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欧拉的证明简洁而优美，即使是没有受过数学训练的人也能很容易地理解。然而，改变历史的不是证明本身，而是他求解问题时的一个中间步骤。 欧拉最伟大的洞察力表现在他将哥尼斯堡问题视为一张图，即通过边连接在一起的一组节点。 在哥尼斯堡问题中，他用节点表示被河流分开的四块陆地，分别用字母 A 、 B 、 C 、 D 来表示。然后，用一条连接两个节点的线表示连接两块陆地的每座桥，他把桥称为边。欧拉得到了一张图，节点代表陆地，边代表桥。
欧拉证明了哥尼斯堡不存在一条路径能够走遍所有 7 座桥而不重复，他的证明基于一个简单的观察： 在网络上沿着边“旅行”时，拥有奇数条边的节点，要么是旅行的起点，要么是旅行的终点。走遍所有桥的连续路径只有一个起点和一个终点。因此，如果图中有多于两个节点拥有奇数条边，就不存在前文所述的路径。 而哥尼斯堡的图中有四个这样的节点，所以人们找不出他们希望找到的路径。
对于我们而言，欧拉的证明最重要的意义在于，这样的路径是否存在不取决于我们寻找路径的能力，仅取决于图的性质。在哥尼斯堡桥梁布局给定的情况下，无论我们多么聪明，都不可能找到期望的那样一条路径。哥尼斯堡人最终认同了欧拉的结论，放弃了毫无结果的寻找，转而选择于 1875 年在节点 B 和 C 之间建造了一座新桥，让这两个节点各自拥有的边数增加到 4 。现在，只有两个节点（ A 和 D ）有奇数条边了，找到一条经过每座桥仅一次的路径变得非常容易。也许，建造这座新桥背后的原因就是为了创造这样一条路径。
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洞察
回想起来，欧拉无意间阐述的信息其实非常简单：图或网络具有一些隐藏在自身结构背后的性质，这些性质可以限制或者增强我们在网络中所能施展的能力。两个多世纪以来，哥尼斯堡人求解他们在咖啡馆里谈论的那个问题的能力，一直受哥尼斯堡版图布局的限制。但是，在增加一条边改变布局后，这个限制就突然消失了。
欧拉的证明结果从多个方面体现了本书的一个重要观点：图或网络的构造和结构是理解我们周围复杂世界的关键。拓扑结构的微小变化，即使只影响少数几个节点或边，也能打开隐藏的大门，让新的可能涌现出来。
欧拉之后，图论领域获得了快速发展，这得益于数学大师们的贡献，包括柯西（ Cauchy ）、哈密顿（ Hamilton ）、凯利（ Cayley ）、基尔霍夫（ Kirchhoff ）和波利亚（ Pólya ）。他们几乎揭开了那些大而有序的图中的所有奥秘，包括晶体中原子间形成的格或蜂巢中蜜蜂建造的六角栅格。 20 世纪中叶之前，图论的研究目标比较简单：发掘各种类型的图的性质并对其进行分类。著名的图论问题包括： 1873 年首次解决的迷宫问题，以及在国际象棋棋盘上寻找一个让马遍历所有方格各一次并回到原点的步骤序列。有一些比较难的问题，几个世纪以来都无人能解。
在欧拉极富启发性的工作完成两个世纪后，数学家才开始从研究不
同图的性质转到研究更深入的问题，即图或网络（更常见的称谓）是如何形成的。真实的网络是如何形成的呢？支配网络外观和结构的法则是什么呢？直到 20 世纪 50 年代两个匈牙利数学家对图论进行革新时，上述问题才被提出并得到第一个答案。