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中东矛盾有多严重？乔治敦大学反恐专家丹尼尔·毕曼（Daniel Byman）在《外交》（ Foreign Affairs ）杂志上给出了一些冷冰冰的数字：“以色列军方报告，从（2000年）的‘第二次巴勒斯坦大起义’至2005年10月底，有1 074个以色列人死亡，7 520人受伤。对以色列这样一个小国而言，这两个数字已经大得惊人了，按照比例换算的话，相当于有5万个美国人死亡、30万个美国人受伤。”在讨论该地区的问题时，这样的计算司空见惯。2001年12月，美国众议院宣布，在以色列发生的一系列袭击中，有26人丧生，“等比换算的话，相当于有1 200名美国人遭遇了不幸”。2006年，美国前众议长纽特·金里奇（Newt Gingrich）提醒道：“别忘了，如果有8个以色列人死于非命，考虑到人口差异，相当于我们失去了近500个美国同胞。”阿迈德·摩尔（Ahmed Moor）不甘示弱，在《洛杉矶时报》（ Los Angeles Times ）上撰文指出：“在‘铸铅行动’中，以色列人打死了1 400个巴勒斯坦人，按比例换算，相当于杀死了30万个美国人，但是新任总统奥巴马却对此保持沉默。”
“按比例换算”这样的措辞并不仅限于讨论巴勒斯坦地区的问题。1988年，杰拉尔德·卡普兰（Gerald Caplan）通过《多伦多明星报》（ Toronto Star ）指出： “ 8年来，冲突双方共有约4.5万人死伤或被绑架，按比例换算，相当于30万个加拿大人或者300万个美国人。”1997年，美国前国防部部长罗伯特·麦克纳马拉（Robert McNamara）说，越战期间有近400万个越南人丧生，按比例换算，“相当于2 700万个美国人”。只要一个小国家有很多人遭遇不幸，社论作者们就会拿出“比例尺”：这个数字相当于有多少美国人死于非命呢？
这些数字是怎么换算的？恐怖分子杀死的1 074个以色列人，在以色列人口（2000~2005年为600万~700万）中占0.015%。于是，专家们认为，在人口比以色列多的美国，如果总人口中有0.015%（的确是5万个左右）的人死亡，将会造成差不多大的影响。
这是赤裸裸的“线性中心主义”（lineocentrism）。如果以比例换算作为论据，我们可以把1 074个被杀死的以色列人通过下图换算成全世界任何地区死于非命的人口：
1 074个以色列受害者，相当于7 700个西班牙人、22.3万个中国人、300个斯洛文尼亚人或一两个图瓦卢人。
这样的推理最终（甚至立刻）会出现问题。假设酒吧快要下班时还有两名顾客，其中一人一拳把另一个人打昏在地。显然，这与1.5亿个美国人同一时间被人在脸上狠揍了一拳相比，情况完全不可同日而语。
再举一例。1994年，卢旺达有11%的人失去了生命，所有人都一致认为这是20世纪最恶劣的罪行。但是，我们在描述它时不会说“如果把这起事件放到20世纪40年代的欧洲，其恶劣程度是纳粹大屠杀的9倍”，这样的表达只会让人极度反感。
数学领域规避错误的一个重要原则是：实地测试某个数学方法时，可采用不同的方式进行计算。如果得到不同的结果，则说明我们使用的方法有问题。
例如，2004年马德里阿托查火车站遭遇炸弹袭击，近200人因此丧生。如果纽约中央车站遭遇同样严重的炸弹袭击，结果会怎么样呢？
美国人口大约是西班牙人口的7倍。因此，如果我们按照200人在西班牙人口中占0.000 4%的比例来推算，就会认为同样的袭击发生在美国将会造成1 300人丧生。另一方面，200人在马德里人口中占0.006%，纽约市的人口是它的2.5倍，按比例换算，相当于有463个纽约人受害。此外，我们是否应该将马德里省与纽约州相比较呢？那样的话，答案就会接近600人。因此，我们会得到不同的结果，这是一个危险信号，说明按比例换算的方法值得怀疑。
当然，我们也不能全盘否定按比例换算的方法，这种方法的确非常重要。比如，我们希望了解美国哪些地区的脑癌发病率最高，如果单纯地统计哪些州的脑癌死亡人数最多，并没有多大意义。美国脑癌发病人数最多的州有加利福尼亚州、得克萨斯州、纽约州与佛罗里达州，因为这些州的人口很多。史蒂芬·平克（Stephen Pinker）在他颇为畅销的著作《人性中的善良天使》（ The Best Angels of Our Nature ）中持类似观点。他指出，纵观人类历史，人类的暴力行为呈稳步下降的趋势。因为强权政治导致无数人遭殃，所以从这个方面看，20世纪声名狼藉。但是平克又指出，如果按比例换算，纳粹、苏联以及殖民霸权国家的屠杀行为就算不上特别恶劣了，若在现代社会，惨遭毒手的人可能会多得多。如今，我们对“三十年战争”这些历史上的流血事件仍然感到悲伤，但是根据平克的估计，“三十年战争”期间失去生命的人只占世界人口的1%。如果按比例换算成现代社会的人口，就意味着有7 000万人丧命，这比两次世界大战的总死亡人数还要多。
因此，更好的方法是研究比率：死亡人数在总人口中所占的比例。比如，我们可以计算美国各州每年死于脑癌的人在该州人口中所占的比例，而无须逐州统计死于脑癌的人数等原始数据。按照这种方法，得出的排行榜完全不同。南达科他州很不幸地位列榜首，每10万人中每年死于脑癌的人数为5.7人，远远超出每年3.4人的全美脑癌死亡率。排在南达科他州之后的是内布拉斯加州、阿拉斯加州、特拉华州和缅因州。如果我们不希望患上脑癌，可能就要避开这些地方。那么，我们该搬到什么地方去呢？在这个名单的末尾，我们会发现怀俄明州、佛蒙特州、北达科他州、夏威夷以及哥伦比亚特区。
这个结果有点儿奇怪。南达科他州脑癌频发，为什么北达科他州却几乎没有人患上这种癌症呢？为什么住到佛蒙特州就安全，而住在缅因州就有危险呢？
原因不是南达科他州一定会让居民患上脑癌，而北达科他州的居民则对癌症免疫。排在榜首的这5个州有共同的特点，而排在榜尾的那5个州也有相似之处，即这些地方人口稀少。在排在前面和末尾的这9个州（及一个特区）中，人口最多的是内布拉斯加州。在人口排名的竞争中，该州与西弗吉尼亚州是难兄难弟，双方为第37名的位置争得热火朝天。这个分析结果似乎表明，居住在人口较少的州，患脑癌的概率有可能高得多，也有可能低得多。
很显然，这个结论没有任何道理，因此，我们最好换一种解释方法。
为了更好地理解这种情况，我们先做一个虚拟游戏，游戏的名字叫作“谁最善于抛硬币”。玩法很简单，将一把硬币抛出去，正面朝上的硬币数量最多的一方获胜。我们给这个游戏增加一点儿趣味性，让大家手里握的硬币数量不同。有些人（“小数”组）只有10枚硬币，有些人（“大数”组）则有100枚硬币。
如果以正面朝上硬币的绝对数量来计分，我们几乎可以肯定获胜方是“大数”组的成员。“大数”组成员大多都有约50枚硬币正面朝上，这个数字是“小数”组成员无法企及的。即使“小数”组有100名成员，他们当中的最高得分也只能是8或9枚。
显然，这样的玩法并不公平，因为“大数”组拥有难以逾越的先天优势。因此，我们可以改进这个游戏：在评分时，不以绝对数量为依据，而是根据比例来计分。这样的计分方法，对两个组来说应该是公平的。
但是，这个计分方法仍然不公平。我前面说过，如果“小数”组有100名成员，至少有一个人可能抛出8枚正面朝上的硬币，因此他的得分为80%。那么“大数”组的成员呢？他们都不会有80%的硬币是正面朝上的。当然，可能性是存在的，但却不会发生。事实上，从概率的角度看，“大数”组必须包含20亿名成员，出现过高或过低的结果才是合理的。这个结论符合我们对于概率的直觉认识，抛的硬币越多，越有可能出现一半正面朝上一半正面朝下的结果。
读者朋友们可以自己尝试一番，我就动手做过这个实验。为了模拟“小数”组成员，我一次抛10枚硬币，连续抛很多次，硬币正面朝上的数量构成下面这个序列：
4，4，5，6，5，4，3，3，4，5，5，9，3，5，7，4，5，7，7，9……
然后，我模拟“大数”组成员，一次抛出100枚硬币，多次抛投的结果为：
46，54，48，45，45，52，49，47，58，40，57，46，46，51，52，51，50，60，43，45……
每次抛1 000枚硬币的结果是：
486，501，489，472，537，474，508，510，478，508，493，511，489，510，530，490，503，462，500，494……
算了，还是跟大家坦白吧。我并没有真的抛1 000枚硬币，而是用计算机模拟得出的结果，谁有那么多的时间抛1 000枚硬币呢？
不过，还真的有人这样做了。1939年，南非数学家克里奇（J. E. Kerrich）因为冒失地跑到了欧洲，结果很快在丹麦被逮捕并被关进了集中营。如果一个普通人被关在集中营，不知道猴年马月才能重见天日，那么他可能会在牢房的墙壁上刻画记号记录天数，以此来帮助自己度过这段难熬的时光。不过，克里奇这位热衷于统计学研究的囚犯则不同，他总共将一枚硬币抛了1万次，还记录了正面朝上的数量，统计结果如下图所示。
从中我们可以看出，随着硬币的数量越来越多，正面朝上的概率明显地向50%靠近，就好像被一把看不见的老虎钳钳住了一样。计算机模拟也会产生同样的结果。抛10枚硬币，正面朝上的比例范围为30%~90%；抛100枚，比例范围缩小，变为40%~60%；抛1 000枚，比例范围仅为46.2%~53.7%。在某个规则的作用下，这个比例越来越接近50%。这只不讲情面、无法抗拒的“手”就是“大数定律”（Law of Large Numbers）。这里，我就不赘述这条定理了（尽管这条定理极具美感），但是我们可以这样理解：抛的硬币越多，正面朝上的比例为80%的概率就越小。事实上，如果抛的硬币足够多，结果为有51%的硬币正面朝上的概率也是微乎其微的！在抛10枚硬币的情况下，如果得到高度失衡的结果，并不值得我们关注。但是，如果抛100枚硬币，结果仍然失衡，那就让人吃惊了，我们甚至会怀疑：是不是有人在硬币上动了手脚？
随着实验不断重复，实验结果往往会趋于稳定，并接近一个固定的平均值。事实上，自从运用数学方法研究概率以来，我们经常会得出这样的结论。16世纪的吉罗拉莫·卡尔达诺（Girolamo Cardano）就用不是十分正式的方式提出了这个原则，但是，直到19世纪初，西莫恩·德尼·泊松（Simeon-Denis Poisson）才赋予它一个简明扼要的名字：大数定律。
18世纪初，雅各布·伯努利（Jakob Bernoulli）完成了对大数定律的精确表述与数学证明。如今，人们不再把他的研究结果视为观察结果，而是一个定律。
根据这个定律，这种大数–小数的游戏并不公平。由于有大数定律，“大数”组成员的得分有向50%靠拢的趋势，而“小数”组的得分变化程度则较大。我们不能就此得出结论，认为“小数”组成员“更善于”抛硬币，即使他们每次都能获胜。如果我们把所有“小数”组成员（而不仅仅是得分高的成员）正面朝上的比例进行平均，结果就会与“大数”组相仿，也接近50%。如果我们统计的不是硬币正面朝上数量最多的，而是最少的，那么“小数”组成员的成绩就会一下子变得非常糟糕，很有可能某位选手抛的正面朝下的硬币比例仅为20%，而所有“大数”组成员的得分都不会这么低。统计正面朝上的绝对次数会让“大数”组拥有无与伦比的优势，但是统计比例的方法同样会使游戏不公平，只不过这次是“小数”组占便宜罢了。硬币的枚数（我们在统计学中称之为“样本大小”）越少，正面朝上的硬币所占比例的变异性就会越显著。
因此，在进行政治民意测验时，如果投票人数很少，调查结果就不那么可靠。脑癌的调查也是如此。在人口较少的州，其样本数量比较小，因此，统计结果就会像羸弱的小草一样，一旦概率这股狂风吹过来，它们就会东倒西歪，而那些人口大州就像参天大树，在狂风中傲然挺立。如果统计脑癌致死的绝对人数，人口大州的结果就会偏高，但是，如果计算脑癌致死人数的最高比例（计算最低比例的结果也一样），又会把人口少的州推到靠前的位置。南达科他州是脑癌死亡人数比例最高的州之一，而北达科他州却位于最低的行列，原因就在这里。不是因为拉什莫尔山或者华尔药局会散布某种对大脑有害的毒素，而是因为小数比例天性多变。
我们都非常熟悉这个数学事实，只是有时我们视而不见罢了。大家知道谁是NBA（美国职业篮球联赛）中的神投手吗？在2011~2012赛季中的某一个月里，有5名球员投篮命中率相同，并列全联盟榜首。这5名球员是阿蒙·约翰逊（Armon Johnson）、德安德鲁·利金斯（DeAndre Liggins）、莱恩·瑞德（Ryan Reid）、哈西姆·塔比特（Hasheem Thabeet）和罗尼·图里亚夫（Ronny Turiaf）。
那么，到底谁投篮最准呢？
这个问题可不好回答。他们都不是NBA最优秀的投手，连上场机会都很少。比如，阿蒙·约翰逊只代表波特兰开拓者队打了一场比赛，他有一次投篮，而且投进了。名单上的这5个家伙一共投篮13次，全部命中。小样本更多变，因此NBA的最优秀投手总是多次投篮而且运气不错的球员。尼克斯队的泰森·钱德勒（Tyson Chandler）一个赛季投篮202次，有141次命中得分，在打满所有场次比赛的球员中名列榜首。显然，我们不会说阿蒙·约翰逊的投篮比钱德勒更精准。（如果有人对此表示怀疑，可以去看看约翰逊在2010~2011赛季的表现。在那个赛季，他的投篮命中率一直保持在45.5%，这样的命中率十分普通。）因此，阿蒙·约翰逊这样的球员根本不会出现在NBA的球星排行榜上。NBA的各种排名都对上场时间设定了最低要求，否则，由于小样本的特点，上场时间很短的不知名球员就会上榜。
但并不是所有人都了解这些数量关系，因此在设计排名系统时可能没考虑到大数定律。如今，许多地方都在实施教育责任制，例如，北卡罗来纳州制订了一个奖励计划，对标准化考试成绩出众的学校实施奖励。该计划根据每名学生的考试成绩在一年时间内（从春季开始）取得进步的平均幅度，来评定各校的教学情况，在全州范围内排名前25位的学校，可以在体育馆悬挂横幅，还可以在周边城镇炫耀一番。
哪所学校获胜了呢？1999年，获得最高分的是北威尔克斯博纳的莱特小学，该校的“教学质量得分”为91.5分。北卡罗来纳所有小学的平均在校人数接近500人，而莱特小学属于学生较少的学校，只有418人就读。排在莱特小学之后的是金斯伍德小学，得分为90.9分。里弗赛德小学名列第三，得分为90.4分。金斯伍德只有315名学生，而位于阿帕拉契山脚下的里弗赛德小学规模更小，只有161名学生。
事实上，在北卡罗来纳州的这次评比中，规模较小的学校大多取得了不错的成绩。托马斯·基恩（Thomas Kane）与道格拉斯·施泰格（Douglas Staiger）的一项研究发现，在历时7年的研究中，该州规模最小的学校中有28%的学校曾经排在前25位，而在所有学校中，只有7%的学校曾经悬挂过横幅。
这次评估似乎说明，在规模较小的学校里，老师们了解学生及其家庭的情况，有时间进行单独辅导，因此更有可能提高学生的考试成绩。
不过，我要告诉大家一个事实：基恩与施泰格合作完成的论文标题为“学校教育评估手段失当的可能与常见问题”。平均而言，在规模较小的学校中，学生的考试成绩并没有表现出显著高于其他学校的情况。此外，该州被派驻“帮扶工作组”的学校（我的理解是因考试成绩低下而被该州官员训斥的学校）大多规模较小。
在我看来，上述情况表明，里弗赛德小学算不上北卡罗来纳州最优秀的学校，其道理就与阿蒙·约翰逊不是联盟最优秀的投手一样。前25名之所以大多是规模小的学校，并不是因为这些学校更加优秀，而是因为它们的考试分数更加多变。只要有几名天才学生或者三流的差生，它们的平均成绩就会发生很大的起伏。而在规模较大的学校，即使出现几个过高或过低的分数，在庞大的学生总数面前，其影响作用也几乎可以忽略不计。
既然求平均数这个简单方法无法奏效，那么我们如何了解哪所学校最优秀，或者哪个州的癌症发病率最高呢？如果我们管理着多支团队，那些小型团队很有可能占据评定系统的两端，我们又如何评估各团队的绩效呢？
这个问题并不容易解决。如果在南达科他这样人口很少的州接连出现脑癌病例，我们可以推测脑癌病例数量激增很有可能是因为运气欠佳，我们还可以估计，该州将来的脑癌发病率很有可能会有所下降并接近全美整体水平。为了分析这种情况，我们可以用全美脑癌发病率对南达科他州脑癌发病率进行某种加权处理。但是，如何加权呢？这是一种艺术，同时还需要完成大量的技术性工作。这里，我就不一一赘述了。
第一个观察相关事实的是亚伯拉罕·棣莫弗（Abraham de Moivre）。棣莫弗为现代概率论的初期研究做出了贡献，他在1756年出版的著作《机会论》（ The Doctrine of Chances ）是这一领域的重要文献。早在棣莫弗的时代，人们就已经开始不遗余力地从事数学新进展的推广工作，埃德蒙·霍伊尔（Edmond Hoyle）是其中的典型代表。他在牌类游戏方面是绝对权威，时至今日，人们还在说“根据霍伊尔规则”……霍伊尔写过《机会论快速入门》，目的是帮助赌徒们掌握这套新理论。
大数定律认为，从长远看，不断地抛硬币，正面朝上的比例会越来越接近50%。但是，棣莫弗觉得这样的表述不够完美，他希望精确地了解接近的程度。为了更好地解释棣莫弗的发现，我们再次研究抛硬币时使用的计数方法。不过，我们这一次不再只是简单地列出正面朝上的硬币数量，而是记录实际得到的正面朝上的数量与期望值（硬币总数的50%）之间的偏差。换句话说，我们计算实际情况与理想情况之间的偏差。
用10枚硬币做实验，多次抛投后得到的偏差为：
1，1，0，1，0，1，2，2，1，0，0，4，2，0，2，1，0，2，2，4 ……
每次抛100枚硬币后得到的偏差为：
4，4，2，5，2，1，3，8，10，7，4，4，1，2，1，0，10，7，5 ……
每次抛1 000枚硬币后得到的偏差为：
14，1，11，28，37，26，8，10，22，8，7，11，11，10，30，10，3，38，0，6……
从中可以看出，随着抛硬币次数的增加，虽然偏差与硬币总数的比值在逐步缩小，但是绝对偏差在不断变大（这是由大数定律决定的）。棣莫弗敏锐地发现，硬币数量的平方根直接影响典型偏差的大小。如果硬币的数量是上一次的100倍，那么典型偏差的增长系数就是10，至少绝对偏差的增长系数为10。如果以在硬币总数中所占的比例来计算，偏差就会随着硬币数量的增加而减小，因为硬币数量平方根的增加速度比硬币数量的增加速度慢得多。抛1 000枚硬币，与理想情况的偏差可能多达38，但是如果计算占硬币总数的比例，则与50%的偏差仅为3.8%。
棣莫弗的观察结果，与政治民意测验中计算标准误差（standard error）
的基本原理一致。如果希望将误差条线（error bar）减小一半，就需要将调查对象增加三倍。如果希望体验连续抛出正面朝上的结果有多么令人惬意，先要想一想这个概率与50%之间有几个平方根的差距。100的平方根是10，因此，如果抛100枚硬币，有60枚正面朝上，那么与50%之间的差距正好是一个平方根。1 000的平方根约为31，因此，如果1 000枚硬币中有538枚正面朝上，尽管这一次正面朝上的比例为53.8%，而上次为60%，但这一次的结果会更让我意想不到。
棣莫弗的研究还没有结束。他发现，随着硬币数量的增加，正面朝上的比例与50%之间的偏差逐渐形成了完美的钟形曲线，也就是商业中所谓的正态分布。统计学先驱弗朗西斯·伊西德罗·埃奇沃思（Francis Ysidro Edgeworth）建议把这条曲线叫作“法国警察的帽子”，但遗憾的是，他的这个提议没有得到广泛的认可。
钟形曲线的中间部分高高隆起，而边缘部分则非常平坦，也就是说，硬币的数量与零的距离越远，发生偏差的可能性就越小，而且可以精确地量化。抛N枚硬币，与有50%的硬币正面朝上这个理想结果之间的偏差，不超过N的平方根的概率约为95.45%。1 000的平方根约为31，在上面讨论的抛1 000枚硬币、重复20次的实验中，正面朝上的硬币数量与500的差在31以内的有18次（90%）。如果继续进行这个实验，正面朝上的硬币数量为469~531枚的概率就会越来越接近95.45%。
这种情况似乎是某种力量在刻意为之。棣莫弗也有这种感觉，他多次提到这个问题，认为抛硬币（或者其他研究概率的所有相关实验）都出现这样的规律，是上帝之手在起作用。上帝把抛硬币、掷骰子和人类生活的短时不规则行为，转化为可以预测的长期行为，其中的规律无法更改，但是公式可以破译。
这样的想法其实十分危险。如果我们认为有一只超自然的手（上帝的手也好，幸运女神或者印度教吉祥天女的手也罢）在操纵这些硬币，使半数硬币正面朝上，我们就会掉进所谓的“平均定律”（law of averages）的陷阱：认为在出现数次正面朝上之后，下一枚硬币几乎肯定是反面朝上；或者认为在生了三个男孩之后，下一个肯定会生女儿。棣莫弗不是说过极端结果是极不可能发生的吗？例如连生4个儿子，他确实说过这样的话。但是，在生了三个儿子之后，第四个仍然是男孩的情况并不是不可能。事实上，这一次与第一次生男孩的概率相同。
乍一看，这似乎与大数定律互相矛盾。根据大数定律，我们生男孩和生女孩的概率应该是相等的。
其实，这种矛盾是一种假象。看看抛硬币的情况，更容易理解这个问题。如果我们抛硬币连续10次得到正面朝上的结果，我们可能会觉得这枚硬币很奇怪。后文会接着讨论这个问题，但是目前我们假设这枚硬币没有问题，随着抛硬币的次数增多，正面朝上的比例肯定会接近50%。
根据常识，在连续10次得到正面朝上的结果后，下一次反面朝上的概率肯定要略高一点儿，只有这样才能修正目前的不平衡状况。
但是，常识也非常明确地告诉我们，硬币肯定无法记得前10次是什么样的结果！
我还是开诚布公地为大家答疑解惑吧：我们根据常识完成的第二次分析是正确的。“平均定律”这个说法不妥当，因为“定律”应该是正确的，而所谓的“平均定律”却是错误的。硬币没有记忆，因此，再次抛出硬币时，正面朝上的概率仍然是50%。总的比例会趋近于50%，但这并不意味着在出现若干次正面朝上的结果后，幸运女神就会青睐反面。实际的情况是，随着抛硬币的次数越来越多，前10次结果的影响力就会越来越小。如果我们再抛1 000次，那么这1 010次正面朝上的比例仍然接近50%。大数定律不会对已经发生的情况进行平衡，而是利用新的数据来削弱它的影响力，直至前面的结果从比例上看影响力非常小，可以忽略不计。这就是大数定律发生作用的原理。
前文对抛硬币与考试分数的分析，同样适用于大屠杀与种族灭绝行为。如果我们根据死亡人数在全国人口中所占比例来评判这些事件，那么在分析人口总数非常小的国家所发生的暴行时往往会犯非常严重的错误。马修·怀特（Matthew White）在他的《暴行备忘录》（ Great Big Book of Horrible Things ）一书中，心平气和地研究了各种恐怖事件，并使用上述方法来评判20世纪发生的暴行。他认为，排在前三位的分别是德国殖民者对纳米比亚赫雷罗人的大屠杀、波尔布特对柬埔寨人的屠杀和利奥波德国王在刚果发起的殖民战争，而希特勒的暴行却榜上无名。
这种分析方法对人口较少的国家有失公允，因此有可能导致某些问题。我们在阅读以色列、巴勒斯坦、尼加拉瓜或者西班牙人惨遭屠杀的报道时，心情会十分沉痛。在衡量这种悲痛程度时，我们能找到经过数学方法验证的评判方法吗？
我可以告诉大家一个我自认为行之有效的经验法则：如果屠杀的规模非常之大，导致“幸存者”为数不多时，用比例的方式来表示死亡人数是可行的。我们在提到卢旺达种族大屠杀的幸存者时，指的很可能是生活在卢旺达的图西人，因此，我们可以说种族暴力行为屠杀了75%的图西人。我们也可以说，导致75%的瑞士人罹难的灾害，其悲惨程度等同于图西人遭遇的种族灭绝惨剧。
但是，如果我们把一名西雅图居民称作“9·11”恐怖袭击事件的“幸存者”，就有点儿荒谬了。因此，用其在美国人口中所占比例来评价“9·11”恐怖袭击的恶劣程度，可能并不是很妥当，在“9·11”恐怖袭击事件中死亡的人占美国人口的比例仅为0.001%。这个数字非常接近于零，凭直觉我们很难正确理解这样一个比例到底意味着什么。
我们既不能使用绝对数，又不可以使用比例，那么我们到底如何评判这些暴行呢？有时候，利用比较的方式会取得不错的效果。比如，卢旺达种族大屠杀比 “ 9·11”恐怖袭击事件恶劣，“9·11”恐怖袭击事件比哥伦拜恩校园枪击事件恶劣，哥伦拜恩校园枪击事件又比造成1人死亡的醉驾事故恶劣。但是，由于时空关系，还有的事件难以比较。“三十年战争”真的比第一次世界大战更惨烈吗？卢旺达种族大屠杀的发生速度之快令人瞠目结舌，而两伊战争则旷日持久，这两者又如何比较？
大多数数学家认为，历史上的这些惨剧和暴行形成了所谓的“半序集”（partially ordered set）。也就是说，在这些灾难中，有的可以两两比较，其他的则无法比较。这个观点看似高明，其实不然，因为我们并没有统计出精确的死亡人数，在评判导致人员死亡的炸弹袭击与战争引发的饥荒这两类事件时，对于哪一类事件更为恶劣的问题也没有形成明确的结论；因为比较战争残忍程度的问题和比较数量大小的问题，在本质上是完全不同的。比较数量大小时，我们总是能得出答案，而比较战争的残忍程度时，有时候我们却无法判断哪一场战争更加残忍。如果我们希望了解26人在恐怖袭击中丧生的悲剧会给我们带来什么样的感受，我们可以想象这次恐怖袭击就发生在我们所在的这座城市，而不是远在地球的另一端，同时还造成26人罹难。这个方法无论在数学还是道德层面都是无可指摘的，也不需要进行复杂的计算。