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股票价格更可能上涨而不是下跌，这种说法是一种主观的论断，而理论定价模型不喜欢主观输入。模型需要有确切的赋值，即具体的数值化概率，来表述股票价格上涨或者下跌的概率。那么，该如何获得具体的概率值呢？
举个简单的例子，假设标的股票或商品的交易价格为100。在未来某一天，所谓的“到期日”，这个证券可能是90~110之间的五个价格之一。给每个价格分配一个发生的概率：10%、20%、40%、20%和10%，如图2-1所示。
显然，此例过度简化，但是为清楚起见，最好从简单入手。
现在，假设我进入市场并买了标的合约。如果忽略交易成本、利率以及滑点这些所有真实市场中需要考虑的因素，我能否计算出合约到期时的价格呢？
图 2-1
答案是可以的——至少可以计算出到期价格可能发生的概率是多少。
这里说明了概率是如何在此例中起作用的。到期时价格为90的概率是10%；到期时价格为95的概率是20%；到期时价格为100的概率是40%；依此类推，价格为110时，对应的概率是10%。换句话说，用5个可能的收盘价格分别乘以其对应的概率，然后加总得到100，如图2-2所示。
100意味着什么呢？它意味着如果该合约的交易价格为100，你买入该合约，或者卖出该合约，从概率的角度你将不会获利。当然，也不会亏损——如果不考虑交易成本的话。
这就是专业交易员所说的该合约或证券是无套利机会的（arbitrage-free），即在该标的市场交易无法获利——至少学者会这么说。
然而，期权的情况又不相同。假设，我没有买入标的资产，而是买入行权价格为100的看涨期权。到期时的价格将是多少呢？
图 2-2
先不考虑为看涨期权付出的权利金。此刻暂时不关心权利金的大小或者潜在的盈利和亏损。现在，只关注看涨期权在到期日的价值是多少。如何计算关于期权价值的概率呢？可以沿用计算标的合约的方式——尽管有一些主要区别。
我们已经知道对于标的合约，结果是损益平衡的。但是对于行权价格为100的看涨期权，如果到期时标的价格为90、95或100，那么期权价值为多少呢？是0！
欧式期权和美式期权
本书大部分例子中涉及的价格是期权现在的市场价格或到期时的期望价格。这是因为布莱克–斯科尔斯模型以及其他很多主流期权定价模型针对的都是欧式期权。术语“欧式”用来区分某些期权类型，在某个时间点上可以行权。大部分欧洲交易的期权只在特定的到期日行权——即转换成标的资产。相比之下，基本上所有北美交易的期权（除股票指数期权、一些外汇期权以及少量现货期权之外）可以在到期日及之前任意时间行权。
前一类型的期权被称为“欧式”期权，而后者则被称为“美式”期权。用理论模型定价场内美国股票及期货期权时，要注意欧式及美式期权的区别。
可以看出，期权损益图并不对称。如果标的合约小于等于100美元，那么行权价格为100的看涨期权将一文不值。但是，如果标的合约为105美元，则行权价格100的看涨期权将值5美元。假设概率分布如图2-1所示，那么该期权价值为5美元的概率是20%。类似地，如果标的合约为110美元，那么该期权将值10美元，发生的概率为10%（见图2-3）。
图 2-3
加总各个场景下的概率，得到行权价格100的看涨期权的价值为2美元。换句话说，概率论表明，如果今天为此期权付出2美元，那么在到期日当天将很可能不赔不赚，达到损益平衡。简单定义，期权理论价值就是概率论告诉我们到期时价格会出现的情况。
在定价模型中，还有其他一些比较次要但也值得考虑的因素——比如利率。举例来说，如果期望收益是2美元，现在的利率水平是12%，则需要将期望收益折减掉资金成本——即确定2美元的现值。经过利率调整后的修正理论价值为1.96美元（见图2-4）。
此外，理论价值与真实市场价格之间有着本质的区别。这是因为，如果交易期权，我总是愿意以比理论价值更低的价格报出买价，以比理论价值更高的价格报出卖价。
图 2-4
换而言之，如果我是一个交易员，有人来问我，“谢利，你对行权价格100的看涨期权的市场报价是多少？”虽然该看涨期权的理论价值为2美元，但是我会说，“我1.90买，2.10卖”或者“我1.80买，2.20卖”——我所报出的买卖价差，取决于市场的竞争性如何。
用以上价差进行交易，可以保证一定赚钱吗？当然不是。它只是表明，当我长期反复地如此操作时，应该能从交易价格及理论价值的差价中获利。