指数型增长的数学原理

取很大一块布，把它对折一下，这样它的厚度就增加了一倍。再对折一下，厚度就变成了4倍。再对折，对折四次，现在它的厚度就变成了原来的16倍，大约会有1厘米或0.4英寸 厚。

如果你照此再继续折叠这块布29次，即总共折叠33次，你想象一下会变成多厚？不到1英尺 ？1英尺～10英尺之间？还是10英尺～1英里 之间？

当然你不可能把一块布连续对折33次。如果你能做到，这卷布的长度一定能从波士顿铺到法兰克福，也就是3400英里或约5400公里。

指数型增长，也就是翻倍、翻倍、再翻倍的过程，是非常令人惊奇的，它能如此之快地产生如此巨大的数字。数量的指数型增长很容易愚弄我们，我们大多数人都以为增长是一个线性的过程。一个数量呈“线性”增长是指“在每一个给定的时间段里增加一个固定的数量”。如果一个建筑队每周铺设1英里高速路，那么这条路是呈线性增长的。如果一个孩子每年往储钱罐里放7美元，那么他的储蓄也是线性增加的。新增的铺好沥青的路面的长度不受已经铺好的路面长度的影响，每年新增的储蓄量也不受罐里已有多少钱的影响。如果一个变量呈线性增长，那么在给定的一个时间段里它增加的量总是一样的，它不依赖于该变量已经积累了多少。

当一个数量以其已有的一个比例增加时，它就是呈指数型增长的。一个母细胞群以每10分钟一个细胞分裂为两个细胞的速度繁殖时，它就是呈指数型增长的。对每一个细胞来说，10分钟后它就由一个变成了两个。再过10分钟就变成了4个，再过10分钟就变成了8个，然后16个，等等。母细胞群的数量越多，每段时间产生的新细胞就越多。一个公司如果能每年都成功地使其总销量以一个固定的百分比增加，那么它也呈指数型增长。当一个变量呈指数型增长时，其每个时间段的增加量都会比上一个时间段有所提高。它依赖于该变量已经积累了多少。

线性增长和指数型增长的最大区别，我们可以用100美元的两条不同增值途径来举例说明：你可以把钱放在银行账户里来获得利息，你也可以把钱放在罐子里每年增加一个固定的数目。如果你在银行里存放100美元，每年可以得到7%的利息，并每年计算复利，让得到的利息收入也在这个账户里累积，那么你投入的钱就会呈指数型增长。每年你的钱在原有的基础上都会增加一个数额，增加的比例是固定的，每年都是7%，但每年增加的绝对额是不断提高的。第1年年底的增加额是7美元，第2年的利息是107美元的7%，也就是7.49美元，那么到第3年年初的账户总额就是114.49美元。再过一年的利息是8.01美元，总额将增加到122.5美元。到第10年年末，你的账户就增加到了196.72美元。

如果你把100美元放在罐子里，每年增加7美元，那么这个钱就呈线性增长。在第1年的年末，罐子里的钱也是107美元，跟放在银行账户里是一样的。但在第10年年末，罐子里的钱是170美元，比放在银行账户里增值要少，但也不是少得很多。

起初，两种储蓄策略看来会产生非常相似的结果，但持续的指数型积累的指数效应最终变得非常明显（见图2-3）。20年以后，罐子里的钱是240美元，而银行账户里的钱却达到将近400美元。在第30年年末，储蓄在罐子里的钱呈线性增长将达到310美元，而储蓄在银行账户的钱，以每年7%的速度增长，将超过761美元。因此，在30年的时间里，每年7%的指数型增长产生了超过线性增长2倍的结果，尽管开始时是同样多的储蓄。在第50年年末，银行账户里的钱将比存放在罐子里的钱高出6.5倍，几乎多出2500美元。

指数型增长所带来的意想不到的结果已经让人们着迷了几个世纪。一个波斯传说讲述了这样的故事。一个聪明的大臣献给国王一个漂亮的棋盘，他请求国王这样跟他交换：在棋盘的第1个格子里放一粒大米，在第2个格子里放2粒大米，在第3个格子里放4粒大米，以此类推。国王同意了，命令从他的粮仓里取出大米。棋盘的第4个格子需要放8粒大米，第10个格子需要放512粒大米，第15个格子需要放16384粒大米，而第21个格子里需要给这个大臣放上不止100万粒大米。到第41个格子，需要放上1万亿（1012）粒大米。照这么个放法是无法继续到放满64个格子的，因为所需数量比当时全世界所有的大米还要多！

一个法国谜语给出了指数型增长的另一面：显示一个呈指数型增长的数量会突然达到一个固定的极限。假设你拥有一个池塘，一天你注意到池塘里长出了一株荷花。你知道这种荷花的大小每天都会增加一倍。你意识到如果任由这种植物生长，它会在30天内完全覆盖整池塘，会使水中的所有其他生命种类窒息而死。但起初这种荷花看起来很小，所以你决定不必担心，你将在它覆盖了一半池塘时再来处理它。你知道你给了自己多少时间来防止你的池塘遭到破坏吗？

你只给自己留了一天的时间！在第29天这个池塘被覆盖了一半。第二天，最后一次翻倍之后，这个池塘就被全部遮住了。开始时，看起来推迟到池塘被覆盖了一半时再采取行动是很合理的。在第21天，这种植物只覆盖了池塘的0.2%；在第25天，也只覆盖了池塘3%。但是，再等下去，就只有一天的时间容许你拯救你的池塘。

从这个例子你可以看出，在反应滞后的情况下，指数型增长就会导致过冲。在很长一段时间增长看起来不是那么显著，也没什么问题。突然，变化速度变得越来越快，当你最后一两分钟还在迟疑的时候，已经没有时间做出反应了。池塘最后一天发生的明显危机并不是由于进展过程中的某些变化引起的，荷花的百分比增长速度在这一个月中都保持绝对稳定。然而，这种指数型增长的积累会突然产生出无法控制的问题。

你个人也可以体验到这种从不明显到超量的突然变化。设想你在一个月的第1天吃1粒花生，第2天吃2粒，第3天吃4粒，以此类推。起初你只需购买并消费非常少量的食物，但离这个月底还有很多天时，你的银行账户和你的健康都已经受到了严重影响。以这种每天翻一倍的速度，你能维持这种呈指数型增长的食物摄取量到多久？在第10天你要消费差不多1磅 重的花生，但到这个月的最后一天，这种每增加一天就要成倍增加消费量的政策将迫使你购买并吃掉500吨花生！

其实这种吃花生的试验不会真正带来严重的危害，因为到某一天你不可能吃下一大堆花生时你就会简单地选择退出。在这个例子中，在你感觉到已经吃饱和你采取行动之间没有明显的滞后。

一个单纯依照指数型增长公式增长的数量会在一个固定的时间段里倍增。真菌繁衍，其倍增的时间是10秒钟；存在银行的钱，按7%的年利率，其倍增的时间大约是10年；莲属植物和吃花生试验，其倍增的时间是恰好1天。在百分比增长率和倍增的时间之间存在一个简单的数量关系，倍增的时间大约等于72除以这个百分比增长率， 如表2-1所示。

我们可以用尼日利亚的例子来说明持续倍增的后果。尼日利亚在1950年时的人口大约是3600万，到2000年其人口为大约1.25亿。在20世纪的后50年中，尼日利亚的人口翻了将近2番。据报道2000年其人口增长率是2.5%， 那么相应的倍增时间就是72除以2.5，或者说是大约29年。如果未来这种人口增长速度保持不变，尼日利亚的人口数量将按照表2-2给出的路径增长。

一个2000年出生的尼日利亚孩子进入的是4倍于1950年时的人口。如果这个国家的人口出生率在2000之后保持不变，那么当这个孩子活到87岁时，她将看到人口数量又翻了3番。到21世纪后期，尼日利亚人是2000年时的8倍，是1950年时的28倍。将有10亿人生活在尼日利亚！

尼日利亚是一个正遭受饥荒和环境破坏的国家，显然其人口不可能再扩张8倍。我们进行表2-2中所示的这种计算的惟一目的，是说明倍增的速度并证明“在一个资源有限的有限星球上指数型增长是永远不可能长期持续的”。

那么，为什么这种增长现在正在我们这个世界上进行呢？什么可能让它停止呢？ HEfeoI9OcDSmgMZgRSiSlnqBJbMZgxk6REvUcPI+3dCu3J1kcRJVdwyp3bvCmIwh