在通往“1＋1”的道路上

1742年，是一个数学家们至今仍难以忘怀的年头。

这一年的6月7日，德国数学家哥德巴赫（1690～1764）给当时住在彼得堡的瑞士数学家欧拉（1707～1783）写了一封信。哥德巴赫在信中猜想说：每一个大于5的偶数都是两个奇素数的和——通常称为“偶素数歌德巴赫猜想”；每个大于8的奇数都是三个奇素数的和——通常称为“奇素数歌德巴赫猜想”或“三素数猜想”。

在同一年的6月30日，欧拉给哥德巴赫回了信，认为这个猜想可能成立，并对哥德巴赫的两个猜想作了补充和归纳：只需要说明每个大于2的偶数都是两个素数之和就行了。

1999年中国发行科技专题邮票纪念哥镇巴赫猜想

1770年，英国数学家华林（1734～1789）在发表的《代数沉思录》一书中，把哥德巴赫和欧拉的这些通信内容公布出来以后，当时的数学界就把他们谈到的问题称为“哥德巴赫猜想”，通常简称“1＋1”。

那么，“1＋1”是否成立呢？

158年过去了，数学家们只是验证了3 300万以内的偶数，“1＋1”都是成立的，而没有人能证明“1＋1”是否成立。此时数学界觉得有点“脸上无光”了。在这个背景下，德国大数学家希尔伯特（1862～1943）要“大声疾呼”了。

1900年，第2届国际数学家大会在巴黎召开，希尔伯特提出了著名的“23个问题”。他把“偶素数歌德巴赫猜想”和另外两个相关的问题概括在一起，列为其中第8个问题。

由于希尔伯特的“大会动员”，“脸上无光”的数学家们加紧了研究的脚步。

但是，数学家们很快就发现，“1＋1”确实是一块难啃的“硬骨头”。

那么，这“骨头”有多“硬”呢？在12年以后1912年召开的第5届国际数学家大会上，德国数学家朗道（1877～1938）说，即使要证明较容易一点的命题——任何大于4的自然数都是 ^‘ C个 ^’ 素数的和（这被称为“弱型哥德巴赫猜想”），也是现代数学所力不能及的！

当然，也有数学家对朗道的“悲观”不以为然。例如，9年之后的1921年，在哥本哈根召开的一次国际数学会上，英国著名数学家、数论大师哈代（1877～1947）就在会上说，哥德巴赫猜想的困难程度，可以和任何没有解决的数学难题相比，但不是像朗道所说的那样绝对。

考验人类智慧和创新能力的时候到了！

数学家们证明“1＋1”的创新思路有以下两条。

“思路一”：把朗道所说的“C个”先定得大一些，然后再逐步缩小，直到“C个”等于2的时候，“1＋1”就被证明了。

“思路二”：先证明“n＋m”（这里的n和m可以相等，也可以不相等），然后再逐步缩小n和m，直到n＝1和m＝1的时候，“1＋1”就被证明了。

可以看出，这两种思路的共同点是，都使用了科学研究中的一种重要方法——逐步逼近法。

果然，这两种创新思路——特别是“思路二”，都取得了重大成果。

沿着“思路一”，25岁的前苏联数学家什尼列尔曼（1905～1938），创造了“正密率法”，首先把“C个”确定为不大于80万。接着，就有了如表1所示的一系列成果。

表1

此外，在1937年，前苏联数学家维诺格拉多夫（1891～1983）用改进了哈代和李特尔伍德等在20世纪20年代创立的“圆法”，和他本人独创的“三角和估计法”，基本上完全证明了“三素数猜想”，使它成为“三素数定理”。

这里提到的哈代（1877～1947）和李特尔伍德（1885～1977），都是英国数学家。

沿着“思路二”，在1920年，挪威数学家布龙首先用他发明的“布龙筛法”，取得了“9＋9”的成果。接着，就有了如表2所示的一系列重大成果。

表2

续表

中国数学家陈景润（1933～1996）在1966年发明了迄今为止最卓越的筛法——加权筛法，并证明了1＋2。这被誉为移动了群山的成果，至今无人能超越。

埃拉托色尼的“筛子”

在得到上面的众多成果中，数学家们对数学方法——特别是筛法，进行了许多改进和创新。通俗地说，筛法就是像筛子一样把合数和素数分开的方法。最古老的筛法是“埃拉托色尼筛法”，它的发明者是古希腊数学家埃拉托色尼（公元前284至274～前194）。上面没有提到的创新的筛法就有“塞尔伯格筛法”，前苏联数学家林尼克（1915～1972）创立的“大筛法”，以及这些筛法的各种改进版本等。由于这些方法比较深奥，所以这里不予叙述。

此外，包括我国的华罗庚（1910～1985）在内的许多中外数学家，都对筛法和证明“1＋1”作出过不同的重要贡献。

虽然“1＋1”至今仍然没有攻克，但是数学家们和社会各界却一直在努力。例如，在2000年3月18日，英国费伯和美国布卢姆斯伯里两家出版社，就曾悬赏100万美元奖励在两年内证明“1＋1”的人。不过，也有人认为这是在为一本小说做宣传而进行的炒作，这本小说是希腊作家阿波斯托洛斯·佐克西亚季斯的《彼得罗斯大叔和哥德巴赫猜想》。就在此事发生不久，美国的科雷数学基金会也悬赏100万美元，为包括“1＋1”在内的“七大数学难题”求解，限期是100年。

由于“1＋1”表述非常简单而优美，而且似乎只要有“素数”等初等数学知识就能“搞定”，所以吸引着无数专业和非专业的“数学迷”前仆后继地去为它宵衣旰食。但是，摘取“1＋1”这顶“数论王冠上的宝石”，却有常人想象不到的难度。对此，德国数学家联合会主席旋特洛特曾说：“别说100万美元，就是1亿美元的重奖也未必能加快问题的解决。”200多年以来的“先行者”无一不铩羽而归的前车之鉴告诉我们，一定不要轻易去求证这一难题。

这里，我们不妨举出一个近期的例子。在2000年3月18日英、美那两家出版社悬赏100万美元之后的两年里（即2002年3月15日前），中国科学院数学研究所就不断有声称已经破解了“1＋1”的“民间数学家”的来信或来访。其中，既有农民、工人，也有中学教师、企业“高工”。在吃了闭门羹之后，一些“民间数学家”就声称，要把自己的成果直接寄到国外著名的数学刊物上去发表。但必然的“遗憾”是——从此“泥牛人海”，销声匿迹……

但是，希尔伯特那豪壮的“我们必须知道，我们必将知道”的名言，仍会激励着那些有一定数学功底、敢于在崎岖小路上向顶峰攀登并做好失败心理准备的人们。我们祝愿，智慧的人类早一点解决这个难题。

从理论上说，大自然的规律最终是可知的，但却又是一步一步无限接近的。所以，人类是否能在某个时间之内（例如“地球毁灭”之前）最终解决这个难题，特别是用不太长的时间（例如在21世纪内）——谁也说不准。

因为——“科学是不能计划的。”

不管我们走多远，脚下的路永远都是起点。

在通往“1＋1”的道路上，无数先贤呕心沥血而不计成败得失。因为他们深信：“最渺小的作家常关注着成绩和荣耀，最伟大的作家常沉醉于创造和劳动。”因为他们深信：“劳动本身就是人生的目标。”