1.2 排列组合的求法

1.2.1 a×b×c法则 （求答数用）

设每件事物各含3个成分，若完成第一成分则有a个方式，完成第二成分则有b个方式，完成第三成分则有c个方式，则全部完成3成分共有a×b×c个方式，这叫作a×b×c法则。故欲求得事物的总排列数或总组合数，或求得事物的总件数，则可按有几成分便设立几个小格，每小格算出其方式数，然后取各方式数连乘起来，其乘积便是总方式数或总件数。但是应当注意并不是所有组合都是直接由a×b×c法则求得的，有些组合应先求得排列总数，再求得每个组合的排列数，最后用排列总数除以每组合的排列数，方得出组合数，这便是公式 的运用。

例1，2顶帽子3件衣服4条裤子可以搭配成几套？

用交叉线图表示如图1-2所示。

具体计算结果为：

2×3×4=24套 （组合）

上式诸因子2、3、4的顺序可任意颠倒，故乘积为组合数。

例2，从1、2、3三数字任取两个数字，可得几个两位数 （见图1-3）？

因十位数可用1、2、3三个数字之任一，故有3方式，个位数只可用余下两个数字之任一，故只有2方式。

按a×b×c法则共有两位数的个数为：

3×2=6方式 （排列）

上式中两因子先有3后有2，不可任意颠倒，故乘积属于排列数。6个排列是 （排队列表法）：

1 2、1 3、2 1、2 3、3 1、3 2。

1.2.2 公式法 （求答数用）

1.2.2.1 排列公式

是4物取2之排列，每个排列含2成分 （见图1-4）。

第一物可取4物之任一，故有4方式，轮到第二物仅余3 物之任一可取的有3 方式。按a×b×c法则，从4起连取2数相乘，总排列数=4×3=12个 （排列）。

1.2.2.2 组合公式

为4物取2之组合，每组合含2成分 （见图1-5）。

先求总排列数 （见图1-5），总排列数=4×3=12方式 （排列）。

再求每组合 （2 成分） 之排列数 （见图1-6），每组合之排列数=2×1=2 方式 （排列）。

1.2.3 排队列表法 （求项目用）

可以用下面的口诀表示排队列表法：

最小先行（a），依次递增（b），

后满前涨 （c），涨后复升 （d），

如此反复 （e），极大而终 （f）。

我们举例并运用图解来说明排队列表法的步骤。

例1，从 1、2、3、4 四个数字中任取两个数字作为两位数，共有哪些两位数？（见图1-7）

以上图解为排队列表法的用法，其中包含两个要点：（1） 记住口诀，（2） 弄懂步骤。一旦掌握这两点后，读者不难直接写出排队列表法的下列成果来 （并不一定要求读者仿上图写出具体步骤）：

1 2、1 3、1 4、2 1、2 3、2 4、3 1、3 2、3 4、4 1、4 2、4 3。

必须指出：排队列表法和a×b×c法则一样，既可用来求排列也可用来求组合。当用于求排列时，成果表中的各项采用有升有降的顺序。

比如本例的12个排列的顺序便是有升有降：

这12项排列按总值均系由左到右、由小到大，按位值便是有升 （↗） 有降 （↘）。

反之，当用于求组合时则成果表各项采用光升不降的顺序。比如本例的组合数是6个，具体如下：

这6项组合按总值仍是后大于前，但按位值则是光升不降 （6项组合表是从12项排列表中摘取其中光升不降的顺序而得出的）。

排队列表法是任何书中都找不到的，是作者的首创，是一种直观易懂的通俗方法。作者根据排列公式 （n物取r物的排列），从n起连取r个数相乘，则一个井块 （九方格）若任意填入1、2、3、4、5、6、7、8、9九个数字，可得九字取九的排列数： =9×8×7×…×2×1=362880个排列。这36 万多个排列便可用排队列表法一个不漏地写出来 （详见1.2.3条），可见排队列表法的神奇威力！

1.2.4 交叉线图 （求答数和项目用）

每件事物由哪几个成分组成便立几个栏目，标明每个栏目有哪些方式，然后各栏目之方式借用直线连接起来，便得出交叉线图。由交叉线图即可获得事物的总件数 （排列总数或组合总数），也可获得排列组合成果表。

例1，设定以下一个大列首块。今欲由左至右从每列里各取一字组成一个三字正交线（正交线对大列而言是指由左至右沿横向扫描，从各列任取一字所得的三字线）。问可得多少根正交线？（见图1-8）

今三字正交线是一个三位数，其成分有百位、十位、个位。百位可用3、6、9 三方式，十位可用2、5、8三方式，个位可用1、4、7，亦有三方式，于是可作出以下交叉线图 （见图1-9）。

3×3×3 = 27个 （排列）

上式因子第一列指百位，第二列指十位，第三列指个位，不可颠倒，故27为排列数。那么欲得出排列成果表有何步骤呢？

用图解表示步骤如下 （见图1-10，表示头三步）。

由此得以下成果序列 （见图1-11 ）。

故27个排列成果如下：

321　324　327　351　354　357　381　384　387

621　624　627　651　654　657　681　684　687

921　924　927　951　954　957　981　984　987

由排队列表法所得出的排列成果表，各项务必通通是由小到大排列，这才能保证由交叉线图的摘取方法是正确的。

注意在引用排列组合方法时是单用一种方法的情况非常少。比如，用排队列表法时往往先用a×b×c法则求得答数，然后再用排队列表法求出答案来。采用交叉线图时，同时要用a×b×c法则和排队列表法。各种排列组合答数没有哪一个不是以a×b×c法则为基础的，求排列如此，求组合亦如此。但求排列时直接用a×b×c法则即可，而求组合时有的可直接运用a×b×c法则，有的得先用a×b×c法则求得总排列数和每组合的排列数，然后再取两排列数之商方得出组合数。

求排列组合时不是都可写出算式的，比如排队列表法就没有算式。又比如选连交叉线图 （非全连交叉线图） 求答数时也没有算式。

对于一个排列组合的问题，先要确定它是要求组合还是要求排列，然后酌情选用具体的方法。 MRiT8gG/aaMwgR2BHxiXg3GNHylvJ23qnUQoWlxLOucN8DoyWOxKP3hh5ufsvvn5