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还记得，一次区里统一测试，有这样一个问题：
1立方分米正方体木块可以切成( )个1立方厘米的小正方体。
学生错例为：1立方分米正方体木块可以切成(10或100)个1立方厘米的小正方体。
此题堪称经典，要说难还真不难，可是考后询问学生，却有不少人出错(因区里统一阅卷，具体数据不得而知)。如果我们问学生“1立方分米=( )立方厘米”，恐怕答不上来的人数不会很多，题目变了变，为什么错误率会成倍地增长呢？
无独有偶，另外一次练习中又出现了一道类似的题目：
将一个棱长1分米的立方体切成1立方厘米的小立方体，排成一排成一个长方体，这个长方体的长是( )厘米，体积是( )立方分米。
学生错例为：“将一个棱长1分米的立方体切成1立方厘米的小立方体，排成一排成一个长方体，这个长方体的长是(100或10)厘米，体积是(1000)立方分米。”
就是这样一个并不算难的题目，全年级的错误率竟达到了26.8%(全年级269人)。为什么区里测试时出了错，讲评后，再遇到略加变化的问题时学生还出错呢？我不禁陷入了深深的思考中。简单地把责任归咎于学生空间观念不强、审题不仔细显然是不科学的。出现这样的情况，是偶然的吗？空间与图形的学习中，又有多少这样反复错、错反复的情况呢？在深深的思考中，曾经的一幕又浮现在我的眼前。在学习了平行四边形的面积后，孩子们遇到了这样一个问题：
据统计，我所教的两个班中有30%的学生选择A(正确答案是C)，错误惊人呀！讲评时，我做了一个活动的长方形框架，做了直观演示，之后又利用课件反复强调，引导学生观察：长方形框架与平行四边形框架相比，什么没变？(底不变，周长不变)什么变了？(高变短了，面积变了)窃以为一番功夫下来，学生们自是心知肚明，于是在单元验收测试中，我出了个类似的问题，以期待满意的结果出现。
结果怎样呢？两个班中有25%的同学选择了A、C(正确答案是B)，正确率离我的期待相差甚远。
为什么对于“1立方分米等于多少立方厘米”的理解学生不成问题，变成前面的试题后就问题多多了呢？我想，学生学习有关立体图形问题时，策略不多，没有更多的办法把汉字“翻译”成数学语言(比如用图表示)，对1立方分米=1000立方厘米只是停留在记忆的层面上，学生头脑里的立体图形还是平面的，没有建立相应的立体模型，不清楚摆成的长方体究竟是什么样子。
对学生来讲，长方形的面积不成问题，平行四边形的面积也不成问题，可面对“把一个长方形框架拉成平行四边形”的问题，学生的出错情况怎么就如此严重呢？
可能是在平时的练习中，学生更多接触的是“静止”的图形问题，遇到此类有变亦有不变的“运动”图形时，就往往不知所措，抓不住解决问题的关键。在推导平行四边形面积公式时，学生把平行四边形沿高剪下，然后拼成一个长方形，不知不觉间，形成一个思维误区：平行四边形剪拼成长方形后面积不变，那么平行四边形变成一个和它周长一样的长方形后，面积也不变。特别是运用剪拼转化的方法研究了三角形的面积、梯形的面积之后，学生的这种错误认识愈发顽固。学生的潜意识里不知不觉间形成了这样一种认识：两个图形改变形状后，只要有不变的因素(如底不变，高不变)，必定面积不变，就是说如果周长不变，面积自然也是不变的。学生恰恰忽略了平行四边形的面积是由两个因素——底和高决定的。不论是把一个平行四边形拉成长方形，还是把一个长方形拉成平行四边形，平行四边形的高都不再等于长方形的宽了，而且比长方形的宽短。
面对学生在学习中如此反复多次的错误，不由得我们不反思：知道就等于会了吗？教过了、讲过了就等于学生会了吗？类似空间与图形的学习，学生的思维误区是如何形成的？在教学中我们如何帮助学生走出思维的误区呢？一道数学题学生做错了，我讲了三遍，学生还是做错了，这不是学生的问题，而是我们的教学出了问题，那问题出在哪儿呢？
传统教学方法单一。虽然老师动用各种手段，如反复练习、示范，但效果甚微。孩子们要么单纯记住结论，要么单纯记住得出结论的过程，并没有触碰“为什么”，这是最要命的！虽然我们知道“思维的运动正是数学的出发点和落脚点”，这一点也不得不令人反思！
怎么改变现状呢？怎么样孩子才能产生思考呢？这里面有几个关键点。第一，孩子产生思考的动机必须被调动起来，理想的状态就是孩子们能自发地对问题加以关注，也就是有“好奇心”，这是非常重要的，不但可以开启后续的探究过程，而且可以催化探究的始终持续性。第二，孩子们在整个探究学习过程更多的是受思维的驱动，而不只是对过程或结果的记忆，这也是数学给予孩子的最好的营养品。第三，孩子们能够对整个学习探究过程进行回味和反思，能印象深刻，能在下一次认识事物、解决问题时充分使用本次培养的情感、方法、经验和结论等，能独立解决新问题，这将使他们受益终生。
怎样选取、调动、整合各种有效的、一切可以作为数学资源的素材，特别是与孩子们息息相关的素材，有效解决问题，为学生做好一顿顿数学的“可口饭菜”呢？其中的素材可能是其他学科的，也可能是生活的，如何以这些素材为载体，以问题为切入点，通过问题的解决来发展和培养学生们的数学素养和数学品质呢？
追问一：学生的提高和成长在哪里？
清华附小坐落于亚洲最美大学——清华大学里，这里绿树掩映，充满书香，一年四季花常开(冬天是飘雪花，开梅花)。这里的每个孩子来自清华二代，都是独一无二的，思维方式、家庭环境等的不同会导致不同的学生有不同的“学习现实”。有的孩子视野开阔，反应敏捷，有很强的学习能力，教材上的内容已不能满足他的学习需求;但有的孩子就是手把手地教，他也存在困难;更多的孩子是见多识广，大多数新课，60%左右的学生学习之前就通过课外班或其他读物知道了结论。只要了解了，学生就认为自己会了，不用学了。数学课上仅仅是要学习结论性的知识吗？若是数学课只是计算训练课、概念讲解课，在一天天的“裹挟”前行中，学生的提高和成长在哪儿呢？六年的数学学习，究竟要在孩子们身上打下怎样的“烙印”呢？怎样为学生的聪慧与高尚的人生奠基呢？
追问二：数学是工具，其育人价值在哪里？
不可否认，数学是非常重要的工具学科，但是，数学仅仅是没有温度的“冰冷”工具吗？其育人的价值如何体现？时下，在“知识——传授”“能力——训练”(或者说是“技能——训练”)的教育模型下，很多孩子对数学学习感到“很受伤”。孩子们的好奇心调动起来了吗？保鲜起来了吗？尤其在如今的大背景下，我们数学教育的结果难道是看谁算得快、算得准，记得多、记得牢吗？难道要和信息时代的计算器、计算机比快、比承载容量吗？
时下，孩子们获取数学的渠道越来越多，课堂已不再是学生学习、获取知识的唯一阵地，一个开放式、多渠道的、自主与合作兼容的时代来了，我们的数学教育怎么办？应该为学生打下怎样的综合素养底子？毕竟综合素养是帮助个体实现自我、成功生活与融入社会的关键;综合素养是知识、能力与态度的整合而不是割裂。
基于数学综合素养，在小组化学习中，我们的学生动手操作、亲身实践，经历师生间、生生间的交流互动，经历提出问题、发现问题、分析问题、解决问题的过程。学生不只是获取了数学知识，思维运动在其头脑中发生，情感体验在其心中泛起。将来面对新问题、新事物时，孩子们会不自觉地运用这种思维和情感。或许只有这样，我们方可以说我们的孩子长大了，我们的教育成功了。
当下，清华附小关注学生基于提升综合素养的学习，其价值就在于综合素养不仅仅涉及知识、技能，还涉及活动经验、情感态度、价值观等多方面，为学生打下适应未来社会、促进终身学习、实现全面可持续发展的底子，或许这才是我们数学教育的真谛，乃至教育的真谛吧！
没有离开教育的教学，也没有离开教学的教育。从某种意义上讲，从“知识——传授”的教育模型到“能力——训练”(或者说是“技能——训练”)的教育模型，再到今天的“素养(综合素养)——养成”的教育模型的演变，体现了我们由教数学到教人学数学，再到用数学教人的不断进化过程，也体现了在重视数学的工
具性的同时，由注重学科教学到注重学科素养养成，再到注重学科育人功能的不断进化过程。
追问三：未经有效整合的学习资源，能承载过程性育人目标吗？
每个孩子都是独一无二的，面对数学教学内容的丰富性，教师很难确定清晰的可操作的过程性乐学目标。满堂讲不可取，满堂问不可取，满堂论亦不可取，若是始终不能跳出教师讲授学生接受的套路，教学方式就会一直单调。为了应对考试，学生进行大量重复性、机械性训练，学习负担怎能不重？真实、生动、活泼、有趣的甚至是可亲近的数学学习怎能发生？
儿童世界里的数学不是非此即彼的简单判断，更不能是加减乘除的周而复始。德国教育家第斯多惠说过这样一段话：“如果使学生习惯于简单地接受和被动地工作，任何方法都是坏的;如果能激发学生的主动性，任何方法都是好的。”或许，小学生的能力不强，方法不高明，但这并不重要，他们可以在丰富的经整合的资源的学习中、在小组化的争论中增强能力，在思维的碰撞中掌握更高明的方法，积累丰富的经验，这对学生综合素养的奠基意义深远。
宏观上说，上述三个追问关乎学科定位、学科品质和学科方向。学科定位代表了数学教学某些积重难返的核心问题，是课改的“硬骨头”。微观上说，这三个追问又是教师教学必须面对的现实问题。方向比努力重要，若是不可避免，我宁愿在正确的方向上困难重重，也不愿意在错误的道路上一帆风顺。学科方向事关“学生综合素养”的培养，这涉及数学教育价值判断的问题。如何从实践中寻找突围之路，帮学生打好学习与精神成长的底子呢？