在课程内容开始之前，我们先来谈谈什么是数学以及数学跟科学技术的关系。希望读者从中增进对数学的了解，看到学习数学的意义。同时，我们还就怎样学好高等数学将向初学者提供若干建议。

1. 数学的基本特征

一百多年之前，恩格斯就说过，数学是研究现实世界中数量关系及空间形式的科学。尽管在这一百多年中数学的发展使它的研究内容早已超出了“数”与“形”的范畴，但是就其基本精神而言，恩格斯对数学的概括依然是正确的。

数学的基本特征是它的研究对象的高度抽象性。

数本身就是抽象的。数字“1”是人们从1个苹果、1只羊、1个人等现象中舍去了苹果、羊、人……的具体特征，单从数量上抽象出来的。除了人们容易理解的自然数外，数学中还有负数、无理数、超越数、复数等等。它们的抽象程度则较自然数要更高。要想对一个没有中学数学知识的人解释清楚何为无理数未必容易，更不用说复数或i＝ 了。

初等几何中的点、直线、三角形及圆等也是抽象的。它们是根据人们生活经验抽象而来，因此是容易被理解的。我们生活的现实空间是3维空间，这一事实是抽象的结果；但毕竟容易接受。至于4维空间就变得难于理解。在物理中人们通常把时间与空间合在一起视做4维空间。然而，数学中还要研究一般n维空间乃至无穷维空间，甚至更为抽象的流形或拓扑空间。这些特别抽象的概念不一定是从人的直接生活经验与生产活动中得来，而是从人类的科学研究（包括数学研究）、科学试验以及复杂的技术过程中抽象而来，它们似乎超出了普通人的直接经验，也超出了自然现象的范畴。数学研究对象的这种高度抽象性使得数学科学区别于自然科学——后者的研究对象是自然现象。

数学研究对象的抽象性决定了数学的另一特征：它在论证方法上的演绎性。

人们说：“数学是一门演绎科学。”这是从它的论证方法而言的。具有中等数学训练的人都知道数学的推理过程：

假设 结论。

这里的logic是指形式逻辑。这就是说，在数学中要论证一个结论的成立，是根据假设（包括公理）按照形式逻辑推演出来的。在一定意义上可以说，除掉假设及逻辑推理之外，它不允许 任何其他东西 作为导出结论的依据。

在实验科学中实验结果是结论的重要依据。但在数学中则不能以任何实验结果作为结论的依据。在生物学中解剖几只麻雀之后即可断言“麻雀有胃”。然而，在数学中则不能由测量若干个三角形内角而断言“三角形内角之和为180°”——数学中的这一结论是由平行公理推演得来的。

我们要作一点说明，说数学是一门演绎科学是指其论证方法而言，而不是指其整个研究方法。在数学研究中，尤其在探索阶段，实验、归纳、类比、猜测或假想同样是一些重要方法。然而，最终论证一个结论的成立则需要演绎。在数学中没有经过证明的命题最多只能是一种猜想。

数学在论证方法上的演绎性使数学理论构成了一个严谨的形式体系，其中有公理、定义、定理，一环扣一环，演绎出许多公式与结论。这里的公理是指那些不须证明的基本假定，而定义则用来规范和界定各种术语的内涵。定理是关于一个数学命题的叙述，通常由两部分组成：条件与结论。在数学书籍或文章中，通常还有所谓“引理”或“命题”之类。它们与定理在性质上相同，只是文章或书籍的作者认为讨论过程中它们的重要性不及定理而已。

人类历史上第一个完整的演绎体系是欧几里得（Euclid，约公元前300年）的《几何原本》，它对人类文明产生了巨大影响。欧几里得在书中不是简单地罗列了前人的几何知识，而是由五条公理（在《几何原本》中称之为公设）出发，用形式逻辑将其全部结论逐一推出。爱因斯坦高度评价了这个“逻辑体系的奇迹”。他说：“推理的这种令人惊叹的胜利，使人类的理智为今后的成就获得了所需要的信心。”

数学的第三个特征就是应用的极端广泛性。这同样是由它的研究对象的抽象性所决定的；简单地说，正是因为数学抽象，所以其结论的应用范围才广。比如，数字是由苹果、羊、人等许多事物抽象而来。因此，2＋3＝5则不仅适用于苹果，而且还适用于羊、人，等等，也适用于一切可能谈论数量的事物。

在数学中，同一方程式完全可能代表着互不相干的事物的某种相同规律。同一个拉普拉斯方程可能代表许多不同的物理现象。某种生物种类群体的数量变化可能与市场某种商品的价格涨落满足同一数学模型。所有这些就是数学抽象力量的所在。

数学应用广泛性的一个重要标志是数学在其他科学中的特殊地位与作用。伽利略说：“自然界这部伟大的书是用数学语言写成的。”事实上，数学是各门科学的语言。物理定律及原理都是用数学语言描述的。数学在天文、力学与物理学中的地位与作用是人所共知的，无须多言。数学在化学中的应用已不是过去说的只有线性方程组，而数学在生物学中的应用也早已不是零了。分子生物学中DNA的复杂的立体结构跟数学中拓扑学里的纽结理论有关。过去人们认为数学在社会科学中作用不大。这种看法也已过时了。管理科学、质量控制、产品设计、金融投资中的风险分析、保险业、市场预测等正在广泛地应用着数学。数学在经济学理论的发展中扮演着重要角色。在近些年来经济学诺贝尔奖获得者中，有半数以上的人有从事数学研究的历史背景。数学在众多学科中的这种特殊地位与作用是任何其他学科所不能比的。

有些人认为数学是“丝毫不反映现实世界的纯形式体系”，从而也就从根本上否认了数学的应用价值。令人遗憾的是某些数学家也持此种看法。一位著名的数学家曾宣称：“我的任何一项发明都没有，或者说都不可能为这个世界的安逸带来哪怕是微小的变化，……他们（指数学家）所做的工作和我同样无用。”具有讽刺意味的是：这位数学家的言论很快被自己的成果推翻。他的一篇纯数学研究论文中的定理被应用于生物遗传学上，并以他的名字命名这项遗传学上的定律。

还有一些人认为数学的形式系统是数学家们“自由创作”的结果，“就像小说家设计人物、对话和情节一样”，没有任何必然性。

这些看法之所以错误，是因为它们不符合于数学被广泛应用的现实，不符合于数学及其他科学发展历史，更不能解释数学内部的高度和谐与统一，不能解释数学与物理及其他科学的一致性。我们认为，数学内部的统一性以及它跟其他科学的一致性是宇宙统一性的反映。

这里我们想简单提一下数学与物理的关系。谁都知道，数学为物理提供了描述现象与规律的语言与工具，反过来物理现象也为数学概念的建立提供了原型。实际上数学中有不少概念首先是由物理学家提出，然后由数学家逐步严谨化。这种现象屡见不鲜。还常常有这种情况，数学家与物理学家在各自的领域内进行研究，彼此并不知道他们的研究有任何关联，用着不同的术语与方法，过了若干年之后，他们惊异地发现，他们的研究竟是相通的或者干脆说是同一个东西的不同侧面。杨振宁与米尔斯所研究的规范场论和陈省身教授所研究的纤维丛理论之间的紧密关系就是一个有趣的例子。

还应当指出，人类对未知世界的探索是一种永远不会停顿的顽强追求，这种追求有时超越了直接的功利目的。某些数学的研究常常是一个纯粹的数学问题，既看不到实际应用的背景，也无法预测它的应用前景。人们对这类问题的研究，单从研究动机上看似乎和艺术一样，是对某种永恒与完美的追求。我们对这种追求的意义也不应有任何忽视。

数学研究的基本动力来自外部的社会实践的要求，然而，也不可否认还有一部分相当大的动力来自数学内部。数学内部的矛盾，数学研究中所遇到的重大问题，往往会激起数学家们巨大的研究兴趣，促使数学家们做出不懈的努力。这些问题是纯数学形式的，然而这种纯数学问题的研究往往推动了数学新理论与新方法的产生，而后者在科学上或技术上有重要价值。数学发展的历史证明着这一点。

欧几里得的《几何原本》的第五公设（即平行公理）曾经引起了许多人的研究。他们试图用其他四个公设将它推导出来。两千多年间不知有多少数学家为此绞尽脑汁而最后都失败了，其中不乏一些著名数学家。两千多年的失败经验促使高斯、罗巴切夫斯基和波约等人做出相反的大胆思考，于是诞生了非欧几何。平行公设问题，自然是一个纯数学问题，很难在当时说清它的研究价值。然而如果没有这样的讨论，就不会有非欧几何以及黎曼几何的出现，从而也就没有爱因斯坦的相对论和他的时空观。

2. 数学发展的历史回顾

为了使读者对数学以及上述观点有更具体的了解，让我们回顾一下数学发展的历史。

从历史上看数学的形成与发展经历了以下几个历史阶段：

公元前600年以前是数学的形成时期。在这一漫长的历史时期中，人类在生产活动中逐渐掌握了计数的知识，会做加减乘除四则运算，具有了初步的算术知识，并且积累了几何方面片断的知识。

公元前600年至17世纪中叶被认为是初等数学时期。在这时期内有了完整的几何知识，尤其是有了欧几里得的《几何原本》。此外，代数、三角、对数都有了完整的系统理论，成为独立的学科。在这一时期中，一个重大的事件是无理数的发现。它冲破了原先人们的认识——一切量均可以用整数表示，而这一认识曾是毕达哥拉斯学派的基本观点。他们认为宇宙间一切皆数（指整数），任何量均可由整数表示，特别地，他们认为任意两条直线段可用某个第三条直线段去作为公度（也即前两条线段都是第三条线段的整数倍），毕达哥拉斯时代许多几何定理（如相似三角形对应边成比例及关于三角形的面积的某些定理）的证明都是建立在这一假定基础之上。

无理数的发现完全动摇了这一学派的逻辑基础，形成了所谓第一次数学危机。这一危机后来依靠希腊数学家欧多克斯（Eudoxus，约公元前400—前347年）提出的办法而得以克服。

数学发展的第三个时期是变量数学时期，大约是自17世纪中叶至19世纪20年代。标志着这一时期数学发展的有两件大事：第一件是笛卡儿引入了坐标并建立了解析几何的观念，它沟通了数学中两个基本研究对象——数与形——之间的联系，用代数运算去处理几何问题。这一发现为处理一般变量间的依赖关系提供了几何模型。第二件大事是牛顿与莱布尼茨两人独立地创立了微积分。他们破天荒地为变量建立了一种新型的行之有效的运算规则，去描述因变量在一个短暂瞬间相对于自变量的变化率，以及在自变量的某个变化过程中因变量的某种整体积累。前者称为微商，而后者称为积分。

为了解释他们的发现，我们举两个例子。

设想一个沿直线运动的质点，在时刻t距原始出发点之距离为s＝t ³ 。问它在时刻t ₀ 的速度为多少？

为了回答这一问题，牛顿的办法如下：他考虑时刻t ₀ 之后一个极短的瞬间dt。在这一瞬间质点所走过的路程为

这样在这一瞬间的速度应该是

由于这一瞬间极短，可以认为dt＝0，于是质点在t ₀ 时的速度就是 牛顿将 称为函数s＝t ³ 在t ₀ 时的流数。后来人们把它称做微商。粗略地说，一个函数y＝f（x）在一点x ₀ 处的微商就是指当自变量x在x ₀ 处有一个微小变动时，因变量的变化与自变量变化之比率。

我们以变动着的力所做的功来解释什么叫积分。设一个物体沿直线自点a处移到点b处（见图1）。在移动过程中任意一点x处所受的力为f（x），其方向与位移一致，问力所做的功是多少？

若f（x）是一个常数则很容易解决，所求的功就是该常数乘以距离b－a。但若f（x）不是常数时，我们就不知道如何计算它。牛顿与莱布尼茨所建议的方法如下：在任意一点x处考虑一个极小位移dx，然后拿这个极小位移乘以f（x）就作为力在这一小段位移上所做的功。换句话说，力在x点对功的贡献是f（x）dx。把力在每点的贡献“加”起来就是总的功。按照莱布尼茨的记号，这个总的功记做

其中 表示自点a至点b对量f（x）dx求和。这就是所谓函数f（x）的从a到b的积分。由此可见，积分就是因变量的一种积累值。

牛顿与莱布尼茨所发现这些方法与概念有很高的典型性与普遍性。

最为重要的是牛顿与莱布尼茨发现了积分运算与求微商的运算互为逆运算，从而给出了计算积分的公式。

牛顿与莱布尼茨的发明为一大批几何问题及力学问题提供了有效的解答，从而震撼了整个学术界。从此微积分被迅速地应用于各种理论研究与工程技术之中。特别值得一提的是，牛顿利用微积分在开普勒三大定律的基础上导出了万有引力定律；或者等价地说，牛顿利用微积分与万有引力定律从理论上证明了开普勒三大定律，后者原本是基于观测总结出来的。

然而，微积分在它发明的初期有严重的逻辑混乱。在上面的讨论中，当我们用dt去除ds时显然是认为dt不等于零，而当除完之后又认为在式子

中的dt为零。无论是牛顿还是莱布尼茨都无法对他们称为“一瞬的”或“无穷小量”的dt到底是零还是不是零提供合理的解释。当时著名的红衣大主教贝克莱对于微积分的逻辑混乱提出了尖锐批评。他冷嘲热讽地说“无穷小量是已死的量的幽灵”。

微积分所面临的逻辑基础危机通常称做第二次数学危机。一百多年之后经过柯西等人的努力，微积分在初期的逻辑混乱才得以澄清。这里的关键之处是在于将无穷小量看做是一个趋于零的变量，而不是看成一个固定的量。相应地，把微商与积分也都看做是一个极限。从此微积分才有了严格的理论基础。

无论如何，牛顿与莱布尼茨所发明的微积分把数学乃至整个科学带入了一个新时代。

通常人们认为，19世纪20年代至20世纪40年代是近代数学时期。在这一时期中具有里程碑性的重大事件有罗巴切夫斯基几何的诞生——几何从欧几里得的《几何原本》中解放出来。由于阿贝尔与伽罗瓦的贡献发展了群论，产生了近世代数。此外，在微积分基础上发展起来的微分几何、复变函数论、拓扑学也逐渐形成各自的体系并有了长足的发展。非欧几何的出现促使人们加强了对数学基础的研究，对公理体系和集合论的研究吸引着很多人的注意力。

现代数学时期是以20世纪40年代电子计算机的发明为标志而开始的。这时一方面数学的应用大大加强了，形成或发展了许多应用数学的学科。计算数学、运筹与控制、数学物理、经济数学、概率论与数理统计，等等，有了飞速的发展。另一方面，数学的核心部分，即数理逻辑、数论与代数、几何与拓扑、函数论与泛函分析及微分方程等学科，则向着更为抽象、更为综合的方向发展。分支学科的界限日益淡化，并出现了许多新的分支学科。历史上的若干难题获得解决或取得重大进展。

电子计算机的发明一般归功于两位数学家：杜林与冯·诺伊曼。数学科学是推动电子计算机的发明与广泛使用的基础。反过来，电子计算机的广泛使用使数学在科学与技术中的地位也发生了巨大变化。电子计算机的广泛使用，使数学的应用范围正在日益扩大。过去由于计算量过大而不能实际计算的问题，现在有了大型快速计算机就迎刃而解了。数学的理论与方法跟电子计算机的结合产生了五花八门的新技术，从医疗手段到电影动画的制作，从指纹或签字的识别到自动排版技术，从战争的指挥到用于和平建设的各种辅助设计……已经渗透到人类活动的方方面面，并形成了一种新型产业——有人建议称之为“头脑产业”。过去许多抽象数学研究如今正迅速广泛地应用于社会实际生活。

数学在信息时代的这种重要意义正日益为更多的人所认识。1985年美国国家研究委员会在一份报告中把数学科学称做是“一个统一的、大有潜力的资源”，认为“数学是推动计算机技术发展及促进这些技术在其他领域中应用的基础学科”。美国前总统科学顾问爱德华·大卫指出：“迄今为止，很少人认识到当今如此广泛称颂的高技术在本质上是一种数学技术。”这种见解是富有远见的。

3. 学习数学的目的以及怎样学好高等数学

我们正处在一个科学技术飞速发展的新时代，它对现在理工科的大学生，这些未来的科技工作者，提出了许多挑战，具有较高的数学素养就是其中之一。

作为非数学专业的理工科大学生，他们学习数学的主要目的在于“用数学”。这不仅是在大学期间许多课程中需要用数学，而且在大学毕业之后的各种实际工作中仍需要用数学。因此，掌握好数学应该视做具有长远意义的一种基本训练。

根据前面对数学发展史的回顾，我们可以看出中学时代所学的数学基本上是初等数学，是17世纪中叶以前的数学。现在，在大学阶段所学的数学才是变量数学时期及其以后的数学，即17世纪中叶以后的数学。在广义上讲，不妨把它们称做高等数学。然而，作为理工科学生的一门数学基础课，高等数学的含义是十分狭窄的。在我国，习惯上高等数学课的主要内容是微积分，以及级数理论、常微分方程等。从现有的内容看，高等数学课的基本内容实际上尚未涉及到近代数学与现代数学。介绍近代数学或现代数学是今后其他数学课的任务。不过，我们要特别强调指出，微积分无论在理论上还是在实用上都有重大的意义与价值，没有微积分就不可能有现代数学。掌握好微积分应该是理工科大学生所必须具备的基本训练。

数学教育对人的素质的提高会产生深远而重要的影响。通过数学的训练，培育了人们分析问题、解决问题的能力，抽象事物的能力和逻辑推理能力。对数学问题的思考又常常培养了人们探索精神和创新精神。无论你将来做什么工作，这些能力与精神都是不可缺少的。

要学好高等数学，首先要特别注意对其中基本概念的理解与掌握。

高等数学的内容一般说来要比初等数学较为复杂、抽象。特别值得提出，初学者要花较多的气力于基本概念的把握上，多去思考这些概念的本质，它们的意义，以及它们跟其他事物的联系，以求得真正理解它们。数学概念常常以某种抽象数学语言叙述，了解它们的直观背景或物理背景往往是透过抽象形式理解其本质的一条重要途径。正面或反面的典型例子对帮助理解某些抽象概念也是十分重要的。

其次，在学习高等数学的过程中，多做一些练习题是需要的。高等数学在一定的意义上讲也是一种基本技能的训练。能够熟练地进行微积分的基本运算是高等数学课的教学目标之一。只有通过做练习才能熟练掌握所学的理论。但我们认为做练习应当是在基本把握了有关概念与定理的基础上进行的，不要盲目地做题。初学者要改变中学里“只知做题”的习惯，而应该花较多的时间去思考所学的基本概念及基本定理。此外，我们也不主张做过多的难题、偏题，它无助于对数学思想的理解，并违背数学教学的根本宗旨。

数学的特点之一在于它的逻辑的严谨性，初学者在学习过程中要特别注意表述的确切性、论证推理的严密性，养成一个科学严谨的思考习惯。这就要求初学者在做习题时十分注意文字表达的严谨性。

最后，我们要谈谈如何读数学书。读数学书与读其他书有鲜明的差别。由于数学书在表述形式上的抽象性，使得数学书往往有些难懂。读者不能期望数学书一读就懂，复杂的地方要反复读和反复思考，直到弄懂为止。在读数学书时要特别留意定义及定理的叙述。我们不主张单纯记忆或背诵。但是，在理解的基础上，适当地记忆某些最基本的公式，重要定义的叙述以及定理的条件与结论，恐怕也是必要的。

为了加深理解，在读数学书时，手边放些草稿纸，边读边做些练习或画个草图是非常有益的。数学书中为了突出重点或节省篇幅，经常要省略一些推导或演算。有时会用“显然”或“经过简单计算表明”之类的话放在某个结论之前。凡是对你说来，并不是那么“显然”的事实，或者你认为有必要去验算的地方，不妨去试着补上自己的证明或计算。这对初学者加强对内容的理解是一个很好的练习。

学好数学需要独立思考的精神。勤于思考，不满足于成法，善于或敢于提出问题，努力把所学知识跟其他领域中的问题联系起来加以钻研，都是十分可贵的。

学好数学并不是一件难事，但需要你付出必要的努力。数学不应当是枯燥乏味的，只要你钻进去就会感到趣味盎然。数学不是一堆繁琐无用的公式，掌握了它的真谛，它就会给你增添智慧与力量。 I13ByHkodWqbYVY0XqLuTYb3ac5Q2atIdOOiTVxuqrkJjTXRBN1uQvl1dGIGCT0z