极限的概念与理论是微积分的基础。微积分中的两个基本概念微商与定积分，都是建立在极限概念基础之上的。

与其说极限的概念产生于自然现象之中，不如说它是我们认识某些复杂的量的一种方法。比如圆的面积，原本我们不会计算，但我们会计算圆内接正n边多边形之面积，于是就将圆的面积作为内接正n边形的面积当n无限增大时的极限。我们将在以后的讨论中看到极限概念在微积分中的重要意义。

我们将涉及两类极限：序列的极限与函数的极限。本节只讨论序列的极限。

1. 序列极限的定义

设｛a _n ｝是一个给定的序列。我们关心的是，在n无限增大的过程中通项a _n 的变化趋势。

我们先看几个具体的例子。

在序列 中，每一项都是大于零的，然而当n趋于无穷时，通项 可以任意接近于零。我们说零是这个序列的极限。在这个例子中，序列中的项是永远达不到其极限的，但可以任意地接近于它。如果我们考虑序列：

当n无限增大时，这个序列的通项显然要么本身为零，要么本身不为零而可任意接近于零。对于这种情况，我们仍然把零称做这个序列的极限。

我们再看一个例子：

显然，它的通项可以表成

因此，当n无限增大时，它可以任意接近于2。不过，它不是递减或递增地接近2，而是在2的上下摆动。对于这种情况，我们仍然称它的极限是2。换句话说，不断摆动地趋于某个量时，仍把这个量作为极限。

但是，并非所有序列｛a _n ｝都有一个固定的变化趋势。比如，

当n为偶数时，a _n ＝0，而当n＝2k＋1时，a _n ＝（-1） ^k 。可见，在n趋于无穷的过程中，a _n 在-1，0，1三个值中变来变去，没有一个固定的趋势。这时我们称｛a _n ｝没有极限。

通过上面这些例子，我们看到若序列｛a _n ｝在n趋于无穷的过程中有一个确定的趋势，也就是说，a _n 可任意地接近某个数l，我们就称l为｛a _n ｝的极限。

什么叫a _n 可任意接近l呢？为此我们应当考查点a _n 到l的距离｜a _n －l｜。所谓a _n 趋向于l，就是指在n充分大时，｜a _n －l｜可以任意小。

这里必须进一步说明何为n充分大时，｜a _n －l｜任意小。现在我们以序列

为例。这时极限l＝2。当n>10时， 当n>10 ² 时， 一般地，当n>l0 ^k 时， 这就是说，｜a _n －2｜可以小到任意给定的一个数，只要其中n大于某个自然数。

下面给出序列极限的正式定义：

定义　设｛a _n ｝是一个给定的序列。若存在一个实数l，对于任意给定的正数ε，无论它多么小，都存在一个自然数N，使得

｜a _n －l｜<ε，　只要n>N，

则我们称｛a _n ｝以l为极限，记做： 有时也称为n趋于无穷时a _n 趋于l，记做

假若序列｛a _n ｝以某实数l为极限，则称序列的极限存在。

通常把上述定义中的这种严格说法称做ε－N说法。

从直观上来看，上述定义中的条件实际上是说，对于任意小的ε>0，都有一个自然数N，使得第N项之后的各项a _n 都满足：

l－ε<a _n <l＋ε（见图1.9）。

这也就是说，在n无限增大的过程中总有一个时刻N，在此之后a _n 到l的距离小于事先任意给定的正数ε。

显然，若序列｛a _n ｝的极限存在，则其极限值必是唯一的。因为在n无限增大过程中，a _n 不可能同时任意靠近两个不同的数。

现在，我们用ε－N说法，证明几个常见的序列的极限。

例1

证　对于任意给定的ε>0，要使

只要n>ε ^-1 。因此，我们取N＝［ε ^-1 ］＋1，即有 只要n>N。

证毕。

这里［ε ^-1 ］ε ^-1 之整数部分。当ε>1时，［ε ^-1 ］＝0，为了保证N为自然数，我们取N等于［ε ^-1 ］＋1。

从这个简单的例子中看到，N是根据ε找的。一般说来，N要依赖于ε。另外，只要找到适合要求的N即可，而不要求它是最小的。比如，在上题中如果取N＝［ε ^-1 ］＋5，自然也是可以的。

例2　设a>1是给定的实数，则

证　注意到a>1，也就有a ^l／n >1。对于任意给定的ε>0，要使｜a ^1／n －1｜<ε，即要a ^1／n －1<ε，也即只要a ^1／n <1＋ε。两边取以a为底的对数即得 或n>｛log _a （1＋ε）｝ ^-1 。

于是，我们取N＝［｛log _a （1＋ε）｝ ^-1 ］＋1，即有

｜a ^1／n －1｜<ε，　只要n>N。

证毕。

当0<a<1时，同样有 证明方法类似。

上面的两个例子告诉我们，为了证明某个序列的极限为l，问题归结为解不等式

｜a _n －l｜<ε　或　l－ε<a _n <l＋ε。

但不是求出所有满足不等式的n，而是要求找到一个N，使得n>N时上述不等式成立即可。

例3　设q为常数，｜q｜<1，则

证　若q＝0，则q ⁿ ＝0，对于一切n＝1，2，…。这时显然有

现在假定q≠0。这时，0<｜q｜<1。对于任意的ε>0，要使｜q ⁿ －0｜<ε，只要nln｜q｜<lnε，也即只要

这里当ε>1时，lnε／ln｜q｜为负数。这时可取N＝1。当ε<1时，我们取

这时当n≥N时，便有｜q ⁿ －0｜<ε。证毕。

在这个题目中，我们要区别ε的取值范围来决定N的取法。今后为了简便起见，在证此类题时，不妨一开始就假定ε<1。这样假定是合理的，这是因为对于较小ε的找到的N，一定也适用于较大的ε。

我们希望读者记住例2及例3的结论，以后我们会经常用到它们。

2. 夹逼定理

下面，我们介绍一个很有用的定理，俗称夹逼定理：

定理1　设｛a _n ｝，｛b _n ｝，｛c _n ｝为三个序列，并且存在一个自然数N ₀ ，使得：

c _n ≤a _n ≤b _n ，　∀n≥N ₀ 。

若｛c _n ｝与｛b _n ｝都有极限存在，并都等于l，则｛a _n ｝的极限存在，并且也等于l。

证　根据定理的假定，对于任意给定的ε>0，存在自然数N ₁ 与N ₂ ，使得

也即有

b _n <l＋ε，　只要n>N ₁ ，

l－ε<c _n ，　只要n>N ₂ ，

现在，我们取N＝max（N ₀ ，N ₁ ，N ₂ ），则有

l－ε<c _n ≤a _n ≤b _n <l＋ε，　只要n>N，

也即

｜a _n －l｜<ε，　只要n>N。

证毕。

这个定理的用途之一是下述情况：当a _n 的表达式比较复杂，一时难于处理，不妨对它作适当之放大与缩小，只要适当放大与缩小后的序列有相同的极限，则序列｛a _n ｝就也有极限。

例4　设a>1是任意给定的常数。考查

是否有极限。

乍一看很难对它是否有极限作出判断，因为分子与分母都会无限增大（当n无限增大时）。但是当我们将它改写为下列形式时，就立刻能得出结论。考虑n>［a］＋1，有

也即

注意a给定后， 是一个常数，很容易看出 另外，a _n 的下界为0。又显然 于是应用定理1可得

例5　设k为大于1的正整数，证明：

证　令 其中n>k。用n ^k 同除a _n 的分子与分母，得

当n>2k时，上式右端的分母中每项因子 均大于 ，于是我们得到不等式 其中n>2k。

注意到上述不等式中左端序列与右端序列的极限均为0，由定理1即得 证毕。

例6　设a>1是一常数，试证明

证　令h＝a－1，则h>0，且

因此，当n>1时， 于是

再次应用定理1即得到 证毕。

利用a ⁿ >n（n－1）…（n－k）h ^k＋1 ／（k＋l）！及例5，可进一步证明，当a>1时，对于任意自然数k，我们有

通过上述例子可以看出，虽然序列｛n｝（或｛n ^k ｝），｛a ⁿ ｝（a>1）及｛n！｝都是趋于无穷的，但其趋于无穷的“速度”不同：n较a ⁿ 慢，而a ⁿ 较n！慢。

3. 极限不等式

下面的两个定理是关于极限不等式的。它们同样是经常要用的、有关极限的基本定理。

定理2　设序列｛a _n ｝及｛b _n ｝分别有极限l ₁ 及l ₂ ，并且l ₁ >l ₂ ，则存在一个自然数N，使得

a _n >b _n ，　只要n>N。

也就是说，在两个序列的极限存在的条件下，当项数充分大了之后，极限较大的序列的项要大于极限较小的序列的对应的项。这个结论从直观上是显而易见的事实。

证　对于任意的ε>0，存在自然数N ₁ 及N ₂ ，使得

｜a _n －l ₁ ｜<ε，　只要n>N ₁ ；

｜b _n －l ₂ ｜<ε，　只要n>N ₂ 。

取N＝max｛N ₁ ，N ₂ ｝，那么当n>N时，｜a _n －l ₁ ｜<ε，且｜b _n －l ₂ ｜<ε；也即

l ₁ －ε<a _n <l ₁ ＋ε；

l ₂ －ε<b _n <l ₂ ＋ε。

因此，当n>N时，a _n －b _n >l ₁ －l ₂ －2ε。由于ε是任意给定的正数，故事先可取 在这种取法下，当n>N时，a _n －b _n >0，也即a _n >b _n 。证毕。

推论　设序列｛a _n ｝有极限l且l>0（或<0），则存在一个自然数N使得当n>N时，a _n >0（或<0）。

证明是显然的，只要在定理2中令b _n ＝0即可。

由定理2立即推出

定理3　设序列｛a _n ｝及｛b _n ｝分别有极限l ₁ 及l ₂ ，并且存在N ₀ 使得

a _n ≥b _n ，　只要n>N ₀ ，

则l ₁ ≥l ₂ 。

证　用反证法。若l ₁ <l ₂ ，则由定理2推出，存在一个自然数N，使得n>N时，a _n <b _n ，这与假定矛盾。由此推出l ₁ ≥l ₂ 。证毕。

定理3告诉我们：如果自某项开始，一个序列的项总是大于或等于另一序列的对应项，则它们的极限也有同样的大小次序。

不过，我们要提醒读者，即使是a _n 严格大于b _n ，也即

a _n >b _n ，　∀n＝1，2，…，

但仍然只能推出

这里“＝”是可能发生的。比如，

显然a _n >b _n ，但它们有相同的极限。

4. 极限的四则运算

定理4　设｛a _n ｝与｛b _n ｝都有极限，它们的极限分别为l ₁ 与l ₂ ，则有

且当l ₂ ≠0时，有

注　若l ₂ ≠0，根据定理2推论，当n充分大时，b _n ≠0。因而 在n充分大时是有意义的。

证　设ε>0是任意给定的数。对于 这个数，可以找到N ₁ 及N ₂ 使得

｜a _n －l ₁ ｜<ε／2，　只要n>N ₁ ，

｜b _n －l ₂ ｜<ε／2，　只要n>N ₂ 。

取N＝max｛N ₁ ，N ₂ ｝，则我们有

｜（a _n ±b _n ）－（l ₁ ±l ₂ ）｜≤｜a _n －l ₁ ｜＋｜b _n －l ₂ ｜

<ε／2＋ε／2＝ε，只要n>N。

这就证明了

为了证明a _n b _n →l ₁ l ₂ （n→∞），我们将｜a _n b _n －l ₁ l ₂ ｜作适当放大：

对于ε ₀ ＝1，我们可以找到一个N′使得

｜b _n －l ₂ ｜<1，只要n>N′。

从而，｜b _n ｜－｜l ₂ ｜<1，只要n>N′，也即

｜b _n ｜<1＋｜l ₂ ｜，　只要n>N′。

因此，当n>N′时，我们有

｜a _n b _n －l ₁ l ₂ ｜≤（1＋｜l ₂ ｜）（｜a _n －l ₁ ｜）＋｜l ₁ ｜（｜b _n －l ₂ ｜）。

设ε是任意给定的正数。根据假定 对于正数ε′＝ε／［2（1＋｜l ₂ ｜）］，存在一自然数N ₁ ，使得

｜a _n －l ₁ ｜<ε′，　只要n>N ₁ 。

根据假定 对于正数ε″＝ε／［2（1＋｜l ₁ ｜）］，存在一自然数N ₂ ，使得

｜b _n －l ₂ ｜<ε″，　只要n>N ₂ 。

取N＝max｛N ₁ ，N ₂ ，N′｝，那么当n>N时，

｜a _n b _n －l ₁ l ₂ ｜<（1＋｜l ₂ ｜）ε′＋｜l ₁ ｜ε″

这就证明了

下面证明

为了证明此式，只要证明

就足够了。事实上，若能证明此式，则要证的公式就可以由已证明的乘法公式推出。

根据 及l ₂ ≠0的假定，我们有 故存在一个自然数N ₀ 使得 当n>N ₀ 。

因此，当n>N ₀ 时，我们有

对于任意的ε>0，取 根据 对于ε′>0，存在一个自然数N ₁ ，使得 只要n>N ₁ 。

因此，当n>max｛N ₀ ，N ₁ ｝时，

定理证毕。

这个定理告诉我们：在所涉及的序列都有极限的情况下，极限运算可以与四则运算交换次序。这为求极限提供了很大方便。

对初学者而言，重要的不是这个定理的证明，而是其灵活应用。

例7　求极限

解　原式的分子与分母都没有极限，故不能直接应用定理4。但是，用n ³ 同除分子与分母后即可应用定理4：

例8　求极限

解　因为 及 均无极限，我们不能直接用定理4。这时，我们作如下变形：

这里等式右端的分母的极限为2。由此推出

显然，定理4可以被推广到有限次加减乘除运算的情况。但是对无限次运算不一定成立。这一点初学者要特别注意。例如考虑序列

其中的每一项当n→∞时均趋于零。于是有人会因此而误认为a _n →0（n→0）。但这是不对的，因为这个和式中共有n项，这里的项数随着n增大而无限增多。这样，加法运算的次数不是有限的。因此不能使用我们的定理。另外一方面，很容易看出：

可见即使a _n 有极限，a _n 也不可能以零为极限。

在讨论序列的极限问题时，常常涉及序列的子序列的概念。子序列是在原序列中抽出一部分项（必须抽出无穷多项）并保持原来项的次序所组成的新序列。比如我们在｛a _n ｝中抽出其全部奇数项：

a ₁ ，a ₃ ，a ₅ ，…，a _2k－1 ，…，

这就组成了一个子序列。在这个子序列中的第k项，恰好是序列｛a _n ｝中的第2k－1项。

一般说来，如果我们在｛a _n ｝中首先挑出a _{n 1} 作为子序列的第1项，然后又在a _{n 1} 后面再挑一项a _{n 2} 作为第2项，…，如此下去，我们就得｛a _n ｝之一子序列：

a _{n 1} ，a _{n 2} ，…，a _{n k} ，…。

子序列之第k项a _{n k} 恰好是原序列之第n _k 项。在奇数项组成的子序列中n _k ＝2k－1。

根据挑选的次序，不难看出

n _k ≥k；n _{k 1} <n _{k 2} 如果k ₁ <k ₂ 。

定理5　设序列｛a _n ｝有极限l，则它的任意一个子序列｛a _{n k} ｝也以l为极限。

证　对于任意给定的ε>0，由假定可知存在一个自然数N，使得

｜a _n －l｜<ε，　只要n>N。

特别地，我们有

｜a _{n k} －l｜<ε，　只要n _k >N。

但n _k ≥k，故当k>N时，n _k >N，从而有｜a _{n k} －l｜<ε。这就证明了｛a _{n k} ｝以l为极限。证毕。

这个定理的意义不仅在于保证了子序列的极限等于原序列的极限，而且还在于告诉我们：只要我们在一个序列中找到两个子序列，它们都有极限，但极限值却不同，这时原序列就不可能有极限。例如，在前面举的例子 中，就可以取出有不同极限的两个子序列，从而严格证明了它的极限的不存在性。

5. 一个重要极限

现在我们要介绍一个重要极限：

首先证明序列 有极限。

例9　当n→∞时，序列 有极限。

证　为证明这个序列有极限，我们须证明两件事实：

（1） 是有界的。事实上，由牛顿二项式定理有

（2） 是递增的。这是很容易验证的：先将 与 展开：

比较上面两个式子右端两个求和号中的对应项，显然前者的较小，又 于是

根据实数域的完备性，在实数域中单调有界序列有极限；特别地，单调递增有上界的序列有极限。因此，序列 有极限。通常人们把这个序列的极限记为e。伯努利（Bernoulli）在研究复利计算时发现了这个极限，而欧拉（Euler）首先使用“e”来代表这个极限，并把它作为自然对数的底。数e的引进大大简化了许多计算，成为数学中最重要的常数之一。

根据前面的讨论，我们知道数e介于2与3之间。可以证明e是一个无理数。e的近似值为

e≈2.7182818。

数e及自然对数的引入为科学计算带来很大方便。这一点会在今后的讨论中逐步显露出来。

例10　求

解　由于 故有

历史的注记

朴素的极限概念的萌芽在我国古代很早就出现了。我国《庄子》中就记载着许多名家关于无穷的论述。比如，“至大无外谓之大一，至小无内谓之小一”，这里的“大一”就是无穷大，而“小一”就是无穷小。又比如，《庄子》中还记载着下列名言：

“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”

它用一个生动的例子，描述了一个趋于零而总不是零的一个无穷过程。

公元前3世纪魏晋时代的刘徽的“割圆术”是有关极限思想的另一个著名例子。所谓割圆术就是用圆内接的正多边形的面积去逼近圆的面积。他从正六边形出发，每次边数加倍，逐次计算其面积，一直计算到正192边形的面积，从而得到圆周率的估计：

这在历史上是一项了不起的成就。刘徽指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矢。”两千多年前刘徽的思想与当今的极限论观点何其相近。当然，我们应当指出，要达到“不可割，则与圆合体”的过程是一个无限的过程，而不是一个有限过程。

习题　1.3

1. 设 证明： 即对任意给定的ε>0，求出正整数N，使当n>N时有｜x _n －1｜<ε。并填下表：

2. 设 证明

3. 设｛a _n ｝有极限l。证明：

（1）存在一个自然数N，当n>N时，｜a _n ｜<｜l｜＋1；

（2）｛a _n ｝是一个有界序列，也即存在一个常数M，使得｜a _n ｜≤M（n＝1，2，…）。

4. 用ε－N说法证明下列各极限式：

5. 设 又设序列｛b _n ｝是有界序列，即存在一个常数M使得｜b _n ｜<M（n＝1，2，…），证明

6. 证明 （提示：首先证明对任意正数ε>0， 其次，说明存在一自然数N，使得n>N时，n／（1＋ε） ⁿ <1。）

7. 求下列各极限的值：

*

*

8. 利用单调有界序列有极限证明下列序列极限存在：

9. 证明

（提示：在前面讨论 的有界性时已经证明 于是 另一方面设法利用 的牛顿二项式展开证明

其中k为任意固定的自然数。）

10. 设｛x _n ｝满足下列条件：

｜x _n＋1 ｜≤k｜x _n ｜，n＝1，2，…，

其中k是小于1的正数。证明 （提示：证明｜x _n ｜≤k ^n－1 ｜x ₁ ｜。） Na5xLNK6HnkiAqJOaDodzVBEnuYWx0j7TcTXdIljcIbgw6t9yxm9M3QlwTp7ZQ3r