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1. 函数的定义
世间万物无时不在运动、发展与变化。自然现象是如此，社会现象也是如此。物质的运动、发展与变化是普遍的、绝对的，而静止、稳定不变则是暂时的、相对的。因此，在我们对某个特定的自然现象、社会现象或某个技术过程进行观察时，其中出现的各种量，一般说来也在不断变化。比如飞行中飞行器的高度与速度，某个地区的气温与湿度，一个电路中某处的电压与电流等都在不断地变化着。这些不断变化中的量称为变量。
高等数学与初等数学的重要区别在于高等数学主要是处理变量的，而初等数学大体上是处理常量的。变量是微积分学的基本研究对象。
在很多现象中，常常会看到一个变量依赖于另外一个或几个变量。例如，金属杆的长度依赖于温度的变化：
l＝l 0 （1＋aT）。
一定量的气体的体积依赖于温度与压力：
我国公民交纳的个人所得税的数额取决于他一个月的收入：
在上述这些例子中，l，V，y分别由T，p，x所确定。因而，我们称T，p，x为自变量，并称l，V，y为因变量。在这些例子中，因变量由自变量的值唯一确定。变量间的这种确定的依赖关系称为函数关系。有些变量之间也有某种依赖关系，但不是一种确定的关系。比如农田中作物的产量和所浇灌的水与施肥的量有关。但水与肥的量并不唯一决定产量，因而产量与浇水量、施肥量不是一种函数关系。在微积分中我们只讨论变量之间的那种确定的依赖关系，即函数关系。
函数的确切定义如下：
定义 设x与y是两个变量，分别在实数集合X与Y中取值。假如有一种规则f使得对每一个值x∈X都能找到一个唯一确定的y∈Y与之相对应，则我们称f是一个函数，记做f：X→Y，并称X为f的定义域。通常这里的x称为自变量，y称为因变量。
这里与x相对应的y称做f在x点的函数值，记做f（x）。而Y中一切可能被取到的函数值集合称做f的值域，记做f（X）。显然，f（X）是Y的一个子集合。
函数f：X→Y有时记成
y＝f（x），x∈X；
或者简单地记成y＝f（x）。
现在，对这个定义作几点解释。通常见到的函数多是由表达式给出，比如
这里t到s的对应关系是由一个公式给出的。有时用一个公式不够，要用几个公式给出，正像我们在前面纳税的例子中看到的。这种函数通常称做分段函数。但是，并不是所有的函数都可以用一个或几个表达式给出的。比如股市上某个交易日某种股票的价格，显然是时间的函数。我们可以画图表示它的起伏状况但无法用一个数学公式来表达。
函数的定义域X是根据具体函数的定义来确定的。一个由表达式给出的函数的定义域通常认为是使得表达式有意义的自变量的一切值。比如，
的定义域是｛x｜x≥1｝。在一个物理问题或其他问题中提出的函数，其定义域要根据所讨论的问题来确定。
在微积分中所讨论函数的定义域通常是一个闭区间［a，b］，或开区间（a，b），或半开半闭的区间［a，b）、（a，b］，有时甚至是整个数轴R，或记做（-∞，+∞）。
最后，关于函数的定义我们还要指出：因变量y的变化范围Y不一定恰好就是函数的值域f（X）。比如定义在X＝｛x｜x≥1｝上的函数
的值域是｛y｜y≥0｝。但我们仍然可以认为y的变化范围是R，并记该函数为f：X→R。
在中学时我们已接触过序列（也称数列）｛a n ｝，它是依次排列起来的一串数：
a 1 ，a 2 ，…，a n ，…，
其中a n 称为序列的通项。对于任意一个自然数n，我们都有一个唯一确定的数a n 与之对应。在这种看法之下，序列｛a n ｝便是定义在自然数集合N上的一个函数。
2. 初等函数
在中学数学教程中，我们已经遇到过很多函数，如三角函数、幂函数、指数函数、反三角函数、对数函数，等等。今后，我们将这些函数以及它们经过有限次四则运算与复合所得到的函数称做初等函数。
下面六类函数称做基本初等函数：
（1）常数函数：y＝c，即无论自变量x为何值，其函数值总是c。显然，这里常数函数之定义域为R。
（2）幂函数：y＝x a （a≠0）。
当a为自然数时，其定义域为R；
当a为负整数时，其定义域为R＼｛0｝；
当a为有理数时，也即
其中m，n∈Z，m>0，（m，n）＝1，这时我们认为
因此，当a为有理数
时，函数y＝x
a
定义域依赖于a的正负以及分母的奇偶性。比如，当a>0，而m为奇数时，其定义域为R；当a>0，m为偶数时，其定义域为［0，+∞）。a<0的情况留给读者自己考虑。
当a为无理数时，x a 被理解为x a n 的极限，其中a n 是任意一串趋于a的有理数。由于a n 表成分数式时其分母可能出现偶数，所以要求x是非负的。因此，当a为正的无理数时，y＝x a 的定义域为［0，+∞），而当a为负的无理数时，其定义域为（0，+∞）。
不论上述哪种情况，函数y＝x a 的定义域总包含（0，+∞）。
（3）指数函数：y＝a x （a>0，a≠1）。
指数函数之定义域为R。
（4）对数函数：y＝log a x（a>0，a≠1）。
对数函数的定义域为（0，+∞）。在本教材中，lnx表示以e为底的自然对数。
（5）三角函数：y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx，y＝cotx，y＝secx，y＝cscx。
正弦与余弦函数之定义域为R，而正切函数与正割函数的定义域为
余切函数与余割函数的定义域为R＼｛nπ｜n∈Z｝。
在微积分中，三角函数中的角度用弧度制表示。
（6）反三角函数：y＝arcsinx，y＝arccosx，y＝arctanx，y＝arccotx。
反正弦函数与反余弦函数之定义域为［-1，1］，而反正切函数与反余切函数之定义域为（-∞，+∞）。
我们假定读者通过中学数学教程对于上述六类基本初等函数的性质及其图形已有足够的了解。因此，本教材略去关于它们的性质的叙述及其图形的描述。
现在我们来定义复合函数。
定义 假定我们给了两个函数，f：X→Y及g：Y * →Z，并且假定f（X）⊂Y * 。这时对于每个x∈X有一个唯一确定的y＝f（x）∈Y与之相对应。对于这个值y＝f（x），由于它一定属于Y * ，因而又有一个唯一确定的z＝g（y）∈Z与之对应。这样一来，我们就建立了一个从x到z的对应，从而得到一个新的函数。这个函数被称为f与g的复合函数，记做z＝g（f（x））或g∘f。
图 1.4 y＝｜x｜的图形
例1 设f（x）＝sinx，g（y）＝e y ，则g（f（x））＝e sinx 。
例2 设f（x）＝x
2
，
则
（如图1.4）。
由有限个基本初等函数经过有限次的四则运算及复合运算所得到的函数，称为初等函数。上面的两个例子都是初等函数。
例3
是初等函数。
并非所有函数都是初等函数，如今后经常会遇到的符号函数就是一例：
以后我们将会说明这个函数不是初等函数，函数y＝sgnx的图形见图1.5。
图 1.5
图 1.6
例4 y＝x－［x］，其中［x］表示不超过x的最大整数，例如［5］＝5，［π］＝3，［-e］＝-3。显然，y＝x－［x］的值域为［0，1）。当0≤x<1时，x－［x］＝x，而当1≤x<2时，x－［x］＝x－1。余此类推，其图形如图1.6。
这个函数也不是初等函数，但它有很多用途，在数论中常用到它，在某些工程计算中也会用到它。在数学文献中把这个函数记做y＝｛x｝，并把｛x｝≡x－［x］称为x的小数部分。不过这里我们要提醒读者：当x>0时，｛x｝就是人们通常理解的x的小数部分，比如｛3.14｝＝0.14。但当x<0时情形就不同了，比如当x＝-3.14，这时［x］＝-4，故｛-3.14｝＝-3.14＋4＝0.86，而不是-0.14。
例5 下面的函数被称为狄利克雷（Dirichlet，1805—1859）函数，或称为狄氏函数：
人们很难画出这个函数的图形。因为在任意的小区间中都有有理数和无理数（见习题1.1中第7题与第8题），所以其图形是分别分布在x轴上及y＝1直线上的“密密麻麻”的点集合。可见函数的图形可以不是一条或若干条曲线组成。
狄氏函数常被用来澄清某些概念。
函数概念的一般化就是集合间的映射。下面介绍有关映射的一些术语。
我们说f：E→F是集合E与F之间的一个映射，如果对每一点x∈E都有一个唯一确定的点y∈F与之相对应。这时我们将y记做f（x）并称之为x的像点。全体像点的集合
｛y∈F｜存在x∈E：y＝f（x）｝
称为E的像集合，记做f（E）。显然，f（E）⊂F。
函数是一般映射的特殊情况。函数与一般映射的区分在于前者要求其定义域与值域都是数集合。
若映射f：E→F的像集合f（E）＝F，则表明F中的每一点都是一个像点。这时我们称f：E→F为满射（surjective）。
若映射f：E→F具有下列性质，则称f为一一映射或单射（injective）：
若映射f：E→F既是满射又是一一映射，则对每一个y∈F都有一个唯一确定的x，使得f（x）＝y。这就自然形成了一个自F到E的映射。这个映射称为f的逆映射，记做f -1 ：F→E。
例6 设f（x）＝sinx。则f是R→［-1，1］的满射，但不是一一映射。
此例中若将f的定义域改换成
也即
其中x↦sinx表示点x对应的函数值为sinx。这时映射变成一一的满射。因此，这时有逆映射存在。
若函数f：X→Y作为映射是一一的满射，则其逆映射f -1 ：Y→X称做f的反函数。
正像大家所熟知的，y＝lnx是x＝e y 的反函数。由于习惯上以x为自变量，y为因变量，所以通常说y＝lnx是y＝e x 的反函数。
可以像定义复合函数一样来定义复合映射，比如映射f：E→F及g：F * →G（假定F⊂F * ）的复合映射g∘f是E→G的一个映射，它将每一点x∈E映为g（f（x））。
3. 有界函数
在结束本节之前，我们讨论有界函数的概念。我们称函数f：X→Y是有上界的，如果存在一个实数M，使得
f（x）≤M，∀x∈X，
这时M就称为f的一个上界。
显然，y＝sinx及＝-e x 在其定义域R上是有上界的，这是因为sinx≤1，而-e x ≤0。但函数y＝x 2 在R上则是无上界的。
在这里，1是sinx的一个上界，而且任何一个大于1的数也是sinx的上界。可见，有上界的函数的上界不是唯一的，可以有无穷多个上界。
类似地，可定义有下界的函数。若存在一个实数N，使得函数f：X→Y的函数值满足
f（x）≥N，∀x∈X，
则称f是有下界的，并称N是f的一个下界。
在前面提到的例子中y＝sinx及y＝x 2 在R上是有下界的，这是因为sinx≥-1，x 2 ≥0。但函数y＝-e x 是没有下界的。请读者画出y＝-e x 的草图，立即就看出这一事实。
既有上界又有下界的函数称为有界函数。换句话说，我们称f：X→Y是有界函数，如果存在两个实数M与N，使得
N≤f（x）≤M，∀x∈X。
从直观上看，一个有界函数的图形是介于两条水平线y＝M及y＝N之间（如图1.7所示）。
这里我们提醒读者：一个定义在区间［a，b］上函数y＝f（x），虽然对每个点x∈［a，b］，f（x）都是一个有穷值，但函数y＝f（x）在［a，b］上仍可能是无界的。请看下面的例子：
图 1.7
图 1.8
例7 函数
在［0，a］中有定义，但是一无界函数。
思考题 证明函数f：X→Y是有界函数的充分必要条件是存在一个常数C，使得｜f（x）｜≤C，∀x∈X。
历史的注记
16世纪之前的数学大体上是初等数学，而且占中心地位的是几何学，其中很少涉及变量的概念。欧洲文艺复兴后，由于航海、机械制造、天文观测和军事等方面的需要，关于运动的研究成为自然科学的中心问题之一。这就要求人们去研究变动的量以及它们之间的关系。笛卡儿观察到描述空间一点的位置需要3个参数这一重要事实，引进了坐标的概念，为描述空间点的运动和变量之间的关系提供了重要途径。他把分析和几何联系在一起而创立了解析几何。他的贡献也为微积分的诞生奠定了基础。这样，数学从过去只研究常量而拓展到研究变量。这是数学发展史上的一大转折。
函数概念在一开始是十分模糊的。人们经常用一些初等表达式去刻画变量之间的依赖关系，例如自由落体运动中时间与路程之间的关系是s＝gt 2 ／2。那时人们心中的函数就是常见的表示式。例如，欧拉认为函数必须有分析的表达式，而拉格朗日则认为函数应该可以用幂级数展开式。第一个摈弃这种观点的是柯西。柯西在他的《分析教程》（1821年）明确提出函数是变量之间的对应关系。而现代所讲的函数定义应归于狄利克雷。他把函数看做是数集合之间的一种确定的对应规则。他举出了著名的例子：在有理点取1，而在无理点取0的函数。狄利克雷的函数定义使函数的概念从分析表达式的束缚中挣脱出来，并有了一个严格的定义。它扩大了函数概念的内涵，使那些未必有分析表达式的变量关系也成为数学研究的对象。
笛卡儿（René Descartes, 1596—1650），17世纪法国哲学家和科学家。西方近代哲学的奠基人，解析几何的创始人。他在1637年发表了3篇论文《折光学》、《气象学》和《几何学》，并为此写了一篇序言《科学中正确运用理性和追求真理的方法论》（哲学史上简称之为《方法论》）。在《几何学》中他十分完整地叙述了解析几何的理论。此后，他又发表了《形而上学的沉思》和《哲学原理》等书。他扛起了新哲学的大旗，批判经院哲学，提倡重视科学的认识论和方法论。他相信理性的权威，要把一切放到理性的天平上校正。他提倡科学的怀疑，他把怀疑看成是积极的理性活动。他强调认识过程中人的主观能动性。他的“我思故我在”的名言，至今广为流传。
作为一个杰出数学家，笛卡儿对世界数学的最大贡献莫过于引入空间点的坐标概念，并创立了解析几何。它把数学的两个基本对象“数”与“形”自然地统一在一起，并为变量的研究提供了基础。由于他的贡献，数学研究发生了历史性的转折。
笛卡儿认为数学是其他科学的模型和理想化。他提出以数学为基础、以演绎方法为核心的方法论。他的这些观点，连同上述的哲学思想，对后世的自然科学、数学及哲学的发展曾产生过巨大的积极影响。
习题 1.2
1. 求下列函数的定义域：
（1）y＝ln（x 2 －4）；
（5）y＝arccos（2sinx）。
2. 求下列函数的值域f（X），其中X为题中指定的定义域：
（1）f（x）＝x 2 ＋1，X＝（0，3）；
（2）f（x）＝ln（1＋sinx），X＝（-π／2，π］；
（4）f（x）＝sinx＋cosx，X＝（-∞，+∞）。
3. 求函数值：
（4）设
求f（0），f（1），f（3／2），f（2）。
4. 设函数
求
5. 设f（x）＝x 3 ，求
其中△x为一个不等于零的量。
6. 设f（x）＝lnx，x>0，g（x）＝x 2 ，-∞<x<+∞，试求f（f（x）），g（g（x）），f（g（x）），g（f（x））。
7. 设
求f（g（x）），g（f（x））。
8. 作下列函数的略图：
（1）y＝［x］，其中［x］为不超过x的最大的整数；
（2）y＝｜x｜＋x；
9. 设
求下列函数并作它们的图形：
（1）y＝f（x 2 ）；
（2）y＝｜f（x）｜；
（3）y＝f（-x）；
（4）y＝f（｜x｜）。
10. 求下列函数的反函数：
（2）y＝shx （-∞<x<+∞）（提示：计算
）；
（3）y＝chx （0≤x<+∞）。
11. 证明ch 2 x－sh 2 x＝1。
12. 下列函数在指定的区间内是否是有界函数？
（1）y＝
，x∈（-∞，+∞）；
（2）y＝
，x∈（0，10
10
）；
（3）y＝lnx，x∈（0，1）；
（4）y＝lnx，x∈（r，1），其中r>0；
（6）y＝x 2 sinx，x∈（-∞，+∞）；
（7）y＝x 2 cosx，x∈（-10 10 ，10 10 ）。
13. 证明函数
在（1，+∞）内是有界函数。
14. 研究函数
在（-∞，+∞）内是否有界。（提示：分两种情况讨论：x 2 ≤1与x 2 >1。）
15. 证明f：X→Y是有界函数的充分必要条件是存在一个常数C，使得｜f（x）｜≤C，∀x∈X。
16. 设f：X→Y，g：X→Y是两个有界函数。证明f·g也是有界函数。