前言

人们在研究微分方程和差分方程时发现，二者有很多类似的研究方法及性质。时标微积分把对微分方程和差分方程的研究统一并推广到时标动力学方程的框架下进行，不仅可以避免对微分方程和差分方程的重复研究，又可以揭示微分方程和差分方程的本质区别。不仅如此，时标动力学方程还具有很强的应用价值，在信息、控制、电力系统、经济以及生物学等领域都有广泛的应用。例如，一类种群的数量在一个季节是连续变化的，而在另一个季节由于它们的卵处于休眠状态，这时种群的数量为零。在新的季节来临时，卵就会被孵化变成新的生命，形成一个不交叠的种群数量关系。描述这类具有冬眠（或蛰伏）特性的种群数量随季节变化的规律时，在时标上建立动力学模型更能反映实际情况。近年来，时标微积分理论一直备受关注，取得了大量的研究成果。现有关于时标动力学方程的研究结果中，多数研究对象为纯量方程或低维向量方程。抽象（包括高维）空间中的动力学方程更具有一般性，因此具有研究价值更大。

本书是作者几年来科研成果的总结，主要研究抽象空间中时标动力学方程的相关问题。全书共分5章，讨论了矩阵代数以及Banach代数中线性时标动力学方程的解、Banach空间中线性时标动力学方程解的存在唯一性等问题。我们从泛函分析的视角，利用算子的Riesz函数演算及谱理论等工具展开研究，且具一般性，这里的抽象空间将通常的n维欧式空间涵盖进来，将低维的结果推广到高维，为从事于该领域研究的学者提供一定的借鉴。本书最后一部分对复时标上的解析函数进行了初步的研究。具体内容如下：

（1）对于常系数线性矩阵时标动力学方程，我们将时标动力学方程的解（也就是广义矩阵指数函数）的计算转化为对应的纯量齐次时标动力学方程求解问题，得到了常系数线性矩阵时标动力学方程解的显式表达式及算法。

（2）对于时变的线性时标动力学方程，我们将时标上的广义实值指数函数推广到一般的Banach代数中。在一定条件下证明，我们定义的广义指数函数恰为有单位元的交换Banach代数中的线性时标动力学方程的解。

（3）我们在Banach空间中考虑了线性时标动力学方程解的存在唯一性。找到了一个算子类，并且在某些条件下是保证线性系统解的存在唯一性不依赖于具体时标的最大算子类。我们在Hilbert空间中刻划算子类的闭包和内部，描述了该算子类的大小。

（4）我们考虑了复时标上函数的解析性与经典的复平面上函数解析性之间的关系，得到了几类复时标上解析函数的局部开拓条件。我们还对单项式在复时标上的解析性进行了讨论。

本书是在国家自然科学基金项目（项目编号：11326103，11271150）、吉林省教育厅“十二五”科学技术研究项目（项目编号：2013215）、吉林财经大学2013年专著出版资助计划的资助和支持下完成的。值此专著完成之际，诚挚感谢吉林大学数学研究所纪友清教授多年来对我的指导和帮助。

由于作者水平有限，书中难免有考虑不周和疏漏之处，诚请广大读者批评指正。

冯由玲

2014年3月于长春