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考查一个函数（数列）的极限，若应用极限定义，必须事先知道极限是多少，这常常是不易实现的；若应用极限的运算法则，遇上未定式又常常力不从心．例如，极限
虽说它的每一项当n→∞时都趋于0，但由于有无穷多项，我们无法判断其极限存在与否，更不能断定其极限为0．再如，极限
它是1
∞
型的未定式．虽然
但它的极限并不等于1．因此，有必要建立一套判定极限存在与否的准则．此外，在相当多的时候，如果能判定极限存在，就可以借以求出极限的值．下面介绍两个重要的极限存在准则．
定理1 若函数f（x），g（x）和h（x）满足条件：
（1）在点x 0 的某个去心邻域Ů（x 0 ，η）内恒有g（x）≤f（x）≤h（x）；
（2）
则极限
存在，且
证 对任给的ε＞0，存在δ 1 ＞0，使得当0＜｜x－x 0 ｜＜δ 1 时，有
｜g（x）－A｜＜ε，从而A－ε＜g（x）；
存在δ 2 ＞0，使得当0＜｜x－x 0 ｜＜δ 2 时，有
｜h（x）－A｜＜ε，从而h（x）＜A＋ε．
取δ＝min｛δ 1 ，δ 2 ，η｝，则当0＜｜x－x 0 ｜＜δ时，有
A－ε＜g（x）≤f（x）≤h（x）＜A＋ε，
即｜f（x）－A｜＜ε，所以有
注 当x→∞时，把定理1中的去心邻域Ů（x 0 ，η）换为｜x｜＞M，结论仍成立．
定理1对于数列极限照样成立，相应的定理内容叙述如下：
定理2 若数列｛x n ｝，｛y n ｝及｛z n ｝满足下列条件：
（1）y n ≤x n ≤z n （n＞N，N为某正整数）；
（2）
则数列｛x
n
｝的极限存在，且
定理1和定理2统称为夹逼准则．夹逼准则不仅能证明极限存在，而且可借以求出极限的值．利用夹逼准则求极限，关键是构造y n 和z n （或g（x）和h（x）），使得它们有易求的相同极限．回头看看前面指出的第一个例子．
例1 求极限
解 记
显然对n≥2有
即
因为
所以，由定理2得
即
定理3（单调有界收敛准则） 单调有界数列必有极限．
从几何上看，定理3的结论是很显然的．若数列｛x n ｝是单调增加的，那么｛x n ｝的点就不断向数轴的右端移动．但｛x n ｝又是有界的，它的点不可能无限制地向右移，因此必然逐步往某一个点（数）靠拢，而这个点就是此数列的极限．
注 定理3可以更明确地表达为：
定理3′ 单调增加有上界的数列必有极限；单调减少有下界的数列必有极限．
虽然定理3只能推出数列极限存在，但正如前面说过的，在某些场合，只要能证明数列极限存在，就可以求出其极限．
例2 设数列｛x
n
｝满足
求极限
解 由于
归纳假设x
k
＞x
k－1
＞0，则有
因此数列｛x n ｝是一个单调增加的正数列．
下面证明数列｛x
n
｝有上界．因为
归纳假设0＜x
k
＜2，则有
因此数列｛x
n
｝有上界．根据单调有界收敛准则（定理3）知，
存在．
设
由局部保号性显然有a≥0．由
得
两边同时令n→∞，得
a 2 ＝2＋a，
由此解得
舍去负值，得a＝2，所以
作为极限存在准则的应用例子，我们着手推导两个重要极限．
重要极限Ⅰ
证 先证明
图 1-3
不妨设
作单位圆，记圆心角∠AOB＝x，过点B作BD⊥OA于D，过A作切线交OB的延长线于E（见图1-3）．于是BD＝sinx，AE＝tanx．因为
△OAB的面积＜扇形OAB的面积＜△OAE的面积，
所以有
即
从而有
即
又因
由夹逼准则得
即
再一次应用夹逼定理得
当
时，令
则
且x→0
-
⇔y→0
+
．又由于
是偶函数，所以
综上，应用§1.3定理1，得
从上述证明过程还可以得到几个有用的结论：
（1）
事实上，我们已证
由于cosx是偶函数，仿上令y＝-x，易得
因而有
（2）对于任意的x∈（-∞，+∞），有｜sinx｜≤｜x｜，其中等号当且仅当x＝0时成立．
事实上，当x＝0时，显然有｜sin0｜＝｜0｜．
由式（1）知，当
时，有sinx＜x，从而｜sinx｜＜｜x｜；当
时，则
于是有sin（-x）＜-x，从而亦有｜sinx｜＜｜x｜．故当
时，有
｜sinx｜＜｜x｜．
当
时，显然有
综上，当0＜｜x｜＜∞时，有｜sinx｜＜｜x｜．
（3）
事实上，由（2）知0≤｜sinx｜≤｜x｜，再由夹逼准则得
从而
（4）
其中□代表自变量x的某个函数，且在x的变化过程中是无穷小．
例如
等等．
由上述重要极限，还可以推出下面几个常用的极限公式（例3～例5），读者应该熟练掌握它们．
例3 求极限
解
例4 求极限
解
例5 求极限
解 令t＝arcsinx，则x＝sint，且当x→0时，有t→0．于是由复合函数的极限运算法则得
类似可求得
例6 求极限
解
重要极限Ⅱ
证 首先证
记
下面证明数列｛x
n
｝单调增加并且有界．
取如下n＋l个正数：
应用平均值不等式，有
整理得
两边（n＋1）次方，得
即 x
n
≤x
n＋1
．
可见数列｛x n ｝单调增加．另外，由牛顿二项展开式有
因此，数列｛x
n
｝不仅单调增加，而且有上界．根据单调有界收敛准则，数列｛x
n
｝极限存在，记为
其次，应用夹逼准则我们不难把数列极限推广至函数极限（证明略），得
因此
稍稍变形，还可得到重要极限Ⅱ的另一种形式．令
则当x→∞时，t→0．于是得
改写为
注1 从以上证明，可以得到以下两个有用的结论：
（1）2＜e＜3；
（2）
注2 通过实验逼近可以证明e是一个无理数，其值为2.718281828459045…．
注3 重要极限Ⅱ更一般的形式为
或
其中□代表自变量x的某个函数，在x的变化过程中是无穷大（第一个式子中）或无穷小（第二个式子中）．
例如
等等．
重要极限Ⅱ是处理1 ∞ 型未定式的强有力工具，把它与§1.5复合函数的极限法则（定理2）及其推论（幂指函数的极限）结合起来，可以大大简化这类未定式的计算．下面举几个例子，说明其应用．
例7 求极限
（k为常数）．
解 容易判定，这是1 ∞ 型未定式．
例8 求极限
解
例9 求极限
解 方法1
方法2
1．求下列极限：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
2．求下列极限：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
3．利用极限存在准则证明
4．设数列｛x
n
｝满足0＜x
1
＜π，x
n＋1
＝sinx
n
（n＝1，2，…），证明极限
存在，并求该极限．