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埃尔德什和莱利发现的相变或渗流的特殊时刻，即巨大的节点簇涌现的时刻，是图论发展过程中的重大事件。这一发现之所以重要，不仅因为它做出了令人难以相信的预言——每个人只需要认识一个人就能形成社会，更因为它改变了图论研究的历史。在埃尔德什和莱利之前，图论从没有研究过鸡尾酒聚会、社会网络或随机图。图论几乎一直在关注规则图，这类图的结构中没有不确定性。然而，一旦涉及复杂系统，譬如互联网或细胞，规则图就不再是常态，而变成了特例。埃尔德什和莱利第一个指出，从社会网络到电话网络，真实的图都不是漂亮的规则图，而是极其复杂的。鉴于这些网络的复杂性，埃尔德什和莱利假定这些网络是随机的。
回顾历史，我们不再感到奇怪：居然是埃尔德什和莱利这对看似不太可能的数学家，通过引入随机性改变了数学这一受人尊敬的领域。因为偶然和随机在他们两人的生活中占了很大的分量。虽然莱利比埃尔德什小 7 岁，但他们的父母在布达佩斯早就相识，这也是二人能够结识的原因。 1948 年，他们在阿姆斯特丹偶然相遇，从此开始合作。在此之前，他们都有着相当不平静的经历。名额控制条令（ Numerus Clausus ）限制了大学招收犹太人的数量，所以莱利高中毕业后只好到一家修船厂工作。后来，他在数学竞赛和希腊语竞赛中胜出，于 1939 年获准进入大学。拿到数学学位不久他就被征为苦力，不过他逃脱了。
埃尔德什和他的同事都了解莱利在战争期间的反抗行为，而且非常敬佩和尊重他。
莱利曾勇敢地乔装成匈牙利的法西斯分子，帮助他的朋友从集中营中逃脱。据说，莱利穿着法西斯战士的服装，潜入布达佩斯犹太人集中营，设法救出了他的父母。他用伪造的证件在纳粹控制的布达佩斯生活了数年。只有了解纳粹恐怖主义实际情况的人，才能真正体会到莱利做这些事需要多大的勇气。
毫无疑问，在战争结束之前，莱利的数学才能无法充分发挥。直到 1946 年搬到了列宁格勒，他才能继续他的研究。在列宁格勒，他的创造力爆发了。虽然俄语水平有限，但他在很短的时间内就学习和掌握了数论，而且还就数论中的著名难题哥德巴赫猜想证明了一些根本定理。因此，当莱利在两年后的阿姆斯特丹碰到埃尔德什时，他的身份不再是一个有抱负的青年数学家或是一位家庭世交，而是一位享誉国际的著名科学家。
那时候，埃尔德什已经为自己贴上了旅行数学家的标签。他经常突然出现在同事家的门口，声称“我的大脑对外开放”，并邀请同事和他一起不知疲倦地探讨数学问题。他唯一一个永久职位是由位于印第安纳州南本德的圣母大学提供的，该校数学系的主任阿诺德 · 罗斯（ Arnold Ross ）邀请埃尔德什担任客座教授，条件很宽松：埃尔德什可以来去自由，他不在的时候，由他的助教帮他授课。
那时的圣母大学是一个天主教文理学院，还没有像几十年后那样享有盛誉。尽管如此，圣母大学为埃尔德什提供了一个安静而舒适的工作环境，在那里，埃尔德什可以经常和他的神父同事进行讨论。他对宇宙和神有着独特的视角，他很享受在圣母大学的时光。有一次，被问到在圣母大学的那段时光时，埃尔德什半开玩笑地说：“那里的加号（这里指好处）太多了。”因为学校里有太多的十字架。当圣母大学后来想让埃尔德什转为终身教职时，他委婉地拒绝了。或许，他不愿意失去生活的随机性和不可预测性。