数是怎样产生的

数，作为人类对物体集合的一种性质的认识，是人类以长期的生产生活经验为依据的历史发展结果。

远在原始社会，人类以狩猎、捕鱼和采集果实为生，食品的有无自然是他们最为关心的事情。因此，“有”“无”概念的形成，是自然而又必然的结果。

甲骨文中的数字

“有”是存在的一种形式，有多少才是这种形式下的一个具体内容。因此，对“有”认识的进一步加深，产生了“多”“少”这两个概念。但“多”“少”是相对的，它无法明确地表达某事物量的特征。严格地说，“多”“少”这两个概念并没有在刻画量的特征上比“有”这个概念有多大的进步。不过“多”与“少”毕竟已经摆脱了人们对量的孤立认识，而进入了事物间联系的比较过程，这是了不起的进步。有比较才有鉴别，对事物量的具体表示，正是在这种比较中鉴别出来的。

两个集合之间元素个数多与少的比较，最直接而又合理的办法是建立两个集合元素间的一一对应关系。通过一一对应，不仅可以比较出两个集合之间量的大小，更重要的是还可以发现相等关系。这是“数”的概念产生的一个关键性步骤。

两个集合量的相等关系，就是等数性。对集合间等数性的认识，是人类对物体集合进行定量分析的第一个阶段。在这个阶段中，人类经过了一个使用自身器官、贝壳、石子、树枝等专门用作与被计数集合进行比较的“专用集”（即计数器）过程。从现存的一些古老的民族文化中我们可以看到，人类所使用的最早的计数器是自己身上的手、耳、脚等。人们通过手、耳、脚与被计数集合间量的比较，就可以了解被计数集合中元素的个数—尚未抽象的数。比如，某集合中的量（个数）与耳朵一样多（有等数性），那么就称这个集合中元素的个数为“耳”，据说汉语中的“二”的读音就出自于此。在某些少数民族语言中，“二”有“翼”的意思，那是因为鸟的翅膀有两只。如果个数与一只手的手指一样多，则称这个集合的元素个数为“手”，印度佛教用语中的“五”与波斯语的“手”就很相近。如果个数与整个人的手指与脚趾一样多，则称这个集合的元素个数为“整个人”。这里，像“耳”“手”“整个人”这些词可以说是数的雏形，它们的实际内容是“像耳朵一样多”“像手指那样多”“像整个人身上所有的手指和脚趾那样多”，而不是抽象的“ 2 ”“ 5 ”“ 20 ”这些数。在一些民族的原始文化中，同一个数常常有不同的名称，用于计算不同种类的物体，例如，一些名称是用来计算牛羊数的，一些则是用来计算人口数的。显然，这些计数方式还不是严格意义下的抽象的数，而是分别属于一定种类物体的“有名数”。

抽象的数的概念是在摆脱物体的各种具体属性之后产生的，其重要特点是采用统一的计数器来计量各种不同物体的集合量值（个数）。“计数器”的一个重要作用，是揭示两集合之间元素个数的“多”“少”。我们知道，当两个物体集合中元素数量相近，可以直接通过一一对应比较多少的时候，人们一般采用直接比较的办法来判断。然而当两个集合中元素数量不可直接比较时，计数器就显得很重要了。在人类文明发展的早期，在某一集合中，人们每取出一个物体，就放上一个贝壳或树枝，或者在兽骨上刻一个痕迹，以此来计数。如果甲、乙两个集合所放的贝壳数或所刻的痕迹数相同，那么人们就认为它们之间元素的个数相同；否则就是放贝壳多的集合的元素个数多。这样，经过世世代代千百万次的重复比较，一种脱离了各种集合元素具体特征的数量属性，从贝壳、石子、树枝、痕迹等计数器的使用中抽象出来了。

人们要把比较所得的结果记录下来，就需要记数。在使用文字以前，许多民族用给绳子打成各式各样的结扣来记数：事情大就打一个大结扣，事情小就打一个小结扣，结扣的多少表示数量的多少。后来逐渐有了代替实物的符号，例如，用刀在实物上刻道印来代替实物打结。比如说，三头牛、三棍木棒、三把石斧……这些是不同的事物，但它们却有一个共同的特点，就是都能和三个手指头“一对一”地配搭起来。如果把牛、木棒、石斧等的具体属性暂时撇开，就可以用符号“≡”来表示它们的共同特性。这种方法叫作象形记数法。

其实，几乎每一个民族在远古时期都有自己的记数符号。早在四五千年前，古巴比伦人用有棱角的木片在泥板上压出各种有棱角的符号记数。古埃及人将象形数字雕刻在石器或木器上，例如，“一”的记号像一根木棒；“一百万”的记号是一个人高高地举起双臂，好像在说这个数真大啊！

古埃及数字

随着语言、文字的日渐进化，象形文字也在不断地发展变化着。经过了漫长的岁月后，人类文明进程中出现了今天所使用的数字符号—— 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 …它们叫作自然数。自然数是人类从现实世界中得出的第一个“数字系统”。

知识小链接

数字起源的猜测

关于数的起源，要追溯到遥远的古代。因为年代太久了，人们自然会对其有各种各样的猜测和幻想。有人认为，“上帝”是万物的起源，他创造了地球和人，也把数赐给了人类。直到 19 世纪 70 年代，德国有一个名叫克隆尼克的人说：“整数是被亲爱的上帝制造的，其他都是人的工作。”也有人认为，数是人类从感性经验中提炼和概括出来的，它既不是“上帝”的恩赐，也不是“天才”人物的发现。恩格斯曾经说过：“数和形的概念不是从其他任何地方，而是从现实世界中得来的。”到底哪一种说法对呢？我们认为，数的概念不是从天上掉下来的，数的系统也不是一朝一夕形成的，它们是人们在认识大自然的漫长岁月中逐渐形成的。