伟大的发明——进位制

我们知道，数在最开始的时候是为了数出物体的个数而被创造出来的。但是，随着需要计数物体的增多，人类不可能给每一个数都设定一个独立的名称和记号，因为这既不好记忆又不好设定，该怎么办呢？聪明的人类在实践了很久之后，终于想出了一个办法——采用进位制来表示数字。

我们常用的无穷无尽的自然数都是由“ 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8 ， 9 ”这十个数字按一定的规律组成的，这个规律就是十进制，即较低数位上的十个单元组成较高数位上的一个单元。也许有的同学会问，为什么是较低数位上的十个单元才能组成较高数位上的一个单元，而不是两个、三个或二十个呢？

其实，为什么逢十进一，谁也说不清楚。不过据推测，逢十才进一可能与我们的一双手有十个指头有关。在文明极不发达的原始社会，双手是人们最方便的计数工具，所以在计数的时候很自然地就会逢十才往前进一位。这种推测并不是没有道理的胡乱猜测，在现今使用的很多语言上，都保留了十进制与人的手指有关的证据。比如，英语中的“ digit ”，既可以当“数字”讲，也是“手指”的意思。同样的例子还有许多，有兴趣的同学可以自己找找看。

当然，除了十进制，还有许多别的进制，比如 1 分钟等于 60 秒， 1 小时等于 60 分钟，这些是现在还保留的典型的六十进制的例子。其实，六十进制早在四五千年前的古巴比伦就开始被使用了。此外，还有二进制、五进制、十二进制、十六进制……这些进制在古代也曾被使用过，不过现在几乎没有人会在初等数学里用到它们。

五进制曾被美洲大陆、西伯利亚北部和非洲的许多民族普遍使用，今天尚在使用的罗马记数法中仍可见到五进制的痕迹： 1 ， 2 ， 3 的罗马数字符号是Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ； 4 ， 5 的罗马数字符号是Ⅳ，Ⅴ； 6 ， 7 ， 8 的罗马数字符号是Ⅵ，Ⅶ，Ⅷ； 9 ， 10 的罗马数字符号则是Ⅸ，Ⅹ。

十二进制在记数史上也曾风光一时。为什么人们会选用 12 呢？因为 12 是所有两位合数中除 10 外最小的一个，它虽然比 10 大 2 ，约数却比 10 要多两个。约数越多，用它做除法时，整除的机会就越多，就这一点而言，它比十进制要优越。在现代生活中，十二进制的痕迹也是随处可见：一打就是 12 个，一先令是 12 便士等；英语中 1 ～ 12 的单词，其词根都不相同， 13 以上的单词词根则出现循环重复现象。

至于十六进制，相信大家也不陌生，中国古代有个成语“半斤八两”就是十六进制的绝好体现。什么是“半斤八两”呢？就是旗鼓相当、大家都一样。可见在中国古代，半斤就等于八两，那么一斤就是十六两了。其实，十六进制在别的国家也同样被使用过，而且在计算机技术飞速发展的今天，由于 16=24 这一特殊性，十六进制已经被用于计算机上作为十进制和二进制之间的一个过渡进制，它正发挥着更加巨大的作用。

上面谈了十进制、五进制、十二进制、十六进制、六十进制，却没提到二进制这个当今计算机时代的宠儿。二进制到底是怎么回事呢？下面就给同学们说说二进制的起源与发展。

二进制最早出现在我国。公元前一千多年，商纣王暴虐无道。为了排除异己，他将周族领袖姬昌（即周文王）无辜拘禁。姬昌忍辱负重，潜心推演出著名的《易经》一书。书中有这样的语句：“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦。”意思是说：一分为二，二分为四，四分为八。用现在的数学式子表示，就是 2 ⁰ =1 ， 2 ¹ =2 ， 2 ² =4 ， 2 ³ =8 。 2 ⁰ =1 可理解为 2 尚未分时是 1 ， 2 ¹ =2 可理解为 2 分一次后为 2 ，依此类推，可解释剩余的式子。八卦是大家都很熟悉的名词了，它实际上就是整个《易经》一书符号系统的基础。八卦由两种基本的卦画——阳卜“—”（肯定）与阴卜“——”（否定）——的不同排列组合而成，恰与二进制数码相对应。

因此，《易经》中的符号系统，实际上就是一个二进制的符号系统。很可惜这一点不是由中国人最早看出来的，而是由计算机二进制的发明人莱布尼兹首先看出来的。据说， 1701 年，莱布尼兹为了研制乘法计算机而苦苦思索。当他正处于“山重水复疑无路”时，他的好友法国传教士鲍威特将收集到的中国《参同契》中的两张“易图”（伏羲六十四卦次序图、伏羲六十四卦方位图）寄给了他。从这两张图中，莱布尼兹得到了启示，他进入了“柳暗花明又一村”的佳境，终于发明了二进制。莱布尼兹对《易经》的评价极高，当他发现几千年前的《易经》中的符号系统与二进制不谋而合时，心情很激动。他说：“易图是流传于宇宙间所有科学的最古老的纪念物。”迄今为止，《易经》中的很多道理都未被人们完全掌握，可见中国古代人的智慧有多么了不起。

二进制只需“ 0 ”和“ 1 ”两个数字就可以表示一切数字，这对于机器来说最为有利。因为二进制只要找到一个具有两种稳定状态的元件就可以实现，这种元件还是很多的，比如电键的打开与闭合等。而其他进位制需要具有多种稳定状态的元件才能实现，这在技术上是较难实现的。另外，二进制的运算很简单，可以大大提高运算速度，对一位数而言，二进制的加、乘运算分别只有四种情况，而十进制则有 100 种情形。而且二进制不但可以进行数字运算，还可以表示“是”和“否”，所以它便成了计算机的宠儿，在现今的科技发展中起着举足轻重的作用。

各种进位制差不多介绍完了，相信大家对于进位制一定有了一个初步的了解。这些进位制构成了简单方便的表示数以及数值计算的方法，使得数学成为一种无国界的科学。

知识小链接

读错数字带来的困惑

古希腊哲学家柏拉图，曾经根据雅典的伟大政治家和诗人梭伦的回忆录，讲述了一个关于亚特兰蒂斯岛（大西岛）的故事。这个故事说：在比梭伦那个时代早 9 000 年的时候，有一次，巨大的灾难降临到亚特兰蒂斯岛，这个岛连同它的全体居民突然沉没到海里去了。据说，这个岛的面积是 800 000 平方英里（ 1 平方英里≈ 2.59 平方千米），因此，柏拉图不得不把它的位置安排到大西洋里去（大西洋这个名称就是这样得来的），因为整个地中海也容纳不下这么大的一个岛。近代人们对地中海海床进行地质考察后表明，在地中海确实曾经发生过一次非常巨大的火山爆发，它使米诺斯文化突然毁灭掉了。但是，这个事件大约发生在公元前 1 500 年，也就是说，只比梭伦那个时代早 900 年，而不是早 9 000 年。不仅如此，柏拉图在他写的《克利蒂亚斯》一书中描述的那个四面环山的肥沃平原，长 3 000 斯达提亚（古希腊的长度单位， 1 斯达提亚 =600 英尺，即不到 200 米），宽 2 000 斯达提亚。但是，如果把这个大小减为 300 × 200 ，其面积正好同克里特岛上的梅萨拉平原相符。可见，使许多古代学者迷惑的大西岛之谜，是由于人们读错了古埃及数字而产生的，人们把位值提高了一位（把 100 读成 1 000 等），使梭伦因数量相差九倍而犯了错误。其实，大西岛就是希腊南部的克里特岛。