1.3 符号变量的应用

符号变量在解决工程问题中的应用较多。对于一个工程问题而言，一般首先从变量出发，把问题用符号变量表示出来（得到符号矩阵），然后通过符号变量求解得到一般表达式，再根据该表达式，代入相应的初始条件，即可得到问题的具体的解。

本节主要从符号变量与实际生活实证分析出发，应用符号变量求解质点系转动惯量、油罐剩余油量体积和光的反射定理等问题。

1.3.1 质点系的转动惯量问题

已知在平面上的n个质点P ₁ ( x ₁ ，y ₁ )，P ₂ ( x ₂ ，y ₂ )，…，P _n ( x _n ，y _n )，其质量分别为m ₁ ，m ₂ ，…，m _n 。请确定一个点P(x,y)，使得质点系关于此点的转动惯量最小。

解：设质点系关于此点的转动惯量为J，由转动惯量定义可知：

要满足质点系的转动惯量最小，即

最小，这是一个二元一次极值问题。

由式（1.1）可知：

式（1.2）满足最小值条件时，

，可得：

由式（1.3）可得：

则P点在

处有极小值，此时质点系关于P的转动惯量最小。

1.3.2 油罐剩余油量体积的求解

油罐在一般的加油站均有应用。如何求油罐剩余油量的体积是一个亟待解决的问题。例如，如图1-9（a）所示，一平放的椭圆柱体形状的油罐，长度为L，椭圆的长半轴为a，短半轴为b，油的密度为ρ，问：当油罐中油的高度为h时，油量是多少？

解：由题意可知，该柱体在长度方向上是均匀的，故在此取该椭圆柱体的一横截面进行分析探讨，如图1-9（b）所示。

图1-9 椭圆柱油罐

假设椭圆柱体的横截面为标准的椭圆形，且椭圆柱体完好无损，放置平稳，外界干扰可忽略不计；椭圆柱体里油高为h的油面与所建坐标系上的椭圆柱体横截面相交，且一交点为A点，A点坐标为(x,y)。

图1-9（b）所示的阴影部分面积为椭圆柱体中的油所占空间，积分可得：

其中，S为椭圆柱体的横截面面积。对式（1.4）积分可得：

则可求出：

从而可求出体积V：

椭圆柱体油罐中油的高度为h，与模型中的y存在如下关系：

将式（1.8）代入式（1.7）可得：

其中，V为椭圆柱体里油高为h的油的体积。

则高度为h的油量为：

其中m为椭圆柱体里油高为h的油的质量（油量）。由式（1.10）得：

该模型结果符合题目要求。程序如下：

>> syms a b h y L

m=sqrt(b^2-y^2);

m1=int(m);

m2=int(m,'-b','n')

m2=

(b^2*asin(b/(b^2)^(1/2)))/2 + (b^2*asin(n/(b^2)^(1/2)))/2 + (n*(b^2 - n^2)^(1/2))/2

>> m3=subs(m2,'n','y');

>> S=2*a/b*m3;

>> simplify(S)

ans=

a*b*(asin(b/(b^2)^(1/2)) + asin(y/(b^2)^(1/2))) + (a*y*(b^2 - y^2)^(1/2))/b

>> V=S*L

V=

(2*L*a*((b^2*asin(b/(b^2)^(1/2)))/2 + (b^2*asin(y/(b^2)^(1/2)))/2 + (y*(b^2 - y^2)^(1/2))/2))/b

>> V=2*a/b*(1/2*y*(b^2-y^2)^(1/2)+1/2*b^2*atan(y/(b^2-y^2)^(1/2)))*L;

>> y=h-b;

>> V1=subs(V,'y','h-b')

V1=

-(2*L*a*((b^2*atan((b - h)/(b^2 - (b - h)^2)^(1/2)))/2 + ((b^2 - (b - h)^2)^(1/2)*(b - h))/2))/b

>> simplify(V1)

ans=

- L*a*b*atan((b - h)/(b^2 - (b - h)^2)^(1/2)) - (L*a*(b^2 - (b - h)^2)^(1/2)*(b - h))/b

>>

1.3.3 光的反射定理的论证

光的发射定理最早由费马提出（费马原理）光总是沿用时最短的光程传播。试根据这一原理利用极值的有关知识证明光的反射定律：入射角等于反射角。下文将借助于符号变量证明入射角等于反射角。

根据题意，光线的入射、反射过程可由图1-10直观地表示出来。在图1-10中，光线从1入射，反射到2点。

图1-10 光线反射示意图

针对图1-10 所示的光线反射路径图，假设一束自然光线沿路径L ₁₀ 照射到x轴，y轴设为实物体表面，且为理想状态，光线传播过程中无阻碍，与法线y轴的夹角为θ ₁ ；光线经实物体表面x轴反射后，沿路径L ₀₂ 反射，与法线y轴的夹角为θ ₂ 。由费马原理可得，路径L ₁₀ 、路径L ₀₂ 为直线；光线从1点到2点在坐标轴上的竖直方向上的投影相等，且为H；光在空气中传播的速度为光线在真空中传播的速度C；1点与2点之间的距离为定值L；光线从L ₁₀ 到L ₀₂ 所需时间为T。

则光线从L ₁₀ 到L ₀₂ 所需时间为：

其中，θ ₁ 、θ ₂ ∈(0°，90°)。

又1点与2点之间的距离为定值L，则可得：

设

，则

由三角代换变形得：

代入式（1.12）得：

对式（1.15）求一阶导数得：

因函数时间T有极小值，令T'=0，整理结果可得：

此时，将式（1.17）代入式（1.14）得：

从而有：

由式（1.19）可得入射角等于反射角，即结果成立。故由费马原理（光总是沿用时最短的光程传播）可知，实际光线从1点到达2点，经过路径L ₁₀ 、L ₀₂ ，与法线y轴所成夹角均为θ。

程序代码如下。

>> syms H C K x

>> T=(H/C)*((1/cos(x))+[1+(K-tan(x))^2]^(1/2));

>> dfdx=diff(T,x)

dfdx=

H/C*(1/cos(x)^2*sin(x)+1/(1+(K-tan(x))^2)^(1/2)*(K-tan(x))*(-1-tan(x)^2))

>> a=solve(dfdx,'x');

>> tan(a)

ans=

1/2*K

1/2*K q8tofj0GnSz5d7JUIDJyre7+F7vf07LhL3IwlDbcaQOll8BtYBorseQ9gZN+y/nz