某些微小的涡旋状的“海马尾巴”——如果放大倍数足够大的话，我们就将看到不同的“海乌贼”或者别具花样的区域。这也许的确是某种奇异的海岸线——也许是所有各色各样生命产生的珊瑚。看起来像是花的东西在更高的放大倍数下显得是由成千上万个微小，但同时却是不可思议的复杂的结构组成，每一结构都有极多的丝状物和扭转的涡旋尾巴。让我们稍微仔细地考察一个较大的海马的尾巴，也就是在图3.4中刚好能见到标志为“图3.5”的那个（它附在具有“29性”的瘤上面！）。大约再放大250倍左右，我们就得到了画在图3.5中的涡旋。我们发现这个尾巴非同寻常，它是由最复杂的、前后扭曲的、无数的小涡旋以及像章鱼和海马那样的区域组成。

在这个结构的许多地方刚好有两个涡旋碰到一起。让我们把放大倍数增加30倍左右，以考察其中一处（在图3.5中的标志“图3.6”的下面）。请注意，我们是否发现了中间有个奇怪但非常熟悉的对象？再放大6倍左右（图3.7）就能揭示出一个怪物的小婴儿——它几乎和我们考察过的整个结构完全一样！如果我们细看，就会发现从它那里出发的细丝和从主结构那里出来的略有差别。它们扭曲并延伸到更远得多的距离去。然而比细小结构本身几乎和它的上一代毫无差别，甚至在非常相应的地方拥有自己的后代。如果我们还进一步放大，就能继续考察这些东西。孙子们又非常类似于它们的共同祖先——人们很容易相信，这些现象会无限地延续下去。只要不断地提高我们感觉仪器的放大倍数，就可随心所欲地探索托伯列南的奇异世界。我们发现了无穷尽的变化：没有两个区域是完全相像的——但是我们很快就会习惯于存在的一些普遍的风格。而熟知的类甲虫的结构以越来越小的尺度重新出现。每一回它的附近的细丝结构都和早先看到的不同，并以不可置信的复杂的美妙的新景象呈现在我们的面前。

使我们目瞪口呆地奇异的、变化多端的、美妙的、复杂的国土究竟为何物呢？许多读者无疑已经知道。但还有一些读者不知道。这世界只不过是一点抽象数学——称为芒德布罗集 的集合。尽管它无疑是复杂的，却是由极其简单的规则产生的！为了恰当地解释该规则，我首先得解释什么是复数。除了这里以外，在将来还有用。它对于量子力学的结构，所以也就是我们生活其中的世界的运行是绝对基本的。它们构成了数学中的一个伟大奇迹。为了解释何为复数，首先得提醒读者何为“实数”。另外，弄清概念和“真实世界”的实在的关系也是非常有益的。

实数

我们知道自然数可被罗列如下

0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，……，

这些是不同种类数中最初等和最基本的。任何分立的对象都可以用自然数予以量化：我们可以讲田地里有27只绵羊，可以讲2次闪电，12个晚上，1000个词，4次谈话，0个新观念，1个错误，6位缺席者，2次方向改变等。自然数可以相加或相乘以得到新的自然数。它便是上一章给出的关于算法的一般讨论的对象。

然而某些重要的运算会把我们带到自然数王国之外——最简单的是减法。为了系统地定义减法，我们需要负数；为此目的我们建立了整数的整个系统

……，-6，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，

4，5，6，7，…….

某些事物，譬如电荷、银行的存款或者年份 可用这类数来量化。然而，这些数的范围仍然过于局限。这是由于把一个数除以另一个数时，我们仍然不能畅通无阻。相应地，我们需要分数或有理数。

0，1，-1，1/2，-1/2，2，-2，3/2，-3/2，

1/3，…….

这一些对于有限算术的运算已经足够。但是为了许多更好的目的，我们还得走得更远些，以包括无穷或极限运算。例如，大家熟悉的在数学上极其重要的量π就以多个这类无穷式出现。特别地，我们有：

π=2｛（2/1）（2/3）（4/3）（4/5）（6/5）（6/7）（8/7）（8/9）……｝，

以及

π=4（1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+……）。

这些都是著名的表式。第一式是由英国数学家、语法学家兼速算家约翰沃利斯在1655年首次得到的；而第二式实际上是苏格兰数学家兼天文学家（以及第一台反射望远镜的发明者）詹姆斯格里高里在1671年得到的。）正如π那样，以这种方法定义的数不必是有理数（也就是不具有n/m的形式，这里n和m是整数，m不为零）。为了包括这样的量，数的系统必须被推广。

这个推广的数的系统被称为“实”数系统——就是那些可

以无尽小数展开的熟悉的数，譬如

-583. 70264439121009538…….

按照这样的表述，π可写成众所周知的表式

π=3.14159265358979323846……。

还能以这种方法表达的数种，有正有理数的平方根（或立方根或四次方根等），例如

甚或任何正实数的平方根（或立方根等），正如伟大的瑞士数学家列纳多欧拉发现的π的表示：

实数实际上是我们日常必须打交道的数种，虽然通常我们仅仅关心它们的近似值，只要展开到很少的几位小数位就满意了。然而，在数学的陈述中我们要准确地指定实数，要求某种无穷的诸如整个无穷小数展开的描述，或者也许如上述由沃利斯、格里高里和欧拉给出的π的其他的无穷的数学表达式。（我将通常用小数展开，只是因为这些是最熟悉的。对于数学家而言，存在不同的令人更满意的表达实数的办法，但我们在这里不必为之操心。）

人们也许会感到处理全部的无尽展开是不可能的。但事情并非如此。简单的反例是

1/3=0. 333333333333333……

这儿的点表明3的序列将无尽地延伸下去。为了处理这个展开，我们所需要知道的是，只要肯定这个展开以同样的3的方式无限地继续下去就行了。任何有理数都有重复（或有限）的小数展开，例如

93/74=1. 2567567567567567……

此处序列567无限地重复下去，而这可以被完全地处理。而表式

0.220002222000002222220000000222222220……

定义一个无理数，也一定可以被完全处理（每一次0序列和2序列都增加一位）。还能给出许多熟知的例子。在每一种情形下，只要我们知道展开所根据的法则也就满意了。如果有某种产生连续位数的算法，则该算法就提供我们处理整个无尽小数展开的方法。其展开可被算法产生的实数称为可计算数（在这里使用十进制，而不用譬如讲二进制展开，并没有什么深意）。刚才考虑的π和√2是可计算数的例子。在每一种情况下，仔细叙述这些规则是稍微有些复杂，但在原则上并不难。

然而，在这个意义上还有许多不可计算的实数。我们在上一章已经看到，存在不可计算的但仍为完好定义的序列。例如，我们可取一个小数展开，其n位数取1或取0依图灵机作用到n时停止或不停止而定。一般地讲，对于一个实数，我们仅仅要求必须有某种无尽的小数展开。我们不要求是否有一产生第n位数的算法。我们甚至也不要知道在原则上实际定义该n位数的规则 。可计算数是很难纠缠的东西。即使只处理可计算数，人们也不能够使它的所有运算保持为可计算的。例如，甚至一般地去决定两个可计算数是否相等也不是可计算的事体！由于这类原因，我们宁愿处理所有的实数。在这里小数展开可以是任意的，而不必只是可计算序列等。

最后，我倒是要指出，在结尾以无穷个接续的9和无穷个接续的0展开的实数之间有一等同；例如

-27.1860999999……=-27.1861000000……

有多少个实数

让我们喘息一下，来鉴赏在从有理数过渡到实数时所得到的推广的广阔性。最初人们也许会以为，整数的个数比自然数的更多，由于每一自然数都是整数，而某些整数（也就是负的）不是自然数。类似地，人们也会以为分数的数目比整数的数目更多。然而事情并非如此。按照极有创见的俄裔德国数学家——乔治康托尔在19世纪后半叶提出的强有力的美丽的无限数理论，分数的总数目、整数的总数目和自然数的总数目是同一无穷数，均用 （“阿列夫零”）来表示。（值得注意的是，在大约250年前的17世纪初叶，伟大的意大利物理学家和天文学家伽利雷伽利略也部分地预料到这一类思想。在第五章将会提到伽利略的其他一些成就。）人们可用如下建立的“一一对应”的办法来显示整数和自然数具有同样的数目：

请注意，每一整数（在左列）和每一自然数（在右列）在表中出现一次并只有一次。在康托尔的理论中像这样的一一对应的存在建立了左列物体的数目和右列的是一样的命题。这样，整数的数目的确和自然数的数目一样。在这种情形下数目为无穷，但这没关系。（发生在无穷数中的仅有的古怪事情是，我们可以从一个表上取走一些数而仍然能找到两个表之间的一一对应！）以某种类似的但更复杂的形式，人们可在分数和整数之间建立起一一对应[为此我们可以采用把一对自然数（分子和分母）代表为一个单独自然数的方法]。可以和自然数建立一一对应关系的集称为可数的。所以，可数的无限集共有 个元素。我们现在看到了，整数是可数的，所有的分数也是如此。

有没有不可数的集合呢？虽然我们进行了自然数首先到整数、然后到有理数的推广，但是我们实际上并没有增加所处理对象的总数。也许读者已得到印象，以为所有无穷集都是可数的。不对，在推广到实数时情况就变得非常不同。康托尔的一个最重大的成就是，他指出了，在实际上实数比有理数有更多的数目。康托尔进行论证的办法在第二章被称为“对角线方法”。这个方法被图灵用来表示图灵机的停机问题是不可解的。康托尔的论证，正如图灵的办法，是用反证法的步骤。假定我们所要建立的结果是错误的，也就是所有的实数的集是可数的。那么在0和1之间的实数肯定为可数的，而我们存在某种列表，可将实数和自然数之间进行一一配对，譬如

我已把对角线上的数字用黑体字写出。对于这一特殊的表，这些数字分别为

1，4，1，0，0，3，1，4，8，5，1，……

而对角线方法步骤是（在0和1之间）构造一个实数，其小数展开（在小数点后）在每一对应的位数上和这些数字都不同。为了确定起见，让我们讲，只要对角线数和1不同的都为1，而对角线数为1的都为2。我们在现在情况下就得到了

0.21211121112……

的实数。这个实数不可能出现在我们的表上。这是因为它在（小数点后的）第一个小数位上和第一个数不同，在第二个小数位上和第二个数不同，在第三个小数位上和第三个数不同等。由于我们假定这个表包含所有在0和1之间的实数，所以这是一个矛盾。这一矛盾导致我们所要证明的，也就是说，在实数和自然数之间没有一一对应。相应地，实数的数目实际上比有理数的数目更大，因而不是可数的。实数的数目是标有C的无限数。（C的意思是连续统，这是实数系统的另一名字。）人们会问，譬如讲，为何这一个数目不叫做 呢？事实上符号 是用来表示比 大的下一个无限数。去决定事实上C= 成立与否是一道著名的被称为连续统假设的未解决问题。

顺便可以提及，可计算数是可数的。为了数这些数，我们只要按照数字的顺序列出那些产生实数的图灵机（也就是产生实数连续数字的机器）。我们可望从这表中除去产生任何早先出现在表中的实数的图灵机。由于图灵机是可数的，所以可计算的实数也一定是可数的。我们为何不能把对角线方法应用到该表上以产生一个不在该表的新的可计算数呢？回答是基于这样的一个事实，即我们不能一般地可计算地确定，一台图灵机是否在这表上。为了做到这一点，事实上也就涉及我们能够解决停机问题。有的图灵机，可以开始产生一个实数的数字，然而停住而永远不再产生另一数字（因为它“不停机”）。没有可计算的方法去决定哪一台图灵机会以这种方法卡住。这基本上是停机问题。这样，我们对角步骤会产生某实数，这数不是可计算的。这个论证事实上可用于表明不可计算数的存在。图灵用于显示不能算法地解决的，正如在上一章所罗列的各类问题的存在，正是精确地沿用了这种推理方法。我们在后面还会看到对角线方法的其他应用。

实数的“实在性”

我们先不管可计算性的概念。由于实数似乎提供了测量距离、角度、时间、能量、温度或者许多其他几何和物理量的大小，所以被叫做“实”的。然而在抽象定义的“实”数和物理量之间的关系，不像人们所想象的那么一目了然。实数点被当成数学的理想化，而不是任何实际物理客观的量。例如，实数系统具有如下性质，在任何两个实数之间必有另一个实数，而不管该两数靠得多近。人们根本就不清楚，物理的距离或时间是否现实上具有这一性质。如果我们不断地对分两点之间的物理距离，最后就会到达这样微小的尺度，以至于在通常意义下的距离概念本身不再具有意义。人们预料在亚原子粒子的1/10 ²⁰ 的“量子引力”尺度下 ，这的确会发生。但是为了和实数相匹配，我们就必须走到比它小得任意多的尺度：例如1/10 ²⁰⁰ ，1/10 ²⁰⁰⁰ 或1/10 ²⁰⁰⁰⁰ 的粒子尺度。人们一点也不清楚，这么荒谬的微小尺度究竟有什么物理意义。类似的议论也适用于相应的微小的时间间隔。

物理学选用实数系统的原因在于它的数学上的可用、简单、精巧以及在非常广大的范围内和距离以及时间的概念相符合。它之所以被选用并不是因为知道它和这些物理概念在所有的范围中都一致。人们还可以预料到，在非常微小的距离或时间的尺度下，不存在这样的一致。人们通常用尺来测量简单的距离，但这样的尺在我们追溯到它们自身原子的尺度时，就变得粗糙起来。这一切并不妨碍我们继续准确地利用实数，但要经过更加精细的处理，才能测量更小的距离。我们至少要有点怀疑，在极小尺度的距离下，也许最终存在有根本原则上的困难。自然对于我们真是恩惠有加，我们从小习惯用于描述日常或更大尺度的事物的同一实数，在尺度比原子小很多，肯定在比“经典”的亚原子粒子，譬如电子或质子的经典直径小百倍的尺度下仍然有用，似乎直到比这粒子小20个数量级的“量子引力尺度”仍然适用。从经验得知，这是极不寻常的推论。熟知的实数距离的概念似乎还可外推到最遥远的类星体以及更远处，给出了至少1042。也许1060甚至更广的大范围。事实上，实数系统的适当性通常是不可置疑的。我们原先和实数相关的经验主要被限于相对有限的范围，人们为什么对实数于物理精密描述的可用性如此信心百倍呢？

这种信念——也许是不当的——必须来源于（虽然这个事实经常不被承认）实数系统逻辑的优雅、一致性和数学的威力以及对自然的深刻数学和谐的信仰。

复数

实数系统并没有全揽数学的威力和优雅品格。其中仍有一些讨厌之处，例如只能对正数（或零）而不能对负数取平方根。先不讲和物理世界有直接关系的任何问题，单从数学的观点知道，如果能像处理正数那样对负数求平方根，那就极其方便了。让我们简单地假定，或“发明”数-1的平方根。我们用i来表示它，所以就有

i ² =-1.

当然i的数量不能是实数，因为任何实数自乘的结果总是正数（或是零，零自乘得零）。由于这个原因，习惯上用“虚数”来称呼其平方为负数的数。正如我早先强调的，“实”数和物理实在的关系不像初看起来那么直接、那么令人信服，这里实际牵涉到数学的无限精细化的理想化，自然并没有先天地保证这种做法的合理性。

一旦有了-1的平方根，就可以不费劲地得到所有实数的平方根，如果a为一个正实数，则量

i×√a

是负实数-a的平方根。（还有另一平方根-i×√a。）i本身又如何呢？它有平方根吗？它的确有，很容易检验量

（1+i）/√2

（以及其负量）的平方得i。这个数有平方根吗？答案又是肯定的；量

我们注意到，在形成这样的量时，我们允许把实数和虚数相加，也允许把我们的数乘任意实数（或除以非零的实数，这相当于乘以它们的倒数）。所得的结果称为复数。复数是具有形式

a+ib

的数，这里a和b是实数，分别称作该复数的实部和虚部。将这样的两个数相加和相乘必须遵循通常的代数法则以及i ² =-1的规则：

（a+ib）+（c+id）=（a+c）+i（b+d），

（a+ib）×（c+id）=（ac-bd）+i（ad+bc）.

现在出现值得注意的情况！我们对这个系统的动机是使对任何数都能取平方根。这个目的是达到了，虽然还不这么明显。但是，它做得比这还多得多：取立方根、5次方根、99次方根、π次根、（1+i）次根等都可以畅通无阻地进行（正如伟大的18世纪数学家列纳多欧拉指出的那样）。作为复数的另外一个魔术，我们考察在中学就学到的三角几何中略显复杂的公式，两个角之和的正弦与余弦公式

sin（A+B）=sin Acos B+cos Asin B，

cos（A+B）=cos Acos B-sin Asin B，

只不过分别是简单得多（也容易记忆得多！）的复方程

的虚部和实部。

我们在这里所要知道的是“欧拉公式”（众所周知，在欧拉之前多年，该公式就被16世纪杰出的英国数学家罗杰可提斯得到）

e ^iA =cos A+isin A，

把它代入前面的方程，其结果的表达式为

cos（A+B）+isin（A+B）=（cos A+isin A）（cos B+isin B），

只要把右边乘出，我们就得到所需的三角关系式。

而尤其值得注意的是，任何代数方程

a0+a1z+a2z ² +a3z ³ +……+anz ⁿ =0

（此处a 0，a1，a2，……，an为复数，a n≠0）总有复数解。

例如，存在满足关系

z ¹⁰² +999z ³³ -πz ² =-417+i

的一个复数z，虽然这一点绝非明显！这一个普遍的事实有时被称做“代数基本定理”。不少18世纪的数学家都为证明这个结果奋斗过。甚至欧拉也没有找到一个满意的一般的论证。后来在1831年，伟大的数学家和科学家卡尔弗列得里希高斯给出了惊人的独创的论证，并提供了第一个一般性证明。他的证明的关键部分是几何地表达复数，然而利用拓扑学 的论断。

高斯实际上不是使用复数描述的第一个人。沃利斯在大约200年前就这么做了，虽然他没有像高斯那样有效地使用这工具。通常把复数的几何表示归功于瑞士的簿记员金罗伯特阿伽德，他在1806年将其描述出来，尽管挪威的测绘家卡斯帕温塞尔事实上在9年前就给出了完整的描述。为了和这个惯用的（虽然与历史不符）术语相一致，我将复数的标准几何表示称为亚根平面。

亚根平面是一个通常的欧几里得平面，它具有标准笛卡儿的x, y坐标，x标出水平距离（向右为正，向左为负），而y标出垂直距离（向上为正，向下为负）。复数

z=x+iy

在亚根平面中以坐标为

（x, y）

的点所表示（图3.8）。

注意0（作为一个复数）由坐标系的原点代表，1是由x轴上的特殊的点代表。

亚根平面为我们把整个复数的家族组织成一个几何上有用的图形。这类事对我们而言并无新奇之处。我们已经熟悉实数可以组织成为一个几何的图像的方法，也就是一根向两个方向无限延伸的直线。直线上的特定点为0，另一点为1。点2的位置处于它到1的位移和1到0的位移相同的地方；点1/2 处于0和1的中点；点-1使得0处于它和1的中间，等等。以这种方式标出实数的集合称为实线。对于复数，我们事实上用两个实数作为复数a+ib的坐标，也就是a和b。这两个数给出我们一个平面——亚根平面上的点的坐标。例如，我在图3.9上近似地标出了复数

u=1+i1. 3，v=-2+i, w=-1.5-i0.4

的位置。

现在复数的加法和乘法的基本代数运算具有清楚的几何意义。首先考虑加法。假设u和v为两个复数，并按照上述的方案表示在亚根平面上。则它们的和u+v就由这两点的“向量和”来表示；也就是说，它处于由u, v和原点0构成的平行四边形的另一顶点。我们不难看出，由这种构造（图3.10）可以得到

和，但是我在这里把证明省略掉。

乘积uv也有清楚的几何解释（图3.11），这稍微不太容易看得出来。（我在这里又省略了证明。）在原点处由1和uv

的张角等于1和u以及1和v张角之和（所有角度都按反时针方向测量），uv离开原点的距离是u和v离开原点距离的乘积。这可以等效地叙述为，由0，v和uv形成的三角形与由0，1和u形成的三角形相似，并且具有相同的指向。（精力充沛而对此不熟悉的读者也许可以利用早先给出的复数加法和乘法的代数规则以及上面的三角等式来直接证明这些结果。）

芒德布罗集的构成

我们现在可以看看如何定义芒德布罗集了。令z为一个任意选择的复数。不管这一个复数是什么，它都由亚根平面上的某一点所代表。现在考虑由下式

z-→ z ² +C

表出的映射，它把z由一个新的复数来取代。这儿C为另一个固定的（也就是给定的）复数。数z2+C在亚根平面为某一个新的点所表示。例如，如果C刚好给出1.63-i4.2，则z就按点

z-→z ² +1.63-i4.2

来映射。这样，特别是3就被

3 ² +1.63-i4.2=9+1.63-i4.2=10.63-i4.2

所取代，而-2.7+i0.3就会被

（-2.7+i0.3）2+1.63-i4.2=（-2.7） ² -（0.3） ² +

1.63+i｛2（-2.7）（0.3）-4.2｝=8.83-i5.82

所取代。当这些数变得复杂时，最好用电脑来进行这些计算。

现在不管C是多少，特别是点0在这个方案下被数C所取代。C本身又如何呢？它被C ² +C取代。假定我们继续这个步骤，将这种取代应用于C ² +C，则就得到

（C ² +C）2+C=C ⁴ +2C ³ +C ² +C。

让我们再重复这个代换，把它应用到上面的数就得到

（C ⁴ +2C ³ +C ² +C）2+C=

C ⁸ +4C ⁷ +6C ⁶ +6C ⁵ +5C ⁴ +2C ³ +C ² +C。

然后再对此数代换等。我们得到从0开始的一个序列

0，C, C ² +C, C ⁴ +2C ³ +C ² +C，…….

现在如果我们选择一定的复数C来进行，则由这种办法得到的数的序列在亚根平面上永远不会徘徊到离原点非常远的地方去；更精确地讲，对于C的这种选择该序列是有界的，也就是说序列的每一个成员都位于以原点为中心的某一个固定圆周之内（图3.12）。C=0的情况是一个好例子，由于在这种情形下序列的所有成员都是0。另一发生有界行为的例子是C=-1，因为此序列为0，-1，0，-1，0，-1，……。还有另一例子是C=i，其序列为0，i, i-1，-i, i-1，-i, i-1，-i，……。然而，对于其他不同的复数C，序列徘徊到离原点越来越远的不定距离的地方去；也就是说该序列是无界的，不能被包容于一个固定的圆周之内。这种行为的例子发生在当C=1时，因为这时序列变为0，1，2，5，26，677，458330，……。C=-3时也发生这种行为，其序列为0，-3，6，33，1086，……，还有C=i-1，序列为0，i-1，-i-1，-1+i3，-9-i5，55+i91，-5257+i1001，……。

芒德布罗集，也就是我们托伯列南世界的黑色区域，正是亚根平面上由其序列维持有界的所有点C所组成的。白色区域是由产生无界序列的C所构成。我们前面所看到的细致的图像都是由电脑输出而绘成的。电脑系统地跑过所有可能的复数C，并对任意选取的C算出序列0，C, C ² +C，……，按照某种合适的判据来决定该序列发散与否。如果它是有界的，电脑就在屏幕上对应于C的那一点画上黑的。如果它是无界的，则画白的。电脑在所考虑区域的每一点都会最终决定画上白的或黑的颜色。

芒德布罗集的复杂性是非常引人注目的，尤其是和以下事实成鲜明对照，这个集的定义在数学上是如此之简单。另外，这个集的一般结构对我们选取的→-z z2+C的映射的代数形式并不敏感。许多其他的递推的代数复映射（例如z→z ² +iz ² +C）会给出极其类似的结构（假定我们从选取一个合适的数开始——也许不是零，对于每个适当选取的映射这一个数是按照一个明确的数学法则选取的）。就递推的复映射而言，这些“芒德布罗”结构的确有一种普适的绝对的特征。研究这种结构本身是数学中称作复动力系统的学科。

数学概念的柏拉图实在

数学家世界的对象有多“实在”？一种观点认为。它们似乎根本就没有任何是实在的。数学对象仅仅是概念；它们是数学家制造的精神上的理想化，它经常受到我们四周世界的外观和表面秩序的刺激，但充其量仍不过是精神的理想化而已。它们能不仅仅是人类头脑的恣意创造物吗？同时人们经常发现，这些数学概念会显示出某种深刻的实在性，完全超越出个别数学家的深思熟虑之外。人类思想恰如受到真理的引导，其真理本身具有实在性，而且只能对我们之中任何人揭示一部分真理。

芒德布罗集提供了一个突出的例子。它的美妙和复杂无比的结果既非任何人的发明，也不是任何一群数学家的设计。波兰美国数学家（兼分形理论的领袖）贝内特芒德布罗首先 研究了该集合。他对其中蕴含的美妙的细节并无预先的概念，尽管他知道正在寻找某种非常有趣的东西，的确，当他的第一张电脑画图开始出现时，他的印象是，所看到的模糊的结构只是电脑失误的结果（Mandelbrot 1986）！他到了后来才相信集合就在那里。不但我们中的任何一个人都不能完全理解，而且任何电脑都不能指示芒德布罗集结构的复杂完整的细节。这个结构似乎不仅是我们精神的一部分，其本身也具有实在性。不管选择任一位数学家或任一台电脑去考察该集合，都会发现是对上述基本数学结构的近似。用哪台电脑去进行计算都不会有真正的区别（假如电脑处于准确的工作状态），除了计算速度和存储与画图能力的差异会导致细节以及产生该细节的速度差别之外。使用电脑和在探索物理世界时使用实验仪器的方法在本质上是相同的。芒德布罗集不是人类思维的发明：它是一个发现。正如喜马拉雅山那样，芒德布罗集就在那里！

类似的，复数系统本身具有根本而永恒的实在性，它超越出任何特殊的数学家的精神构想。大致在杰罗拉莫卡尔达诺的工作中复数才开始受到赏识。他是生于1501年死于1576年的意大利人，也是正式的医生、赌徒兼占星家（还为基督算过命）。1545年他写了一本重要的影响久远的代数专著《大术》。他在该书中首次提出了一般的立方方程的（以n次方根表达的）解的表达式 。然而，他注意到，在某一类方程具有3个实解的被人们称为“不可约”的情况下，在他的表达式的某一阶段必须取负数的平方根。虽然他为此深感迷惑，他却意识到，如果允许他取这种平方根，也只有这样，才能表达出全部答案（最后答案总是实的）。后来，1572年R.邦贝利在他题为《代数》的著作中，推广了卡尔达诺的结果并开始研究真正的复数代数。

初看起来，这样地引进负数的平方根似乎仅仅是作为工具——为了达到特定目的的数学发明——后来人们越来越清楚，从这些东西所获取的比原先所设计的多得多。正如我在前面提到的，虽然复数引进的当初目的是为了使取平方根畅通无阻，后来人们发现作为奖赏，能够求任何其他根式或者解任何代数方程。我们还发现了复数的许多神奇性质，这些我们最初一点儿的征兆也没有。这些性质现存在那里。尽管卡尔达诺、邦贝利、沃利斯、可提斯、欧拉、温塞尔和高斯具有无可怀疑的远见，这些性质不是由他们以及其他伟大的数学家放在那儿的。这些神奇是他们逐渐揭开的结构本身所固有的。当初卡尔达诺引进复数时，他根本对接踵而来的许多神奇没有任何一点暗示——而这些神奇的性质后来以不同的人来命名，例如柯西积分公式、黎曼映射定理以及卢伊扩张性质。这些以及其他显著的事实，正是卡尔达诺在1539年左右遭遇到的没有做过任何修正的那种数的性质。

数学究竟是发明还是发现？当数学家获得他们的结果时，是否仅仅产生了精神上的复杂构想没有客观实在性，但它们是这样的有力和精巧，甚至把发明者也愚弄了，并使他们相信这些仅仅为精神的构想是“实在的”？或者数学家实际上是发现现成的真理——这种真理的存在完全独立于数学家的活动呢？我想到了现在，读者会很清楚，至少就复数的这种结构以及芒德布罗集而言，我执著地坚持第二种而不是第一种观点。

但是，情况也许还不像这么直截了当。正如我说过的，在数学中有些东西，用术语“发现”的确比“发明”更贴切得多，正如上面引用的例子。这些正是从结构出来的东西比预先放进的东西多得多的情形。人们可以认为，在这种情形下数学家和“上帝的杰作”邂逅。然而，还有其他情形，数学结构并没有如此令人信服的唯一性。例如，在证明某些结果的过程中，数学家发现必须引进某种巧妙的而同时远非唯一的构想，以得到某种特别的结果。在这种情形下，从构想得出的结果不太可能比起先放进的更多，所以术语“发明”似乎比“发现”更为妥当。这些的确只是“人的作品”。从这种观点看，真正的数学发现一般地被认为比“仅仅”发明具有更伟大的成就和抱负。

这种分类法在艺术和工程中是相当熟悉的。伟大的艺术作品的确比不甚伟大者“更接近于上帝”。在艺术家最伟大的作品中，揭示了某种预先的天界存在的 不朽真理，而他们较差的作品可能更随意，但本质上只不过是会枯朽的作品，这种感觉对于艺术家并不稀罕。类似地，在漂亮组织的工程实施中，使用某些简单的预想不到的想法，并得到大量的成果，把这工程描述为发现比发明更妥当。

在叙述了这么多以后，我不禁感到，在数学中，至少对于其中某些最基本的概念，某种天国的不朽存在的信念比在其他情形下更强烈得多。在这种数学观念中存在比在艺术和工程中强烈得多的令人信服的唯一性和普适性。数学观念可在这样一种超越时间的天国的意义上存在的思想，是在古代（公元前360年左右）由伟大的希腊哲学家柏拉图提出的。随后这种思想就时常被称为数学柏拉图主义。它以后对我们很重要。

我在第一章用了一些篇幅讨论强人工智能的观点，根据这种观点，假设精神现象可在一个算法的数学观念中找到栖身之所。我在第二章中强调，算法的概念的确是根本的并为“上帝赋予”的思想。我在同一章论证道，这种“上帝赋予”的数学观念应有某种遗世独立的品格。由于为精神现象提供某种天界存在的可能性，该观点是否赋予强人工智能观点某些信任度呢？也许是这样的——我甚至在下面进一步作和这个观点相似的推测。但是，如果精神现象的确可以找到这种一般的归宿，我不相信，这种归宿会是算法的概念。这里需要某种更微妙得多的东西。算法的东西只构成数学中非常狭小和有限的部分的这一事实是下面讨论的重要方面。我们将在下一章看到非算法数学的范畴和微妙之处。 qVgAySioJeE1OovfS0e+h0ZarO0RsCsVVul1yik0uYZGDYZ7/Ej0hz2zY0iiau/m