3.2　门电路

3.2.1　与门（与运算）

当决定一件事情的各个条件全部具备时，这件事情才发生。如图3-11所示是两个开关A、B和灯泡Y及电源组成的串联开关电路，这是一个最简单的与逻辑电路。

图3-11　表示与运算实例的串联开关电路

图3-12　与门符号

如图3-11所示，当A“与”B全合上时灯亮；A和B只要有一个断开或者全部断开，则灯灭。我们可以用一种很简单的表格来描述函数的全部真、假关系，这种表称为真值表，如表3-1所示。

表3-1　与逻辑真值表

在逻辑电路中，把能实现与运算的基本单元称做与门，其逻辑符如图3-12所示。逻辑变量A、B与逻辑函数Y的与运算表达式为：Y＝A·B，式中“·”表示逻辑乘运算符，有时可以省略。

3.2.2　或门（或运算）

当决定一件事情的各个条件具备一个或一个以上这件事情就会发生。图3-13是一个简单的或运算电路。

图3-13　表示或运算实例的并联开关电路

图3-14　或门符号

图3-13中，当A或B合上灯亮，A、B全合上灯也亮；只有A、B全不合上时，则灯灭。其或运算真值表如表3-2所示。

表3-2　或逻辑真值表

在逻辑电路中，把能实现或运算的基本单元称做或门，其逻辑符如图3-14所示。或运算表达式为：Y＝A＋B，式中“＋”表示逻辑或运算符。

3.2.3　非门（非运算）

图3-15是一个简单的非运算电路。图3-15中，只有开关A断开的时候，灯Y才亮；开关A闭合时灯Y不亮。其非运算真值表如表3-3所示。

在逻辑电路中，把能实现非运算的基本单元称做非门，又称反相器（输入与输出信号反相），其逻辑符如图3-16所示。非运算表达式为 式中 是A的反变量，读作A非。

图3-15　非运算电路

图3-16　非门符号

表3-3　非逻辑真值表

3.2.4　与非门（与非运算）

图3-17　与非门符号

与和非的复合逻辑运算，称为与非运算，其真值表如表3-4所示。实现与非运算的电路称为与非门，其逻辑符号如图3-17所示。

表3-4　与非逻辑真值表

与非运算表达式为：

3.2.5　或非门（或非运算）

“或”和“非”的复合逻辑运算，称为或非运算，其真值表如表3-5所示。实现或非运算的电路称为或非门，其逻辑符号如图3-18所示。

图3-18　或非门符号

表3-5　或非逻辑真值表

或非运算表达式为：

3.2.6　与或非门（与或非运算）

“与”、“或”、“非”的复合逻辑运算，称为与或非运算。实现与或非运算的电路称为与或非门，其逻辑符号如图3-19所示。

图3-19　与或非门逻辑符号

与或非运算表达式为：

3.2.7　异或门（异或运算）

图3-20　异或门符号

若两个输入A、B的取值相异，则输出变量Y为1；若两个输入A、B的取值相同，则输出变量Y为0。这种逻辑关系称异或运算，其真值表如表3-6所示。实现异或运算的电路称异或门，其逻辑符号如图3-20所示。

表3-6　异或逻辑真值表

异或运算表达式为：

3.2.8　逻辑代数初步

1．基本公式

逻辑常量只有0和1两个。对于常量间的与、或、非三种基本逻辑运算公式如表3-7所示。

表3-7　逻辑常量运算公式

设A为逻辑变量，则逻辑变量与常量的运算公式如表3-8所示。表中相同变量间的运算称重叠律；0、1与变量间的运算称0-1律；两个互非变量间的运算称互补律；1个变量非非称还原律。

表3-8　逻辑变量与常量运算公式

（1）交换律：A＋B＝B＋A，A·B＝B·A

（2）结合律：A·（B·C）＝（A·B）·C，（A＋B）＋C＝A＋（B＋C）

（3）分配律：A·（B＋C）＝A·B＋A·C，A＋BC＝（A＋B）·（A＋C）

分配律的第二条是普通代数所没有的，交换律、结合律及分配律的第一条与普通代数的定律相似。

（4）摩根定律（反演律）：

（5）摩根定律（推广式）：

（6）吸收律：

2．逻辑代数的基本规则

（1）代入规则。

对于任何一个含有变量A的逻辑代数等式中，可以将等式两边的所有变量A都替代一个逻辑函数，则等式仍然成立。这个规则称为代入规则。

（2）反演规则。

对于任何一个逻辑函数Y，如果将Y中所有的与“·”换成或“＋”，所有的“＋”换成“·”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则得到原来逻辑函数Y的反函数。这个规则称为反演规则。

利用反演规则时要注意两点：第一，变换后的运算顺序要保持变换前的运算优先顺序不变；第二，不是一个变量上的长非号应保持不变。

（3）对偶规则

对于任何一个逻辑函数式Y，如果将式中所有的“·”换成“＋”，“＋”换成“·”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，那么就得到一个新的逻辑函数式Y′，则Y和Y′是互为对偶式。这种变化规则称为对偶规则。对偶变换时要注意变量和原表达式中的运算优先顺序不变。

对偶规则的意义在于：若两个函数式相等，则它们的对偶式也一定相等。若某个逻辑等式两边同时进行对偶变换，得到的对偶式仍然相等。

利用对偶规则，可以进一步扩大基本定律和公式。

3．逻辑函数的代数化简法

利用逻辑代数的基本公式、基本定律对复杂的逻辑函数式化简的方法叫代数化简法。常用的基本化简方法有并项法、吸收法、消去法和配项法。

（1）并项法。

利用基本公式 将两项合并为一项，并消去一个变量，例如：

（2）吸收法。

利用吸收律 吸收掉多余的与项，例如：

A＋A（B＋C）＝A

（3）消去法。

利用吸收律 消去多余因子，例如：

（4）配项法。

在不能直接运用公式、定律化简时，利用公式或作配项再化简，例如：

例如，用代数法化简逻辑函数，以上述消去法示例为例，化简之前 其逻辑电路图如图3-21所示。化简后为Y＝AB＋C，其逻辑电路图如图3-22所示。

图3-21　化简前的逻辑电路图

图3-22　化简图后的逻辑电路图 ojVKg3W3WdDP5czGyKWgaDLzvlvRer+NAtnP5A9QUNDI+xOQ7Dp3zDoKRKsSJ+MI