风轻云淡的一天,你站在水平地面上,手里拿着一块石头,想要扔得越远越好。已知你能用多大的力气扔出去,那么最重要的决策就是选择石头出手时与地面的夹角。如果夹角太小,那么尽管石头在水平方向的速度分量很大,也会很快落到地面上,因而飞不出太远;反之,若夹角过大,石头能在空中停留较久但掠过的水平距离却不远。很明显我们需要在这中间作一些权衡。
利用牛顿物理学和微积分的一些初步知识,可以计算得到最佳的折中方案——石头离手时应与地面呈45度夹角。就这个问题而言,这基本上是最简洁优美的答案了。同样的计算还可以告诉我们石头在空中的飞行轨迹是个抛物线,甚至还能得出脱手后在空中任意时刻的速度有多大。
看起来,科学与数学相结合能够使我们预测石块飞出去直至落地之前的一切行为。然而,只有在我们作了许多的简化假设之后才能够如此。其中最主要的假设是,作用在石头上的只有一种力,即地球的引力,而且这种力的大小及方向在各处总是一样的。但实际上并非如此,因为它忽略了空气阻力、地球自转,也没有计入月球的微弱引力,而且越到高处地球引力越小,在地球表面上“垂直向下”的方向也随着具体位置的不同而逐渐变化。即使你能够接受上述计算,45度角的结果也基于另一个隐含假设:石头离手的初始速度与夹角无关。这也是不正确的:实际上夹角越小,人能使上的力气越大。
上述这些缺陷的重要性各有不同,我们在计算和预测中应该采取怎样的态度来对待这些偏差呢?把所有因素全部考虑在内进行计算固然是一种办法,但还有一种远为明智的办法:首先决定你需要达到什么样的精确度,然后用尽可能简单的办法达到它。如果经验表明一项简化的假设只会对结果产生微不足道的影响,那就应当采取这样的假设。
例如,空气阻力的影响相对来说是比较小的,因为石头很小很硬,密度大。假如在出手角度上有较大的误差,那么通过计入空气阻力来将计算复杂化就没有多大意义。如果一定要考虑进去的话,以下这条经验法则就足矣:空气阻力变大,则通过减小出手角度来弥补。
当我们考察一个物理问题的解答时,十有八九能够就其中科学贡献部分和数学贡献部分划出一道清晰的界线。科学家在观察和实验的基础上,作一些简洁性与解释有效性的一般性考虑,建立一种理论。数学家,或者做数学的科学家,则研究理论的纯粹逻辑结果。有时候,这些情形是常规计算的结果,常规计算所预言的现象正是理论在提出时所要解释的。在某些偶然的情况下,理论所作出的预言则完全出乎意料。如果这些意料之外的现象后来被实验所证实,那么我们就得到了支持这种理论的重要证据。
然而,由于我上面所讨论到的简化问题,“证实一项科学预言”的概念就多多少少有了些问题。让我们考虑另一个例子:牛顿的运动定律和引力定律告诉我们,两个物体从同样的高度开始作自由落体运动,它们将同时到达地面(如果地面平坦)。这种现象由伽利略首先提出,它有点违背我们的直觉。实际上,它违背的不仅是我们的直觉:如果你亲自试一试,比方说用高尔夫球和乒乓球,你会发现高尔夫球首先落地。既然如此,究竟在什么意义上伽利略的论断是正确的呢?
当然,由于空气阻力的存在,我们不可能把这个小实验当作伽利略理论的反例:实验证明,当空气阻力很小时理论是正确的。如果你对此有所怀疑,觉得空气阻力实在稀松平常,怎能总是挽救牛顿力学的预测于失败之际,那么,找个机会去观察一模下羽毛在真空中的下落,你就能重拾对科学的信念以及对伽利型略的赞赏——真空中,羽毛的下落的确与石头别无二致。
尽管如此,由于科学观察永远不是完全直接性和决定性的,我们仍需要一种更好的方式来描述科学与数学之间的关系。数学家并不是将科学理论直接应用于现实世界中,而是应用于模型上。在这里,模型可以看作是所要研究的那部分现实世界的一种虚构、简化的版本。在模型里,我们就有可能进行完全精确的计算。在扔石头的例子中,现实世界与模型的关系正如同图1和图2所展示的那样。
对于一种给定的物理情形,有多种方法将其模型化。我们需要结合切近的经验与深入的理论考量来决定,哪种模型更有可能向我们透露世界的本真。选择模型时,有一个需要优先考虑的因素,即模型的行为应当与实际中观察到的行为密切对应。
图1 飞行中的球甲
图2 飞行中的球乙
但是,诸如简洁、数学表达上的优雅等其他因素可能反而时常会更重要一些。实际上,确实有一些模型在现实世界中几乎找不到任何相似之物,但同时却非常有用。接下来有一些例子将会对此进行说明。