原版前言

1996年秋至1998年春，我们在为北京大学物理系、无线电电子学系及技术物理系讲授高等数学课期间，在课程内容体系上做了一些改革的尝试。现在出版的这套《高等数学简明教程》就是在当时试用讲义的基础上修改补充而成的。

全书共分三册，供综合性大学及师范院校物理类各专业作为三学期或两学期教材使用。第一册是关于一元函数微积分及空间解析几何；第二册是关于多元函数微积分与常微分方程；第三册是关于级数，参变量积分，傅氏级数与傅氏积分，概率论与数理统计。

现在我们就这套教材的内容处理做以下几点说明：

（一）与传统的教材相比，这套教材在讲授内容的次序上作了一定的调整

目前国内多数高等数学教材是先讲微分学，后讲积分学。这样做的好处是数学理论体系清晰。其缺点则是积分概念出来过晚，使初学者对微分概念与积分概念有割裂之感。另外，由于积分概念出现过晚而使数学课在与其他课程，如力学与普通物理等课的配合上出现了严重脱节现象。

在本教材中，我们把微积分的基本概念及计算放在一起先讲，在讲完微积分基本定理及积分的计算之后，才开始讲微分中值定理与泰勒公式。这样调整的主要目的是为了让初学者尽可能早地了解与把握微积分的基本思想，掌握它的最核心、最有用、最生动的部分。在试验过程中，学生们在第一学期期中考试前已经学完了微商、微分、不定积分、定积分的概念及全部运算，对微积分的概念初步形成了一个比较完整的认识。同时，这样的调整也缓解了与其他课程在配合上的矛盾。因此，我们认为这种调整或许是解决物理类专业在大学一年级数学课与其他基础课脱节问题的途径之一。

微积分就其原始的核心思想与形式是朴素的、自然的，容易被人理解与接受的。随着历史的发展，逻辑基础的加固和各种研究的深化，它已经变成了一个“庞然大物”，让初学者望而生畏。现在，如何选取其中要紧的东西以及用怎样的方式将它们在较短的时间内展示给学生，不能说不是一个问题，值得我们思考与探索。

（二）关于极限概念的处理

关于极限概念和有关实数理论的处理历来是微积分教学改革中争论的焦点之一。我们认为，极限的严格定义，即“ε-δ”与“ε-N”的说法是应该讲的，并且要认真讲。因为它在处理一些复杂极限过程，特别是涉及函数项级数一致收敛性等问题时，是必不可少的。物理类专业的学生可能还要学许多更高深的数学，不掌握极限的严格定义也是不行的。

但是，我们也不赞成在一开头就花很大力气去反复训练“ε-δ”，而形成一种“大头极限论”。我们希望随着课程的深入，让学生在反复使用中逐渐熟悉它，掌握它。在现在的教材中没有出现大量的用“ε-δ”求证具体函数极限的练习，更没有做十分困难的极限习题，因为做过多的这类练习意义不大。极限的概念在这套教材中既是严谨的，又保留其朴素、直观、自然的品格。

与极限概念密切联系在一起的是关于实数域完备性的几个定理。我们采用了分散处理的办法。在全书的一开头就把单调有界序列有极限作为实数完备性的一种数学描述加以介绍。有了它，这在有关极限的许多讨论中已足够了。闭区间上连续函数的性质在第一章中只叙述而不加证明，其证明只作为附录，供有兴趣的读者自行阅读。在讨论级数之前再次涉及实数域的完备性，这时才介绍柯西收敛原理，以满足级数讨论的需要。这种分散处理的办法，不仅分散了难点，而且使初学者更容易看清这些基础性定理在所涉及问题中的意义。

（三）本书坚持了传统教材中的基本内容与基本训练不变，但拓宽了内容范围

在内容的取舍上，我们采取了相当慎重的态度。近来对高等数学课的内容现代化改革呼声很高。但是，作为一门数学基础课似乎不宜简单地以现代化作为其改革的主要目标。数学学科中概念的连贯性使得它不可能像电子器件一样去“更新换代”和“以新弃旧”。而且现在看来掌握好微积分的基本概念、基本理论与基本训练，对于一个理工科大学生而言依然是必不可少的。当然，计算机的广泛使用以及数学软件功能的日益提高，正促使我们思考在高等数学课中简化或减少某些计算的内容。然而就目前的情况，我们尚难于下定决心取消某些内容。为了慎重从事，这次改革试验中，我们保留了传统教材中的基本内容与基本训练。

我们认为目前对高等数学课而言重要的不是去更新内容，而是避免教学中烦琐主义的倾向，不要在一些枝节问题上大做文章。那样做既歪曲了数学，又使学生苦不堪言。

在本书的表述上，我们尽可能注意了文字的简洁、例子的典型性以及对基本概念背景及意义的解释，以便于读者自学。除每节的练习题之外，每一章之后又附加了总练习题，以使读者有机会做一些综合练习。

国际著名数学家柯朗曾经尖锐地批评过数学教育。他指出：“二千年来，掌握一定的数学知识已被视为每个受教育者必须具备的智力。数学在教育中的这种特殊地位，今天正在出现严重危机。不幸的是，数学教育工作者对此应负其责。数学的教学逐渐流于无意义的单纯演算习题的训练。固然这可以发展形式演算能力，但却无助于对数学的真正理解，无助于提高独立思考能力。……”

柯朗的话是对的。数学教育需要改革，我们任重道远。

最后，我们应该提到，这次改革试点工作先后在北京大学及北京市教委正式立项并得到了他们的支持，借此机会我们向北京市教委及北京大学教务处与教材科的有关同志表示衷心感谢。北京大学数学科学学院院长姜伯驹教授一直十分关心这项工作，并给予多方面的鼓励与帮助。此外，彭立中教授、黄少云教授与刘西垣教授也很关心这项工作，并对试用讲义提出了许多宝贵意见。北京大学出版社邱淑清编审及刘勇同志大力支持教材的出版。刘勇同志作为本书的责任编辑为本书的出版做了大量工作，付出了辛勤的劳动。我们在这里一并对这些同志表示感谢！

毫无疑问，这套教材会有许多不成熟之处，甚至有不少错误。我们诚恳地希望数学界同仁加以批评指正，以便改正。

李　忠　周建莹
1998年2月15日于
北京大学中关园
（2004年元月略作删改）