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下面我们简单介绍一下黎曼几何的建立。
欧氏几何，以它逻辑的严密，形式的完备和优美，两千年来为数学家和哲学家所倾倒。使人感到美中不足的是它的第五公设，即平行公理。此公理说，“过直线外的一点，可以引一条、并且只能引一条直线与原直线平行（不相交）”。
与其他公设比较，这个公设显得过长、过于复杂。人们自然希望第五公设能从其他公设推出，从而不再是一个公设。这方面的尝试开始于公元5世纪。一千多年中，许多杰出数学家为它绞尽脑汁，结果都一无所获。
无数前人的失败，终于使后人悟出了道理。第一个察觉其中奥妙的人大概是高斯。然而，由于欧氏几何在数学、哲学和神学中的神圣地位，高斯缺乏公开挑战的勇气，没有发表自己的观点。
最先提出并建立完整的新几何学的是俄国数学家罗巴切夫斯基（1792—1856年）。他是喀山大学的教授。他用“过直线外一点，可以引两条以上直线与原直线平行（不相交）”的新公设来取代第五公设。然而，他的理论在国内无人能懂，多次投稿均被拒绝，俄国彼得堡科学院甚至认为，“罗巴切夫斯基先生这方面的工作谬误连篇，今后不必理睬。”
罗巴切夫斯基只好把论文发表在喀山大学的学报上，外界几乎无人知晓。后来他出国演讲，宣传自己的新几何，但还是遭到冷遇。唯一听懂了他的理论的高斯，未敢公开表示赞同。高斯在日记和给友人的信中写到，会场上，自己大概是唯一听懂了罗巴切夫斯基工作的人。
应该说明，高斯虽然未对新几何表态，却高度评价了罗巴切夫斯基的其他工作。经高斯提名，德国科学院授予罗巴切夫斯基通讯院士的光荣称号。然而，罗巴切夫斯基最杰出的工作，却长期得不到承认。他晚年双目失明，处境凄凉，但仍在学生的协助下，顽强地通过口述完成了自己的工作，并在逝世前，终于得到世界的认可。罗巴切夫斯基的新几何，被称为罗氏几何。
比罗巴切夫斯基稍晚一点，年轻的匈牙利数学家鲍耶（1802—1860年）也独立地研究了这个问题，并提出了与罗氏一样的新几何构想。鲍耶采用了反证法，企图从“第五公设不成立”引出谬误。他假设过直线外的一点可以引两条以上的平行线，试图推出谬误。然而他在反证的路上越走越远，却始终不见“谬误”的影子。鲍耶的思想突然产生了飞跃，认识到可以引入不同于第五公设的其他公理，例如把“过直线外一点可以引两条以上的平行线”作为公理，取代“第五公设”建立新的几何学。
鲍耶的父亲是高斯的同学，他把儿子的工作告诉高斯，征求他的意见。高斯回信说：我实在无法赞扬你的儿子，因为赞扬他就等于赞扬我自己，我早就得到过与他相同的结果。
鲍耶误解了高斯对他工作的评价，以为高斯要借其所处的地位来窃取他的成果，于是愤而终止了自己的研究。幸亏鲍耶的父亲把儿子的研究成果作为附录，收在自己的一本书中出版，否则，鲍耶的成就将无人知晓。
德国数学家黎曼用另一个公设来代替欧几里得的第五公设。他提出，“过直线外一点的任何直线都必定与原直线相交”，也就是说，一条平行线也做不出来。他所建立的几何称为黎氏几何。
实际上，欧氏几何、罗氏几何、黎氏几何描述的是不同曲率的空间（图3-5）。欧氏几何描述零曲率空间（如平面），黎氏几何描述正曲率空间（如球面），罗氏几何描述负曲率空间（如伪球面、马鞍面）。弯曲空间中没有直线。罗巴切夫斯基等人谈论的直线实际是“短程线”，即两点之间的最短线，例如球面上的大圆周。平直空间中的短程线就是直线，短程线可以看作直线在弯曲空间的推广。罗巴切夫斯基等人所说的平行直线，实际上是“不相交的短程线”。
图3-5 正负曲率的二维空间
罗氏几何和黎氏几何，统称非欧几何。黎曼又把欧氏几何与非欧几何合在一起，成为黎曼几何。