1. 有理数与无理数

实数在微积分中扮演着一个重要角色。因此，我们先来讨论实数域的若干基本性质。

人类最早知道的是自然数：1，2，3，……。通常全体自然数用N表示。由于做加法逆运算的需要，人们增添了零及负整数，从而将自然数扩充为一般整数。今后我们用Z表示全体整数。乘法的逆运算又导致分数的产生，而分数又称为有理数。通常用Q表示全体有理数，也即

其中（m，n）表示m与n的最大公约数。（m，n）＝1表明m与n没有大于1的公约数，因而此时 是既约分数。

有理数集合的一个重要特征是对加减乘除（除数不为零）四则运算封闭；也即这个集合之中的任意两个数做上述四种运算时，其结果仍在这个集合之中。

粗略地说，对加减乘除封闭的数集合叫做数域。因此，有理数集合是一个数域。

公元前五百多年古希腊人发现了等腰直角三角形的腰与斜边没有公度，从而证明了 不是有理数。这样，人类首次知道了无理数的存在。

命题1 不是有理数。

证　用反证法。假设 是有理数，这时存在两个正整数m及n，使得（m，n）＝1，且

对上式两边取平方，即得到2n ² ＝m ² 。这表明m ² 是偶数。因此，m一定是偶数。设m＝2l，则有

这又表明n ² 是偶数，从而n也是偶数。既然m与n均为偶数，那么2则是它们的公约数。这与（m，n）＝1矛盾。证毕。

后来人们发现了更多的无理数，比如， 以及π与e等。

究竟什么是无理数？在本书中，我们不打算给出其严格的定义，而只是把它们形式地视做一个无穷不循环小数。从中学的数学课本中，我们知道有理数可以表示成有穷小数或无穷循环小数，比如

反过来，任何有穷小数或无穷循环小数一定是有理数。因此，我们认为无理数是无穷不循环小数。

设a＝m。a ₁ a ₂ …a _n …是一个正的无理数，其中m≥0是一整数，a _k （k＝1，2，…）是在0，1，…，9中取值的整数。这里a _k 是a的第k位小数。我们考虑a的近似小数

即只保留其前n位小数所构成的数。显然，a _n 是一个有理数，并且它与a的差的绝对值不超过1/10 ⁿ 。当n无限增大时，a _n 可以任意接近a。

显然，当a是一个负的无理数时，类似的讨论也成立。

因此，可以认为一个无理数是一串有理数无限逼近的结果。

根据这一看法，我们可以将有理数的加、减、乘、除四则运算扩充到无理数之间或无理数与有理数之间。这里我们承认这一事实，而不加详细论证。

通常我们把有理数与无理数统称为实数，并把实数集合记做R。

2. 实数集合R的基本性质

实数集合R具有以下基本性质：

Ⅰ。R是一个数域：任意两个实数作加、减、乘、除（除数不为零）运算后仍然是一个实数。

Ⅱ。对乘法与加法满足交换律、结合律与分配律：对任意的a，b，c∈R，总有

a·b＝b·a，a＋b＝b＋a；

（a·b）·c＝a·（b·c），（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）；a·（b＋c）＝a·b＋a·c。

Ⅲ。实数域是一个有序数域。确切地说，R中任意两个不同的数a与b都有大小关系，也即a<b与b<a中有且只有一种情况成立，并且这种大小关系在做加法运算与乘法运算时保持下列关系：

顺便指出，今后我们用记号a≤b表示a<b或a＝b。这也是一个常用的记号。显然，若a≤b且b≤a，则必有a＝b。

前面所讲的关于实数集合的三条性质显然对于有理数集合也成立。也就是说，有理数集合Q也是一个满足交换律、结合律与分配律的有序数域。

然而，有理数域Q与实数域R有着实质性的差异。这主要体现在对极限运算，有理数域不是封闭的（即有理数的数串的极限可能不再是有理数），而实数域对极限运算是封闭的（即一串实数若有极限，则极限仍是实数）。对于实数域R的这一性质，通常称为实数域的完备性。

Ⅳ。实数域的完备性。实数域R的完备性从直观上来看就是实数域布满了整个数轴，连绵不断，没有空隙。有理数域Q在数轴上虽是密密麻麻，但没有布满。因此，实数域的完备性有时也称为实数域的连续性。

如何描述实数域的完备性，有许多彼此等价的说法。本书中采用下述命题，作为实数域完备性的一种刻画：

在实数域中，任意一个单调有界序列一定有极限存在。

现在，我们来解释这一命题。所谓数列｛a _n ｝是有界的，那是指a _n 的绝对值｜a _n ｜有一个公共的上界，也即存在一个正数M使得｜a _n ｜≤M，n＝1，2，…。比如｛1＋1/2 ⁿ ｝中每一项绝对值均小于2，因而是一个有界数列。而集合｛n ² ：n∈Z｝则是一个无界的数列。

若｛a _n ｝中每一项都不超过其下一项，也即a _n ≤a _n＋1 ，则称｛a _n ｝单调递增。若｛a _n ｝中每一项都大于或等于其下一项，也即a _n ≥a _n＋1 ，则称｛a _n ｝单调递减。单调递增或单调递减的序列统称为单调序列。

关于什么是极限，本章后面的几节中将详细讨论，目前无须深究，只要作一个朴素的理解即可：所谓l是｛a _n ｝的极限，就是指当n充分大时，a _n 可以任意接近于l。

在实数域中单调有界序列总有极限存在这一性质，体现了实数域的完备性。而在有理数域中这一条性质不成立。比如，一个逼近 的有理数序列：1.4，1.41，1.414，…，虽然它是一个单调递增的有界序列，但在 有理数域中 却没有极限存在。

在本书中，我们承认实数域自然具有性质Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，而无须证明，它们构成我们今后讨论的基础。用一句话来概括：实数集合是一个完备的有序数域。

3. 数轴与区间

笛卡儿（Descartes, 1596—1650）引入了空间坐标的概念，把空间中一点用三个数来表示，这样做的前提是把实数集合与一条直线上的点集合建立一一对应关系。正像在中学所学过的，在一条直线上，取定一点O，称为坐标原点，然后取定一个单位长度并在直线上选定一个方向（见图1.1）。对于任意实数x，若x＝0，则将x对应于坐标原点O；若x>0，则将x对应于直线上一点P使得自O移动至P的方向与所选定方向一致，且线段 的长度恰好是单位长度的x倍；若x<0，则P点选择办法类似，只不过是自O至P的移动方向与选定方向相反。这样一来，这条直线上的每个点都可以看做是一个实数；反之，每个实数也可以看做是这条直线上的一个点。因此，我们把这样的直线称做数轴。

在引入数轴的概念之后，我们常常把实数集合R与数轴相等同，把实数与数轴上的点相等同，并把一个数x称做点x。

有了数轴的概念之后，两个数a与b的大小关系a<b则有了清楚的几何意义：a<b表示点a在点b之左侧（假定数轴箭头指向右方）。实数域的有序性正反映了数轴上点的有序性。

在微积分中我们要用区间的概念。给定两个实数a<b。我们把数集合｛x｜a≤x≤b｝称做闭区间，记做［a，b］；把数集合｛x｜a<x<b｝称做开区间，记做（a，b）。类似地可定义半开半闭的区间（a，b］或［a，b）：

（a，b］＝｛x｜a<x≤b｝，

［a，b）＝｛x｜a≤x<b｝。

此外，有时我们也可将整个数轴R表示成（-∞，+∞）。（应该特别强调，这里-∞与+∞只是两个记号而已，它们不是两个数，不能作任何运算。）在某些情况下，我们还会考虑下列的区间：

（a，+∞）＝｛x｜a<x<+∞｝，

（-∞，b）＝｛x｜-∞<x<b｝。

据此，读者可以自己定义区间［a，+∞）及（-∞，b］。

一个开区间（a，b）或闭区间［a，b］的长度是b－a，而点c＝（a＋b）／2称做区间（a，b）或［a，b］的中心。

4. 绝对值不等式

在微积分中，我们经常要使用绝对值不等式来描述变量的变化。因此，熟练地运用绝对值不等式是十分重要的。

为此，我们要复习一下在中学学过的数的绝对值的概念。

数x的绝对值记做｜x｜，它的定义是

因此，数x的绝对值｜x｜总是非负的，并且代表在数轴上点x到坐标原点的距离，不论x是正的还是负的，都是如此。

根据绝对值的定义，立即可以推出下列命题：

命题2　对于任意的x∈R及y∈R，我们有：

（1）｜x｜≥0，其中等号当且仅当x＝0时成立；

（2）｜x｜＝｜-x｜；

（3）｜x＋y｜≤｜x｜＋｜y｜。

一般说来，给定两个数a与b，数a－b的绝对值｜a－b｜在数轴上代表点a到点b的距离（见图1.2）。

在命题2中令x＝a－b，y＝b－c，立即推出

命题3　对于任意实数a，b，c，我们有：

（1）｜a－b｜≥0，其中等号当且仅当a＝b时成立；

（2）｜a－b｜＝｜b－a｜；

（3）｜a－c｜≤｜a－b｜＋｜b－c｜。

命题3中的结论（3）称做三角不等式。它的几何意义是：点c到点a的距离小于或等于点b到点a的距离与点b到点c的距离之和。当a，b，c是平面上的三点且不在一条直线上时，这一结论便是三角形中两边之和大于第三边。这就是我们称（3）为三角不等式的缘由。

今后，我们会经常用到不等式｜x－a｜<r。它在数轴上的几何意义是：x到a的距离小于r。于是x必然落入以a为中心、以r为半径的区间（a－r，a＋r）之内，也即a－r<x<a＋r（见图1.3）。

反过来，若x满足a－r<x<a＋r，则表明x到a的距离小于r，也即｜x－a｜<r。

总之，我们证明了下列命题：

命题4　｜x－a｜<r⇔a－r<x<a＋r。

例1　证明｜｜x｜－｜y｜｜≤｜x－y｜。

证　由命题2得到

｜x｜＝｜x－y＋y｜≤｜x－y｜＋｜y｜。

于是我们有

｜x｜－｜y｜≤｜x－y｜。

又由于｜x－y｜＝｜y－x｜，在上式中交换x与y的位置后即得到

｜y｜－｜x｜≤｜x－y｜，

这样，我们得到

-｜x－y｜≤｜x｜－｜y｜≤｜x－y｜，

也即数｜x｜－｜y｜要落在以-｜x－y｜及｜x－y｜为端点的闭区间之内，从而｜x｜－｜y｜的绝对值不超过｜x－y｜。证毕。

历史的注记

无理数的发现是数学史中的一件大事。公元前五百多年希腊有一个毕达格拉斯学派。他们认为任意两条直线段都有公度，也即对于任意给定的长度分别为a与b的线段，总存在一条长度为d的线段，使得a＝md，b＝nd，其中m与n是正整数。该学派所证明的许多定理都是建立在这一假定的基础上的。后来该学派中有人发现了一个惊人事实：等腰直角三角形的斜边与腰没有公度。这一发现相当于证明了 不是有理数。这导致了毕达格拉斯学派的逻辑体系的危机。直到公元前370年，希腊数学家欧多克斯才巧妙地克服了这一困难。但他只定义了什么是两个长度的比（包含无公度的情况），却没有回答什么是无理数。

完整的实数概念出现在19世纪。通常人们归功于戴德金（Dedekind, 1831—1916）及康托尔（Cantor, 1845—1918）等人。他们分别给出了实数的严格定义。他们的定义形异而实同，本质上都是将无理数视做有理数逼近的结果。严格的实数理论的建立是分析学发展的必然结果。它与极限理论的基础及连续函数的基本性质的证明紧密相关。

毕达格拉斯（Pythagoras，约公元前580—前501年），古希腊著名数学家与哲学家。他组织的学派十分重视数学，试图用数解释万物。当时他们已掌握相当一批几何定理的证明，其中包括勾股弦定理。该学派对欧几里得《几何原本》的出现有重要影响。

习题　1.1

1. 证明 为无理数。

2. 设p是正的素数，证明 是无理数。

3. 解下列不等式：

（1）｜x｜＋｜x－1｜<3；

（2）｜x ² －3｜<2。

4. 设a与b为任意实数。

（1）证明：｜a＋b｜≥｜a｜－｜b｜；

（2）设｜a－b｜<1，证明｜a｜<｜b｜＋1。

5. 解下列不等式：

（1）｜x＋6｜>0.1；

（2）｜x－a｜>l。

6. 设a>1，证明： 其中n为自然数。（提示：利用公式x ⁿ －1＝（x－1）（x ^n－1 ＋x ^n－2 ＋…＋1）。）

7. 设（a，b）为任意的一个开区间。证明：（a，b）中必有有理数。（提示：考虑集合 也即

其中n为一自然数。取n足够大使得 证明

8. 设（a，b）为任意的一个开区间。证明：（a，b）中必有无理数。（提示：考虑集合 其中n为一自然数。说明B _n 中的数是无理数，并证明当 时，（a，b）中有B _n 中的数。）

注　第7，8题告诉我们，对于任意区间（a，b），无论它的长度如何小，其中总有有理数和无理数。具有此种性质的数集合被称做在数轴上处处稠密。因此，由这两题可知，有理数集合与无理集合在数轴上都是处处稠密的。 1vrCKKfRjaaULQ2cPIR9xtrH53oIKtwsJSDHLZj3rOHMn8JsWPvZU7k0nKdC6a+O