中英文摘要

在本书中，总以分别表示实数域、复数域、整数集和自然数集； X （或 H ）表示复Banach（或Hilbert）空间。 B （ X ）（或 B （ H ））表示 X （或 H ）上有界线性算子全体构成的集合。 M _m 表示 m 阶的复矩阵代数。表示时标，即实数轴上的非空闭子集。

时标上的分析理论创立于1988年，由德国数学家Hilger在他的博士论文 ^［51］中提出。时标分析理论将连续与离散的分析理论整合并统一到同一框架，同时将经典的微积分理论拓广到一般的时标上来。Hilger ^［ ⁵¹ ^， ⁵² ^］定义函数的Δ导数将通常的导数和向前差分统一起来。当为实数轴时，Δ导数即为通常的导数 f ′；当时，Δ导数即为通常的向前差分。因此，时标上的微积分将微分方程与差分方程统一并推广到时标动力学方程理论框架。近年来，时标动力学方程受到国内外众多学者的关注 ^［ ²³ ^， ²⁶ ^， ¹⁸ ^， ⁷⁹ ^， ²⁰ ^］。2002年，Atici和Guseinov ^［9］将Δ导数中的前跃算子 σ 换成后跃算子 ρ ，得到了▽导数的定义并且研究了时标上的▽动力学方程。

线性微分方程和差分方程出现在数学的许多领域及其应用当中，比如描述许多力学系统、电路回路系统、生物系统等模型 ^［ ²³ ^， ⁷⁹ ^， ¹⁰ ^］。因此时标上的线性动力学方程具有重要的理论及实际意义。

本书主要研究时标上的线性动力学方程，分别在矩阵代数、抽象的Banach代数及Banach空间中考虑线性时标动力学方程解的算法、显式表达及解的存在唯一性等相关问题。另外，我们还研究了复时标上的解析函数理论。

考虑时标上的线性动力学方程

其中上的矩阵值函数。

当为常值函数时，方程（0.1）解的结构一直受到人们的关注 ^［ ⁸⁸ ^， ⁶⁵ ^， ⁷⁸ ^， ⁴⁹ ^， ⁵ ^， ⁸³ ^， ⁹² ^］。近些年来，随着时标动力学方程理论的蓬勃发展和应用的需要，人们对方程（0.1）解的结构和算法的研究也取得了一些成果。

1990年，Hilger ^［52］标到的广义Δ指数函数即为方程（0.1）对应纯量方程的解。

2001年，Bohner和Peterson ^［23］直接将矩阵方程（0.1）的唯一解定义为时标上的矩阵指数函数，记为。他们将Putzer算法 ^［88］推广到求解广义常矩阵指数函数。后来，Harris算法及Leonard算法也被推广到广义常矩阵指数函数的计算 ^［ ¹⁵ ^， ⁹⁵ ^， ⁹⁶ ^］。

2007年，Verde-Star ^［92］用初等方法和算子恒等式求解常系数线性矩阵微分方程，得到了矩阵指数函数 e ^At 的显式表达式。

本书在第2章中考虑方程（0.1）的求解问题，推广了Verde-Star ^［92］的方法。下面介绍时标动力学方程（0.1）的求解方法及解的结构。

设 ω 是能被 A 的极小多项式整除的首一多项式，即

其中 b ₀ ＝1。

称初值问题

的解为与 ω 相伴的动态解，其中 D 代表Δ导算子。

定义为 ω 的Horner多项式。我们利用与 ω 相伴的动态解将方程（0.1）的解表示成矩阵 A 的多项式。

定理0.1 设 A 为 m 阶常矩阵。 ω 同（0.2），为 ω 的Horner多项式， f ( t )是与 ω 相伴的动态解。则方程（0.1）的解（即广义矩阵指数函数）为

可见，广义矩阵指数函数的系数完全由与 ω 相伴的动态解决定。为引入与 ω 相伴的动态解公式，先做一些准备工作。

定义时标上的基本广义指数多项式为

其中是时标动力学方程

的解。

定义可交换的卷积运算*为

其中

下面介绍动力学方程（0.3）解公式。

定理0.2 设 ω 同（0.2），令

则 f _ω 是与 ω 相伴的动态解。

将（0.8）带入（0.4）或（0.5）即为广义常矩阵指数函数的明确表达式。

对于时标上线性常矩阵▽动力学方程的求解问题，我们可以得到与方程（0.1）平行的结论。

当 A （ t ）不是常值函数时，方程（0.1）解的结构比较复杂。在本书的第3章中，我们对一般的 A （ t ）考虑的表达式，将广义实值指数函数的定义推广到Banach代数中。

设为复数域上的Banach代数，，定义 A 的谱为在中不可逆｝。设函数右稠连续，我们在一定的谱条件下定义了算子值函数 A （·）的柱面变换。

若 G 是主对数函数Logz的单值解析分支（解析区域为负实轴割破的复平面）。若函数 A （·）的谱满足条件

则定义函数 A （·）的柱面变换为

进而利用柱面变换引入Banach代数中Δ指数函数的概念。

定义0.1 设为有单位元的Banach代数，为时标，函数（或的子代数）。若函数 A （·）右稠连续且满足谱条件（ S ），定义函数 A （·）的Δ指数函数为

利用Riesz函数演算及谱映射定理可以验证定义0.1的合理性。我们定义的Δ指数函数 e _A （ t ， s ）恰为有单位元的交换Banach代数中方程（0.1）的解，这推广了纯量方程的结果。

定理0.3 设是有单位元的交换Banach代数（或其交换子代数）， I 为中的单位元。若 A （·）为到上的右稠连续函数且满足谱条件（ S ），则是方程（0.1）的唯一解。

另外，我们还考虑了Banach代数中的▽指数函数，得到了与Δ指数函数平行的结论。

在本书的第4章中，我们考虑了Banach空间中的线性动力学方程

其中，

我们从算子值函数 A （·）的值域角度出发，研究了解的存在唯一性。定义 B （ X ）中的算子类，其中 σ （ A ）为算子 A 的谱。则是 U 在一定条件下，保证系统（0.10）解的存在唯一性不依赖于具体时标的最大算子类。

定理0.4 U 是 B （ X ）中满足下面条件的最大的算子类。

（ G ）对任意的时标，若算子值函数按强算子拓扑右稠连续，则齐次方程（0.10）必存在唯一的全局解。

然后我们在Hilbert空间中刻划算子类 U 的闭包和内部，描述算子类 U 的大小。

设分别表示 A 的核空间和 A 的值域。称是一个 semi-Fredholm 算子，如果 R （A）是闭的，而且nul A 和 nulA ^* 中至少有一个是有限的，其中nul A ：＝dim N （ A ），nul A ^* ：＝dim N （ A ^* ）；此时ind A ：＝nul A －nul A ^* 称为 A 的指标。算子 A 的Wolf谱定义为不是semi-Fredholm算子｝，称为 A 的semi-Fredholm域。对任意的，记。用表示集合 U 的闭包，表示 U 的内部。