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期望值为正的投注方案

自

从新泽西州抄袭了一个犯罪集团的设想，即让彩票玩家自选号码后，美国各州的彩票才真正红火起来。黑帮知道，赌徒希望自己能掌控着命运。今天，两大州际彩票——“超级百万”乐透（ Mega Millions ）和“威力球”（ Powerball ）瓜分了彩票行业的大部分市场。

我们有可能击败六合彩吗？这要看你说的“击败”是什么意思。击败彩票的其中一种定义是找到一种期望值为正的投注方式。也就是说，投注的赔率更有利于彩票玩家而非彩票中心。尽管“超级百万”乐透和“威力球”的利润大得令人难以置信，但借助一套出色的猜测策略，找到期望值为正的投注方案还是有希望的。

击败彩票的另一种更贴切的定义是，“在有生之年，靠投注彩票发一笔横财”。这两种定义听起来似乎是一回事，但遗憾的是，并非如此。本章所讨论的策略只针对那些把买彩票当成消遣、偶尔买上一手的人。

猜测彩票号码的方法至少可追溯到 1981 年，当时，麻省理工学院的统计学家赫尔曼·切尔诺夫（ Herman Chernoff ）在《数学信使》（ Mathematical Intelligencer ）上发表了一篇名为《如何击败马萨诸塞州的数字游戏》（ How to Beat the Massachusetts Number Game ）的文章。他的立论前提是，不是所有彩票号码都有相同的出现概率。

1976 年，马萨诸塞州推出以 4 个号码投注的“每日数字”彩票。由于可能中奖的号码只有 1 万个，再加上有各种办法可以在多个数字上投注，因此每一次开奖总有人同时中奖。而如果出现多个赢家，奖金就会被他们平分。这一规则现已成为自选号码式彩票的标准，给投注策略带来了极大的作用。切尔诺夫提出，在进行投注时，人们可以选择最不受彩票玩家欢迎的号码。这些号码有更大的获胜可能，因为胜出分配奖金的人会比较少。

切尔诺夫发现，彩票玩家选择的号码有着清晰的模式，但胜出的号码是随机的，并无模式。彩票玩家总会避开 0 、 9 和 8 ，尤其是第一个号码。他们喜欢较小的数字。而这一点就足以让不同数字带来的回报产生巨大的变数。

切尔诺夫和他的学生设法找到了期望值为正的投注方法，至少看似如此。期望值指的是，长期而言，你预期扣除成本后能赢多少。至于彩票大奖的期望值是用极渺茫的获胜概率乘以回报，也就是奖金摊到你手里的实际份额，再减去买彩票的成本。由于彩票的存在就是为了从彩票玩家的钱包里掏钱，期望值一般都是负数。马萨诸塞州会从总投注额中抽取 40% 。而这种压倒性的抽头比例是很典型的。

切尔诺夫利用不受欢迎的号码和一条古怪的规律（对只选 3 个数字而非 4 个数字的人有利）设计出了一种能赚钱的投注方式。他每次买 33 张彩票，每天用掉 33 美元。在最初的 210 天里，切尔诺夫选择的号码赢回了 10 倍的奖金，平均每天能赢 44.19 美元，回报率达到了惊人的 34% 。

由于已经在自己发表的文章里提到了这一投注方式，切尔诺夫就没有继续对此进行深入研究。其中一个原因是他观察到，“如果这一投注方式真的很好，它就会广为人知，构成这一投注方式的号码也就会随之受人欢迎，从而破坏原有的投注价值。”

投注软件 PK 玩家选号

彩票中心收到了切尔诺夫的备忘录。今天的彩票已经补上了他所说的一些漏洞，变得更难击败了。六合彩是要让你在给定的范围，比如，在 1 ～ 49 内选择整数。这就消除了包含不受欢迎的 0 和 9 在内的许多号码。就连最天真的玩家也多多少少听说过切尔诺夫的见解。充斥着大量毫无价值的乐透传说的网站和投注技巧小册子，也会建议玩家选择不受欢迎的号码，以避免和他人平分奖金。

让我们来看看三种流行的博彩吧。在美国部分州通行的标准六合一博彩里，你可以从 1 到 49 之间选择 6 个号码。这 6 个号码必须各不相同，顺序则无关紧要。到了抽奖环节， 6 个印着号码的乒乓球从一个“桶”里抽出来。“桶”是彩票界的行话，事实上，抽奖用的装置一般看起来并不像桶。凡是 6 个号码都选中的玩家就可以平分奖金。此外，选中部分号码的玩家可以获得数目较少的固定奖金。

美国最大型的乐透都是“双桶制”博彩。在“超级百万”乐透中，第一个桶里装着编号 1 ～ 75 的白色球。第二个桶里装的是金色的“百万球”，编号为 1 ～ 15 。你需要选择 5 个不同的号码与第一个桶里抽出的 5 个白球相匹配，还要再选择 1 个号码与从第二个桶即“百万球”桶里抽选出来的金球匹配。你选择的“百万球”号码，可以跟之前选的 5 个号码相同，也可以不同。一如常规，选中 6 个号码者便可分享大奖，部分数字相同则可获得数额较小的奖金。

比“超级百万”先出现的“威力球”，与“超级百万”相差无几。在“威力球”博彩中，第一个白色球桶里的号码范围是 1 ～ 59 ，你需要从中选择 5 个号码；第二个红色“威力球”桶里的号码范围是 1 ～ 35 ，你仍需要从中选择一个号码。

为什么是两个桶呢？那么为什么不能是两个桶呢？赌徒喜欢毫无必要的复杂感。

20 世纪 80 年代，金融学教授威廉·津巴（ William Ziemba ）和同事们对六合彩做了一次研究。他们发现，最受欢迎的号码是“幸运 7 ”。它的被选择概率比平均值高 50% 。如果你有点六合彩智慧，你就应该能知道 7 是最不走运的号码。

那么 13 呢？也不怎么样，这也是一个相当受欢迎的号码。许多彩票玩家都有点想试试跟命运对着干的意愿。

提供乐透指南的专题报道常常说，你应该避免可能是日期的号码，比如， 9 和 11 ，理论依据是许多彩票玩家都会选择重大日期。这可能是最知名的逆势策略。因为月份的范围是 1 ～ 12 ，天数的范围是 1 ～ 31 ，近来的年份也是较小的数字，这大概会让彩票玩家相对忽视 32 以上的号码。

津巴没有找到充分的证据以证明上述说法。的确，正如切尔诺夫的发现，较小的号码一般都挺受欢迎。但日期只能生成 2 ～ 3 个号码（加上年份的话），而六合彩需要 6 个号码。选择日期的玩家固然用了一些较小的号码，但为了凑齐 6 个号码，他或许还会选择一些较大的号码来平衡，从而抵消了整个效应。

2005 年 3 月 30 日，“威力球”出现了 110 名二等奖赢家。原来，他们都选了幸运饼干里配送的幸运券上的数字，而这套幸运饼干正好销量极大。你或许没注意过，幸运饼干里的不少幸运券上都有 6 个幸运号码。这张被广为复制的幸运券上写着“所有的辛勤准备最终都将得到回报”，并附有幸运数字 22 、 28 、 32 、 33 、 39 、 40 。与中奖号码相比，这些号码只有最后一个出了错。如果它碰巧是大奖抽中的“ 42 ”，那些按幸运券下注的人就全部都能拿下头奖。

电视剧《迷失》（ Lost ）从头到尾反复出现神秘数字 4 、 8 、 15 、 16 、 23 和 42 。有两集播出走背运的赫尔利哄骗众人参加“超级乐透”，最后，主角雨果赢得了头奖。这显然促使成千上万的观众在电视剧播出期间选中上述数字押注。 2011 年 1 月 4 日，“超级百万”乐透开奖，出现了 4 、 8 、 15 和 42 ，但另外两个号码不同。如果你当时照此投注，就能赢下 150 美元。

乐透软件能为用户生成一组随机号码。 随机选择的号码比绝大多数彩票玩家编的号码更容易中奖。 有意识挑选号码的玩家总会不自觉地受 15 ～ 20 个流行号码的吸引，而随机投注软件往往会比玩家选择更多不受欢迎的号码，因为大多数号码都不受欢迎。尽管接受随机选择的结果并非最佳策略，但运用乐透软件是最简单的下注策略。

实现有利投注的合理方案

津巴发现，每年特定乐透号码的总体受欢迎度都保持了相当的一致性。在标准六合彩（ 1 ～ 49 ）中，最少被玩家挑选的 10 个号码是：

40 39 20 30 41 38 42 46 29 49

乍看起来，似乎看不出什么端倪。仔细看，你就明白了：

● 它们大多末位是 0 、 8 、 9 这几个不受欢迎的数字。

● 没有一个包含了“幸运 7 ”。

● 除了一个之外，它们均为待选范围中较大的那一半（ 25 以上）。

● 一半都集中在 38 ～ 42 这一区间。

这些数字的选中概率要比平均值低大约 15% ～ 30% 。如果能保证所选的 6 个号码都不受欢迎，中奖优势还能复合叠加。津巴算出了上千种期望值为正的 6 个号码组合。由此看来，达到每下注一美元赢回两美元的期望并不太难。

当大奖无人选中、奖金继续累积的时候，你的投注优势还能提高。彩票的价格并不会随着奖金的提高上涨。相反，彩票中心只会继续打印更多彩票而已。没错，由此出现的一股购买彩票的狂潮会稀释所有人假想中的奖金。但归根结底，彩票玩家人数有限，并且他们也会被长达数周的炒作弄得失去耐心。因此，售出的彩票数量并不一定与奖金总额成正比。在某些情况下，巨额累积奖金还能大幅提高投注优势。这在规模较小、仅限美国一个州发行、缺乏全美主流媒体关注的彩票上更为常见。

为把选择 6 个“最不受欢迎”的号码变成一种独特的投注方式，你有必要想办法避免跟同样精明的其他投注者产生竞争。你肯定不想成为自认为足够聪明、选择了同样“最不受欢迎”的 6 个号码的“精英圈”中的一员，因为那恐怕会让你感到与按照幸运券上的数字投注一样蹩脚。

不过，这其实并不太成问题。首先，所谓 6 个“最不受欢迎”的号码存在一定的歧义。只有到了开奖的时候，你才知道有多少玩家选择了中奖号码集中的号码。分析每个号码有多少人选的方法并不少，而且都涉及数学模型的运用。这些模型基本上存在着某种一致性，但也有一些小小的不同。

津巴的研究针对的是 49 选 6 彩票（ 1 ～ 49 里选出 6 个号码）。“超级百万”乐透的选择上限是 75 ，“威力球”的选择上限则是 59 。按照津巴研究中所得的两位数受欢迎度来看， 50 、 51 、 52 、 58 和 59 同样有可能是不受欢迎的号码。

假设你整理了一份不受欢迎的 20 个号码列表，随机从中选择 6 个号码来下注。第 1 个号码有 20 种选择，第 2 个号码有 19 种选择（因为你不能重复选择），第 3 个号码有 18 种，第 4 个号码有 17 种，第 5 个号码有 16 种，第 6 个号码有 15 种。考虑到号码的顺序无关紧要，这 6 个号码共有 38 760 种不同的选择方式。使用同一套“不受欢迎”号码列表并按津巴的方式下注的玩家恐怕没有这么多。假设每个人都随机从幸运号码中选择，使用这一选号方式的玩家也用不着太担心“踩了彼此的脚”。

图 3-1 是一套在美国彩票中实现有利投注的合理方案。你将使用多达 17 个不受欢迎的号码。

● 从该集合中随机选择 6 个号码。技术含量比较低的办法是，把它们写在索引卡上，洗牌，再从中抽选。现在大家应该很清楚，较之头脑里的“随机”挑选，这种真正打乱顺序抽选会更好。

● 你必须根据具体的彩票规则定制来进行抽选。对普通的 49 选 6 彩票，你只需使用图中前四行的 12 个号码。从洗好的 12 张索引卡里抽选 6 个号码，无须替换。

● 对于“超级百万”和“威力球”，你需要使用图中所有号码，从中抽选 5 个。然后，将索引卡换为适用于第二个桶的号码。玩“威力球”时，你只需要使用图中的前 5 个号码。玩“超级百万”乐透时， 10 就是你选金色球号码的最佳选择。

● 现在，你选中了 6 个相对没太多人投注的号码。确保它们在物理或虚拟的彩票投注单上不曾碰巧构成几何图形。迟疑不决的玩家往往会默认让选中的数字在彩票上构成直线或其他图形。对角线尤其受欢迎，因为它们看起来更随机。垂直线也有人喜欢，还有人偶尔会用 5 个号码构成交叉线（水平线与垂直线形成的交叉，或者对角线交叉）。

● 万一你选中的号码构成了几何图形，你可以重新选一次，也可以将其中一个号码换成另一个不受欢迎的号码，以消除图形 。

● 如果你注意到热门电视、电影、书籍或视频游戏里提到了一组六合彩号码，别选它们，也别选新闻里出现的号码。

为了亿分之一的胜算

现在，该说到你不应该放弃正常工作的原因了。标准的 49 选 6 彩票的中奖机会是 1/13 983 816 。“超级百万”乐透的头奖概率是 1/258 890 850 ，“威力球”是 1/175 223 510 。就算你使用上述选号方式，这些比例也毫无改变。也就是说，不管你选择什么号码，胜算始终只有这么一点点。

以每周两次开奖，每次开奖投一注计算，你平均要用大约 13.4 万年，才能赢回第一个 49 选 6 彩票大奖。对“超级百万”和“威力球”而言，你更将等待长达几百万年。

假设你有闲钱的话，为了加快速度，每次开奖你得多投注才行。而只有当工薪阶层把自己的所有收入都花在彩票上时，才能把等待时间削减到一两千年。在通往赢得第一次大奖的漫长道路上，投注冷门号码玩家能赢得数千次小奖。而这些小奖的奖金累积起来能超过大奖的奖金吗？不太可能。大奖之外的奖金几乎都是固定金额，多个赢家也不用瓜分奖金，而这就抵消了津巴提出的投注方式的优势。

加利福尼亚州的“超级百万”乐透是少有的例外。哪怕是小奖金，它也会在获胜者中均分。这意味着，要想获得小奖金，投注冷门号码和避免热门号码都是略有优势的。在加利福尼亚，玩家对《迷失》里的号码投注只赢得了 118 美元的奖金，其他地方的玩家所赢得的奖金则达到了 150 美元，这是因为加利福尼亚投注的玩家太多了。

总体来说，津巴的投注方式帮助并不是很大。那些作为小奖金返还给大众的钱，约 90% 累积进入了大奖。这符合经济上的意义，因为大奖金额才是出售彩票的唯一卖点。知道自己中了一笔小奖金很令人欣慰，但没人关心这笔钱的数目或概率。尽管每一次抽奖都会抽出大约 10 万个小奖，但它们加在一起，也仅仅相当于每投注 1 美元返还几分钱，冷门号码策略无法克服这一点。除非你能获得大奖，否则所有的乐透彩票都是吸金赌博。

津巴和同事们得出了一个冷笑话式的观点：一个颇有耐心的富裕“王朝”可以利用冷门号码投注策略，在数千年的时间积累大笔的财富。可对普通人来说，购买彩票的做法只会让你财源枯竭，在你有生之年几乎不能得到回报。女影星弗兰·勒波维茨（ Fran Lebowitz ）说得没错：“我觉得，你买不买彩票，中奖概率都差不多。”

超级预测术