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下面我们以球面上的几何为例，来解释一下黎曼几何。球面上没有直线，但有短程线，球面上的短程线就是“大圆周”。我们过球面上的两点和球心，做一个平面，此平面在球面上截出的曲线就是大圆周。例如，赤道和地球上所有的经线都是大圆周，但除赤道以外的所有纬线都不是大圆周，不是短程线。
例如，我们坐飞机由北京直飞纽约的航线，从北京起飞后飞机不是向正东飞，而是向东北方向飞，经过我国的东北，俄罗斯的远东地区，飞到白令海峡附近，然后沿阿拉斯加的北海岸向东，再转向东南，穿越加拿大的大片地区，最后飞抵纽约。
有人或许会问：“干嘛要绕大圈呢？从北京直接往东飞不是近一点吗？”不对，因为从北京直接向东飞往纽约的航线不是最短的，不是短程线。短程线是过北京、纽约和地心三点的平面，截地球表面得到的线，那正是现在北京直飞纽约的航线。所以飞机恰好是沿短程线飞行的。
平面几何中“过直线外的一点能引一条平行线”，在球面情况就是过大圆周外一点，能否再画一个大圆周和自己不相交？答案是“不能”。你想，过赤道外一点，能画出另一大圆周并使它与赤道不相交吗？肯定不能！所以球面上不存在“平行线”。
图3-6 球面上的短程线和三角形
平面上的三角形是由三条直线围成的，球面上的三角形也应该由三条短程线（大圆周）围成。大家看图3-6，上面标出了赤道和两条经线围成的三角形。由于所有的经线都与赤道垂直，所以此三角形二底角之和已是180°，再加上顶角，三角形三内角之和肯定大于180°了。
下表列出了三种几何的特点。
1845年，黎曼从更高的角度把这三种几何统一起来，成为黎曼几何，用来描述弯曲和扭曲的几何客体。黎曼曾用这一工作，在哥廷根大学做了申请一个讲师职位的求职报告。
黎曼天才地预见到，真实的空间不一定是平直的。如果不平直，就不能用欧氏几何来描述，而要用黎曼几何来描述。他还预见，物质的存在可能造成空间的弯曲。
黎曼几何为爱因斯坦建立他的广义相对论，准备了数学基础。