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整数a除以整数b（b≠0），除得的商正好是整数且没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。
甲数除以乙数除得的商是整数或有限小数，称为甲数能被乙数除尽。
如果数a能被数b整除，a就是b的倍数，b就是a的因数。
如果a、b两个整数都能被整数c（c≠0）整除，那么a、b两数的和以及a、b两数的差也能被c整除。
注意：整除与除尽的区别和关系
①整除中，被除数、除数（不为0）、商三者都是整数，且没有余数。
②除尽中，被除数、除数（不为0）、商三者不一定都是整数，也可以是小数或分数，也没有余数。
③“整除”是“除尽”的特殊情况。整除一定是除尽，但除尽不一定是整除。
自然数中，是2的倍数的数叫作偶数，不是2的倍数的数叫作奇数、最小的偶数是0，最小的奇数是1，在自然数中，任何一个数，不是偶数就是奇数。
例1：如果n是任意一个自然数，则偶数表示为（），奇数表示为（）。
分析：n为任意自然数，它有可能是奇数，也有可能是偶数，2和任何自然数相乘都得偶数，所以我们用2n来表示偶数。而最小的偶数是0，再加上1就是奇数，任意一个偶数加上1都是奇数，所以我们用2n+1来表示奇数。
例2：任意打开一本书，左右两个页码的和可能是（）。
A.75
B.80
C.85
分析：任意打开一本书，左右两页码一定是相邻的两个自然数，也就是一个奇数和一个偶数，其和一定还是奇数，所以左右两页码的和不可能是80，排除选项B；如果左右两页码的和是75，根据和差问题的思路，可求得：（75-1）÷2=37（页），37+1=38（页），这两页的页码就是37页和38页；如果左右两页码的和是85，同样可求得（85-1）÷2=42（页），左页为42，右页为43页。联系实际生活，通常打开一本书都是偶数页码在左，奇数页码在右，所以正确答案应该选C。
即两页码的和是85。
（1）一个数，如果只有1和它本身两个因数，这个数就叫作质数。
一个数，如果除了1和它本身外，还有别的因数，这个数就叫作合数。
1既不是质数，也不是合数。
因此判断一个数是质数还是合数，要看它因数的个数。质数的因数只有1和它本身，合数除了1和本身以外还有别的因数。最小的质数是2，最小的合数是4。2是质数中唯一的偶数。
（2）注意：①最小的质数是2，没有最大的质数；1既不是质数也不是合数；分解质因数一定要分解彻底，直到每一个因数都是质数为止。
②质因数与分解质因数的区别：质因数是一个具体的数，而且必须是质数。而分解质因数是把一个合数进行拆分的过程，使一个合数变为几个质数相乘的形式。
（3）互质数：两个数的公因数只有1，这两个数叫作互质数。
注意：“1”和任何自然数都互质；相邻的两个自然数互质；两个不同的质数互质；当合数不是质数的倍数量时，这两个数互质；当两个合数的公因数只有1时，这两个合数互质。
（4）质因数和分解质因数：每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数都可以叫作这个合数的质因数。例如：30是合数，30=2×3×5，其中2、3、5这三个质数就叫作30的质因数。
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫作分解质因数。分解质因数通常用短除法。
例：把自然数a分解质因数是a=2×3×2×5，则a的因数有多少个？
分析：如果数a能被数b整除，b就是a的因数。
a=2×3×2×5=60
60÷1=60/60÷2=30/60÷3=20/60÷4=15/60÷5=12/60÷6=10
能整除60的数有1，60，2，30，3，20，4，15，5，12，6，10。
答案：有12个。
如果自然数a能被自然数b（b≠0）整除，那么a就叫作b的倍数，b就叫作a的因数，因数和倍数是相互依存的。
任何一个数的因数的个数是有限的，其中最小的是1，最大的是它本身。
任何一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的是它本身。
例1：计算20以内不是5的倍数的自然数的和。
分析：运用和差的解题思路，要想计算20以内不是5的倍数的自然数的和，首先计算20以内所有自然数的和：（1+20）×20÷2=210，再计算20以内的自然数中5的倍数的自然数的和：（5+20）×4÷2=50，然后计算210-50=160，这就是20以内不是5的倍数的自然数的和。
答案：160。
例2：把30、42、55、66、78、91这六个数分成两组，使每组三个数的乘积相等。
分析：如果两个数乘积相等，那么把这两个数分解质因数，必定得到相同的质因数。根据这个原则，我们先把这6个数都分解质因数。30=2×3×5，42=2×3×7，55=5×11，66=2×3×11，78=2×3×13，91=7×13。通过观察比较，得到乘积相等的两组。
答案：30×66×91=42×55×78
5.最大公因数和最小公倍数
几个数公有的因数，叫作这几个数的公因数，其中最大的一个因数叫作这几个数的最大公因数。
几个数公有的倍数，叫作这几个数的公倍数，其中最小的一个倍数叫作这几个数的最小公倍数。
几个数的最大公因数里，必须包含它们全部公有的质因数。
几个数的最小公倍数里，必须包含它们所有的质因数。如果小数是大数的因数，那么小数就是这两个数的最大公因数。如果两个数是互质数，那么它们的最大公因数是1。
如果大数是小数的倍数，那么大数就是这两个数的最小公倍数。如果两个数是互质数，那么它们的最小公倍数是这两个数的积。
一般地，求n个数的最大公因数、最小公倍数通常运用短除法。
用短除法求n个数的最大公因数时，先用这几个数的公因数连续去除，直到所得的商只有公因数1为止，然后把所有的除数连续乘起来。
用短除法求几个数的最小公倍数时，先用所有的公因数去除，然后用任意两个数的公因数去除，直到所有的商两两互质为止，然后把所有的除数和最后的几个商连乘起来。
例1：求12、18和24的最大公因数和最小公倍数。
分析：求这3个数的最大公因数时，要先用它们的公因数连续去除，直到只有公因数1为止，除数连乘的积就是这3个数的最大公因数。求这3个数的最小公倍数时，先用三个数的公因数去除，然后考虑用任意两个数的公因数去除，直到商两两互质为止，所有的除数及商的积就是这3个数的最小公倍数。
12、18、24的最小公倍数是2×3×2×1×3×2=72。
例2：m是n的倍数，p是n的因数，下面有四种说法：
A.m是p的倍数
B.n既是p的倍数，又是m的因数
C.m是m,n，p的最小公倍数
D.m,n，p的最大公因数是p
以上说法中，（）是正确的。
分析：此题是考查学生对倍数、因数、最大公因数、最小公倍数之间的理解。从条件中可以看出，m是n的倍数，也一定是p的倍数；p是n的因数，那也是m的因数，p一定是m,n，p的最大公因数。
答案：以上说法中，A、B、C、D都是正确的。
例3：一个三角形建筑的三条边分别是15米、18米和27米，工人们要在它的三边上栽上树（三个顶点都栽），且每相邻两棵树间距都相等，最少需要（）棵树。
分析：本题主要考查最大公因数在实际生活中的应用。实际就是求15，18和27的最大公因数。15，18和27的最大公因数是3，因此三边分别栽5棵、6棵和9棵。因为三角形是一个封闭图形，所以5+6+9=20（棵）。
易错分析：弄不清“三角形是一个封闭图形，间隔数与点数相等”是出错的主要原因。
答案：20
例4：公交公司的2路汽车每3分钟发一次车，3路汽车每5分钟发一次车，这两路车同时发车后，至少再过（）分钟又同时发车。
分析：本题主要考查的是最小公倍数在日常生活中的应用。求经过多少分钟再同时发车，实际上就是求3和5的最小公倍数。因为3和5是互质数，所以它们的最小公倍数是3与5的积15。
答案：15
6.2、3、5的倍数的数的特征
2的倍数：个位上是2、4、6、8或0的数。
5的倍数：个位上是5或0的数。
3的倍数：各个数位上数字的和是3的倍数的数。
注意：3的倍数的特征是：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数。那么这个数就是3的倍数。三个相同数字的和一定是3的倍数，三个连续自然数的和也是3的倍数。
如果一个数，要想同时能被2，3，5中的两个或三个数整除，则这个数必须同时符合能被这两个或三个数整除的数的特征。
例1：已知A19/93B这个六位数能被15整除，求满足这个条件的所有六位数。
解答：能被15整除的数一定能同时被3和5整除，因此这个数的个位不是0，就是5，也就是说B=0或5。根据：一个数各个位上的数字之和能被3整除则这个数能被3整除，如果个位数是0，那么十万位上就可能是2，5，8，因为2+1=3，5+1=6，8+1=9，千位上数字是9，百位上也是9，十位上数字3，它们都是3的倍数，所以可省略不加了。如果个位上是5，那么十万位上就可能是3，6，9。
答案：满足条件的所有六位数有219930，519930，819930，319935，619935，919935。
例2：在□里填上合适的一位数字，使得17□45□是2，3，5的倍数，共有（）填法。
分析：本题主要考查2，3，5的倍数的特征。一个数要同时能被2，3，5这三个数整除，则这个数必须同时符合能被这三个数整除的数的特征。要使这个数同时是2和5的倍数，这个数的个位上必须是0，1+7+4+5+0=17，要使各个数位上的数的和是3的倍数，则千位是1，4和7都可以，因此答案有3个。
易错分析：对同时是2，3，5的倍数的数的特征不够熟练。
答案：3
例3：从0，1，2，5，9这5个数字中选4个数字组成一个能同时被2，3，5整除的最小四位数是什么？
分析：先考虑这个四位数的首和尾，最小必须是1作首，而要能同时被2和5整除必须用0作尾，再找中间的两个数字与1，0加起来能被3整除，还要考虑把小的那个数字放在百位上。
答案：这个数是1290。