下载掌阅APP，畅读海量书库
立即打开
小朋友们，在日常生活和学习中，我们经常会碰到由线段、三角形、四边形等组成的图形，你想学会数这些图形的方法吗？
数图形，初看很容易，只要数一数就能得出结果。其实，并不这么容易。由于几何图形千变万化，错综复杂，要想准确数出图形中所包含的某一种几何图形的个数，首先一定要仔细观察，分析比较，掌握有条理、有次序地数图形的方法；其次要做到不重复、不遗漏。要想不重复、不遗漏地数出线段、角、三角形、长方形等图形的个数，就必须要有次序、有条理地数，发现规律，以便得到正确的结果。
数图形时，通常采用枚举法，可以按顺序数也可以分类数，把所要计数的对象一一列举出来。首先，可以从数基本图形的个数入手；然后，再数出由基本图形组成的新图形的个数；最后求出它们的和即可。数图形“数”的常用方法和技巧如图2—1。
图2—1
不同的图形特别是规则图形的数法还是有径可循的，如图2—2。
图2—2
例 1 数一数，图2-3中共有几条线段？
图2—3
我们先来学习几种数图形的方法，这些方法在以后的题目中会经常用到，且要灵活运用。
思路一： 我们知道，每条线段都有两个端点。相邻两个端点之间的线段为1条基本线段。下面我们先来数出由1条基本线段组成的线段，共有5条，分别是AB、BC、CD、DE、EF如图2—4所示。
如图2—5，由2条基本线段组成的线段有4条，分别是AC、BD、CE、DF。
图2—4
图2—5
如图2—6，由3条基本线段组成的线段有3条，分别是AD、BE、CF。
如图2—7，由4条基本线段组成的图形有2条，分别是AE、BF。
图2—6
图2—7
如图2—8，最后由5条基本线段组成的线段，只有1条AF。最后将所有线段相加就是线段总条数。
图2—8
思路二： 按左边的端点变化来数，先数以A为左端点的线段有AB、AC、AD、AE、AF，共有5条，如图2—9。
图2—9
以B为左端点的线段有BC、BD、BE、BF，共有4条，如图2—10。
图2—10
以C为左端点的线段有CD、CE、CF，共有3条，如图2—11。
以D为左端点的线段有DE、DF，共有2条，如图2—12。
如图2—13，以E为左端点的线段只有1条EF。最后将所有线段相加就是线段的总条数。
图2—11
图2—12
图2—13
其实，从右端点开始计数也是可以的，但是注意不能从左端点和右端点同时进行计数。
5+4+3+2+1=15（条）
答：图中共有15条线段。
从上述两种图示数线段的方法中，我们可以发现数线段的规律：线段的条数与线段上的点数是有关的。线段AF中有6个点，线段的条数为（6-1）+（6-2）+（6-3）+（6-4）+（6-5）=15（条）。假如图中有n个点，那么线段的条数为（n-1）+（n-2）+（n-3）+…+3+2+1。
例 2 数一数，图2-14中共有几个角？
图2—14
数的时候也有三种方法。
思路一： 数角的个数可以采用“数线段”的方法。我们可以先把∠AOB、∠BOC、∠COD“编号”，即图中的∠1、∠2、∠3，将它们看作基本角，那么先数以一个角为单位的角，有3个角，即为∠1、∠2、∠3；再数由2个角组成的角，分别为∠1与∠2组合的∠AOC、∠2与∠3组合的∠BOD，共计2个角；最后是由∠1、∠2、∠3组合而成的1个大角∠AOD。最后加起来3+2+1即可。具体如图2—15所示。
图2—15
思路二： 以AO为一边的角有3个，分别是∠AOB、∠AOC、∠AOD；以BO为一边的角有2个，分别为∠BOC、∠BOD；以CO为一边的角有1个是∠COD，如图2—16所示。
思路三： 如图2—17所示，只要数出从顶点O出发引出几条射线，射线的条数相当于线段的端点，每两个端点就是一条线段，同样地从一个点出发引出的每两条射线就组成一个角。这样就可以用数线段的方法来数角的个数。所以A、B、C、D之间有4个端点，由这4个端点连接而成的线段有3+2+1=6（条）。同样地，从顶点O引出的4条射线OA、OB、OC、OD组成的角也是6个。
图2—16
图2—17
3+2+1=6（个）
答：图中共有6个角。
例 3 数一数，图2-18中共有几个三角形？
图2—18
数的时候也有两种方法。
思路一： 先数以1个小三角形为单位的三角形，有3个，分别是△AOB、△BOC、△COD；再数由2个小三角形组成的三角形，有△AOC、△BOD，共有2个；最后数出由3个小三角形组成的大三角形，共有1个，就是△AOD。最后加起来就是3+2+1=6（个），如图2—19所示。
图2—19
思路二： 只要数出AD这条底边上共有几条线段，也就有对应的几个三角形。这样就可以用数线段的方法来数出AD边上有几条线段，那么对应地就有几个三角形。如图2—20。
图2—20
3+2+1=6（个）
答：图中共有6个三角形。
例 4 数一数，图2-21中共有多少个三角形？
图2—21
根据例3中数三角形的方法，可以将这个图形分为以下三个部分。
由图2—22可知，△ABD中有三角形3+2+1=6（个）；在△DBC中有三角形3个；在△ABC中有三角形3+2+1=6（个）。进而可知道整个图形中三角形的个数。
图2—22
（3+2+1）+3+（3+2+1）=15（个）答：图中共有15个三角形。
例 5 数一数，图2-23中共有几个长方形？
图2—23
思路一： 先找出图形的特点，大长方形是由n个基本图形组成的。因此可以按照组成图形的基本图形的个数来数。
单个长方形，如图2—24所示。
图2—24
由2个小长方形组成的长方形，如图2—25所示。
图2—25
由3个小长方形组成的长方形，如图2—26所示。
图2—26
由4个小长方形组成的长方形，如图2—27所示。
由5个小长方形组成的长方形，如图2—28所示。
图2—27
图2—28
思路二： 其实长方形的个数就等于底边上的线段数。这是因为每一个长方形都和底边上的一条线段对应，所以只要数出底边的线段数，那么长方形的个数就出来了。如图2—29。
图2—29
5+4+3+2+1=15（个）
答：图中共有15个长方形。
小结：如果图形中同一行中都是长方形，可用下列公式求出长方形的总个数，即基本图形个数+（基本图形个数-1）+（基本图形个数-2）+…+1=长方形总个数。
例 6 数一数，图2-30中共有几个长方形？
图2—30
思路一： 我们可以先给基本的小长方形编号，共有6个，如图2—31。
图2—31
由两个基本长方形组成的长方形有，横着数由于每一横行各有2个共4个，竖着数有3个，即为4+3=7（个），如图2—32。
图2—32
由三个基本长方形组成的长方形，只有横着的2个，如图2—33。
图2—33
由四个基本长方形组成的长方形也只有2个，如图2—34。
图2—34
由五个基本长方形组成的长方形则没有，最后由6个基本长方形组成的长方形也就只有1个。这样长方形的个数共有6+7+2+2+1=18（个）。
思路二： 从图2—35中可以看出，长方形的个数与长方形中的长与宽的线段条数有关。长边上的线段数为3+2+1=6（条），宽边上的线段数为2+1=3（条），则长方形的个数为6×3=18（个）。至此，可以得出这样的计算方法：长方形的个数=长边上的线段数×宽边上的线段数。
图2—35
解法一： 6+7+2+2+1=18（个）；
解法二： 长边上的线段数：3+2+1=6（条）； 宽边上的线段数：2+1=3（条）； 长方形的个数：6×3=18（个）。
例 7 三年级有9个班举行拔河比赛，每两个班之间都要进行一场比赛，一共要进行多少场比赛？
这类题我们可以用数线段的方法来解答。根据题意画出线段图（图2—36）如下，每一个端点代表一个班级。
图2—36
从图2—36可以看出，三（1）班要与其余8个班级比赛，有8场；三（2）班要与其余7个班级比赛，有7场；三（3）班要与其余6个班级比赛，有6场，依此类推，最后三（8）班与三（9）班比赛一场。进而可求出一共要比赛的场数。
8+7+6+5+4+3+2+1=36（场）
答：一共要进行36场比赛。
1. 数一数，下面图形中各有多少条线段？
（1）
列式：__________
（2）
列式：__________
（3）
列式：__________
（4）
列式：__________
2. 数一数，下面图形中各有多少个角？
（1）
（2）
（3）
3. 数一数，下面图形中各有几个三角形？
（1）
（2）
4. 数一数，下面图形中各有几个长方形？
（1）
（2）
（3）
（4）
5. 数一数，图中有多少个平行四边形？
第5题图
6. 数一数，下面图形中各有几个正方形？
（1）
（2）
7. 我挑战：请列式计算下列各题中图形的个数，注意计数时做到不重复、不遗漏。
（1）
三角形的个数：__________
正方形的个数：__________
（2）
三角形的个数：__________
四边形的个数：__________
（3）
线段的条数：__________
三角形的个数：__________
（4）
正方形的个数：__________
三角形的个数：__________
（5）
线段的条数：__________
三角形的个数：__________
长方形的个数：__________
（6）
线段的条数：__________
三角形的个数：__________
长方形的个数：__________
8. 有红、黄、绿、青、蓝、紫6种颜色的花，取每两种不同颜色的花扎成一束，共有多少种不同的扎法？
9. 1～9这9个数字能组成多少个不同的两位数？
10. 如图，豆豆一家人准备拍照，如果每2个人合照一张，一共要照多少张照片？
第10题图