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1.2 R语言中的数学计算

问题

如何用R语言进行数学计算?

引言

R语言是统计语言,生来就对数学有良好的支持,用R语言做数学的计算题特别方便。如果计算器中能嵌入R语言的计算函数,那么绝对是一种高科技产品。我真的把R语言当成我的计算器了!

1.2.1 基本计算

R语言对数学计算有着非常好的支持,本节将完整介绍初等数学中的各种计算操作。

本节的系统环境是:

·Windows 7 64bit

·R:3.1.1 x86_64-w64-mingw32/x64(64-bit)

用R语言实现四则运算操作,包括加、减、乘、除、余数、整除、绝对值、判断正负。


> a<-10;b<-5               # 定义2个变量
> a+b;a-b;a*b;a/b               # 加减乘除
[1] 15
[1] 5
[1] 50
[1] 2
> a%%b;a%/%b               # 余数,整除
[1] 0
[1] 2
> abs(-a)                    # 绝对值
[1] 10
> sign(-2:3)               # 判断正负
[1] -1 -1  0  1  1  1

用R语言实现数学计算操作,包括幂、自然常数e的幂、平方根、对数。


> a<-10;b<-5;c<-4               # 定义3个变量
> c^b;c^-b;c^(b/10)          # 幂运算
[1] 1024
[1] 0.0009765625
[1] 2
> exp(1)                    # 取自然常数e
[1] 2.718282
> exp(3)                    # 自然常数e的幂
[1] 20.08554
> sqrt(c)                    # 平方根
[1] 2
> log2(c)                    # 以2为底的对数
[1] 2
> log10(b)                    # 以10为底的对数
[1] 0.69897
> log(c,base = 2)               # 自定义底的对数
[1] 2
> log(a,base=exp(1))          # 自然常数e的对数
[1] 2.302585
> log(a^b,base=a)               # 指数对数操作
[1] 5
> log(exp(3))
[1] 3

用R语言实现比较计算操作,包括==、>、<、!=、<=、>=、isTRUE、identical。


> a<-10;b<-5               # 定义2个变量
> a==a;a!=b;a>b;a<b;a<=b;a>=c     # 比较计算
[1] TRUE
[1] TRUE
[1] TRUE
[1] FALSE
[1] FALSE
[1] TRUE
> isTRUE(a)               # 判断是否为TRUE
[1] FALSE
> isTRUE(!a)
[1] FALSE
> identical(1, as.integer(1))     # 精确比较两个对象
[1] FALSE
> identical(NaN, -NaN)
[1] TRUE
> f <- function(x) x
> g <- compiler::cmpfun(f)
> identical(f, g)
[1] TRUE

用R语言实现逻辑计算操作,包括&、|、&&、||、xor。


> x<-c(0,1,0,1)               # 定义2个向量
> y<-c(0,0,1,1)
> x && y;x || y               # 只比较向量的第一个元素 &&, ||
[1] FALSE
[1] FALSE
> x & y;x | y               # S4对象的逻辑运算,比较所有元素 &, |
[1] FALSE FALSE FALSE  TRUE
[1] FALSE  TRUE  TRUE  TRUE
> xor(x,y)                    # 异或比较
[1] FALSE  TRUE  TRUE FALSE
> xor(x,!y)
[1]  TRUE FALSE FALSE  TRUE

用R语言实现约数计算操作,包括ceiling、floor、trunc、round、signif。


> ceiling(5.4)               # 向上取整
[1] 6
> floor(5.8)               # 向下取整
[1] 5
> trunc(3.9)               # 取整数
[1] 3
> round(5.8)               # 四舍五入
[1] 6
> round(5.8833, 2)          # 四舍五入,并保留2位小数
[1] 5.88
> signif(5990000,2)          # 四舍五入,保留前2位整数
[1] 6e+06

用R语言实现数组计算操作,包括求最大值、求最小值、范围、求和、均值、加权平均、连乘、差分、秩、中位数、分位数、任意数、全体数。


> d<-seq(1,10,2);d          # 定义1个向量
[1] 1 3 5 7 9
> max(d);min(d);range(d)          # 求最大值、最小值、范围range
[1] 9
[1] 1
[1] 1 9
> sum(d);mean(d)                         # 求和、均值
[1] 25
[1] 5
> weighted.mean(d,rep(1,5))               # 加权平均
[1] 5
> weighted.mean(d,c(1,1,2,2,2))
[1] 5.75
> prod(1:5)                         # 连乘
[1] 120
> diff(d)                              # 差分
[1] 2 2 2 2
> rank(d)                              # 秩
[1] 1 2 3 4 5
> median(d)                         # 中位数
[1] 5
> quantile(d)                         # 分位数
0%  25%  50%  75% 100%
1    3    5    7    9
> any(d<5);all(d<5)                    # 任意条件any,全体条件all
[1] TRUE
[1] FALSE

用R语言实现排列组合计算操作,包括阶乘、组合、排列。


> factorial(5)                         # 阶乘5!
[1] 120
> choose(5, 2)                         # 组合,从5个中选出2个
[1] 10
> combn(5,2)                         # 列出从5个中选出2个的所有组合项
      [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10]
[1,]    1    1    1    1    2    2    2    3    3     4
[2,]    2    3    4    5    3    4    5    4    5     5
> for (n in 0:10) print(choose(n, k = 0:n))     # 计算0:10的组合个数
[1] 1
[1] 1 1
[1] 1 2  1
[1] 1 3  3  1
[1] 1 4  6  4   1
[1] 1 5 10 10   5   1
[1] 1 6 15 20  15   6   1
[1] 1 7 21 35  35  21   7   1
[1] 1 8 28 56  70  56  28   8  1
[1] 1 9 36 84 126 126  84  36  9  1
[1]   1  10  45 120 210 252 210 120  45  10   1
> choose(5, 2)*factorial(2)          # 排列,从5个中选出2个
[1] 20

用R语言实现累积计算操作,包括累加、累乘、最小累积、最大累积。


> cumsum(1:5)                    # 累加
[1]  1  3  6 10 15
> cumprod(1:5)                    # 累乘
[1]   1   2   6  24 120
> e<-seq(-3,3);e                    # 定义一个向量
[1] -3 -2 -1  0  1  2  3
> cummin(e)                    # 最小累积cummin
[1] -3 -3 -3 -3 -3 -3 -3
> cummax(e)                    # 最大累积cummax
[1] -3 -2 -1  0  1  2  3

用R语言实现两个数组的计算操作,包括取交集、并集、差集、数组是否相等、取唯一、查匹配元素的索引、找重复元素索引。


> x <- c(9:20, 1:5, 3:7, 0:8);x          # 定义两个数组向量
 [1]  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20  1  2  3  4  5
[18]  3  4  5  6  7  0  1  2  3  4  5  6  7  8
> y<- 1:10;y
[1]  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10
> intersect(x,y)                    # 交集
[1]  9 10  1  2  3  4  5  6  7  8
> union(x,y)                    # 并集
 [1]  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20  1  2  3  4  5
[18]  6  7  0  8
> setdiff(x,y)                    # 差集,从x中排除y
 [1] 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20  0
> setequal(x, y)                    # 判断是否相等
[1] FALSE
> unique(c(x,y))                    # 取唯一
 [1]  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20  1  2  3  4  5
[18]  6  7  0  8
> which(x %in% y)                    # 找到x在y中存在的元素的索引
 [1]  1  2 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 24 25 26 27 28
[18] 29 30 31
> which(is.element(x,y))               # 同%in%
 [1]  1  2 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 24 25 26 27 28
[18] 29 30 31
> which(duplicated(x))               # 找到重复元素的索引
 [1] 18 19 20 24 25 26 27 28 29 30

1.2.2 三角函数计算

1.三角函数

在直角三角形中仅有锐角(大小在0~90度之间的角)三角函数的定义。给定一个锐角θ,可以做出一个直角三角形,使得其中的一个内角是θ。设这个三角形中,θ的对边、邻边和斜边长度分别是a、b和h,如图1-3所示。

图1-3 直角三角形

三角函数的6种关系:正弦、余弦、正切、余切、正割、余割。

·θ的正弦是对边与斜边的比值:sinθ=a/h

·θ的余弦是邻边与斜边的比值:cosθ=b/h

·θ的正切是对边与邻边的比值:tanθ=a/b

·θ的余切是邻边与对边的比值:cotθ=b/a

·θ的正割是斜边与邻边的比值:secθ=h/b

·θ的余割是斜边与对边的比值:cscθ=h/a

三角函数的特殊值。

用R语言实现三角基本函数计算,包括正弦、余弦、正切。


> sin(0);sin(1);sin(pi/2)               # 正弦
[1] 0
[1] 0.841471
[1] 1
> cos(0);cos(1);cos(pi)               # 余弦
[1] 1
[1] 0.5403023
[1] -1
> tan(0);tan(1);tan(pi)               # 正切
[1] 0
[1] 1.557408
[1] -1.224647e-16

接下来,我们用ggplot2包来画出三角函数的图形。


> library(ggplot2)                              # 加载ggplot2的库
> library(scales)

三角函数画图,以下代码生成三角函数曲线,如图1-4所示。


> x<-seq(-2*pi,2*pi,by=0.01)                         # x坐标
> s1<-data.frame(x,y=sin(x),type=rep('sin',length(x)))          # y坐标,正弦
> s2<-data.frame(x,y=cos(x),type=rep('cos',length(x)))          # y坐标,余弦
> s3<-data.frame(x,y=tan(x),type=rep('tan',length(x)))          # y坐标,正切
> s4<-data.frame(x,y=1/tan(x),type=rep('cot',length(x)))     # y坐标,余切
> s5<-data.frame(x,y=1/cos(x),type=rep('sec',length(x)))     # y坐标,正割
> s6<-data.frame(x,y=1/sin(x),type=rep('csc',length(x)))     # y坐标,余割
> df<-rbind(s1,s2,s3,s4,s5,s6)
> g<-ggplot(df,aes(x,y))                              # 用ggplot2画图
> g<-g+geom_line(aes(colour=type,stat='identity'))
> g<-g+scale_y_continuous(limits=c(-2, 2))
> g<-g+scale_x_continuous(breaks=seq(-2*pi,2*pi,by=pi),labels=c("-2*pi",
    "-pi","0","pi","2*pi"))
> g

图1-4 三角函数曲线

2.反三角函数

基本的反三角函数定义如下。

用R语言实现反三角函数的计算,包括反正弦、反余弦、反正切。


> asin(0);asin(1)                                   # 反正弦asin
[1] 0
[1] 1.570796                                   # pi/2=1.570796
> acos(0);acos(1)                                   # 反余弦acos
[1] 1.570796                                   # pi/2=1.570796
[1] 0
> atan(0);atan(1)                                   # 反正切atan
[1] 0
[1] 0.7853982                                   # pi/4=0.7853982

反三角函数画图,以下代码生成反三角函数曲线,如图1-5所示。


> x<-seq(-1,1,by=0.005)                              # x坐标
> s1<-data.frame(x,y=asin(x),type=rep('arcsin',length(x)))     # y坐标,反正弦
> s2<-data.frame(x,y=acos(x),type=rep('arccos',length(x)))     # y坐标,反余弦
> s3<-data.frame(x,y=atan(x),type=rep('arctan',length(x)))     # y坐标,反正切
> s4<-data.frame(x,y=1/atan(x),type=rep('arccot',length(x)))     # y坐标,反余弦
> s5<-data.frame(x,y=1/asin(x),type=rep('arcsec',length(x)))     # y坐标,反正割
> s6<-data.frame(x,y=1/acos(x),type=rep('arccsc',length(x)))     # y坐标,反余弦
> df<-rbind(s1,s2,s3,s4,s5,s6)
> g<-ggplot(df,aes(x,y))                              # 用ggplot2画图
> g<-g+geom_line(aes(colour=type,stat='identity'))
> g<-g+scale_y_continuous(limits=c(-2*pi,2*pi),breaks=seq(-2*pi,2*pi,by=pi),
    labels=c("-2*pi","-pi","0","pi","2*pi"))
> g

图1-5 反三角函数曲线

3.三角函数公式

接下来,用单元测试的方式来描述三角函数的数学公式,公式的左边等于公式的右边。通过testthat包进行单元测试,关于testthat包的安装和使用,请参考5.2节。

使用expect_that(right,left)函数,把公式的左右两边表达式,分别以参数形式传入函数中。运行expect_that()函数,如果没有返回结果则表示两个参数相等,如果有输出则根据输出查看原因。


> library(testthat)                    # 加载testthat包
> a<-5;b<-10                         # 定义变量

平方和公式:


> sin(a)^2+cos(a)^2
[1] 1
> expect_that(1, equals(sin(a)^2+cos(a)^2))     # 用单元测试的方法,判断公式是否两边相等
> expect_that(2, equals(sin(a)^2+cos(a)^2))     # 如果公式两边不相等,会有错误提示
Error: 2 not equal to sin(a)^2 + cos(a)^2
Mean relative difference: 1

和角公式:

和角公式的单元测试如下:


> expect_that(sin(a)*cos(b)+sin(b)*cos(a),equals(sin(a+b)))
> expect_that(sin(a)*cos(b)-sin(b)*cos(a),equals(sin(a-b)))
> expect_that(cos(a)*cos(b)-sin(b)*sin(a),equals(cos(a+b)))
> expect_that(cos(a)*cos(b)+sin(b)*sin(a),equals(cos(a-b)))
> expect_that((tan(a)+tan(b))/(1-tan(a)*tan(b)),equals(tan(a+b)))
> expect_that((tan(a)-tan(b))/(1+tan(a)*tan(b)),equals(tan(a-b)))

2倍角公式:

2倍角公式的单元测试如下:


> expect_that(cos(a)^2-sin(a)^2,equals(cos(2*a)))
> expect_that(2*cos(a)^2-1,equals(cos(2*a)))
> expect_that(1-2*sin(a)^2,equals(cos(2*a)))

3倍角公式:

3倍角公式的单元测试如下:


> expect_that(4*cos(a)^3-3*cos(a),equals(cos(3*a)))
> expect_that(-4*sin(a)^3+3*sin(a),equals(sin(3*a)))

半角公式:

半角公式的单元测试如下:


> expect_that(sqrt((1-cos(a))/2),equals(abs(sin(a/2))))
> expect_that(sqrt((1+cos(a))/2),equals(abs(cos(a/2))))
> expect_that(sqrt((1-cos(a))/(1+cos(a))),equals(abs(tan(a/2))))
> expect_that(abs(sin(a)/(1+cos(a))),equals(abs(tan(a/2))))
> expect_that(abs((1-cos(a))/sin(a)),equals(abs(tan(a/2))))

和差化积:

和差化积公式的单元测试如下:


> expect_that((sin(a+b)+sin(a-b))/2,equals(sin(a)*cos(b)))
> expect_that((sin(a+b)-sin(a-b))/2,equals(cos(a)*sin(b)))
> expect_that((cos(a+b)+cos(a-b))/2,equals(cos(a)*cos(b)))
> expect_that((cos(a-b)-cos(a+b))/2,equals(sin(a)*sin(b)))

积化和差:

积化和差公式的单元测试如下:


> expect_that(sin(a)+sin(b),equals(2*sin((a+b)/2)*cos((a-b)/2)))
> expect_that(sin(a)-sin(b),equals(2*cos((a+b)/2)*sin((a-b)/2)))
> expect_that(2*cos((a+b)/2)*cos((a-b)/2),equals(cos(a)+cos(b)))
> expect_that(-2*sin((a+b)/2)*sin((a-b)/2),equals(cos(a)-cos(b)))

万能公式:

万能公式的单元测试如下:


> expect_that(sin(2*a),equals(2*tan(a)/(1+tan(a)^2)))
> expect_that((1-tan(a)^2)/(1+tan(a)^2),equals(cos(2*a)))
> expect_that(2*tan(a)/(1-tan(a)^2),equals(tan(2*a)))

平方差公式:

平方差公式的单元测试如下:


> expect_that(sin(a)^2-sin(b)^2,equals(sin(a+b)*sin(a-b)))
> expect_that(cos(a)^2-sin(b)^2,equals(cos(a+b)*cos(a-b)))

降次升角公式:

降次升角公式的单元测试如下:


> expect_that((1+cos(2*a))/2,equals(cos(a)^2))
> expect_that((1-cos(2*a))/2,equals(sin(a)^2))

辅助角公式:

辅助角公式的单元测试如下:


> expect_that(sqrt(a^2+b^2)*sin(a+atan(b/a)),equals(a*sin(a)+b*cos(a)))

1.2.3 复数计算

复数为实数的延伸,它使任一多项式都有根。复数中的虚数单位i,是-1的一个平方根,即i 2 =-1。任一复数都可表达为x+yi,其中x及y皆为实数,分别称为复数之“实部”和“虚部”。

1.创建一个复数


> ai<-5+2i;ai                    # 直接创建复数
[1] 5+2i
> class(ai)                    # 查看复数的类型
[1] "complex"
> bi<-complex(real=5,imaginary=2);bi     # 通过complex()函数创建复数
[1] 5+2i
> is.complex(bi)
[1] TRUE
> Re(ai)                    # 实数部分
[1] 5
> Im(ai)                    # 虚数部分
[1] 2
> Mod(ai)                    # 取模
[1] 5.385165               # sqrt(5^2+2^2) = 5.385165
> Arg(ai)                    # 取辐角
[1] 0.3805064
> Conj(ai)                    # 取轭
[1] 5-2i

2.复数四则运算

·加法公式:(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i

·减法公式:(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i

·乘法公式:(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bidi=ac+bdi 2 +(ad+bc)i=(ac-bd)+(ad+bc)i

·除法公式:(a+bi)/(c+di)=((ac+bd)+(bc-ad)i)/(c 2 +d 2


> a<-5;b<-2;c<-3;d<-4
> ai<-complex(real=a,imaginary=b)
> bi<-complex(real=c,imaginary=d)

复数四则运算的单元测试如下:


> expect_that(complex(real=(a+c),imaginary=(b+d)),equals(ai+bi))
> expect_that(complex(real=(a-c),imaginary=(b-d)),equals(ai-bi))
> expect_that(complex(real=(a*c-b*d),imaginary=(a*d+b*c)),equals(ai*bi))
> expect_that(complex(real=(a*c+b*d),imaginary=(b*c-a*d))/(c^2+d^2),equals(ai/bi))

3.复数开平方根


> sqrt(-9)                    # 在实数域,给-9开平方根
[1] NaN
Warning message:
In sqrt(-9) : NaNs produced
> sqrt(complex(real=-9))          # 在复数域,给-9开平方根
[1] 0+3i

1.2.4 方程计算

方程计算是数学计算的一种基本形式,R语言也可以很方便地帮助我们解方程,下面将介绍一元多次方程和二元一次方程的解法。解一元多次方程,可以用uniroot()函数。

1.一元一次方程

一元一次方程:ax+b=0,设a=5,b=10,求x?


> f1 <- function (x, a, b) a*x+b                    # 定义方程函数
> a<-5;b<-10                              # 给a,b常数赋值
> result <- uniroot(f1,c(-10,10),a=a,b=b,tol=0.0001)     # 在(-10,10)的区间,精确度
                                        # 为0.0001位,计算方程的根
> result$root                              # 打印方程的根x
[1] -2

一元一次方程非常容易解得,方程的根是-2!以图形展示函数:y=5x+10,如图1-6所示。


> x<-seq(-5,5,by=0.01)                              # 创建数据点
> y<-f1(x,a,b)
> df<-data.frame(x,y)
> g<-ggplot(df,aes(x,y))                              # 用ggplot2来画图
> g<-g+geom_line(col='red')                         # 红色直线
> g<-g+geom_point(aes(result$root,0),col="red",size=3)          # 点
> g<-g+geom_hline(yintercept=0)+geom_vline(yintercept=0)     # 坐标轴
> g<-g+ggtitle(paste("y =",a,"* x +",b))
> g

图1-6 函数y=5x+10

2.一元二次方程

一元二次方程:ax 2 +bx+c=0,设a=1,b=5,c=6,求x?


> f2 <- function (x, a, b, c) a*x^2+b*x+c
> a<-1;b<-5;c<-6
> result <- uniroot(f2,c(0,-2),a=a,b=b,c=c,tol=0.0001)
> result$root
[1] -2

把参数带入方程,用uniroot()函数,我们就解出了方程的一个根,改变计算的区间,我们就可以得到另一个根。


> result <- uniroot(f2,c(-4,-3),a=a,b=b,c=c,tol=0.0001)
> result$root
[1] -3

方程的两个根,一个是-2,一个是-3。

由于uniroot()函数每次只能计算一个根,而且要求输入的区间端点值必须是正负号相反的。如果我们直接输入(-10,0)这个区间,那么uniroot()函数会出现错误。


> result <- uniroot(f2,c(-10,0),a=a,b=b,c=c,tol=0.0001)
Error in uniroot(f2, c(-10, 0), a = a, b = b, c = c, tol = 1e-04) :  
    # 位于极点边的f()值之正负号不相反

这应该是uniroot()为了统计计算一元多次方程而设计的,所以为了使用uniroot()函数,我们需要取不同的区间来获得方程的根。以图形展示函数:y=x 2 +5x+6,如图1-7所示。 [1]


> x<-seq(-5,1,by=0.01)                              # 创建数据点
> y<-f2(x,a,b,c)
> df<-data.frame(x,y)
> g<-ggplot(df,aes(x,y))                              # 用ggplot2来画图
> g<-g+geom_line(col='red')                         # 红色曲线
> g<-g+geom_hline(yintercept=0)+geom_vline(yintercept=0)     # 坐标轴
> g<-g+ggtitle(paste("y =",a,"* x ^ 2 +",b,"* x +",c))
> g

图1-7 函数y=x 2 +5x+6

我们从图1-7中可以很明显看到x的两个根的取值范围。

3.一元三次方程

一元三次方程:ax 3 +bx 2 +cx+d=0,设a=1,b=5,c=6,d=-11,求x?


> f3 <- function (x, a, b, c,d) a*x^3+b*x^2+c*x+d
> a<-1;b<-5;c<-6;d<--11
> result <- uniroot(f3,c(-5,5),a=a,b=b,c=c,d=d,tol=0.0001)
> result$root
[1] 0.9461458

如果我们设置对了取值区间,那么很容易就可以得到方程的根。以图形展示函数:y=x 3 +5x 2 +6x-11,如图1-8所示。


> x<-seq(-5,5,by=0.01)                              # 创建数据点
> y<-f3(x,a,b,c,d)
> df<-data.frame(x,y)
> g<-ggplot(df,aes(x,y))                              # 用ggplot2画图
> g<-g+geom_line(col='red')                         # 3次曲线
> g<-g+geom_hline(yintercept=0)+geom_vline(yintercept=0)     # 坐标轴
> g<-g+ggtitle(paste("y =",a,"* x ^ 3 +",b,"* x ^2 +",c,"* x + ",d))
> g

图1-8 函数y=x 3 +5x 2 +6x-11

4.二元一次方程组

R语言还可以用来解二元方程组,当然计算方法其实是利用了矩阵计算。

下面是x 1 ,x 2 两个未知变量组成的方程组,求x 1 ,x 2 的值。

以矩阵形式来构建方程组就是


> lf<-matrix(c(3,5,1,2),nrow=2,byrow=TRUE)               # 左矩阵
> rf<-matrix(c(4,1),nrow=2)                         # 右矩阵
> result<-solve(lf,rf)                              # 计算结果
> result
     [,1]
[1,]    3
[2,]   -1

得方程组的解,x 1 ,x 2 分别为3和-1。

接下来,我们画出这两个线性方程的图,如图1-9所示。设y=x 2 ,x=x 1 ,把原方程组变成两个函数形式。


> fy1<-function(x) (-3*x+4)/5                         # 定义2个函数
> fy2<-function(x) (-1*x+1)/2
> x<-seq(-1,4,by=0.01)                              # 定义数据
> y1<-fy1(x)
> y2<-fy2(x)
> dy1<-data.frame(x,y=y1,type=paste("y=(-3*x+4)/5"))
> dy2<-data.frame(x,y=y2,type=paste("y=(-1*x+1)/2"))
> df <- rbind(dy1,dy2)
> g<-ggplot(df,aes(x,y))                              # 用ggplot2画图
> g<-g+geom_line(aes(colour=type,stat='identity'))          # 2条直线
> g<-g+geom_hline(yintercept=0)+geom_vline(yintercept=0)     # 坐标轴
> g

图1-9 二元一次方程组

我们看到两条直线交点的坐标就是方程组的两个根。多元一次方程同样可以用这种方法来解得。

通过R语言,我们实现了对初等数学的各种计算,真的是非常方便。

[1] 请读者自己运行R语言代码,查看生成的彩色图。 ISoTulEB+ga/tDmnTFrFe9zLmTDM0DmUox7eX2GI/boJzZ9h9XMoBQqWiqmog4Y/

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