下载掌阅APP，畅读海量书库
立即打开
函数极限的ε-δ（或ε-X）定义以及上一节的定理2，都只能用来验证数A是否为函数的极限．不仅验证过程较为繁复，而且若事先无法确定数A，就没办法操作了．为此，我们有必要发展一套直接计算极限的方法与规则．在以下的讨论中，引进记号“lim”，它泛指自变量的各种变化过程，也即不管是x→x 0 ，或是x→∞，还是单侧极限，法则都是适用的．不过证明时，我们只对x→x 0 给出．
函数极限也有与数列极限类似的四则运算法则，其前提条件是各有关函数的极限都是存在的．
定理1 若极限limf（x）＝A，limg（x）＝B，则
（1）lim［f（x）±g（x）］＝limf（x）±limg（x）＝A±B；
（2）lim［f（x）g（x）］＝limf（x）·limg（x）＝AB；
（3）
证 仅证（2），另外两个结论的证明留给读者．
因limf（x）＝A，limg（x）＝B，由§1.4的定理2，应有f（x）＝A＋α，g（x）＝B＋β，其中α和β都是同一变化过程的无穷小，所以
f（x）g（x）－AB＝（A＋α）（B＋β）－AB＝Aα＋Bβ＋αβ．
由无穷小的运算性质知，Aα，Bβ和αβ都是无穷小，从而其和也是无穷小．因此，再由§1.4的定理2得
lim［f（x）g（x）］＝AB＝limf（x）·limg（x）．
注 定理1的（1）和（2）均可推广到有限个函数的情形．
推论 若极限limf（x）＝A，则
（1） lim［Cf（x）］＝Climf（x）＝CA，其中C为常数；
（2）lim［f（x）］ n ＝［limf（x）］ n ＝A n ，其中n是正整数．
下面举几个例子说明极限四则运算法则的应用．
例1 求极限
解
若记f（x）＝3x 2 －5x＋4，从上面计算过程可以看出
推广 例1的结论可以推广到一般的有理整函数（多项式）的极限：设多项式
P（x）＝a 0 x n ＋a 1 x n－1 ＋…＋a n ，
则
即多项式P（x）当x→x 0 时的极限等于P（x）在x 0 处的函数值P（x 0 ）．
例2 求极限
解 根据例1的推广，可得
所以
推广 对于一般的有理分式函数
其中P（x），Q（x）都是多项式，根据例1的推广，有
设Q（x 0 ）≠0，则
即有理分式函数
当x→x
0
时的极限等于F（x）在x
0
处的函数值F（x
0
）．
值得注意的是，若Q（x 0 ）＝0，则关于商的极限运算法则不再适用，因而上述推广的结论就不成立．
例3 求极限
解 因分母极限为0，所以商的极限运算法则不能用．注意到分子的极限也为0，可采用因式分解的方法加以化简：
由于x→3是x≠3而趋于3，因而
注 当分子、分母的极限均为0时，这种分式的极限称为
型未定式．之所以称为“未定式”，是因为这类分式的极限可能存在，也可能不存在，不能一概而论，它存在与否取决于分式的具体形式，需具体问题具体分析．最常用的方法是把分子、分母因式分解，约去极限为0的因子，化为分母极限不为0的商的极限，再运用极限运算法则．
极限的未定式一共有七种类型：
0·∞，∞－∞，1
∞
，∞
0
，0
0
，今后会陆续遇到．求未定式的极限，是极限计算重点关注的问题．
例4 求极限
解 当x→9时，分子、分母的极限均为0，它是
型未定式．先进行因式分解，再利用极限运算法则，得
例5 求极限
解 当x→1时，
和
均为无穷大，这是∞－∞型未定式，也不能直接使用极限运算法则．对它可先通分，化为分式极限，再进行计算：
例6 求下列极限：
（1）
（2）
（3）
解 （1）显然，当x→∞时，分子、分母都是无穷大，这是
型未定式．分子、分母同除以x的最高次数x
3
，再求极限：
（2）这也是
型未定式，且分母的次数比分子的次数高．先分子、分母同除以x的最高次数x
4
，再求极限，得
（3）此时分子的次数比分母的次数高，先考虑分子、分母对调的分式的极限：
可见，当x→∞时，
是无穷小，从而
为无穷大，也即
从例6的三个小题可以看出，当x→∞时，有理分式函数的极限是
型未定式，它取决于分子、分母关于变量x的次数．若分子、分母关于变量x的次数相等，则其极限等于分子、分母最高次数项的系数之比；若分母的次数比分子高，则其极限为0；若分子的次数比分母高，则其极限为∞．用数学式表达如下：
显然，分子、分母中的低次项不起作用，关键看的是它们的最高项．因此，可以形象地把计算过程概括为“抓大放小”，只需求最高项比的极限就够了．例如：
极限的四则运算法则大大拓宽了极限计算的范围，我们摆脱了步步依靠极限的ε-δ（或ε-X）定义来验证极限（而非求极限）的困境．但是，仍然有很多简单的问题没办法直接求解．例如，对于极限
尽管前面已经知道
但缺少依据来说明
不难发现，
是由
与u＝x＋1复合而成的．因此，有必要研究复合函数的极限问题．对此，我们有如下的结论：
定理2（复合函数的极限运算法则） 设函数y＝f（φ（x））是由函数y＝f（u）与函数u＝φ（x）复合而成的，f（φ（x））在点x
0
的某个去心邻域内有定义．若极限
且存在δ
0
＞0，当0＜｜x－x
0
｜＜δ
0
时，有φ（x）≠u
0
，则
证明略．
上述定理说明，在定理条件下求极限
可以通过作代换u＝φ（x），把所求极限转化为
将极限过程x→x
0
换为x→∞，或者把
换为
同时把
＝A换为
可以得到类似的结论．
例7 求极限
解 作代换u＝2x＋5，则
且当x→2时，有u→9．由定理2得
若作代换
我们容易证明：
这个结论可以作为公式直接应用．
例8 求极限
解 作代换
则当x→1
-
时，u→+∞．由定理2得
例9 求极限
（a＞0且a≠1）．
解 由对数恒等式N＝e
lnN
得a
x
＝e
xlna
．于是a
x
是由f（u）＝e
u
与u＝φ（x）＝xlna复合而成的复合函数．由于
由定理2知
在§1.1例5中我们知道，幂指函数u（x） v（x） （u（x）＞0与v（x）是初等函数）仍然是初等函数．如何求x→x 0 时幂指函数的极限呢？仿照例9，应用对数恒等式与复合函数的极限运算法则，易得下面的推论：
推论（幂指函数的极限） 设u（x）＞0 与v（x）是初等函数，且极限
则有
1．求下列极限：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
2．求下列极限：
（1）
（2）
（3）
（4）
3．设函数
求极限
4．若极限
求常数k的值．